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Ecuaciones diferenciales de Equilibrio

28 de marzo de 2006

1. Elasticidad en una dimension

1.1. Esfuerzo y carga lineal b(x)

Para examinar un cuerpo desde el contnuo, que es la primera hipotesis(a), utilizamos el calculo diferencial, y para inspeccionar el material con lasleyes de Newton, examinaremos una probeta cargada como se muestra en lafigura:

Supondremos que esta probeta limitada por ambos extremos, es un solidocontnuo que tambien sufre deformaciones debidas a una distribucion longi-tudinal de carga interna (p.ej. gravedad1 o E.M.) representado mediante elvector b(x)2:

La suma de todas las fuerzas en este tramo se anulan si el cuerpo esta enreposo:

1dP =dm g= A dx g,bo= dP/dx= A gb02Esta fuerza por unidad e longitud no puede variar en la secci on perpendicular a x,

pues estamos restringidos a 1D.

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Ftotal =

Fexti +

Finti = 0, y

Fexti = 0,

Finti = 0

Fexti =A (x+ x) (x+ x) +b(x) xA(x) (x) = 0 (1)

p1. por que externas?

dondexes el punto3 donde el valor de la funcionb(x) multiplicada por xesigual que

b(x)dx. Si desarrollamos por Taylor el primer termino de la izq.:

(x+ x) (x) +

(x)x

podemos adoptar una aproximacion que consiste en suponer que (b) la

curvatura de (o segunda derivada) multiplicada por x2

es desprecia-ble respecto al termino lineal

(x)x >>

(x) x2. Si dividimos entrex, haciendo este muy pequeno, y suponiendo que la seccion es constante,de la ecuacion (1) deducimos que:

b(x) = dA(x) (x)

dx (2)

Como contraejemplo podemos considerar una fuerza puntual, o mejor dicho,muy concentrada en torno a x, de tal manera que por muy pequeno quehagamos x, el termino de sgo. orden no es despreciable. En este caso, la leyde Hooke se cumple siempre que no se superef, pero la relacion entre carga

y tension no es de primer orden. Cuando este tipo de distribuciones en elregimen lineal se disipa rapidamente, en virtud de teorema de Saint-Venant,podremos incluir el efecto de fuerzas reales, siempre que la distribucion aso-ciada no de lugar a tensiones locales por encima de la tensi on de fluenciaf(x).

p2. que tipo de cargas o distribuciones podemos incluir si queremos utilizar las rela-

ciones para describir su estado?,como aplicara el principio de Saint-Venant en este

tipo de problemas?

En lo que sigue, siempre vamos a analizar tramos en los que se cumpla

3Teorema del valor medio: FextNetaenx =x+xx

b(x) dx= b(x) x

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la hipotesis a y b, por tanto, podemos incluir las distribuciones que no so-

brepasenf(x).

p3. En un medio poroso, cual sera el valor de f, si suponemos que el medio es

equivalente a una esponja rgida con poros de radio r?

1.2. Deformacion y desplazamiento

Si ahora analizamos la deformacion a partir de las deformaciones locales enx, (x), y x + x,(x+ x):

encontramos que:

(x) =x

x

x (3)

Como (x) =x

x= (x+ x) =x

+ x

xx

(x) =(x+ x) (x)

x (4)

Si hacemos como antes, x 0:

(x) = d

dx (5)

que es la que faltaba para completar el numero de ecuaciones que nos permi-tira conocer los desplazamientos a partir de cargas y condiciones de contorno.

1.3. Desplazamiento , carga b(x)

Vamos a agrupar las ecuaciones:

(x) = d

dx b(x) =

dA(x) (x)

dx (x) =E (x) (6)

para obtener la relacion entre el desplazamiento (x) y la carga b(x):d

dx(AE

d

dx) +b(x) = 0 (7)

Si que A y E son constantes:

AEd2

dx2+b(x) = 0 (8)

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1.4. Ejemplos

1.4.1. Viga cilndrica (A) y homogenea () empotrada por amboslados

Para la columna de la figura 1, suponiendo que b(x) =bo = cte, calculeel diagrama de deformacion, esfuerzo y tension4.

1.4.2. Viga cilndrica (A) y homogenea () empotrada

Para la siguiente columna, calcule diagrama de deformacion, esfuerzo ytension.

4Solucion.En este caso, la distribucion lineal de fuerza es constante. SiA y Etambien

son constantes en la probeta:

b(x) = bo = AE ddx

= bo = (x) = (0) boxAE

(9)

Tenemos que encontrar el valor de (0). Para esto utilizaremos la relacion:

(x) = d

dx y (0) =(L) = 0 (10)

(x) = d

dx = d= box

AEdx+(0)dx (11)

Al integrar esta relacion, obtenemos:

(x) =(0)

b0x2

2AE

(0)x donde(0) = 0 (12)

en x = L, (L) = 0. Por tanto:

(0) = boL

2AE (13)

De aqu obtenemos

(x) = (1 xL

) boLx2AE

(14)

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1.4.3. Barra prismatica girando

Una barra prismatica delgada y homogenea de longitud 2L gira convelocidad angular constante en un plano horizontal alrededor de un ejefijo respecto a su punto medio como indica la figura. El area de seccionrecta cuadrada de la barra es A, su densidad (Kg/m3) , y el modulo deYoung y coeficiente de PissonE, y . Calcule las tensiones y alargamientoslongitudinales y transversales maximos.5

2. Elasticidad en dos dimensiones

Hay problemas que hemos de solucionar en dos dimensiones. Incluso en unaviga de seccion constante sometida a traccion, como la mostrada en la figu-ra, si queremos estudiar el equilibrio de fuerzas en un plano de orientacionarbitraria, tendremos que considerar esfuerzos que son tangentes a la su-perficie. Estos se denominan esfuerzos cortantes.

Si dibujamos el tramo izquierdo:5Vamos a utilizar la ecuacion de equilibrio en una dimension. La fuerza centrfuga a la

que esta sometida un elemento dm a una distancia x del eje de rotacion es dF = acdm,

dondeac = V2

x , por tanto b(x) = dF

dx =2xA. La ecuacion que hemos de resolver es:

AEd= 2xAdx= (x) =(0) 2x2

2E (15)

Como en los extremos de la barra x = Lno hay fuerza externa aplicada, (L) = 0 =(L) = 0. Por tanto, la tension maxima ocurre en x = 0, y su valor es:

x(max)= (0) = 2L2

2 (16)

Integrando la expresion anterior, deducimos que:

x(max) = (L) = 2L3

3E (17)

Como el coeficiente de Poisson es = yx

, entonces:

y(max)= 2L2

2 (18)

y

y(max)=

A

L x(max) =

2L2

A

3E (19)

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y proyectando la tension sobre los ejes x e y, obtenemos dos fuerzas, unanormal y otra perpendicular a la superficie:

El esfuerzo normal a esta superficie es: = Tcos()A/ cos( =

TAcos

2(), y el cor-

tante:= Tsin()A/ cos( =

TAsin()cos .

De este sencillo ejemplo podemos concluir que el modulo del esfuerzo cor-tante es maximo cuando = /4, mientras que el normal lo es cuando= .

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2.1. Esfuerzo cortante y deformacion unitaria cortante

Supongamos un elemento dentro de un solido sometido a una fuerzaF sobre la superficie superior: En esta figura solo hemos representado la

fuerza que produce el corte, y la deformacion (linea negra). Esta claro quesi el elemento esta en equilibrio, los cortes apareceran en todas las caras delcuadrado (a continuacion, por comodidad, representamos las fuerzas tan-gentes sobre un elemento sin deformar, suponiendo espesores dx, dy y pro-fundidad dz ): es el esfuerzo cortante (N/m2), y los subndices se refieren

a las diferentes caras laterales del paraleppedo. La sumatoria de fuerzas ymomentos se ha de anular:

Fx= 0, 1 3= 0 = 1= 3Fy = 0, 4 2 = 0 = 4= 2

CM = 0, 1 (dxdz)dy 2(dydz)dx= 0 = 2 = 1

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Si definimos1 yx, la figura queda como:

donde xy = yx

Respecto a la deformacion unitaria cortante, se define como la diferenciaentre los angulos final e inicial formados por dos lneas despues y antes dela deformacion:

De la figura podemos concluir que la deformacion unitaria cortante (en ra-dianes) es:

final inicial xy = yx = x

y +

yx

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