La complejas dificultades que el avance de las telecomunicaciones ha ido planteando, primero en

el contexto analógico, ahora en el digital, han llevado a los técnicos involucrados en su desarrollo a

gestar soluciones que a quienes trabajamos en el ámbito electrónico y a quienes os estáis formando para hacerlo, producen una enorme admiración y

respeto.

El proceso Digital de las señales

Como en todos los campos de la ingeniería, es obvio que la electrónica ha contado como aliadas a todas las

demás disciplinas, tanto técnicas como científicas.

Le debemos una mención especial a las Matemáticas, unas "matemáticas" que observando cómo son aquí empleadas, lejos de parecerse a las

"oraciones sacrosantas" que invocan algunos, se nos muestran con forma de utilísima herramienta

magistralmente aplicada.

Las telecomunicaciones obligan a depositar en el medio por el que discurren (cable o el imaginario

Éter), infinidad de señales que, para ser útiles deben poder ser reconocidas, aisladas y procesadas por

todos y cada uno de sus destinatarios.

Además la información que contiene cada una debe mantenerse íntegra y, ni contaminar ni dejarse

contaminar por sus compañeras.

Tres "milagros" dignos de mención

Aunque parezca que la Naturaleza permitiera que, en el mismo instante en el espacio convivan miles de

señales electromagnéticas, lo cierto es que en un mismo momento y en el mismo lugar la energía

electromagnética en un punto es única.

Sin embargo el ingenio, otra vez el ingenio, ha sabido echar mano de recursos que le permiten "torear" su

caprichoso comportamiento.

En aquella clase de Física donde se estudiaba el movimiento armónico simple, nos introdujeron en un fenómeno que tiene

una extraordinaria influencia en el campo de la física, la electricidad… y apurando, hasta en las relaciones humanas.

El ingrediente: Algo tan sencillo como un acontecimiento (señal eléctrica, luminosa o hasta un estado de ánimo) que a lo largo del

tiempo va adoptando, con exquisita regularidad, todos sus posibles estados de intensidad y que cuando "termina un ciclo",

lo vuelve a repetir con absoluta monotonía:

𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥cos(ω𝑡)

Uno: RESONANCIA

Si en el mismo lugar se están produciendo infinidad de "ondulaciones" sumadas entre

sí (pues no pueden convivir de otra manera) todas de diferente frecuencia, para extraer una y solo una íntegra no hay más que instalar un sistema que resuene solo y

nada más que a la frecuencia deseada.

Supongamos que existe, junto a muchas otras, una señal de frecuencia (f1) imposible de procesar debido a su elevado valor (p.e.

microondas). Si añadimos otra, monótona, de frecuencia (f2) e instalamos un filtro que

resuene (otra vez la resonancia) a la frecuencia (f1-f2), obtenemos una réplica de (f1) transformada a (f1-f2) y con toda su información (modulación) íntegra.

Dos: HETERODINAJE

Reginald Aubrey Fessenden explotó este fenómeno para demostrar que con señales sinusoidales de AF se puede

transmitir información sonora a través del Éter.

En plena contienda mundial a Edwin Howard Arsmstrong le salían osciladores cuando pretendía construir

amplificadores RF para frecuencias elevadas, así que para poder captar las emisoras del enemigo construyó

osciladores y filtros para la frecuencia diferencia, que sí podía amplificar.

Análisis

Un episodio que transcurre en el tiempo se puede "caricaturizar" anotando la energía de CA que contiene para determinadas

frecuencias (elegidas con el mejor criterio). Si la elección de las frecuencias es acertada, en la "caricatura" aparecerá casi toda la

energía de la señal original y posiblemente tendrá muy pocos "trazos".

Síntesis

Tomando como guion una buena "caricatura" es posible sintetizar una señal parecida a la original. Para ello no hay más que generar

las señales periódicas tal y como especifica la "caricatura" (amplitud y fase).

Tres: TIEMPO - FRECUENCIA

Obviamente hablamos de la aplicación del Teorema de Fourier.

La información que se maneja hoy día ha llegado a un grado de densidad tal, que antes de registrarla o

transmitirla se hace necesario eliminar de ella lo superfluo, y en este sentido la transformación al

dominio de la frecuencia y viceversa es una herramienta que ha venido como anillo al dedo.

La compresión de la información puede tener dos cualidades:

• Sin pérdida. Se aprovecha sobretodo la redundancia espacial y temporal. Por ejemplo, un fotograma tiene muchos puntos cercanos iguales y éstos pueden ser registrados indicando cuántos son y hasta dónde abarcan. En imágenes en movimiento, los fotogramas sucesivos (B y P) que se parecen mucho pueden ser registrados con referencia a solo uno (imagen I) ocupando mucho menos espacio.

• Con pérdida. Es la más eficiente y se apoya en la posibilidad de prescindir de información que, o no es perceptible, o apenas lo es, por los sentidos humanos. La estrecha banda de la señal de crominancia es uno de los precedentes más antiguos.

La Compresión

Para no meter la pata conviene sabe si la compresión tiene pérdidas. Por ejemplo, es

inútil la manía de algunos por convertir archivos de música obtenidos en formato MP3, con

pérdidas, a WAV en la creencia de que se va a recuperar la calidad del pasaje original.

Sea con o sin pérdidas, la compresión tiene dos ámbitos de aplicación:

• Espacial. Tiene sentido en el contexto gráfico, donde los puntos de intensidad igual o similar pueden ser especificados por algoritmos que ocupan menos.

• Temporal. En el campo del vídeo, en las imágenes sucesivas se repiten muchos puntos, así que solo es necesario informar de la diferencia entre ellas. Asimismo es posible reconstruir una imagen a partir de la previa si se tiene información de movimientos de traslación o giro.

Compresión Espacial y Temporal

En este campo la aplicación de la transformada de Fourier consigue

añadir a todos los métodos aplicados un grado de compresión extraordinario y

con unas pérdidas que pueden resultar casi imperceptibles.

Dicho a bote pronto, cambiar del entorno Tiempo al de Frecuencia puede parecer hasta frívolo pero si, por ejemplo en el

campo del audio, tenemos en cuenta que:

1.- Con el mismo número de muestras, en ambos dominios (tiempo y frecuencia) se tiene la misma precisión.

2.- En el dominio de la frecuencia las muestras representan FRECUENCIAS presentes en la señal.

3.- El Ruido Blanco es la única señal sonora que contiene todas las frecuencias del espectro.

4.- El sonido inteligente no es Ruido, así que en él, una buena parte de las posibles frecuencias no están.

¿Porqué este empeño por "Fourier"?

Como consecuencia, En la transformada de Fourier desaparecen multitud de

puntos que no es necesario conservar, ni registrar, ni transmitir… ¡y sin

pérdida, al menos aparente!.

A continuación nos vamos a centrar en los fundamentos de las técnicas que emplean como eje

la transformada de Fourier, una herramienta tan poderosa que ha obligado a diseñar algoritmos

especialmente rápidos, como es la Transformada Rápida (FFT), que hicieran factible su aplicación en ámbitos que generan información a gran velocidad,

como el vídeo y la modulación digital.

Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia

En clase de Matemáticas nos explicaron y demostraron con toda claridad que las funciones periódicas pueden ser representadas,

además de en el dominio del Tiempo, en el de la Frecuencia.

Esta estupenda animación ha sido tomada de la Wikipedia.

La extracción de un armónico

El método más expeditivo para extraer un armónico de la función f(t) se basa en un pequeño "truco" que parte de la premisa de

Fourier:

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + (𝑎𝑛cos𝑛ω0𝑡∞𝑛=1 +𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛ω0𝑡)

Si se multiplica ésta por una función senoidal o cosenoidal de amplitud unitaria y frecuencia (nω0) y se integra a lo largo del

período completo de la frecuencia fundamental (ω0), todos los términos se hacen cero, excepto el de la frecuencia (nω0) y

función (seno o coseno) elegidos porque:

𝑠𝑒𝑛𝑘ω0𝑡 cos 𝑛ω0𝑡𝑑𝑡 = 0𝑇

𝑜

𝑠𝑒𝑛𝑘ω0𝑡 sen𝑛ω0𝑡𝑑𝑡 = 0𝑇

𝑜

𝑐𝑜𝑠𝑘ω0𝑡 cos 𝑛ω0𝑡𝑑𝑡 = 0𝑇

𝑜

La integral del término buscado no da resultado Cero sino:

𝑠𝑒𝑛2𝑛ω0𝑡𝑑𝑡 =𝑇

2

𝑇

0

𝑐𝑜𝑠2𝑛ω0𝑡𝑑𝑡 =𝑇

2

𝑇

0

Cuando la función original es senoidal pura el resultado es:

sin 𝑥 × 𝑠𝑖𝑛 𝑥2𝜋

𝑜

𝑑𝑥 = 𝜋

cos 𝑥 × 𝑐𝑜𝑠 𝑥2𝜋

𝑜

𝑑𝑥 = 𝜋

Si tuviéramos que referenciar la participación del armónico objeto al conjunto de todos los que componen la función, dividiríamos el

área obtenida para cada uno, entre (π).

La Rectificación Una de las utilidades más importantes de Teorema de Fourier es que da la pista para extraer información puntual de las formas de onda, a modo de

"caricatura". Aún con pocos trazos la onda sigue teniendo la misma personalidad, pero

es posible analizarla y trabajar sobre ella de una manera mucho más sencilla y asequible que con la "fotografía" original.

Tomemos como ejemplo la fuente de alimentación basada en el rectificador de media onda.

La simulación de este circuito se ha realizado con MultiSim de National Instruments

Esta forma de onda tan familiar es la causa de los filtros que se añaden para suavizar el efecto del rizado que produce.

La opción más popular es el filtro capacitivo pero por mucho que

nos empeñemos, siempre quedan resquicios de la ondulación que afectan a los circuitos alimentados por la fuente.

En algún punto del circuito es posible que eso resulte especialmente problemático.

La instalación de un filtro muy eficaz, con una gran capacidad, podría no resolver del todo el problema o resultar engorrosa por el tamaño del

condensador. Sin embargo un análisis que revele qué frecuencias son las molestas

tomando como base el "espectro" extraído de la onda, nos pone en una pista que promete una solución mucho más sencilla y eficaz.

Si, por ejemplo el molesto es el armónico de 300 Hz probaríamos instalando un circuito resonante que canalizara esa frecuencia (y solo

esa) a masa.

En el campo de las telecomunicaciones los análisis espectrales son piedra angular.

Gracias a ellos se calcula la frecuencia idónea para no invadir a la emisora contigua, la frecuencia de subportadora más adecuada

para no interferir en el resto de la información y un largo etcétera.

En el campo de la música era el punto de apoyo de los

sintetizadores analógicos y enseguida despuntó como pieza fundamental en el desarrollo de los sistemas digitales.

Si bien Internet ha supuesto una revolución en el desarrollo de la tecnología de la comunicación del siglo XX, el logro conseguido en la compresión de la información, cuyo

exponente más popular es la música, la fotografía y el Vídeo no se queda a la zaga.

Y los ingenieros en electrónica estamos obligados a tener un

conocimiento general de lo que se cuece en este contexto, ese que forma parte de la CULTURA GENERAL del profesional, casi

como la Ley de Ohm.

Pero donde ha resultado ser una herramienta de extraordinario rendimiento ha sido en el contexto de la

COMPRESIÓN TEMPORAL de señales.

En clase de matemáticas, inmediatamente después de entrar en el teorema de Fourier avanzamos hacia la forma compleja utilizando la

identidad de Euler:

𝑓 𝑡 = 𝑐𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡

∞

𝑛=−∞

De suerte que ahora contamos con que también podemos extraer un armónico multiplicando la función por el conjugado correspondiente.

La ventaja es que, sobre el papel, al operar en el conjunto de los números complejos se extraen las dos componentes con una sola

operación.

𝑐𝑛 =1

𝑇 𝑓(𝑡)𝑇 2

−𝑇 2

𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡

La Transformada de Fourier

Operando, con unos pocos pasos bien meditados se obtiene una ecuación fundamental: La Transformada de Fourier, que pasa la

función entera, del dominio del tiempo al de la frecuencia.

𝑭 𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

∞

−∞

Además, para toda transformada existe una función inversa en el dominio del tiempo, que puede ser obtenida de manera similar:

𝑓 𝑡 =1

2𝜋 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑭(𝑗𝜔)𝑑𝜔∞

−∞

La relación del par de transformadas de Fourier es única: para una f(t) dada existe una F(jω) específica, y para una F(jω) dada

existe una f(t) específica.

Algunas Transformadas de Fourier

Para calcular la transformada en un sistema digital había que convertir las ecuaciones continuas en sumatorios,

siendo el resultado la Transformada Discreta de Fourier.

𝑋𝑘 = 𝑥𝑛𝑒−𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘𝑛

𝑁−1

𝑛=0

𝑘 = 0,1,… ,𝑁 − 1

Obviamente, la transformada inversa tiene una solución similar. El mecanismo para la obtención de ambas solo se

diferencia en el signo del exponente de la función exponencial.

𝑥𝑛 =1

𝑁 𝐾𝑘𝑒

𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘𝑛

𝑁−1

𝑘=0

𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1

La Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Esta estupenda pareja de herramientas permite convertir fácilmente una serie de datos tomados con

regularidad en el tiempo, al modo espectral; analizarlos, adecuarlos y volver a convertirlos en una

secuencia temporal.

Supongamos una pista de audio:

• Para una duración de unos 3 minutos y una calidad modesta, el número de muestras ronda los 2.000.000.

• Para que la transformada contenga información que permita analizarla y reducirla hay que haberla calculado por completo.

• Pero calculando el número y valor de las frecuencias puestas en juego en el análisis, llegamos a la conclusión de que una gran cantidad del enorme trabajo que costaría la operación estaría volcada en parámetros que a fin de cuentas no tendrían ninguna relevancia.

La Ventana de muestreo

La solución es dividir la pista en partes pequeñas (ventanas), de una extensión que permita evaluar las frecuencias más bajas, por ejemplo, si se opta por los 30 Hz, en ventanas de 1/30s.

Si la cabecera de cada ventana está bien definida en el registro, para la reconstrucción solo tenemos que saber qué frecuencia

de muestreo se ha empleado.

Sin ser nuestra intención aprender a resolver los entresijos más delicados que subyacen en el contexto informático de la

transformada, escribiendo una sencilla rutina nos demostramos a nosotros mismos que la operación, tanto directa como inversa

es algo "tan mundano como la suma, la multiplicación o la resta" y por lo tanto asequible para los sentidos del técnico

práctico, como es el caso del Ingeniero en el que nos deseamos convertir.

Ejemplo de algoritmo de cálculo

Al calcular la transformada, para evaluar la participación de cada frecuencia se lleva a cabo la suma acumulativa de la amplitud que

muestra cada punto de la ventana, recorriendo ésta "montados" en un vector que gira a esa frecuencia. Para cada frecuencia se lleva a cabo

un "paseo" completo.

Si la transformación es directa (hacia la frecuencia) el signo de la exponencial es negativo (giro a favor del reloj)

𝑋𝑘 = 𝑥𝑛 × 𝑒−𝑗2π 𝑁 𝑛𝑘𝑁−1

𝑛=0

Si la transformación es inversa (hacia el tiempo) el signo de la exponencial es positivo (giro contra el reloj).

𝑥𝑛 =1

𝑁 𝑥𝑛 × 𝑒

𝑗2π 𝑁 𝑛𝑘𝑁−1𝑘=0

Las n Raíces de la Unidad

Por ello, en el algoritmo de la tansformada uno de los procesos básicos es la obtención de las N raíces de la Unidad, que puede

consistir perfectamente en una tabla de valores trigonométricos (seno y coseno) para los N puntos en que se divide la ventana de cálculo.

Adelantándonos al algoritmo de la Transformada Rápida, decir que la "visión" de esta roseta nos permite intuir que si en el número de divisiones de ésta se añade algún condicionante, muchos de los cálculos se repetirán y

por tanto se podrán ahorrar.

El algoritmo para obtener la transformada en cualquiera de los sentidos no tiene nada de especial,

y puede ser exportado a cualquier lenguaje.

El único problema con el que nos vamos a encontrar es que si la vamos a ejecutar para reproducir un pasaje musical, en una máquina modesta puede

resultar demasiado lenta.

La progresión de (m) puede ser resuelta de una manera mucho más

eficaz, pero en el ejemplo se ha optado por la sencillez.

En las operaciones trigonométricas se observa muy bien la simetría entre las dos transformadas.

Con el ánimo de demostrarnos a nosotros mismos que esto es simplemente así de sencillo, hemos diseñado un programa con el denostado (y muy amado por un servidor) Visual Basic para el que han costado más los adornos con los

logotipos, que escribir el código.

Los datos se introducen por archivo (Rojo), se transforman con los controles (Gris) en uno u otro sentido (Azul <--> Verde) y si se desea se recortan a ras de un determinado valor (Amarillo).

Nuestra "Prueba del 9" ha consistido en introducir la función

𝑓 𝑡 = sin 𝑥

Después de ejecutar la transformada directa (DFT) se observan los datos, que hemos remarcado en gris.

La componente de cabeza es la de CC, que es nula. Solamente aparece, en el lado imaginario y con la máxima amplitud, como debe ser, la

componente SENO. El bajo nivel de la parte real es irrelevante.

Hemos continuado con su hermana:

𝑓 𝑡 = cos 𝑥

Como antes, el resultado lo hemos resaltado con gris.

La componente de CC sigue siendo obviamente nula, y en el lado Real y con la máxima amplitud aparece lo que antes se veía en la parte

Imaginaria, como debe ser. El nivel de la parte Imaginaria es irrelevante.

Por último, incluimos unos cuantos armónicos con algún desfase que otro:

𝑓 𝑡 = sin 𝑥 + sin 3𝑥 + 1 + sin 4𝑥 + 1.5 + sin 6𝑥 + 0,7 + sin(7𝑥 + 2)

El resultado es ahora algo más abundante.

La lista del resultado coincide con los múltiplos que aparecen en la ecuación. Asimismo, el desfase de cada armónico se refleja por la

presencia de componente tanto en el lado Real como en el Imaginario.

Para avanzar, nos vamos con una forma de onda un poco más caprichosa pero conocida, que nos permitirá aprender algo más sobre las ventajas que

proporciona la función transformada.

Para realizar nuestra prueba hemos copiado los puntos de la onda que proporciona el rectificador que hemos tomado como ejemplo.

El resultado de la transformada ha rellenado las columnas de la derecha aunque muchos de los valores son muy pequeños. A

continuación hemos ejecutado la inversa.

Salvo que las cifras están más cargadas de decimales, los valores que se han reconstruido en el dominio del tiempo (columnas de la izquierda)

prácticamente coinciden con los iniciales.

Con la rudimentaria herramienta de recorte que hemos incluido se ha eliminado una buena cantidad de armónicos en la transformada, y se ha

vuelto a ejecutar la inversa.

En el dominio del tiempo se observan diferencias, pero la mejor forma de ponderar el parecido es la representación gráfica de la

ventana.

Hemos introducido los puntos en un sencillo y baratísimo (gratis) programa de dominio público (Graph).

El resultado es bastante parecido al original. Nótese que incluso se conserva el menisco de los extremos de la sección senoidal, que es el

efecto de la entrada y salida de conducción de un diodo en baja tensión.

La curva original.

Metidos en harina, teníamos que realizar algunas pruebas, elementales pero convincentes, que dieran señales de que

desarrollar la tecnología por este camino trae consigo capacidades de almacenamiento y gestión de la información

sorprendentes.

Así que nos hemos puesto a realizar pequeñas "picias" que, si bien en algunos casos han resultado ser verdaderas "salvajadas",

en un par de ellos nos han dejado intuir a través del resquicio que han abierto, que tras la puerta existe un vasto cúmulo de

recursos.

Curiosidades de la transformada

Animados por el resultado que ha proporcionado la reducción de datos hemos seguido eliminando armónicos, dejando casi pelada la lista de la

transformada, y aún con cuatro conservamos una "caricatura" aceptable.

Es evidente que si en lugar de 64 puntos hubieran intervenido del orden del millar la reducción habría resultado más drástica. Como se puede intuir, es

posible el compromiso Calidad-Cantidad para adecuarse al modo de reproducción más acorde con las circunstancias.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.001770.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

No íbamos a dejar de experimentar con la onda

cuadrada, paradigma de las demostraciones de Fourier.

Conservando más de 8 armónicos la reconstrucción seguía siendo exacta. Cuando solo hemos dejado cinco ha aparecido una réplica que resulta bien familiar.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Una onda caprichosa, cuya función no responde a ninguna ecuación y por tanto tiene una buena componente de ruido.

Dejando solo seis armónicos "la intención" de la reconstrucción

sigue siendo buena.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Como esta ventana no contiene más que al primer armónico

desplazado en tres subfrecuencias, proporciona una transformada llena

de componentes imprescindibles

Aún y todo, conservando algo más que la cuarta parte obtenemos una reproducción parecida, que habría que "escuchar" para ver si es aceptable.

Y=cos(1,3x)+cos(1,5x)+cos(1,7x)

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

Remirando, observamos que cuando los datos fuente no tienen componente imaginaria la transformada es simétrica.

La parte real presenta simetría total, y la imaginaria solo del valor absoluto, pues los signos aparecen invertidos en uno y

otro extremos.

Para ver la cola de la lista hemos tenido que desplazarla, y aquí la tenemos.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Si lo que falta en la fuente es la parte real, la simetría se sigue manteniendo, como era de esperar.

Ahora es total en la parte imaginaria, y el signo cambia en la real.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Si en uno de los ejes todos los datos son Cero, los resultados serán, o totalmente iguales, o simétricos.

La razón de todo ello la encontramos observando la roseta que representa las n raíces, que a partir del momento en el que el producto…

𝑚 = (𝑛 × 𝑘) > 𝑁

…va a ser recorrida justo en sentido inverso al que se había llevado hasta entonces.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Vemos que aparecen los armónicos (1), (31) y (32, este con doble amplitud por no tener pareja), simétricos.

Del armónico (63)… ¿nunca más se supo?… Observemos la amplitud del primero…!es 64+64!.

Para constatar con mayor conocimiento de causa hemos escrito la onda correspondiente a la función…

𝑓 𝑡 =cos(x)+cos(31x)+cos(32x)+cos(63x)

…Y hemos procesado tan solo 64 puntos.

Puntos Fuente Cabecera Mitad Cola

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

Parece ser que aunque no es posible su reconstrucción, su efecto tiene lugar, quizás a modo de contaminación, pues

parece querer vislumbrarse su envolvente.

La forma de onda original incluido el armónico 63 es la de la izquierda. La que se habría reconstruido sin tener para nada en cuenta el armónico 63 es la de color azul. La reconstrucción de nuestra

transformada es la de la derecha.

Original con el armónico 63 Original sin el armónico 63 Reconstruida (Contaminada)

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Este detalle nos pone sobre aviso para que no olvidemos que matemáticamente el intervalo de integración de la función

abarca desde -T/2 hasta +T/2, conteniendo la respuesta, también las "frecuencias negativas".

Este detalle nos recuerda y a su vez corrobora el popular teorema de muestreo que Nyquist Shannon formuló en 1.928:

La reconstrucción exacta de una señal PERIÓDICA es matemáticamente posible si el número de muestras por ciclo de

la frecuencia más alta, es igual o superior a 2.

P.e. para registrar frecuencias de hasta 10 kHz hay que muestrear a razón de:

10.000𝐻𝑧 𝑠 2 × 10.000 = 20.000𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑠

Con este régimen de muestreo en una ventana que permita evaluar 30 Hz caben:

20.000𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑠 ×1

30𝑠 = 666,666muestras

La transformada de los 666 puntos resuelve las frecuencias f(0)=0Hz, f(1)=30 Hz, f(2)=60 Hz, f(3)=90Hz…:

𝐹𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐹𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ×𝑁

2= 30𝐻𝑧 ×

666,666

2= 10.000𝐻𝑧

Es evidente que los datos de una pista de sonido son todos reales, así que con solo calcular la mitad de los puntos se tiene

información suficiente para reconstruir la señal en el dominio del tiempo.

Sin embargo en audio está generalizado el "estéreo", que supone el registro de los canales Derecho (R) e izquierdo (L).

¿La simetría permite lograr más ahorro de puntos?

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Ello nos sugiere que en el registro, las muestras de cada uno de los canales pueden ocupar, uno la parte Real y el otro la Imaginaria.

No se produce simetría, pero sin manipulación alguna se tiene la información de los dos canales, lista para ser "desempaquetada" de

la manera más sencilla mediante la transformada inversa.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

• Por ejemplo, la interacción entre canales, que se deja ver muy bien, permite simplificar muchos puntos.

• Las frecuencias elevadas muy próximas no son diferenciables por el oído humano, así que su espectro puede ser simplificado.

• El tratamiento del ruido ofrece posibilidades impensables con los procedimientos analógicos.

Y aunque eso lo tenemos que dejar para otro curso no menos interesante que esta modesta introducción,

tenemos que decir que aún y todo

ESTO NO ES MÁS QUE LA PUNTA DEL ICEBERG

Y a partir de ahora… ¡más!

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.0014930.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.0024270.000000,0.000000-0.000000,0.001734

Vamos a intentar explicar por encima y en los menos pasos posibles otra de las milagrosas aportaciones que la transformación al dominio de la frecuencia hace a la

tecnología electrónica.

Ello nos debe hacer reflexionar sobre lo que supone poder llevar a la realidad ideas (software) sin necesidad de construir cada vez

sofisticados equipos con entidad física específica (hardware).

En un estadio más profundo, todo esto es la demostración del gran poder que tiene, posiblemente el invento técnico más

poderoso del ser humano:

Las Matemáticas.

Modulación OFDM

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Comparando con la cantidad de información que aporta una señal gestionada como analógica, a priori la información digital

es muy pobre.

• Para proporcionar la misma cantidad de información la señal digital debe contener, "o más cables", o estar dividida en el tiempo en trozos muy pequeños.

• Este problema se puede resolver cuando el enlace se lleva a cabo con un cableado por el que no hay que reparar en gastos.

• Sin embargo los inconvenientes que presentan las comunicaciones sin hilos complican las cosas seriamente.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

A su favor, la tecnología digital disfruta de una ventaja de oro sobre la analógica:

Las señales digitales pueden mostrar sutilezas mínimas sin ningún temor a que en su gestión éstas

sean pasadas por alto.

Una vez recibidas y correctamente decodificadas, dos señales con una diferencia entre sí de una mil millonésima son diferenciables

sin ninguna duda:

Por ejemplo, una podría ser el número 356.567.398 y la otra el 356.567.399

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

Cada una producirá regularmente en el sistema una acción específica y bien diferenciada:

Al ser números concretos, el sistema que las interpreta y gestiona tiene información suficiente para llevar a cabo en

cada caso la tarea que le corresponde sin que tenga cabida el temor a la "equivocación".

En el contexto analógico, además de ser imposible semejante precisión, como a menudo los niveles similares

se confunden, para evitar fallas importantes sus efectos han de guardar una estrecha relación.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Pero para que esta inestimable cualidad sea posible es necesario andar un paso muy importante:

La señal que porta la información ha de ser recuperada por el receptor en condiciones

que la hagan inequívoca.

La propia ventaja de poder discriminatorio se vuelve en contra si existe la mínima duda sobre la veracidad de los

números recuperados, pues así las acciones del sistema se convierten en absolutamente caóticas.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Todo se resuelve reduciendo la velocidad de la comunicación, y de hecho ya nos hemos familiarizado a tener que decidir en el

compromiso Calidad-Velocidad.

Sin embargo las telecomunicaciones exigen, sin paliativos, flujos de densidad

elevadísima.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Por si esto fuera poco, las telecomunicaciones inalámbricas añaden un problema de suma importancia:

La propagación Multitrayecto

• En la comunicación por radio, como las señales son frentes de onda amplios, entre receptor y transmisor existe más de un camino.

• El frente de onda se va difractando y reflejando por el camino, así que el receptor recibe varias réplicas con diferentes retardos.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

En los sistemas analógicos el problema era difícil de resolver, pero en muchos casos se podía convivir con él a costa de aceptar una sensible

merma de calidad, como era el caso de las imágenes dobles en TV.

Para los sistemas digitales la cuestión es más peliaguda, pues los bits desplazados generan números cuya interpretación no tiene nada que

ver con la información que portaban en principio.

0.000000,0.000000-0.000000,-32.00170.000000,0.000000-0.000000,0.001490.000000,0.0000000.000000,0.0028280.000000,0.0000000.000000,-0.002420.000000,0.000000-0.000000,0.00173

Varios han sido los procedimientos probados y puestos en práctica con buenos resultados: Filtros FIR, UMTS, etc, sin embargo la búsqueda de

cada vez mayor velocidad los hace a su vez más complicados, ineficaces y costosos.

La solución más práctica consiste en dividir la banda de la emisora en muchos, cientos de minicanales, cada uno

trabajando con su propia subportadora.

La transmisión Multicanal

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Así, cada "minicanal" transmite un símbolo digital a baja velocidad, pero al ser muchos, en el mismo intervalo el canal completo aporta

información a una velocidad multiplicada por los cientos de subcanales.

La gran duración que en estas circunstancias puede tener cada dato transmitido permite contar con dos inestimables ventajas:

1.- Fiabilidad. Se les puede dar una longitud extra (Guardas) para que, contando con que parte estará contaminada por el rebote más perjudicial (el más tardío), aún quede una sección limpia y bien diferenciada.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Allá donde se puede permitir, como es el caso de la TV, en lugar del clásico "efecto digital" de O CALIDAD MÁXIMA O NADA, ahora se alcanza una

cualidad propia de los sistemas analógicos en donde, a mejor calidad de recepción, más calidad de señal.

2.- Densidad. Como llegarán con limpieza, cada minicanal, en lugar de transmitir bits puede enviar SÍMBOLOS (Constelaciones) que contengan información de 2, 4, 8… hasta 64 bits "de una tacada".

Constelaciones de (2), (3) (4) y (5) bits.

En la constelación se leen Altos los bits que cruza el vector, que se posiciona según sea la fase de la subportadora (modulación PSK).

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

La cosa no queda ahí, pues la diversificación en subportadoras independientes permite incluir en el mismo canal señales de muchos

tipos diferentes, destinadas a muchos usuarios diferentes.

• El caso de la telefonía móvil es una punta de lanza, pues es un mercado boyante donde los elevadísimos beneficios cubren con creces los costes de investigación.

• Pero los logros han salpicado al campo de la radiodifusión de tal manera que un mismo canal de UHF que en los años 1.960 apenas podía con una borrosa imagen de blanco y negro, ahora porta varios programas y por si fuera poco, en color y alta resolución (HD).

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

La respuesta es ¡y doscientas, y trescientas….!, pues su implementación es una tarea

puramente Software:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Además, su empleo resuelve el problema de la optimización de espacio en la banda de la manera más

elegante, sencilla y eficaz que podríamos imaginar.

¿Cómo es posible implementar cien subportadoras…?

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

El panorama que presenta la generación de una colección de subportadoras se puede representar con una ecuación muy

familiar:

𝑓 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑗ω1𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑗ω2𝑡 +⋯+ 𝐴𝑛𝑒𝑗ω𝑛𝑡

Cada Símbolo transmitido (An) modula una subportadora de frecuencia (ωn).

Esto nos introduce en la pista de que todo ello se puede convertir en una señal inmersa en el tiempo, justo lo que deseamos tener, así que no dudamos en comprobar si se pueden obtener puntos dispuestos a

lo largo del tiempo empleando la transformada inversa de Fourier:

𝑥𝑛 =1

𝑁 𝐴𝑘𝑒

𝑗 2𝜋 𝑁 𝑘𝑛

𝑁−1

𝑘=0

𝑛 = 0,1,… ,𝑁 − 1

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Lo que acabamos de decir bien merece una pequeña comprobación, más por curiosidad que por falta de credibilidad, así que nos proponemos crear una señal que contenga 5 subportadoras:

f(t)=cos(x+45º)+cos(2x+30º)+cos(3x+60º)+cos(4x+20º)+cos(5x+10º)

Cada una de ellas está modulada en fase porque suponemos que porta un símbolo que contiene a su vez varios bits.

Más vale una imagen…

Un sistema Hardware consistiría en cinco osciladores, cada uno funcionando a su frecuencia y con su correspondiente fase.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Como construimos una transformada inversa la amplitud, que tomamos unitaria, debemos multiplicarla por la mitad del número de puntos, que como nuestro humilde programa siempre considera que

son 64, es 32:

𝑅𝑒𝑓(1) = 0,707 × 32 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟐𝐼𝑚𝑓 1 = 0,707 × 32 = 𝟐𝟐, 𝟔2

𝑅𝑒𝑓(2) = 0,866 × 32 = 𝟐𝟕, 𝟕𝟏𝐼𝑚𝑓 2 = 0,5 × 32 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟎

𝑅𝑒𝑓(3) = 0,5 × 32 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟎𝐼𝑚𝑓 3 = 0,866 × 32 = 𝟐𝟕, 𝟕𝟏

𝑅𝑒𝑓(4) = 0,939 × 32 = 𝟑𝟎, 𝟎𝟒𝐼𝑚𝑓 4 = 0,342 × 32 = 𝟏𝟎, 𝟗𝟒

𝑅𝑒𝑓(5) = 0,984 × 32 = 𝟑𝟏, 𝟒𝟖𝐼𝑚𝑓 5 = 0,174 × 32 = 𝟓, 𝟓𝟔𝟎

Para construirla, a nosotros nos basta con saber que cada subportadora (de la misma amplitud porque solo contemplamos modulación de fase)

debe presentar un desfase expresado por sus componentes frecuenciales, Reales e Imaginarias, y las "escribimos" con toda la

comodidad del mundo en un archivo

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Como pretendemos obtener una señal real, sin componentes imaginarias, en "la cola" los armónicos senoidales deben tener el

signo invertido. Los cosenoidales (Reales) mantienen el signo.

Obviamente todas las subportadoras se funden en una sola señal, que es la que modulará a la portadora principal, en fase o amplitud, a

nosotros ahora nos da lo mismo:

Cabecera Cola

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

¡Ya está! Nuestra colección de números queda lista para pasar por el convertidor D/A que producirá la señal física que viajará a través del éter o del cable, y de la

que, si el usuario receptor se sincroniza adecuadamente extraerá toda la información que lleva implícita.

Es evidente la necesidad de mantener una escrupulosa sincronización, nada sencilla, pero respaldada por la naturaleza

matemática de la información. Además, comparado con el número de muestras que portan las señales, los datos de

sincronización consumen un espacio mínimo.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

¡Pero es que aún hay algo más!: No solo se resuelve de un plumazo la construcción de un sistema que en hardware habría sido poco menos que imposible (y no digamos de

su coste y ajuste), sino que la propia naturaleza del Teorema de Fourier nos involucra en el uso de

SUBPORTADORAS ORTOGONALES

Y es que como las frecuencias que participan son múltiplos enteros de la más baja, se va a dar la bendita paradoja que podemos observar en

el dibujo:

Para cada subportadora, durante un período entero su combinación con las demás se hace Cero (mirar diapositiva Nº 20).

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

De lo que ocuparían los minicanales empleando frecuencias independientes a lo que necesita esta configuración hay una sensible

diferencia.

Además, no hay que olvidar que de esta manera todas las frecuencias están perfectamente sincronizadas, pues emanan

del cálculo realizado a partir de una referencia única.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Sin pretender llegar demasiado lejos, se ha incluido un escueto esquema de bloques de un sistema de transmisión-recepción

multicanal. En la transmisión, de izquierda a derecha tenemos:

1.- Muestreo, codificación, compresión, etc. El objeto a transmitir se convierte en números ordenados en constelaciones.

2.- Demultiplexado para distribuir los símbolos entre todas las subportadoras del canal.

3.- Transformada inversa de Fourier. Se pasa la información, aún digital, al dominio del tiempo, apta para ser convertida en señal eléctrica.

4.- Conversión D/A para modular físicamente la portadora principal del canal.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Uno de los logros más espectaculares de esta técnica fue conseguir que con cable de tan baja calidad como el empleado en telefonía se

propagara información a razón de hasta 10 Mbps. Es el popular ADSL.

Al sistema se le denomina OFDM (Ortogonal Frecuency Division Multiplexing) y también DMT (Discrete Multitone Modulation) y la información modula en QAM (modulación en cuadratura) o

PSK (modulación por fase).

Un canal emitiendo en OFDM nos lo podemos imaginar de esta guisa.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Y una buena parte de la razón de esta enorme velocidad de desarrollo se debe a que la gran capacidad de integración de componentes electrónicos, hardware

puro y duro, permite la materialización inmediata de variopinto software avanzado o lo que es lo mismo, la puesta en práctica ágil de ideas que

constantemente fluyen de la imaginación de las personas.

En muy pocos años hemos visto nacer y tomar consistencia entre nosotros muchas tecnologías que prometían mucho

y a la hora de la verdad están aportando aún más.

0.000000,0.00000-0.000000,-32.0010.000000,0.00000-0.000000,0.00140.000000,0.000000.000000,0.002820.000000,0.000000.000000,-0.00240.000000,0.00000-0.000000,0.0017

Una ventana de n puntos requiere hacer al menos 𝑛2 operaciones (n veces k). Dentro del campo del audio, para cubrir las frecuencias más bajas, 50 Hz en calidad modesta, son necesarias ventanas de 1/50s.

Supongamos que para esta modestísima calidad la velocidad de muestreo que adoptamos es 10.000 muestras/s.

Por lo tanto en cada "ventana" irán:

10.000𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜×1

50𝑠= 200

𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠

𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎

Para resolver la transformada de cada una hay que realizar 2002

operaciones, lo que significa que la velocidad de cómputo que el sistema debe invertir, tan solo para los cálculos de la transformada es:

2002𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎× 50𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑎𝑠 = 2.000.000

𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

La Transformada Rápida de Fourier (FFT)

Con un sistema veloz es posible, pero el uso de la compresión no estaría justificado en aplicaciones populares donde su objetivo es precisamente el ahorro (MP3). Encima, una calidad de CD (40.000 muestras/s y 20 Hz de frecuencia

inferior) exige una velocidad de cómputo muy superior.

Además hemos visto que el objeto de la aplicación de esta técnica no se limita al sonido sino también a las señales de vídeofrecuencia, donde se barajan muestreos mucho más

intensos.

Y ya no digamos en el ámbito de la modulación, donde hay que sintetizar frecuencias de Mega Hertzios.

La solución se vislumbró al observar la redundancia que se produce en muchos de los

cálculos si el número de muestras es una potencia de 2. El primer algoritmo de este tipo

se debe a Cooley y Tukey.

{x[ 0] , x[ 1] , x[ 2] , x[ 3] } <---------- {X[ 0] , X[ 1] , X[ 2] , X[ 3] }

No es nuestro objetivo desmenuzar aquí el algoritmo, aunque está a nuestro alcance.

Pero veamos su esencia estudiando una ventana de 4 puntos:

El punto esencial es la concurrencia cíclica de:

𝑒𝑗2𝜋40= 1;𝑒

𝑗2𝜋44= 𝑒𝑗2𝜋40= 1;𝑒

𝑗2𝜋45= 𝑒𝑗2𝜋41; …

Observemos cómo quedan las ecuaciones de los factores (2) y (3):

Lo que da lugar a este otro planteamiento:

Todo ello da lugar a los algoritmos de transformación rápida, que se basan en disponer los términos en matrices, reordenarlas y

simplificarlas. Es la popular TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

Nosotros no tenemos porqué entrar de lleno en los entresijos de estos algoritmos, como tampoco lo hacemos en los que calculan funciones exponenciales y trigonométricas, pero igual que con ellas, sí estamos

obligados a conocer sus beneficios y efectos, para aprovecharlos operando con ellos.

FIN Algunas fotografías se han obtenido gracias a la cortesía de

Google y a la aportación de libre uso que ofrece Wikipedia. Todas ellas conservan la referencia al link web de donde proceden.

Ha sido de gran ayuda el capítulo dedicado a Fourier en el formidable libro de

William H. Hayt, jr y Jack E. Kemmerly

ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA

Durante la elaboración de estas diapositivas se ha consultado multitud de veces en Internet, de donde han surgido infinidad de ideas y se ha

obtenido respuesta a muchísimas preguntas. Sin embargo la dispersión de información imposibilita citar con precisión la fuente de todas y

cada una de ellas.