El Estudio de lasTrans-Formaciones

Profesor: Omar Cañete IslasAyudante alumno: Catalina BahamondesAño 2011

• El problema del estudio matemático de las

transformaciones, esta asociada al estudio

de la constitución de un objeto matemático

y las relaciones que este establece en

distintos niveles y planos (pe. relaciones

interiores, exteriores, trans-

objetualmente).

• De ahí que cuando un objeto –pe.

Matemático- se transforma o es producto

de una transformación, desde un plano

teórico, esto se constituye en un problema

epistemológico del conocimiento. ¿Cuál

es el fundamento que me permite decir

que un objeto ha cambiado?, ¿que

relaciones se establecen y generan

durante un cambio para constituirlo como

tal?, ¿Qué es el cambio?, ¿Qué tipos de

cambio existen?, y ¿como se representan

dichos cambios formalmente –desde la

matemática-?

Tipos de transformación matemática. Filosofía del Pliegue

Según Deleuze (siguiendo al matemático Bernard Cache) plantea que es posibleidentificar 3 tipos de transformaciones formales posibles:

• El primer tipo de transformaciones son del tipo VECTORIALES, O POR SIMETRÍA, conun plano de reflexión ortogonal o tangente. Actúan según las leyes ópticas, ytransforman la inflexión en punto de rebote, o en ojiva. La ojiva . '-expresa la formade un móvil que sigue la configuración de las líneas de circulación del fluido, y elrebote, el perfil de un fondo de valle cuando las aguas adoptan la unidad de un solocurso.

• Las segundas transformaciones son PROYECTIVAS: expresan la proyección, sobre elespacio externo, de espacios internos definidos por «parámetros ocultos» y variableso singularidades de potencial. En ese sentido, las transformaciones de Thom remitena una morfología de lo viviente, y producen los siete acontecimientos elementales: elpliegue, la fronda, la cola de golondrina, la mariposa, el ombligo hiperbólico, elíptico,parabólico.

• Por último, las transformaciones FRACTALES, cuya inflexión en sí misma esinseparable de una variación infinita o de una curvatura infinitamente variable.

• A la base de esta clasificación esta la noción del observación, y cómo elsujeto epistémico percibe y representa las transformaciones.

• Así, en tanto aprehensión fenomenológico-operacional de la represetaciónde las transformaciones, éstas serán:

– Representación externa del objeto en un plano externo y objetivo derepresentación.

– Representación interior al objeto que se proyecta en un planofenoménico exterior.

– Representación de las Transformación entre objetos o n-dimensiones.

• Autores como Piaget, han trabajado profusamente este tipo de operacionesy su evolución mental, desde el punto de vista psicológico y epistemológico.

Transformacionesvectoriales, o por simetría

Tipos y Formas de Simetría, según los tipos de objetosgeométricos

Por un lado, atendiendo a los tipos de cuerpos u objetos simétricos.Estos se clasifican usualmente en:

• Ortosimétricos. Donde los objetos son:• a) Puntiformes,• b) rectos o• c) planos*.

• Kyrtosimétricos. Donde los objetos son curvos.

*: Ojo, esta distinción se basa en considerar que las operaciones de simetría operan sobre objetos ideales oeuclidianos

Por otro lado, según las formas de relación entrecuerpos, las simetrías se suelen clasificar en :

• SIMETRÍA ISOMÉTRICA (entre objetos deigual medida o forma)

• SIMETRÍA HOMEOMÉTRICA (entre objetosde distinta medida o forma).

• SIMETRÍA CATAMÉTRICA (entre objetos dedistinta forma o medida, pero según algúncriterio, ordenamiento o relación entre ellos, pe.-la seriación, patrón de crecimiento-).

Transformaciones simétricas en cuerpos ortosimétricos (puntiformes,planos o rectas). Estas pueden ser producto de diversas operaciones:

1. Operaciones de Identidad

2. Traslación

3. Rotación

4. Reflexión especular

5. Extensión o superposición

6. Rotación traslatoria omovimiento helicoidal

7. Reflexión traslatoria

Las operaciones de Extensión (superposición) se pueden dar, sea porCombinación y/o por Acoplamiento de operaciones de superposición, y seclasifican en los siguientes tipos.

8. Reflexión rotatoria

9. Extensión traslatoria

10.Extensión rotatoria

11.Extensión refleja

12.Extensión helicoidal

13.Extensión reflejo-traslatoria

14.Extensión reflejo-rotatoria

Tipos y Formas de Simetría, según las clases de simetría asociadas al objeto

1. Cuerpos isométricos finitos(cerradas):

2. Cuerpos isométricos infinitos(abiertos)

isométricos finitosEn cuerpos regulares

isométricos finitos enreflexiones especulares

En estos casos, las transformacionespueden representarse como combinatoriasy superposición de operaciones de simetría

3. Cuerpos homeométricos.Operaciones en bandagenerada por variasoperaciones desuperposición

4. Cuerpos de simetría inferior. Señala loscuerpos donde todavía no se logra unaobservación sistemática, sino parcialde operaciones de simetría, dada sumultiplicidad de operaciones ycombinaciones.

Transformaciones Proyectivas(proyección topológica o n-dimensionales,Pe. Las catástrofes de Rene Thom)

Antecedentes. Proyección de una superficie en un plano. Los trabajos de Whitney

En 1955, Whitney postulo que los cambios en las formas generadas por laproyección de superficies en un plano (que genéricamente se conocen comosingularidades) para el caso de funciones suaves (del tipo polinomial) éstasque pueden ser de dos tipos: a) pliegues y b) cúspides.

a) Pliegues

b) Cúspides

Cúspides

Pliegues

En la década de los 70, Matemáticos como Rene Thom,

Zeeman o Arnold ampliaran este tipo de estudios a las

proyecciones n-dimensionales sobre (n-1)-

dimensiones, -incluida el plano o la superficie- (al

menos hasta 7 dimensiones), incluyendo las

singularidades ya conocidas. A esta teoría se le llama,

“Teoría de las Catástrofes”, concebida como un

capitulo general del nuevo y emergente estudio de la

MORFOGÉNESIS.

Lo anterior supone que el estudio de las formas,en tanto relaciones y organización precede al dela función.

Mas aún, para matemáticos como Rene Thom,las líneas de proyección resultantes en el planode representación, constituyen mas bien uncampo fenomenológico de aprehensión delobjeto matemático.

Esta aprehensión fenoménica constituiría elverdadero fundamento epistemológico deloperar matemático.

Desde el punto de vistahasta aquí articulado, el delsujeto y observadorepistémico, este tipo demodelos, constituyen unesfuerzo de sistematizaciónmatemática dondepredomina la interioridad delobjeto (n-dimensional) queaflora y solo se expresa unaparte de ella en los planos derepresentación, los quepasan a constituirse enplanos fenoménicos deaprehensión.

Nunca tenemos acceso alobjeto, solo a la proyecciónde estos en un plano.

Transformaciones Fractales

• Las transformaciones fractales serán operaciones entredimensiones, entre escalas, donde un objeto, en su transformacióny génesis, buscara llegar o alejarse infinitamente de la otra.

• En este proceso relacional del tipo trans-objetual o trans-dimensional, las transformaciones fractales, serán de dos tipos:

– Donde las transformaciones, proyectadas en múltiples niveles aescalas (homeotecia), incluso al infinito, aún aceptan puntos desimetría o proyección interna, externa (escalar)

– proyectiva desde algún o algunos puntos de observación omedición.

– Donde las Transformaciones devienen en turbulencias ytransformaciones continuas, sin puntos de simetría, oproyección escalar de observación, pues también devienen enturbulencia. El límite de estas transformaciones será el Azar.¿El máximo de orden como el máximo de azar??!! (Teoría delCaos.)

“El surrealismo intenta resolver la viejaoposición entre el yo y el mundo, lointerior y lo exterior, creando objetosque son interiores y exteriores a la vez”

(Octavio Paz)

Las formas fractales se obtienen a fuerza de redondear los

ángulos según la exigencia barroca, haciéndolos proliferar

según una ley de homotecia: pasa por un número infinito de

puntos angulosos y no admite tangente en ninguno de esos

puntos, envuelve un mundo infinitamente esponjoso o

cavernoso, constituye más que una línea y menos que una

superficie (la dimensión fractal de Mandelbrot como número

fraccionario o irracional, no dimensión, ínter dimensión).

(En este tipo de curvas) la homotecia (escala) todavía hacecoincidir la variación con un cambio de escala, como en elcaso de la longitud de una costa geográfica.

Sin embargo, un punto de inflexión dentro de las transformaciones genéricamentellamadas fractales, es todo cambia cuando se hace intervenir la fluctuación porsobre la homotecia interna. Cuando la fluctuación supera la homotecia, ya no setrata de la posibilidad de determinar un punto anguloso entre otros dos porpróximos que estén, sino de la libertad de añadir siempre un rodeo, convirtiendotodo intervalo en el lugar de un nuevo plegamiento.

Aquí se va de pliegue en pliegue, no de punto en punto, y todo contorno se difuminaen beneficio de las potencias formales del material, que ascienden a la superficie yse presentan como otros tantos rodeos y repliegues suplementarios.

La transformación de la inflexión ya no -admitesimetría, ni plano privilegiado de proyección.Deviene en turbulenta, y se realiza por retraso,por diferido, más que por prolongamiento oproliferación: en efecto, la línea se repliega enespiral para diferir la inflexión en un movimientosuspendido entre cielo y tierra, que se acerca ose aleja indefinidamente de un centro decurvatura, y, a cada instante, «echa a volar ocorre el riesgo de abatirse sobre nosotros».Pero la espiral vertical no retiene, no difiere lainflexión sin prometerla también y hacerlairresistible, en transversal: una turbulencianunca se produce sola, su espiral sigue unmodo de constitución fractal según el cualnuevas turbulencias se intercalan siempre entrelas primeras.

La turbulencia se nutre de turbulencias, y, en ladesaparición del contorno, sólo se termina enespuma o crines. La inflexión misma devieneturbulenta, al mismo tiempo que su variación seabre a la fluctuación, deviene fluctuación.

Así, la Naturaleza, el orden natural, -acaso metafísico-,parece incluirlo todo, en un continuo, en un tejido dinámicoy creativo, que muchos autores han dado en llamar elOrden Generativo y que articula lo que se ha llamado enciencias, las Teorías de la Complejidad.

Fin

• Bibliografía

• Arnold, V. I. “Teoría de las Catástrofes”.

• Deleuze Gilles. “El Pliegue”.

• Draves, Scott & Reckase, Erik. “The Fractal Flame Algorithm”.

• Mandelbrot, B. “la Geometría Fractal de la Naturaleza”.

• Piaget, J. “Epistemología de la Matemática y la geometría”.

• Salingaros, Nikos. “Complexity and Urban Coherence”

• Thom, Rene. “Estabilidad Estructural y Morfogénesis”.

• Wolf, K. L. y Kuhn, D. “Forma y Simetría. Una sistemática de los cuerpos simétricos”.

• Zeeman, E., C. “Teoría de las Catástrofes”.