ELECTIVA I PROGRAMA DE FISICA Departamento de Física y ...

ELECTIVA I

PROGRAMA DE FISICADepartamento de Física y GeologíaUniversidad de PamplonaMarzo de 2010

NESTOR A. ARIAS HERNANDEZ - UNIPAMPLONA


En esta sección nos enfocaremos en una clase muy limitada, pero importante que involucra modificaciones sencillas de la variable independiente.

Estas modificaciones no permiten introducir varias propiedades de las señales y los sistemas.

EJEMPLOS DE TRANSFORMACION DE VARIABLES

CORRIMIENTO DE TIEMPO

Ocasiona desplazamiento de la señal en el eje de la variable independiente

Esta desplazamiento es ocasionado por la adición de una constante en el argumento de la función.

EJ: Radar, sísmica, sonar.


( ) ( ) 0o ox t x t t con t

[ ] [ ] 0o ox n x n n con n


IN VERSION DE TIEMPO

( ) ( )x t x t

[ ] [ ]x n x n

Reflejo en t=0


ESCALAMIENTO DEL TIEMPO.

( )x t

(2 )x t

( / 2)x t


( ) ( )x t x t

Alargada linealmente si:

Comprimida linealmente si:

Invertida si:

Desplazada si:

1

1

0

0


Ejemplo 1.

0, 0

( ) 0 1, 1

1 2, 2

2 0

t x

x t t x

t x t

t x

Encontrar, 3 32 2

( 1), ( 1), ( ), ( 1)x t x t x t x t

( 1)x t

1, 0

1 0, 1

0 1, 1

1, 0

t x

t x

t x t

t x


( 1)x t

1, 0

1 0, 1

0 1, 1

1, 0

t x

t x

t x t

t x

32

( )x t23

32 43 3 2

43

0, 0

0 , 1

, 2

, 0

t x

t x

t x t

t x

32

( 1)x t

23

23

323 2

23

, 0

0, 1

0 , 1

, 0

t x

t x

t x t

t x


SEÑALES PERIODICAS

( ) ( ),x t x t mT con m entero

Es periódica en periodos igual a:

,2 ,3 ,4 ,...T T T T

El Periodo Fundamental es:

oT T

Señal periódica continua

Señal periódica discreta

[ ] [ ]x n x n NEs periódica en periodos igual a:

,2 ,3 ,4 ,...N N N N El Periodo Fundamental es: oN N

3oN


Ejemplo : probar que la siguiente señal es periodica.

cos( ), 0( )

( ), 0

t si tx t

sen t si t2oT

cos( 2 ) cos( )t t ( 2 ) ( )sen t sen t

Pero;


SEÑALES PARES E IMPARES

( ) ( )x t x tPAR

IMPAR ( ) ( )x t x t

Una señal impar debe ser 0 0en x


Cualquier señal se puede separar o descomponer en la suma de una señal par y una impar.

EJEMPLO: consideremos las siguientes funciones.

12

{ ( )} ( ) ( )Od x t x t x t12

{ ( )} ( ) ( )Ev x t x t x t

Parte Par Parte Impar

Verificar que la parte Par es realmente Par y de igual forma con la parte Impar y que la suma de las dos es ( )x t


En señales discretas


SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES

Señales continuas exponencial compleja y senoidal

( ) tx t Ce donde y C son Complejos

Si y C son reales Señal exponencial real

0 0


Pero; ( ) ojw tx t e Señal exponencial compleja

La cual es posible probar que es una señal periódica, con periodo T

( )ojw t Te o ojw t jw T

e e ojw te

Para el valor positivo mas pequeño de T se cumple

2o

o

Tw

De tal manera que: ojw te ojw t

y e Tienen el mismo periodo


( ) cos( )ox t A w t

2o ow f

cos( )oA w t

( ) ( )

2

o oj w t j w te e

A

( )oAsen w t

( ) ( )

2

o oj w t j w te e

Aj


cos( )oA w t( )oj w t

Re Ae

( )oAsen w t( )

Im oj w tAe

Tambien;

Ejemplo:

Calcular al magnitud de la señal3 2( ) j t j tx t e e

( ) 2 cos(0.5 )x t t


Señales exponenciales complejas generales

( ) tx t Ce donde y C son Complejos

j

oC C e y r jw

Entonces,

tCe( )or jw tjC e e

( )oj w trtC e e

Usando Euler,

tCe cos( ) ( )rt rt

o oC e w t j C e sen w t


0r

0r

rtC e


Señales Disctretas exponencial compleja y senoidal

[ ] n nx n C Ce donde y C son Complejos

Si y C son reales Señal discreta exponencial real

1 0 1


1 0

1


Pero, si [ ] ojw nx n e Señal discreta exponencial compleja

La cual es posible escribir como

ojw

[ ] cos( )ox n A w n

cos( )oA w n

( ) ( )

2

o oj w n j w ne e

A

( )oAsen w n

( ) ( )

2

o oj w n j w ne e

Aj

De igual forma se puede escribir,


Señales exponenciales complejas generales

[ ] nx n C donde y C son Complejos

ojwjC C e y e

Entonces,

nC ojw nnC e

Usando Euler,

nC cos( ) ( )n n

o oC w n j C sen w n


1

1


PROPIEDADES DE LAS EXPONENCIALES CONTINUAS

• Mientras mas grande se la magnitud w mayor es la velocidad de oscilación de la señal. Para cada w una señal periódica diferente.

• Una función exponencial continua es periódica para cualquier w.

¨Existen diferencias en estas propiedades para las señales exponenciales discretas.¨


Consideremos la exponencial discreta con frecuencia 2ow

( 2 )oj w ne 2ojw n j ne e ojw n

e

La exponencial con frecuencia es la misma que la exponencial ow 2ow

Por tanto, en las exponenciales discretas es necesario tomar solo un intervalo

0 2o

o

w

o

w


Analizando la otra propiedad, que tiene que ver con la periodicidad

( )o o ojw n N jw n jw Ne e e

Para que sea periódico, debe cumplirse la condición : 1ojw Ne

( )o ojw n N jw ne e

Esto quiere decir que: 2ow N m

2

ow m

NEs un numero racional o

Entonces, una señal es periodica si la fraccion anterior es un racional y no lo es en otro caso.

2ow m

N


La frecuencia fundamental de una señal periódica discreta ojw ne

2 ow

N m

FRECUENCIA FUNDAMENTAL

El periodo fundamental de una señal periódica discreta ojw ne

2

o

mN

w

PERIODO FUNDAMENTAL


SEÑALES DISCRETAS PERIODICAS


No es una señal periódica


Ejemplo: Encontrar el periodo fundamental de la señal discreta

(2 /3) (3 /4)[ ] j n j nx n e e


Ejercicios:

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