ELEMENTOS DE MUESTREO

Material didáctico elaborado por los profesores: Zhandra Flores Félix Ordaz Ángel Ramírez

Ciudad Universitaria, 2008

1

INDICE

INDICE ............................................................................................................................. 1 INTRODUCCION ............................................................................................................. 2 1.- CONCEPTOS BÁSICOS ............................................................................................. 3 2.- CONVENIENCIA DEL MUESTREO ............................................................................ 6 4.- FASES DE UNA SOBREVISION POR MUESTREO .................................................. 7 5.- TIPOS DE MUESTREO .............................................................................................. 9 6.- CLASES DE MUESTREO PROBABILISTICO .......................................................... 10

6.1.- ALEATORIO SIMPLE ......................................................................................... 10 6.2.- ESTRATIFICADO ............................................................................................... 12

6.2.1.- AFIJACION .................................................................................................. 13 6.3.- SISTEMATICO ................................................................................................... 15 6.4.- POR CONGLOMERADOS O ÁREAS ................................................................ 15 6.5.- CARACTERISTICAS DE LAS DIFERENTES TECNICAS .................................. 16

7.- ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA ...................................................... 17 8.- EJEMPLOS DE APLICACION .................................................................................. 18

8.1.- CASO I ............................................................................................................... 18 8.2.- CASO II .............................................................................................................. 19 8.3.- CASO III ............................................................................................................. 21 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 213

2

INTRODUCCION

El objeto del muestreo es hacer inferencias de características cuantitativas sobre una

población a partir de una muestra. Esto es posible si la muestra es como indican

algunos autores “representativa” de la población. Ahora, ¿como establecer esa

representatividad? Si precisamente existe un desconocimiento de la población al

momento de tomar la muestra, ¿como tomar aquellos elementos que sean

representativos?. En general siguiendo algunas reglas básicas se pueden minimizar

estos problemas que son:

1. Cuando la estructura de la muestra no se corresponde con la de la población,

esto sucede porque:

a. El marco no contiene todos los elementos de la población.

b. No es posible acceder a todos los elementos de la población.

c. No es posible lograr la participación de todos los integrantes de la

muestra.

2. Los problemas de procedimiento, cuando el método utilizado viola la

equiprobabilidad de selección.

3. Los problemas de respuesta, cuando ya localizados y abordados, los

seleccionados rechazan o no responden por ejemplo una encuesta. Lo que

produce un sesgo de la muestra.

Para lograr la representatividad de la muestra se deben considerar tres (3) elementos:

Marco y Diseño muestral correcto.

Selección Aleatoria.

Control del Procedimiento.

3

1.- CONCEPTOS BÁSICOS

1.1- Universo: Es un conjunto finito o infinito de animales, seres, cosas, etc. En

términos de esta definición puede hablarse de un universo de individuo, animales,

vehículos, etc.

1.2- Población: Son cada unas de las variables que se definen sobre un universo.

Mediante esta definición puede hacerse notar que puede existir más de una población

asociada a un mismo universo.

1.3- Unidades Estadísticas: Son requeridas por el diseñador, por una parte para saber

cuál es la estrategia a seguir para la medición y, por otra, pensar en la estructura del

marco de referencia de las unidades a ser estudiadas. Estas unidades son: la de

investigación, análisis, observación y de muestreo.

1.3.1- Unidad de Investigación: Esta se refiere a la que contiene las partes que se van

a analizar. Algunos ejemplos aclaran este concepto. En la encuesta de hogares para el

estudio de la fuerza de trabajo que realiza el Instituto Nacional de Estadística, el motivo

de la investigación es el hogar el cual contiene las unidades a examinar, es decir las,

las personas. El estudio antropométrico que realiza Fundacredesa la unidad a investigar

es el individuo, el cual contiene las partes del cuerpo que se van a analizar, mientras

que en estudios sobre el sector industrial, la unidad de investigación esta dada por el

establecimiento.

1.3.2- Unidad de Análisis: Comprende la unidad que se analiza, vale decir, de la que

se busca la información y su naturaleza depende de los objetivos del estudio.

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Esta unidad puede ser el hogar, las partes del cuerpo de las personas, la granja, el

establecimiento, etc. Las unidades de análisis reciben frecuentemente el nombre de

“Elementos de la Población”

1.3.3- Unidad de Observación: Se denomina con este nombre a la unidad a través de

la cual se obtiene la información, pudiendo o no coincidir con el elemento. Por ejemplo

cada uno de los miembros del hogar puede constituir un elemento de la población y sin

embargo ser sólo uno de ellos, por ejemplo, el jefe del hogar, quien proporcione la

información requerida. Este último por tanto, constituirá la unidad de observación,

también llamada unidad respondiente.

1.3.4- Unidad de Muestreo: Será un individuo o conjunto de individuos que se

seleccionan en una única extracción. Como requisito se exige que el elemento o el

grupo de elementos que componen el estudio reúnan las características de la

población.

1.4- Muestreo: El procedimiento mediante el cual obtenemos una o mas muestras

recibe el nombre de muestreo. Obtener una muestra adecuada significa lograr una

versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos básicos

en términos de variación y localización.

1.5- Error de Muestreo: El error que se comete debido al hecho de que se obtienen

conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de sólo una parte de ella.

1.6- Marco del Muestreo: El conjunto de todas las unidades muestreadas

consideradas.

5

1.7- Variables: Rasgos o magnitudes que varían de unos individuos a otros. Se refiere

a las características particulares que podría presentarse en uno o varios elementos de

los que componen la población estudiada.

1.8- Características Poblacionales (parámetros): Las más habituales como la media

poblacional, el total poblacional y la proporción poblacional, entre otras características

de la población se podrían citar la varianza, la mediana, la moda, entre otros.

1.9- Estadísticos: Son funciones de los valores muestrales. Algunos de ellos se utilizan

para estimar los parámetros (en general desconocidos), partiendo de los datos

recabados en una investigación por muestreo

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2.- CONVENIENCIA DEL MUESTREO1 Puesto que la inferencia supone un riesgo, es útil resumir en qué casos conviene

obtener muestras, en lugar de censos o investigaciones exhaustivas de todos los

elementos de la población.

Resulta mas económica la muestra que una enumeración completa.

El tiempo para obtener los resultados a través de una muestra es

sustancialmente mas pequeño que para obtenerlo por la vía del censo, si el

tamaño del universo es grande.

La calidad de la información muestral es superior, ya que se puede concentrar

más la atención en los casos individuales de la muestra y ejercer mayor control

sobre ellos que una operación censal.

Cuando el proceso de medida o examen de las características de cada elemento

sea destructivo o disminuya su valor, por ejemplo, si se desea determinar la vida

útil promedio de bombillos.

Cuando la población sea considerada como infinita o tan grande que el

tratamiento total exceda las posibilidades del investigador.

Cuando los elementos de la población sean suficientemente homogéneos. Un

buen ejemplo de esto lo constituye un análisis de sangre, ya que los

componentes de la sangre son los mismos en cualquier parte del cuerpo donde

se encuentre ubicada.

1 Seijas, Félix “Investigación por Muestreo”

7

3.- LIMITACIONES DEL MUESTREO2

Las limitaciones más importantes que hay que tomar en cuenta para decidir acerca de

las muestras son las siguientes:

Si se necesita información de todos los elementos que conforman el universo

estadístico.

Si se requiere información para áreas pequeñas. Este hecho estima que se

establezcan muestras desproporcionadamente grandes, pues la precisión de una

muestra depende fuertemente de su tamaño

Cuando no existen los elementos técnicos que garanticen un buen diseño

muestral. Las muestras probabilísticas exigen, en comparación con el censo,

menos cantidad de trabajo bruto, pero mayor refinamiento y preparación.

4.- FASES DE UNA SOBREVISION POR MUESTREO3

El muestreo propiamente dicho consiste evidentemente en la obtención efectiva de la

muestra, esto es, en la recolección de los elementos o datos que la constituyen. Existe,

sin embargo, cuestiones previas y posteriores a tal recolección, especialmente

importantes cuando se trata de extensos estudios por muestreo.

Podrían establecerse las siguientes fases:

2 Seijas, Félix “Investigación por Muestreo” 3 Azorin P., Francisco “Curso de Muestreo y Aplicaciones”.

8

Fase I. Indicación de los fines del Estudio.

Por lo menos deberá darse una indicación general de los objetivos y de cómo se espera

utilizar los resultados. Pero es conveniente no limitarse a una declaración vaga de los

fines, sino establecer estos de modo muy concreto. En esta fase puede incluirse la

definición de la población que constituirá el objetivo de estudio. Seria conveniente

expresar no solo cual es la información que se desea obtener, sino también el motivo

del muestreo, la forma en que van a utilizarse los resultados, así como el modo en que

habrán de influir en decisiones posteriores. Efectuar la especificación previa de las

características a estimar, las tabulaciones y los grados de confianza y precisión

que se consideren adecuados. Deben justificarse, en caso de eliminación de partes de

la población ideal, que fundamento hay para considerar conveniente o admisible

prescindir de las mismas.

Fase II. Condiciones, recursos y limitaciones.

Establecer los limites presupuestarios y temporales a que deberá someterse la

investigación teniendo presente asimismo la legislación, restricciones administrativas,

oportunidad de las fechas elegidas y demás circunstancias que puedan influir en el plan

general de trabajo.

Habrá que hacer acopio de la información cartográfica, ficheros, listas, etc. que pueden

ser útiles, y cuidar de su posible mejoramiento al día para constituir el marco o

substrato, descripción de la estructura de la población en estudio y base para efectuar

la selección.

Fase III. Programa de Operaciones.

En esta fase pueden incluirse el diseño o esquema lógico-matemático del muestreo, la

decisión sobre los métodos de estimación, las medidas de precisión y confianza, la

redacción de cuestionario, los métodos de recolección y medición, la organización del

trabajo de campo y de oficina, la preparación y entrenamiento del personal y equipos.

9

Desde el punto de vista estadístico-matemático claro es que la cuestión fundamental

consiste en establecer el diseño de muestreo. Para ello hay que pensar, entre otras

cuestiones, si la muestra va a formar parte de una sucesión o plan coordinado, y en tal

caso, si será preferible espaciar muestras grandes o efectuar muestras pequeñas con

mayor frecuencia.

Fase IV. Ejecución del Programa y Recolección de Datos.

Cuando no se disponga de experiencia sobre muestras análogas a que se trata de

ejecutar, puede decirse que será imprescindible la realización de una o mas muestras pilotos. Se pondrá a prueba el cuestionario y constituirá un ensayo general,

proporcionara además información relativa a la variabilidad de la población en estudio,

de modo de obtener las estimaciones establecidas.

Fase V. Análisis y Aprovechamiento de los Resultados.

Esta última fase comprenderá el cálculo de las estimaciones requeridas acompañadas

de sus errores de muestreo, de manera que la misma muestra proporcione la medida

de su fiabilidad y confianza. Los cálculos unidos a las correspondientes tabulaciones,

representaciones graficas, etc., deben ir acompañados de comentarios e

interpretaciones.

5.- TIPOS DE MUESTREO Decimos que el muestreo es probabilístico cuando puede calcularse de antemano cual

es la probabilidad de obtener cada una de las muestras que sea posible seleccionar.

Para esto es necesario que la selección pueda considerarse como una prueba o

experimento aleatorio.

Existen otros dos tipos de muestreo que pueden denominarse muestreo intencional u

opinatico y muestreo sin norma, circunstancial o errático. En el primero es la persona

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que selecciona la muestra la que procura que esta sea representativa; por consiguiente

la representatividad depende de su intención u opinión, y la evaluación de

representatividad es subjetiva. En este caso la composición de la muestra puede estar

influida por la preferencia o tendencias del individuo que la obtiene.

En el muestreo sin norma se toma la muestra de cualquier manera, a la aventura, por

razones de comodidad o circunstancias y se obtiene así una parte o trozo de la

población. Si esta es homogénea, la representatividad de tal muestra puede ser

satisfactoria. A veces la uniformidad puede sustituirse por una buena mezcla antes de

tomar muestras como en el caso de los avisos “agítese antes de usar” o bien cuando se

barajan naipes o se hacen girar bolas dentro de un bombo.

En este curso nos ocuparemos del muestreo probabilístico.

6.- CLASES DE MUESTREO PROBABILISTICO

Aunque más adelante se darán con más detalle los diversos métodos de muestreo

probabilístico, es conveniente mencionarlos a continuación:

1. Aleatorio Simple.

2. Estratificado.

3. Sistemático

4. Por Conglomerados o Áreas.

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6.1.- ALEATORIO SIMPLE

Consiste en la selección de n elementos entre los N constituyen la población, de modo

que todas las muestras posibles de tamaño n (tantas como combinaciones de N

elementos de n en n ) tengan la misma probabilidad

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nN1 de ser obtenidas.

Con este supuesto, por ser equiprobables todas las muestras de n elementos, la

probabilidad de que un elemento poblacional dado parte de la muestra se puede

calcular así:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Nn

nN

nN 1

11

Podemos, pues, definir el muestreo aleatorio simple como selección de n elementos

cuando los N de la población tienen la misma probabilidad de ser extraídos.

Sus principales estimadores quedarían de la siguiente manera:

Técnica Estimador Varianza

Aleatorio Simple

Media Poblacional

∑==ny

yY i NnN

nSyV −

=2

)(

Total Poblacional

yNY =ˆ NnN

nSNYV )()ˆ(

22 −=

12

6.2.- ESTRATIFICADO Supongamos ahora que la población se subdivide en L subpoblaciones o estratos, de

modo que la muestra esté constituida por elementos de cada uno de ellos. Estas

subpoblaciones no se sobreponen y juntas forman la totalidad de la población, por lo

que:

NNNNNL

hhL ==+++ ∑

=121 ...

Una vez que han sido determinados los estratos, se saca una muestra de cada uno, la

obtención se realiza independientemente en estratos diferentes. Los tamaños de

muestra dentro de los estratos son representados por LNnn ...,, 21 respectivamente.

Si se toma una muestra simple aleatoria de cada estrato, el procedimiento completo es

conocido como muestreo estratificado aleatorio.

La ventaja principal que puede conseguirse estratificando es aumentar la precisión de

las estimaciones al agrupar elementos con características comunes. Además de

procurar mediante la estratificación muestras más representativas, puede lograrse un

mejor aprovechamiento de la organización administrativa y en general de las

particularidades de diferentes grupos de elementos de la población.

En particular, cuando nos interesan las estimaciones de cada estrato es muy

conveniente tener idea de la distribución de la característica estudiada o de alguna otra

correlacionada con ella. Conviene que los estratos sean tales que pueda conseguirse

un aumento sustancial de la precisión por agrupamiento de elementos de cierta

homogeneidad.

Además de conocerse el tamaño de la población, N , como en el muestreo aleatorio

simple, habrá que saber el tamaño de cada estrato, y designaremos por hN el del

estrato h-esimo.

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A veces se utiliza el símbolo NNW hh /= , que es el peso relativo del estrato. La media y

el total pueden expresarse en función de las medias y totales subpoblacionales o de los

estratos, mediante las formulas:

Media:

∑∑

=

= ===L

hhh

L

hhh

YWN

YN

NYY

1

1

Total:

∑∑==

==L

hhh

L

hh YNYY

11

6.2.1.- AFIJACION

Se da el nombre de afijación al reparto o distribución del tamaño muestral n entre los

diferentes estratos. Esto es, a la determinación de los valores hn que verifiquen:

nnnn L =+++ ...21

Pueden establecerse muchas afijaciones o maneras de repartir la muestra, pero las

mas importantes son: la afijación igual en las que se toman todos los hn iguales a Ln ,

aumentando o disminuyendo este tamaño en una unidad si n no fuese múltiplo de L .

La afijación proporcional en el muestreo estratificado aleatorio, al reparto del tamaño n

de la muestra entre los L estratos proporcionalmente a los tamaños de estos. Algunas

veces se le ha dado el nombre de afijación de Bowley.

Habrá pues, de verificarse: hh Nkn .=

Para determinar esta constante k , basta sumar ordenadamente las igualdades

anteriores para Lh ,...,2,1= con lo cual tenemos:

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NnkNkn

L

hh

L

hh == ∑∑

==

;11

Por consiguiente, hh NNnn = , y también N

Nn

n hh = . Esto es hh Ww = , si empleamos

estos símbolos para designar el “peso” relativo de cada estrato, en la muestra y en la

población respectivamente.

La afijación optima es aquella que para un tamaño dado de n de la muestra produce

resultados mas precisos, esto es, menor error de muestreo. También llamada afijación

de Chupow-Neyman, el tamaño de la muestra para cada estrato es proporcional al

producto del tamaño de este estrato, hN , por su variabilidad, representada por la cuasi

desviación estándar.

Los estimadores y sus respectivas varianzas del muestreo estratificado aleatorio lo

podemos resumir en la siguiente tabla:

Técnica Estimador Varianza

Estratificado

Aleatorio

(proporcional)

Media Poblacional:

∑∑

=

= ==L

hhh

L

hhh

st ywn

yny

1

1

∑=

−=

L

hhhst SW

nfyV

1

21)(

Donde: N

nf = : fracción de muestreo

Total Poblacional:

styNY =ˆ 2)ˆ( hhst SN

nnNYV ∑−

=

Estratificado

Aleatorio

(Optimo ó

Neyman)

Media Poblacional:

∑∑

=

= ==L

kk

L

hhh

st ywn

yny

1

1∑∑ −= 21)(

)( hhhh

st SWNn

SWyV

Total Poblacional:

styNY =ˆ ∑∑ −= 22)(

)ˆ( hhhh

st SNn

SWYV

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6.3.- SISTEMATICO

Consiste en tomar aleatoriamente un cierto número i de las primeras k unidades, que

designara en una lista o población de N elementos al primero que va a formar parte de

la muestra. A continuación, de manera rígida o sistemática se va tomando el elemento

ki + que esta k lugares después del i-esimo en la lista, el ki 2+ , que esta k2 lugares

después, y así sucesivamente hasta agotar los elementos disponibles de la lista o

población, lo que ocurrirá cuando se llegue al que ocupa el lugar kni )1( −+ .

Técnica Estimador Varianza

Sistemático

Media Poblacional:

nyyy

y knikiisy

)1(... −++ +++=

22 )1(1)( wsysy SNnkS

NNyV −

−−

=

Donde:

∑∑= =

−−

=k

k

n

jiijwsy yy

nkS

1 1

22 )()1(

1

Es la varianza entre unidades

comprendidas dentro de la misma muestra

sistemática.

Total Poblacional:

syyNY =ˆ

6.4.- POR CONGLOMERADOS O ÁREAS

En las anteriores técnicas de muestreo, se ha supuesto que las unidades de muestreo o

unidades a seleccionar eran las mismas que constituían el objeto de estudio. El caso

más general, es que las unidades de muestreo comprenden dos o más unidades de

estudio o unidades últimas o físicas. En este caso se dice que cada unidad de muestreo

constituye un conglomerado de unidades últimas, y que el muestreo es por

conglomerados.

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Ejemplos de muestreo por conglomerados serian: la selección aleatoria de familias de

una población para efectuar un estudio de individuos; la selección de fincas en un

estado para una investigación en que las unidades ultimas fuesen las cabezas de

ganado, etc.

Técnica Estimador Varianza

Con

glom

erad

os

Media Poblacional:

∑ ∑∑

∑= =

=

=

===n

i

M

j

n

iin

iiij n

YY

nMy

nMy

1 1

1

1

11

iY : Media por Conglomerado.

y : Media por unidades secundarias o ultimas.

M: Cantidad de unidades secundarias o ultimas.

nMS

NnN

nS

NnNyV bm

22

)( −=

−=

Donde:

( )

11

2

2

−

−=∑=

N

YYS

N

ii

m

( )21

2

2

1 m

N

ii

b MSN

YYMS =

−

−=

∑=

2mS : Varianza entre los elementos

dentro de la misma unidad. 2bS : Varianza entre conglomerados

(entre unidades grandes)

Total Poblacional:

∑=

==n

iiY

nNyNY

1

ˆ

( )1

)1()ˆ( 1

22

−

−−

=∑=

N

YY

nfNYV

N

ii

6.5.- CARACTERISTICAS DE LAS DIFERENTES TECNICAS

En resumen podemos indicar las siguientes ventajas e inconvenientes que presenta

cada una de estas técnicas:

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7.- ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

Establecida la característica o características a estimar y el grado de confianza y de

precisión requeridos, hay que decidir cual va a ser el tamaño de la muestra o numero de

elementos a seleccionar, de modo que los resultados no sean en exceso costosos o

imprecisos.

Para estimar la media de la población (infinitas):

2

22

eZn σ

=

Para estimar la media de la población (finitas):

NZe

nx

x2

2

2

2

σσ

+=

TECNICA VENTAJAS INCONVENIENTES

Aleatorio Simple 1. Sencillo y de fácil comprensión. 2. Cálculo rápido de medias y varianzas.

1. Requiere que se posea de un listado completo de toda la población.

2. No es recomendable emplearla para poblaciones muy grandes

Sistemático 1. Fácil de aplicar. 2. No siempre es necesario tener un

listado de toda la población. 3. Cuando la población está ordenada

siguiendo una tendencia conocida, asegura una cobertura de unidades de todos los tipos.

1. Con la periodicidad constante k se puede introducir una homogeneidad que no se da en la población.

Estratificado 1. Tiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a la población en función de unas variables seleccionadas.

2. Se obtienen estimaciones más precisa 3. Su objetivo es conseguir una muestra lo

mas semejante posible a la población en lo que las variables estratificadoras se refiere.

1. Es preciso poseer conocimientos a detalle de la población.

Conglomerados 1. Es muy eficiente cuando la población es muy grande y dispersa.

2. No es preciso tener un listado de toda la población, sólo de las unidades primarias de muestreo.

1. El error estándar es mayor que en el muestreo aleatorio simple o estratificado.

2. El cálculo del error estándar es complejo. 3. Se torna complejo a medida que aumentan las

etapas de muestreo

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El factor )1/()( −− NnN se llama factor de corrección de población finita. En caso de

que la muestra sea grande (5% ó más) en relación con la población, el investigador

puede reducir en forma adecuada el tamaño de la muestra necesaria:

1−+=′

nNnNn Donde: :n′ tamaño revisado.

n : tamaño original.

8.- EJEMPLOS DE APLICACION

A continuación se presentan una serie de ejemplos de aplicación de las técnicas

descritas anteriormente.

8.1.- CASO I

Para un muestreo estratificado un ejemplo numérico, sean tres estratos ( 3=L ), de

tamaños respectivos:

000.31 =N , 000.22 =N , 000.53 =N ; y con:

10021 =S , 4002

2 =S , 90023 =S .

000.10321 =++= NNNN

Para una muestra de tamaño 100=n , los tamaños de las muestras correspondientes a

cada estrato son:

30000.3*000.10

10011 === N

Nnn

20000.2*000.10

10012 === N

Nnn

50000.5*000.10

10013 === N

Nnn

Se verifica, en efecto: 100502030321 =++=++ nnn . La varianza de la media es:

19

544,5)900105400

102100

103(

10001,01)( =++

−=styV

8.2.- CASO II

Comparación de los estimadores de totales para muestreo simple aleatorio y

estratificado.

El numero total de habitantes del total de 64 ciudades de EEUU para 1930, va a ser

estimado de una muestra de 24 ciudades (estas ciudades se encuentran entre las 5ta. y

la 68ava mas grande en población).

20

1. Con muestreo simple aleatorio:

453.594.56440

24)448.52()64()()ˆ(

222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

NnN

nSNYV

365.2=ee

ESTRATO

1 2

900 364 209 113

822 317 183 115

781 328 163 123

805 302 253 154

670 288 232 140

1238 291 260 119

573 253 201 130

634 291 147 127

578 308 292 100

487 272 164 107

442 284 143 114

451 255 169 111

459 270 139 163

464 214 170 116

400 195 150 122

366 260 143 134

070.10)( =∑ hiy 498.9)( =∑ hiy

843.5321 =S 581.52

2 =S

161 =N 482 =N

448.522 =S

21

2. Estratificado con afijación proporcional, tenemos 616*6424

1 ==n , 1848*6424

1 ==n

[ ] 293.882.1)581.5)(48()843.53)(16(2440)ˆ( 2 =+=

−= ∑ hhst SN

nnNYV

372.1=ee

8.3.- CASO III

En un lote de frascos para medicina, con una población de 8000 unidades, se desea

estimar la media de la capacidad en centímetros cúbicos de los mismos.

A través de un pre-muestreo de tamaño 35 se ha estimado que la desviación estándar

es de 2 centímetros cúbicos. Si queremos tener una precisión 0.25 cms3, y un nivel de

significancia del 5%. ¿De que tamaño debe de ser la muestra?

239

80002

96,125,0

22

2

2

2

2

2

2

2

=+

=+

=

NZe

nx

x

σσ Frascos.

22

BIBLIOGRAFIA

AZORIN, Francisco. “Curso de Muestreo y Aplicaciones”. Facultad de

Economía. Caracas. 1970.

COCHRAN, William. “Técnicas de Muestreo”. Editorial CECSA. México 1971.

SEIJAS, Félix. “Investigación por Muestreo”. Ediciones FACES. Caracas.

1993