MODELO DE FLUJO TRIDIMENSIONAL

Rt

hS

z

hK

zy

hK

yx

hK

xsZYX −=

+

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

El movimiento tridimensional de agua subterránea de densidad constante a través de un medio poroso heterogéneo y anisotrópico es descrito por la siguiente ecuación diferencial parcial

DESCOMPOSICIÓN DEL DOMINIO EN CELDAS

Figura 1.1

ECUACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

De acuerdo con la ecuación de continuidad, expresando el balance de flujo en

una celda, la suma de todos los flujos de entrada y salida a cada celda debe ser igual a la razón de cambio en el almacenamiento de esa misma celda [Todd. 1980], o bien:

(1.1)

donde:Qi = razón de flujo hacia la celda, unidad de volumen por unidad de

tiempo[L-3 T-1 ]

Ss = almacenamiento específico por unidad de volumen, por cambio de la

carga piezométrica. [L-1 ]∆V = volumen de la celda [L3 ]∆t = intervalo de tiempo [T]∆h = cambio de la carga piezométrica [L]

i s

hQ S V

t

∆= ∆

∆∑

CELDAS ADYACENTES

Figura 1.2

LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIAPara las celdas adyacentes el cálculo de los caudales de entrada a la celda i,j,k y con base en la ley de Darcy, es lo siguiente (figura 1.2):

(1.2)

donde: KRi,j-1/2,k es la conductividad hidráulica a lo largo de i entre los dos nodos

en cuestión [LT-1 ]. El índice -1/2 significa el espacio entre los dos nodo.

1 12 2

12

, 1, , ,

, , , ,De i, j-1, k

i j k i j k

i ki j k i j k

j

h hq KR c v

r

−

− −

−

−= ∆ ∆

∆

( )

( )

( )

1 12 2

12

1 12 2

12

1 12 2

12

, 1, , ,

, , , ,

1, , , ,

, , , ,

1, , , ,

, , , ,

De i, j+1, k 1.3

De i+1, j, k 1.4

De i-1, j, k 1.5

De i, j, k+1

i j k i j k

i ki j k i j k

j

i j k i j k

j ki j k i j k

i

i j k i j k

j ki j k i j k

i

i

h hq KR c v

r

h hq KC r v

c

h hq KC r v

c

q

+

+ +

+

+

+ +

+

−

− −

−

−= ∆ ∆

∆

−= ∆ ∆

∆

−= ∆ ∆

∆

( )

( )

1 12 2

12

1 12 2

12

, , 1 , ,

, , , ,

, , 1 , ,

, , , ,

1.6

De i,j, k-1 1.7

i j k i j k

j ij k i j k

k

i j k i j k

j ii j k i j k

k

h hKV r c

v

h hq KV r c

v

+

+ +

+

−

− −

−

−= ∆ ∆

∆

−= ∆ ∆

∆

LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA

Llamando conductancia al producto de la conductividad hidráulica por el área, dividida entre la separación de nodos:

(1.8)

Sustituyendo (1.8) en (1.2) a (1.7) se obtiene:

[ ]12,,

,,

21

21

21

−

−

−

−∆

∆∆= TL

r

vcKRCR

j

kikji

kji

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12 2

1 12 2

1 12 2

1 12 2

1 12 2

, 1, , ,, , , ,

, 1, , ,, , , ,

1, , , ,, , , ,

1, , , ,, , , ,

, , 1 , ,, , , ,

, ,

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

i j k i j ki j k i j k

i j k i j ki j k i j k

i j k i j ki j k i j k

i j k i j ki j k i j k

i j k i j ki j k i j k

i j k

q CR h h

q CR h h

q CC h h

q CC h h

q CV h h

q

−− −

++ +

−− −

++ +

−− −

= −

= −

= −

= −

= −

( ) ( )1 12 2

, , 1 , ,, ,1.14i j k i j ki j k

CV h h++ += −

FUENTES EXTERNAS

• Las entradas a la celda i, j, k, provenientes de otras fuentes se pueden

hacer depender de la carga piezométrica de la celda que las recibe. La

expresión general puede ser:

( )3 1

, , , , , , , , , , ,

, , ,

2 -1

, , ,

3 -1

, , ,

1.15

es el flujo de la fuente n

es una contante [ ]

es una contante [ ]

i j k n i j k n i j k i j k n

i j k n

i j k n

i j k n

a p h q LT

donde

a

p L T

q LT

− = +

FUENTES EXTERNAS

• Para una celda que recibe un caudal de un pozo recarga

(n=1) se puede considerar:

• a) que es independiente de la carga hi,j,k,1 de la celda i,j,k;

Para este caso pi,j,k,1 = 0 ∴ ai,j,k,1 = qi,j,k,1 (1.16)

• b) que depende de una carga.

Para este caso: ai,j,k,1 = pi,j,k,1hi,j,k + qi,j,k,1 (1.17)

FUENTES EXTERNAS

• Para una celda que recibe un caudal de la filtración de un río, (n=2),

dicho caudal depende de la carga hi,j,k de la celda y en su caso de la

diferencia de cargas.

( )

( )( )

( )

, , , ,

, , ,2

, , ,2

, , ,2 , , , ,

, , ,2 , , ,2 , , , , ,2 , ,

, , ,2 , , ,2

, , ,2

, y su conductancia es:

por lo que , o bien:

1.19

1.20

RIV i j k i j k

RIV i j k

RIV i j k

i j k i j k i j k

i j k i j k i j k i j k i j k

i j k i j k

i j k

K R hQ

D

KC

D

a CRIV R h

a CRIV h CRIV R

p CRIV

q CRI

−=

=

= −

= − +

= −

= ( ), , ,2 , , 1.21i j k i j kV R

FUENTES EXTERNAS

• Para todas las fuentes externas se puede llegar a una

solución tal como:

( )

( )

, , , , , , , , , , , , ,

1 1 1

, , , , , , , , , ,

1 1

, , , , , , , ,

1.22

y el flujo externo hacia la celda , , es:

1.23

N N N

i j k n i j k i j k n i j k i j k n

n n n

N N

i j k i j k n i j k i j k n

n n

i j k i j k i j k i j k

a QS p h q

donde

P p Q q

i j k

QS P h Q

= = =

= =

= = +

= =

= +

∑ ∑ ∑

∑ ∑

BALANCE DE FLUJO

• el balance de flujo es:

( )

1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

, ,

, ,

, ,, , , , , , , , , , , ,

, ,

-1

, ,

1.24

donde: es el almacenamiento específico [ ]

es el cambio de con respecto al tiempo

i j k

i j k

i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k

i j k

s j i k

s

i j k

q q q q q q QS

hS r c v

t

S L

hh

t

− + − + − ++ + + + + +

∆= ∆ ∆ ∆

∆

∆

∆

-1

3

[ ]

es el volumen [L ]j i k

t LT

r c v∆ ∆ ∆

BALANCE DE FLUJO

• La ecuación (1.24) se puede utilizar para evaluar los términos de flujo

en el tiempo avanzado tm y la pendiente ∆h/∆t se puede obtener como

sigue:

• Esta aproximación es hacia atrás, pues el valor de depende del

correspondiente anterior en el tiempo t. De esta forma, la ecuación

(1.24) queda expresada como:

( )1

, , , , , ,

1

1.25

m m m

i j k i j k i j k

m m m

h h h

t t t

−

−

∆ −=

∆ −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 12 2

1 12 2

1 12 2

, ,

, 1, , , , 1, , ,, , , ,

1, , , , 1, , , ,, , , ,

, , 1 , , , , 1 , ,, , , ,

, , , , , , i j k

m m m m

i j k i j k i j k i j ki j k i j k

m m m m

i j k i j k i j k i j ki j k i j k

m m m m

i j k i j k i j k i j ki j k i j k

m

i j k i j k i j k s j

CR h h CR h h

CC h h CC h h

CV h h CV h h

P h Q S r

− +− +

− +− +

− +− +

− + −

+ − + −

+ − + −

+ + = ∆ ∆( )( )

( )1

, , , ,

1

1.26

m m

i j k i j k

i k

m m

h hc v

t t

−

−

−∆

−

ITERACION

•,0

, ,

,0

, ,

,

representa la solución inicial de prueba en el nodo , , y

la que a su vez es la solución de prueba usada en la iteración 2 (ver figura 1.3).

Rearreglando la ecuación (1.26)

m

i j k

m

i j k

i j

h i j k

h

CV

(

)

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

, , 1 1, , , 1,, , , , ,

, , , , , ,

, , , ,, , , , , ,

, 1, 1, , , , 1, , , , , ,

m m m

i j k i j k i j kk i j k i j k

i j k i j k i j k

m

i j k i j ki j k i j k i j k

m m m

i j k i j k i j ki j k i j k i j k

h CC h CR h

CV CC CR

CR CC CV HCOF h

CR h CC h CV h R

− − −− − −

− − −

+ + +

+ + ++ + +

+ +

+ − − −

− − − +

+ + + = ( ), ,

, ,

, , , ,

1

1

, , , ,

, , , ,

1

, , , ,

1.27

1

1

1

i j k

i j k

i j k i j k

m m

m

i j k i j k

i j k i j k

m m

i j k i j k j i k

HS

donde

SCHCOF P

t t

SC hRHS Q

t t

SC SS r c v

−

−

−

= −−

= −−

= ∆ ∆ ∆

ITERACIONFigura 1.3

DISEÑO DEL PROGRAMA

Figura 1.4

DISEÑO DEL PROGRAMA

Lista de paquetes

DISEÑO DEL PROGRAMA

Programa principal:

1. Controla el orden de

ejecución de los módulos

primarios.

2. Es el que establece el

intercambio de información.

RIVER

• The River boundary condition is used to simulate theinfluence of a surface water body on the groundwater flow. Surface water bodies such as rivers, streams, lakes andswamps may either contribute water to the groundwatersystem, or act as groundwater discharge zones dependingon the hydraulic gradient between the surface water bodyand the groundwater system. The MODFLOW RiverPackage simulates the surface water / groundwaterinteraction via a seepage layer separating the surface waterbody from the groundwater system (see figure below).

•

GHB

• The function of the General-Head Boundary (GHB) Package ismathematically similar to that of the River, Drain, and ET Packages. Flow into or out of a cell from an external source is provided in proportion to the difference between the head in the cell and thereference head assigned to the external source. The application of thisboundary condition is intended to be general, as indicated by its name, but the typical application of this boundary conditions is to representheads in a model that are influenced by a large surface water bodyoutside the model domain with a known water elevation. The purposeof using this boundary condition is to avoid unnecessarily extendingthe model domain outward to meet the element influencing the head in the model. As a result, the General Head boundary condition is usuallyassigned along the outside edges of the model domain. This scenario isillustrated in the following figure.