NmeroSe ha sugerido que Conjuntos numricos sea fusionado en este artculo o seccin (discusin).Una vez que hayas realizado la fusin de artculos, pide la fusin de historiales aqu.

Para el concepto lingstico vase Nmero gramatical.Para otros usos de este trmino, vase Nmero (desambiguacin).Un nmero, en ciencia, es una abstraccin que representa una cantidad o una magnitud. En matemticas un nmero puede representar una cantidad mtrica o ms generalmente un elemento de un sistema numrico o un nmero ordinal que representar una posicin dentro de un orden de una serie determinada. Los nmeros complejos son usados como una herramienta til para resolver problemas algebraicos y que algebraicamente son un mero aadido a los nmeros reales que a su vez ampliaron el concepto de nmero ordinal.Tambin, en sentido amplio, indica el carcter grfico que sirve para representarlo; dicho signo grfico de un nmero recibe propiamente la denominacin de numeral o cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama dgito.1El concepto de nmero incluye abstracciones tales como nmeros fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales, complejos y tambin nmeros de tipo ms abstracto como los nmeros hipercomplejos que generalizan el concepto de nmero complejo o los nmeros hiperreales, los superreales y los surreales que incluyen a los nmeros reales como subconjunto.ndice 1 Tipos de nmeros 1.1 Enumeracin de los tipos 1.2 Nmeros naturales especiales 2 Historia del concepto de nmero 2.1 Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind) 2.2 Fracciones sexagesimales babilnicas (documentos cuneiformes) 2.3 Descubrimiento de los inconmensurables 2.4 Descubrimiento del 0 2.5 Nmeros negativos 2.6 Transmisin del sistema indo-arbigo a Occidente 2.7 Las fracciones continuas 2.8 Primera formulacin de los nmeros complejos 2.9 Generalizacin de las fracciones decimales 2.10 El principio de induccin matemtica 2.11 La interpretacin geomtrica de los nmeros complejos 2.12 Descubrimiento de los nmeros trascendentes 2.13 Teoras de los irracionales 2.14 lgebras hipercomplejas 2.15 Teora de conjuntos 2.16 Socialmente 3 Sistemas de representacin de los nmeros 3.1 Cifra, dgito y numeral 3.2 Base numrica 3.3 Nmeros en las lenguas naturales 4 Vase tambin 5 Referencias 5.1 Enlaces externosTipos de nmerosLos nmeros ms conocidos son los nmeros naturales. Denotados mediante , son conceptualmente los ms simples y los que se usan para contar unidades discretas. stos, conjuntamente con los nmeros negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemn Zahlen 'nmeros'). Los nmeros negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos nmeros naturales.Otro tipo de nmeros ampliamente usados son nmeros fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como nmeros mixtos (un conjunto de unidades ms una parte inferior a la unidad). Los nmeros fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los nmeros fraccionarios es el conjunto de los nmeros racionales (que usualmente se define para que incluya tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de nmeros de designa como .Los nmeros racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prcticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geomtricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son nmeros no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solucin numrica de una ecuacin polinmica cuyos coeficientes son nmeros racionales, usualmente es un nmero no racional. Puede demostrarse que cualquier nmero irracional puede representarse como una sucesin de Cauchy de nmeros racionales que se aproximan a un lmite numrico. El conjunto de todos los nmeros racionales y los irracionales (obtenidos como lmites de sucesiones de Cauchy de nmeros racionales) es el conjunto de los nmeros reales . Durante un tiempo se pens que toda magnitud fsica existente poda ser expresada en trminos de nmeros reales exclusivamente. Entre los reales, existen nmeros que no son soluciones de una ecuacin polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos nmeros son el nmero (Pi) y el nmero e (este ltimo base de los logaritmos naturales), los cuales estn relacionados entre s por la identidad de Euler.Uno de los problemas de los nmeros reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solucin planteados en trminos de nmeros reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los nmeros complejos , que son el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los nmeros reales. Adems algunas aplicaciones prcticas as como en las formulaciones estndar de la mecnica cuntica se considera til introducir los nmeros complejos. Al parecer la estructura matemtica de los nmeros complejos refleja estructuras existentes en problemas fsicos, por lo que en fsica terico y en diversas aplicaciones los nmeros complejos se usan en pie de igualdad con los nmeros reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados nicamente como un artificio matemtico sin relacin con la realidad fsica. Todos los conjuntos de nmeros fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexin con problemas planteados en problemas fsicos o en el seno de la matemtica elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad fsica.Fuera de los nmeros reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de nmeros que generalizan an ms y extienden el concepto de nmero de una manera ms abstracta y responden ms a creaciones deliberadas de matemticos. La mayora de estas generalizaciones del concepto de nmero se usan slo en matemticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas fsicos. Entre ellos estn los nmeros hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones tiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos como octoniones y los sedeniones.A un nivel un poco ms abstracto tambin se han ideado conjuntos de nmeros capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.Enumeracin de los tiposLa teora de los nmeros trata bsicamente de las propiedades de los nmeros naturales y los enteros, mientras que las operaciones del lgebra y el clculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numricos, entre los cuales estn: Nmeros naturales Nmero primo Nmeros compuestos Nmeros perfectos Nmeros enteros Nmeros negativos Nmeros pares Nmeros impares Nmeros racionales Nmeros reales Nmeros irracionales Nmeros algebraicos Nmeros trascendentes: e Extensiones de los nmeros reales Nmeros complejos Nmeros hipercomplejos Cuaterniones Octoniones Nmeros hiperreales Nmeros superreales Nmeros surreales Nmeros usados en teora de conjuntos Nmeros ordinales Nmeros cardinales Nmeros transfinitosNmeros naturales especialesEl estudio de ciertas propiedades que cumplen los nmeros ha producido una enorme cantidad de tipos de nmeros, la mayora sin un inters matemtico especfico. A continuacin se indican algunos:

Narcisista: Nmero de n dgitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dgitos. Ejemplo: 153 = 1 + 5 + 3.Omirp: Nmero primo que al invertir sus dgitos da otro nmero primo. Ejemplo: 1597 y 7951 son primos.Vampiro: Nmero que es el producto de dos nmeros obtenidos a partir de sus dgitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificacin de los nmeros, surge otro, ms prctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeracin posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.Ms formalmente, en The concept of number, el matemtico Frege realiza una definicin de nmero, la cual fue tomada como referencia por muchos matemticos (entre ellos Russell, cocreador de principia mathematica):n es un nmero, es entonces la definicin de que existe un concepto F para el cual n aplica, que a su vez se ve explicado como que n es la extensin del concepto equinumerable con para F, y dos conceptos son equinumerables si existe una relacin uno a uno (vase que no se utiliza el smbolo 1 porque no est definido an) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyeccin en otros trminos).Vase tambin que Frege, tanto como cualquier otro matemtico, se ven inhabilitados para definir al nmero como la expresin de una cantidad, porque la simbologa matemtica no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de cantidad referira a algo numerable, mientras que nmeros se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el continuo).Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los nmeros naturales, explicita que supone sabida una definicin (quizs debido a su obviedad) de las palabras o conceptos cero, sucesor y nmero. De esta manera postula: 0 es un nmero, el sucesor de todo nmero es un nmero, dos nmeros diferentes no tienen el mismo sucesor, 0 no es el sucesor de ningn nmero, y la propiedad inductiva.Sin embargo, si uno define el concepto cero como el nmero 100, y el concepto nmero como los nmeros mayores a 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habra querido comunicar, sino a su formalizacin.La definicin de nmero se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definicin enunciada por Frege.Historia del concepto de nmeroCognitivamente el concepto de nmero est asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es ms numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisin cuantos elementos formaban una coleccin de cosas. Esos problemas podan ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenmeno simple, aunque la mayora de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mnimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material siemple, slo disponen de trminos para los nmeros 1, 2 y 3 y usualmente usan el trmino "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 ms 3 y otros 3" cuando es necesario.El conteo se debi iniciar mediante el uso de objetos fsicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 aos de antigedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en cinco grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 aos de antigedad. Ambos casos constituyen una de las ms antiguas marcas de cuenta conocidas habindose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.2 En cuanto al origen ordinal algunas teoras lo sitan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayora de familias lingsticas reflejan que la operacin de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razn por la cual los sistemas de base decimanl y vigesimal son los ms abundantes), aunque estn testimoniado el empleo de otras bases numricas adems de 10 y 20.El paso hacia los smbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparicin de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocrticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estara en primitivos smbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez haban venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000a.C.) Los smbolos numerales ms antiguos encontrados se sitan en las civilizaciones mesopotmicas usndose como sistema de numeracin ya no solo para la contabilidad o el comercio sino tambin para la agrimensura o la astronoma como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.3En conjunto, desde hace 5.000 aos la mayora de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los nmeros (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Bsicamente la podemos clasificar en tres categoras:1. Sistemas de notacin aditiva. Acumulan los smbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el nmero. Aunque los smbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posicin (de ms a menos). De este tipo son los sistemas de numeracin: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judo.2. Sistemas de notacin hbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 smbolos de 100, en stos se utiliza la combinacin del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeracin: Chino clsico, asirio, armenio, etope y maya. Este ltimo utilizaba smbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Ao 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dgitos.3. Sistemas de notacin posicional. La posicin de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas adems de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300a.C.) que no dispona de 0, el sistema Babilnico (2000a.C.) con dos smbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300a.C.Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)Artculo principal: Fraccin egipciaEn este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800a.C. adems del sistema de numeracin antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del nmero, la fraccin 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo . Hay tablas de descomposicin de desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo , no sabemos por qu no utilizaban pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que .Al ser un sistema sumativo la notacin es: 1+1/2+1/4 . La operacin fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacan por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicacin.Fracciones sexagesimales babilnicas (documentos cuneiformes)En las tablillas cuneiformes de la dinasta Hammurabi (1800-1600a.C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para , con una representacin basada en la interpretacin del problema.Para calcular recurran, como nosotros antes de disponer de mquinas, a las numerosas tablas de que disponan: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de races cuadradas y cbicas, de potencias sucesivas de un nmero dado no fij, etc. Por ejemplo para calcular , tomaban su mejor aproximacin entera , y calculaban (una mayor y otra menor) y entonces es mejor aproximacin, procediendo igual obtenemos y obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de partiendo de (vase algoritmo babilnico).Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la divisin multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresin sexagesimal infinitamente larga. S estn 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo peridico.Descubrimiento de los inconmensurablesLas circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagrica (se utiliza el Teorema de Pitgoras). Aristteles menciona una demostracin de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distincin entre lo par y lo impar. La reconstruccin que realiza C. Boyer es:Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como con p y q primos entre s. Por el teorema de Pitgoras tenemos que , , entonces y por tanto debe ser par y tambin p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos , entonces y , entonces es par y q tambin, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradiccin.La teora pitagrica de todo es nmero qued seriamente daada.El problema lo resolvera Eudoxo de Cnido (408-355a.C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableci el Axioma de Arqumedes: Dos magnitudes tienen una razn si se puede encontrar un mltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Despus en la Definicin-5 da la famosa formulacin de Eudoxo: Dos magnitudes estn en la misma razn si dados dos nmeros naturales cualesquiera m y n, si entonces (definicin que intercambiando el 2 y 3 trminos equivale a nuestro procedimiento actual).En el libro de J.P. Colette se hace la observacin de que esta definicin est muy prxima a la de nmero real que dar Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las tales que y las que no.Descubrimiento del 0Artculo principal: CeroEn cualquier sistema de numeracin posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. Por ejemplo, en el sistema babilnico el nmero escrito en base 60 puede ser . A veces, se utilizaba la posicin vaca para evitar este problema 3 _ 2; pero los escribas deban tener mucho cuidado para no equivocarse.Hacia el siglo IIIa.C., en Grecia, se comenz a representar la nada mediante una "o" que significa oudos 'vaco', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en da. La idea del cero como concepto matemtico parece haber surgido en la India mucho antes que en ningn otro lugar. La nica notacin ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vaco.En Amrica, la primera expresin conocida del sistema de numeracin vigesimal prehispnico data del siglo IIIa.C. Se trata de una estela olmeca tarda, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemtico, y una flor para el cero calendrico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).Nmeros negativosBrahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos races de las ecuaciones cuadrticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmtica (+, -, *, / , potencias y races) de los nmeros positivos, negativos y el cero, que l llamaba los bienes, las deudas y la nada. As, por ejemplo, para el cociente, establece:Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fraccin que la tiene por denominador (a/0=?)No solo utiliz los negativos en los clculos, sino que los consider como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometra. Todo esto se consigui gracias a su despreocupacin por el rigor y la fundamentacin lgica, y su mezcla de lo prctico con lo formal.Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cay en el vaco, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el Renacimiento) para que fuese recuperado.Al parecer los chinos tambin posean la idea de nmero negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.Transmisin del sistema indo-arbigo a OccidenteVarios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusin, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este ltimo, conocido como Fibonacci, viaj por Oriente y aprendi de los rabes el sistema posicional hind. Escribi un libro, El Liber abaci, que trata en el captulo I la numeracin posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los captulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el captulo XIV los radicales cuadrados y cbicos. Tambin contiene el problema de los conejos que da la serie: con .No aparecen los nmeros negativos, que tampoco consideraron los rabes, debido a la identificacin de nmero con magnitud (obstculo que durara siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de clculo, se desatara por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de stos ltimos.Las fracciones continuasPietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numricos, desarrolla una raz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular y sea el mayor nmero cuyo cuadrado es menor que y , tenemos: que con su notacin escriba: n=a&b/2.a.&b/2.a... As 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)...Siendo as los nmeros irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les poda aproximar fcilmente mediante nmeros racionales.Primera formulacin de los nmeros complejosLos nmeros complejos eran en pocos casos aceptados como races o soluciones de ecuaciones (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno como coeficientes). Estos nmeros se llamaron inicialmente ficticii 'ficticios' (el trmino "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlos nmeros respetables). A pesar de esto G. Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y R. Bombelli (1526-1573) las reglas aditivas a travs de haberes y dbitos, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.Cardano en la resolucin del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene como soluciones (en su notacin 5p:Rm:15) y (en su notacin 5m:Rm:15), soluciones que consider meras manipulaciones "sutiles, pero intiles".En la resolucin de ecuaciones cbicas con la frmula de Cardano-Tartaglia, aunque las races sean reales, aparecen en los pasos intermedios races de nmeros negativos. En esta situacin Bombelli dice en su lgebra que tuvo lo que llam "una idea loca", esta era que los radicales podan tener la misma relacin que los radicandos y operar con ellos, tratando de eliminarlos despus. En un texto posterior en 20 aos utiliza p.d.m. para y m.d.m. para dando las reglas para operar con estos smbolos aadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece tambin su conjugada, como en las ecuaciones de 2 grado que resuelve correctamente. Da un mtodo para calcular .Generalizacin de las fracciones decimalesAunque se encuentra un uso ms que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a stas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemticos que se dedicaban a la investigacin, su uso se generaliz con la obra que Simn Stevin public en 1585 De Thiende (La Disme). En su definicin 1 dice que la Disme es un especie de aritmtica que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando nicamente nmeros naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: cualquier nmero que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1 posicin decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posicin decimal 1/100). El siguiente se dice segunda (2). Es decir, los nmeros decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Aade que no se utiliza ningn nmero roto (fracciones), y el nmero de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9.Esta notacin la simplific Jost Burgi (1552-1632) eliminando la mencin al orden de las cifras y sustituyndolo por un "." en la parte superior de las unidades 37243, poco despus Magn (1555-1617) us el "." entre las unidades y las dcimas: 372.43, uso que se generalizara al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La "," tambin fue usada a comienzos del siglo XVII por el holands Willerbrod Snellius: 372,43.El principio de induccin matemticaArtculo principal: Induccin matemticaSu antecedente es un mtodo de demostracin, llamado induccin completa, por aplicacin reiterada de un mismo silogismo que se extiende indefinidamente y que us Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los primeros nmeros naturales impares es el cuadrado del -simo trmino, es decir . Pascal (1623-1662) us el mtodo de induccin matemtica, en su formulacin abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al tringulo numrico que lleva su nombre. La demostracin por induccin consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, los cuales se describen a continuacin en notacin moderna:Si es un subconjunto de los nmeros naturales (denotado por ) donde cada elemento cumple la propiedad y se tiene que1. pertenece a .2. El hecho de que sea un miembro de implica que tambin lo es.entonces , es decir que todos los nmeros naturales tienen la propiedad .De manera intuitiva se entiende la induccin como un efecto domin. Suponiendo que se tiene una fila infinita de fichas de domin, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente tambin se caer. La conclusin es que se pueden tirar todas las fichas de esa fila.La interpretacin geomtrica de los nmeros complejosEsta interpretacin suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del lgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostracin realizados por DAlembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostracin correcta primero para el caso de coeficientes, y despus de complejos. Tambin trabaj con los nmeros enteros complejos que adoptan la forma , con y enteros. Este smbolo para fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra Disquisitiones arithmeticae de 1801.La representacin grfica de los nmeros complejos haba sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero pas desapercibida, y as el plano de los nmeros complejos se llama plano de Gauss a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 aos despus.Desde la poca de Girard (mitad siglo XVII) se conoca que los nmeros reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemticos se sentirn cmodos con estos nmeros, ver es creer.Descubrimiento de los nmeros trascendentesLa distincin entre nmeros irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la poca en que Euler demostr que y son irracionales y Lambert que lo es . Los trabajos de Legendre sobre la hiptesis de que poda no ser raz de una ecuacin algebraica con coeficientes racionales, sealaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya haca esta distincin en 1744 pero habra que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman.Liouville (1809-1882) demostr en 1844 que todos los nmeros de la forma (p.e. 0,101001.....) son trascendentes.Hermite (1822-1901) en una memoria Sobre la funcin exponencial de 1873 demostr la trascendencia de probando de una forma muy sofisticada que la ecuacin: no puede existir.Lindeman (1852-1939) en la memoria Sobre el nmero de 1882 prueba que el nmero e no puede satisfacer la ecuacin: con y algebraicos, por tanto la ecuacin no tiene solucin para x algebraico, pero haciendo tenemos , entonces no puede ser algebraico y como i lo es entonces es trascendente.El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si , con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son trascendentes o no: ,, , ... Sin embargo e y 1/e s que son trascendentes.Teoras de los irracionalesHasta mediados del siglo XIX los matemticos se contentaban con una comprensin intuitiva de los nmeros y sus sencillas propiedades no son establecidas lgicamente hasta el siglo XIX. La introduccin del rigor en el anlisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisin del sistema de los nmeros reales, y exiga su estructuracin lgica sobre bases aritmticas.Bolzano haba hecho un intento de construir los nmeros reales basndose en sucesiones de nmeros racionales, pero su teora pas desapercibida y no se public hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud tiempo, a partir de particiones de nmeros racionales:si ,cuando y si cuando pero no desarroll ms su teora.Pero en el mismo ao 1872 cinco matemticos, un francs y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetizacin de los nmeros reales: Charles Meray (1835-1911) en su obra Noveau preis danalyse infinitesimale define el nmero irracional como un lmite de sucesiones de nmeros racionales, sin tener en cuenta que la existencia misma del lmite presupone una definicin del nmero real. Hermann Heine (1821-1881) public, en el Journal de Crelle en 1872, su artculo "Los elementos de la teora de funciones", donde propona ideas similares a las de Cantor, teora que en conjunto se llama actualmente "teora de Cantor-Heine". Richard Dedekind (1831-1916) publica su Stetigkeit und irrationale zahlen. Su idea se basa en la continuidad de la recta real y en los agujeros que hay si slo consideramos los nmeros racionales. En la seccin dedicada al dominio R enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta: cada punto de la recta divide los puntos de sta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto de la segunda clase, entonces existe un nico punto que produce esta divisin. Esta misma idea la utiliza en la seccin creacin de los nmeros irracionales para introducir su concepto de cortadura. Bertrand Russell apuntara despus que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra. Georg Cantor (1845-1918). Define los conceptos de: sucesin fundamental, sucesin elemental, y lmite de una sucesin fundamental, y partiendo de ellos define el nmero real. Karl Weierstrass (1815-1897). No lleg a publicar su trabajo, continuacin de los de Bolzano, Abel y Cauchy, pero fue conocido por sus enseanzas en la Universidad de Berln. Su caracterizacin basada en los intervalos encajados, que pueden contraerse a un nmero racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizable como las anteriores, pero proporciona fcil acceso a la representacin decimal de los nmeros reales.lgebras hipercomplejasLa construccin de obtencin de los nmeros complejos a partir de los nmeros reales, y su conexin con el grupo de transformaciones afines en el plano sugiri a algunos matemticos otras generalizaciones similares conocidas como nmeros hipercomplejos. En todas estas generalizaciones los nmeros complejos son un subconjunto de estos nuevos sistemas numricos, aunque estas generalizaciones tienen la estructura matemtica de lgebra sobre un cuerpo, pero en ellos la operacin de multiplicacin no es conmutativa.Teora de conjuntosArtculo principal: Teora de conjuntosLa teora de conjuntos sugiri muchas y variadas formas de extender los nmeros naturales y los nmeros reales de formas diferentes a como los nmeros complejos extendan al conjunto de los nmeros reales. El intento de capturar la idea de conjunto con un nmero no finito de elementos llev a la aritmtica de nmeros transfinitos que generalizan a los naturales, pero no a los nmeros enteros. Los nmeros transfinitos fueron introducidos por Georg Cantor hacia 1873.Los nmeros hiperreales usados en el anlisis no estndar generalizan a los reales pero no a los nmeros complejos (aunque admiten una complejificacin que generalzara tambin a los nmeros complejos). Aunque parece los nmeros hiperreales no proporcionan resultados matemticos interesantes que vayan ms all de los obtenibles en el anlisis real, algunas demostracciones y pruebas matemticas parecen ms simples en el formalismo de los nmeros hiperreales, por lo que no estn exentos de importancia prctica.Socialmente Los nmero naturales por la necesidad de contar. Los nmeros fraccionarios por la necesidad de medir partes de un todo, y de compartir. Los enteros negativos por fenmenos de doble sentido: izquierda-derecha, arriba-abajo, prdida- ganancia Los nmeros reales por la necesidad de medir segmentos Los nmeros complejos por exigencias de resolver ecuaciones algebraicas, como el caso de la cbicas o de x2 + 1 = 0 4Sistemas de representacin de los nmerosLos nmeros como expresin de cantidades aparecen en todas las culturas humanas. Incluso los grupos humanos con culturas materiales ms simples disponen en su lengua de alguna manera para expresar cantidades en forma numrica, al menos hasta cierto nmero, mediante palabras que designa a estos nmeros (palabras numerales). El advenimiento de la escritura tambin comport la bsqueda de sistemas de representacin grfica para los nmeros, estos sistemas van desde sistemas muy simples basados en rayas a sistemas elaborados que permiten expresar nmeros elevados.Cifra, dgito y numeralArtculo principal: Cifra (matemtica)Una de las formas ms frecuenes de representar nmeros por escrito consiste en un "conjunto finito de smbolos" o dgitos, que adecuadamente combinados permiten formar cifras que funcionan como representaciones de nmeros (cuando una secuencia especficas de signos se emplea para representar un nmero se la llama numeral, aunque una cifra tambin puede representar simplemente un cdigo identificativo.)Base numricaArtculo principal: Base (aritmtica)Tanto las lenguas naturales como la mayor parte de sistemas de representacin de nmeros mediante cifras, usan un inventario finito de unidades para expresar una cantidad mucho mayor de nmeros. Una manera importante de lograr eso es el uso de una base aritmtica en esos sistemas un nmero se expresa en general mediante suma o multiplicacin de nmeros. Los sistemas puramente aritmticos recurren a bases donde cada signo recibe una interpretacin diferente segn su posicin. As en el siguiente numeral arbigo (base 10):

El por estar en ltima posicin representa unidades, el representa decenas, el centenas, el millares y el decenas de millares. Es decir ese numeral representara el nmero:

Muchas lenguas del mundo usan una base decimal, igual que el sistema arbigo, aunque tambin es frecuente que las lenguas usen sistemas vigesimales (base 20). De hecho la idea de usar un nmero finito de dgitos o signos para representar nmeros arbitrariamente grandes funciona para cualquier base b, donde b es un nmero entero mayor o igual que 2. Los ordenadores frecuentemente usan para sus operaciones la base binaria (b = 2), y para ciertos usos tambin se emplea la base octal (b = 8 ) o hexadecimal (b = 16). La base coincide con el nmero de signos primarios, si un sistema posicional tiene b smbolos primarios que designaremos por , el numeral:

Designar al nmero:

Nmeros en las lenguas naturalesArtculo principal: Numeral (lingstica)Las lenguas naturales usan nombres o numerales para los nmeros frecuentemente basados en el contaje mediante dedos, razn por la cual la mayora de las lenguas usan sistemas de numeracin en base 10 (dedos de las manos) o base 20 (dedos de manos y pies), aunque tambin existen algunos sistemas exticos que emplean otras bases