el espacio vectorial - personal.us.espersonal.us.es/jsmonter/jes1/pdf/EV.pdf · En la secci´on...

Capıtulo 9

El espacio vectorial Rn.

9.1 Definiciones y propiedades.

En la seccion 2.1.2 vimos que un vector es un segmento orientado que queda determinado por su

longitud, direccion y sentido. Sin embargo, desde el punto de vista del Algebra, un vector no es mas

que una matriz columna y lo que se estudia en este tema es la estructura que le dan las operaciones

que hacemos con ellos. Ası, el conjunto de los vectores junto con las dos operaciones que vamos a

definir forma la estructura de espacio vectorial, (Rn, +, · ). Esta estructura tambien la tienen

otros conjuntos, como el conjunto de las matrices o el conjunto de los polinomios, y la mayorıa de

los conceptos que vamos a ver son aplicables a ellos.

Definicion 9.1

El espacio vectorial n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de vectores, es el

conjunto de las matrices columna de orden n× 1 que, por comodidad, se representan por n-tuplas:

Rn = {(u1, u2, . . . , un)/u1, u2, . . . , un ∈ R}.

Nota Aunque en un sistema de coordenadas cartesianas el vector −→u = (u1, u2, . . . , un) tiene como

representante el segmento que va del origen al punto (u1, u2, . . . , un), es una matriz columna y a la

hora de operar se escribe como

u =

u1

u2

...

un

141

142 BLOQUE III: ALGEBRA LINEAL BASICA Y TEORIA DE MATRICES

Definicion 9.2

• La suma de dos vectores −→u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn y −→v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ R

n es:

−→u +−→v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn) ∈ Rn.

• El producto de un escalar α ∈ R por un vector −→u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn es:

α−→u = (α u1, α u2, . . . , α un) ∈ Rn. ♣

vÓ

u

u+vÓ

u

Λu HΛ=3L

Proposicion 9.3 (Propiedades de la suma de vectores)

1. −→u +−→v ∈ Rn ∀ −→u ,−→v ∈ R

n (operacion interna).

2. −→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w ∀ −→u ,−→v ,−→w ∈ Rn (asociativa).

3. El vector nulo n-dimensional o vector cero, definido por−→θ = (0, . . . , 0), verifica

−→u +−→θ =

−→θ +−→u = −→u ∀−→u ∈ R

n (existencia del elemento neutro).

4. El vector opuesto de −→u = (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn, definido por −−→u = (−u1, . . . ,−un), verifica

−→u + (−−→u ) = (−−→u ) +−→u =−→θ (existencia de elemento opuesto).

5. −→u +−→v = −→v +−→u ∀−→u ,−→v ∈ Rn (conmutativa). ♣

Proposicion 9.4 (Propiedades del producto de escalares por vectores)

1. α−→u ∈ Rn ∀α ∈ R, ∀−→u ∈ R

n (operacion externa).

2. (α+β)−→u = α−→u +β−→u ∀α, β ∈ R, ∀−→u ∈ Rn (distributiva respecto a la suma de escalares).

3. α (−→u +−→v ) = α−→u +α−→v ∀α ∈ R ∀−→u ,−→v ∈ Rn (distributiva respecto a la suma de vectores).

4. α (β−→u ) = (α β)−→u ∀α, β ∈ R ∀−→u ∈ Rn (asociativa mixta).

5. 1−→u = −→u ∀−→u ∈ Rn (buen comportamiento del uno). ♣

Corolario 9.5 (Propiedades del producto por cero) Sean α, β ∈ R y −→u ,−→v ∈ Rn

1. (a) 0−→u =−→θ (b) α

−→θ =

−→θ (c) α−→u =

−→θ =⇒ α = 0 o −→u =

−→θ

2. (a) α−→u = β−→u y −→u 6=−→θ =⇒ α = β (b) α−→u = α−→v y α 6= 0 =⇒ −→u = −→v

♣

EL ESPACIO VECTORIAL Rn 143

9.2 Dependencia e independencia lineal.

Los conceptos de dependencia e independencia que hemos visto para las filas y columnas de una

matriz se trasladan de forma natural a los vectores. De forma que un conjunto de vectores sera

linealmente dependiente si algun vector se puede expresar como combinacion lineal de los restantes y

linealmente independiente si ningun vector se puede expresar como combinacion lineal de los otros.

Definicion 9.6 Sean −→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k ∈ Rn.

Una combinacion lineal de −→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k es cualquier expresion de la forma

α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k

con α1, α2, . . . , αk ∈ R ♣

Ejemplo 9.1 Sean −→u = (3, 1, 2), −→v = (1, 0, 1), y −→w = (−1, 2, 0) vectores de R3.

• −→u − 2−→v + 3−→w = (−2, 7, 0) es una combinacion lineal de −→u , −→v y −→w .

• 0−→u + 0−→v + 0−→w = (0, 0, 0) es otra combinacion lineal de −→u , −→v y −→w .

• Una combinacion lineal generica de −→u , −→v y −→w es

α−→u + β−→v + γ−→w = (3α + β − γ, α + 2γ, 2α + β)

En todos los casos son vectores de R3. ♣

Definicion 9.7

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es linealmente dependiente (l.d.) si:

∃α1, α2, · · · , αk no todos nulos /α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k =

−→θ .

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es linealmente independiente (l.i.) en caso contrario, es decir, si:

α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k =

−→θ =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0. ♣

Proposicion 9.8 Sea {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} ⊆ Rn.

{−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} es linealmente dependiente si y solo si algun vector se puede expresar como

combinacion lineal de los restantes. ♣


Vectores independientes Vectores dependientes

Ejemplo 9.2 Vamos a estudiar si dos conjuntos de vectores de R3 son linealmente independientes

o linealmente dependientes aplicando la definicion:

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1,−1, 1)}

Construimos una combinacion lineal generica de los vectores y la igualamos al vector cero

α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(1,−1, 1) = (α + β + γ, α + 2β − γ, α + 3β + γ) = (0, 0, 0)

obteniendo el sistema

α + β + γ = 0

α + 2β − γ = 0

α + 3β + γ = 0

Como el sistema es compatible determinado,

rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

= 3 (numero de variables)

la unica solucion es α = β = γ = 0 y los vectores son linealmente independientes.

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)}

Construimos una combinacion lineal generica de los vectores y la igualamos al vector cero

α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(2, 3, 4) = (α + β + 2γ, α + 2β + 3γ, α + 3β + 4γ) = (0, 0, 0)


α + β + 2γ = 0

α + 2β + 3γ = 0

α + 3β + 4γ = 0


Como el sistema es compatible indeterminado,

rg

1 1 2

1 2 3

1 3 4

= 2 < 3 (numero de variables)

existen soluciones distintas de la solucion α = β = γ = 0 y los vectores son linealmente

dependientes. Por tanto, un vector se puede escribir como combinacion lineal de los otros (de

hecho el tercer vector es suma de los otros dos). ♣

Como hemos visto en los ejemplos, si igualamos una combinacion lineal de los vectores a−→θ ,

α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k =

−→θ

el sistema obteniendo es un sistema homogeneo cuyas variables son α1, α2, . . . , αk ∈ R y en el cual

la matriz de coeficientes tiene por columnas las coordenadas de los vectores

A =

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · uk

↓ ↓ · · · ↓

.

Los vectores son linealmente independientes si y solo si este sistema, que siempre es compatible,

tiene solucion unica y esto sucede si y solo si el rango de la matriz coincide con el numero de variables.

Como el numero de variables viene dado por el numero de vectores, los vectores son linealmente

independientes si y solo si el rango de la matriz coincide con el numero de vectores (rg(A) = k).

Ademas, como en Rn los vectores tienen n coordenadas, el rango de la matriz cuyas columnas

son las coordenadas de los vectores es como maximo n. Por tanto, en un conjunto de vectores de Rn

linealmente independiente hay como maximo n vectores.

Ejemplo 9.3 Vamos a estudiar si los conjuntos de vectores del ejercicio 9.2 son linealmente inde-

pendientes o linealmente dependientes, solo que ahora lo haremos a traves del rango:

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1,−1, 1)}

Calculamos el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores:

rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

= 3 (numero de vectores)

Como hay tres vectores linealmente independientes y tenemos tres vectores, los vectores son

linealmente independientes y ninguno se puede escribir como combinacion lineal de los otros.


• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)}


rg

1 1

1 2

2

3

1 3 4

= 2 < 3 (numero de vectores).

Como solo hay dos vectores linealmente independientes y tenemos tres vectores, los vectores

son linealmente dependientes y el tercer vector se puede escribir como combinacion lineal de

los otros dos. ♣

Nota El rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores es el numero maximo

de vectores linealmente independientes que hay dentro del conjunto:

rg

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · uk

↓ ↓ · · · ↓

= numero maximo de vectores l. i. de {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k}

Proposicion 9.9 Sea {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} ⊆ Rn.

(a) Si {−→u } esta formado por un vector no nulo es linealmente independiente.

(b) Si {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} es linealmente dependiente un conjunto que lo contenga tambien lo es.

(c) Si {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es linealmente independiente un subconjunto suyo tambien lo es.

(d) Si {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} contiene al vector−→θ es linealmente dependiente. ♣

9.3 Sistemas generadores y bases de Rn.

Un sistema generador del espacio vectorial Rn es un conjunto de vectores que genera todos los

vectores del espacio, de forma que todo vector del espacio es combinacion lineal de los vectores del

conjunto. Cuando consideramos solo vectores linealmente independientes aparece el concepto de base

del espacio vectorial.

Definicion 9.10 Sea {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} ⊆ Rn.

{−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es un sistema generador de Rn si cualquier v ∈ R

n se puede obtener como

combinacion lineal de −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k, es decir, si:

∀v ∈ Rn ∃α1, α2, · · · , αk ∈ R / α1

−→u 1 + α2−→u 2 + · · ·+ αk

−→u k = v. ♣


Ejemplo 9.4 Vamos a estudiar si dos conjuntos de vectores de R3 son un sistema generador de R

3

aplicando la definicion:

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1,−1, 1)}

Construimos una combinacion lineal generica de los vectores y la igualamos a un vector −→v :

α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(1,−1, 1) = (α + β + γ, α + 2β − γ, α + 3β + γ) = (v1, v2, v3)


α + β + γ = v1

α + 2β − γ = v2

α + 3β + γ = v3

El rango de la matriz del sistema y el rango de la matriz ampliada valen 3

rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

= 3 rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

v1

v2

v3

= 3

Como el sistema siempre es compatible, independientemente del vector −→v , todos los vectores

de Rn se pueden obtener como combinacion lineal del conjunto de vectores. Por tanto, este

conjunto de vectores forma un sistema generador.

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)}

Si construimos una combinacion lineal generica y la igualamos a un vector −→v

α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(2, 3, 4) = (α + β + 2γ, α + 2β + 3γ, α + 3β + 4γ) = (v1, v2, v3)

obtenemos el sistema

α + β + 2γ = v1

α + 2β + 3γ = v2

α + 3β + 4γ = v3

que sera compatible si y solo si el rango de la matriz del sistema coincide con el rango de la

matriz ampliada.

El rango de la matriz del sistema es 2

rg

1 1

1 2

2

3

1 3 4

= 2


pero, al contrario que en el caso anterior, existen vectores para los que el rango de la matriz

ampliada vale 3, por ejemplo, −→v = (0, 0, 1):

rg

1 1

1 2

1 3

2

3

4

0

0

1

= 3

Como el sistema es incompatible para algunos vectores, hay vectores que no se pueden obtener

como combinacion lineal del conjunto de vectores. Por tanto, este conjunto de vectores no

forma un sistema generador. ♣

Si igualamos una combinacion lineal de los vectores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k a un vector −→v generico

α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k = v

el sistema obtenido es compatible si y solo si rg(A) = rg(A)

rg

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · uk

↓ ↓ · · · ↓

= rg

↑ ↑ · · · ↑ ↑

u1 u2 · · · uk v

↓ ↓ · · · ↓ ↓

Esta igualdad es cierta para todo −→v si y solo si el rango de A alcanza su valor maximo. Esto

sucede si y solo si el rango de A coincide con el numero de ecuaciones, que es el maximo valor que

puede alcanzar el rango. Como el numero de ecuaciones viene dado por el numero de coordenadas

de los vectores, la igualdad sera cierta para todo −→v si y solo si el rango coincide con el numero

de coordenadas. Por tanto, un conjunto de vectores es un sistema generador de Rn si y solo si el

rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores coincide con el numero de

coordenadas (rg(A) = n).

Por otra parte, para que el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores

coincida con el numero de coordenadas necesitamos al menos n vectores. Como el rango de esta

matriz tambien nos da el numero de vectores linealmente independientes, tenemos que en un sistema

generador de Rn hay como mınimo n vectores linealmente independientes.


Ejemplo 9.5 Vamos a estudiar si los conjuntos de vectores del ejercicio 9.4 forman un sistema

generador de R3, solo que ahora lo analizamos a traves del rango:

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1,−1, 1)}


rg

1 1

1 2

2

3

1 3 4

= 2 < 3 (numero de coornenadas).

Como solo hay dos vectores linealmente independientes y tenemos tres coordenadas, los vectores

no forman un sistema generador.

• {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)}


rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

= 3 (numero de coordenadas)

Como hay tres vectores linealmente independientes y tenemos tres coordenadas, los vectores

forman un sistema generador. ♣

Definicion 9.11 Sea {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} ⊆ Rn.

El conjunto ordenado de vectores {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es una base de Rn si:

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} es un sistema generador de Rn.

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es linealmente independiente. ♣

En toda base de Rn, {−→u 1,

−→u 2, . . . ,−→u k}, se tiene

rg

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · uk

↓ ↓ · · · ↓

=

k por ser linealmente independientes

n por ser sistema generador

Por tanto, k = n y todas las bases de Rn estan formadas por n vectores. Este numero recibe el

nombre de dimension de Rn y se denota por dim(Rn):

dim(Rn) = n.

De este modo, solo un conjunto de Rn formado por n vectores puede ser base.


Nota Un conjunto {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u n} es una base de Rn si y solo si

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · un

↓ ↓ · · · ↓

6= 0

Ejemplo 9.6 Base canonica de Rn.

Si consideramos los vectores que tienen todas sus componentes iguales a 0 excepto la i-esima que

es igual a 1, −→e i = (0, · · · ,(i)

1 , · · · , 0), obtenemos una base de Rn

C = {−→e 1,−→e 2, . . . ,−→e n}

que recibe el nombre de base canonica de Rn.

En R2 esta base esta formada por los vectores −→e 1 = (1, 0) y −→e 2 = (0, 1) y en R

3 por los vectores

−→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) y −→e 3 = (0, 0, 1). Para dimensiones superiores las bases canonicas se

forman de manera analoga. ♣

Proposicion 9.12

(a) Un conjunto de n vectores de Rn linealmente independiente siempre es una base de R

n.

(b) Si de un sistema generador de Rn eliminamos los vectores que dependen de otros se obtiene

una base de Rn.

(c) Si un conjunto de vectores es linealmente independiente es posible obtener una base de Rn que

lo contenga (teorema de la base incompleta). ♣

Ejemplo 9.7 Consideremos el espacio vectorial R2 con dim

(R

2)

= 2

• El conjunto de vectores {(1, 1), (1,−1)} es linealmente independiente y esta formado por dos

vectores. Por tanto, es una base.

• El conjunto de vectores {(2, 1), (1, 2), (3, 3)} es un sistema generador de R2 pero es linealmente

dependiente, ya que el tercer vector es suma de los otros dos. Por tanto, si eliminamos este

vector obtenemos una base.

• El conjunto de vectores {(1, 1} es linealmente independiente, pues esta formado por un unico

vector no nulo. Por tanto, podemos anadir un vector para obtener una base. ♣


9.4 Las bases de Rn como sistemas de referencia.

En esta seccion vamos a ver que el concepto de base es una extension de los sistemas de referencia

que hemos utilizado hasta ahora para representar un vector.

Teorema 9.13 Sea B = {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} ⊆ Rn una base de R

n y −→v ∈ Rn.

−→v se puede expresar de forma unica como

−→v = a1−→u 1 + a2

−→u 2 + · · ·+ an−→u n. ♣

Este teorema nos permite identificar un vector con los coeficientes de la combinacion lineal, por

lo que decimos que a1, a2, . . . , an son las coordenadas de −→v respecto a B y lo escribimos como

−→v = (a1, a2, . . . , an)B.

Ejemplo 9.8 Sean C = {−→e 1,−→e 2} la base canonica de R

2 y B = {−→u 1,−→u 2} una base de R

2 formada

por los vectores −→u 1 = (1, 1) y −→u 2 = (1,−1).

La base canonica establece el sistema de coordenadas cartesiano formado por lıneas verticales y

horizontales. En el sistema de coordenadas que establece la base B las lıneas que lo forman siguen

las direcciones de los vectores correspondientes. Los dos sistemas marcan coordenadas distintas para

un mismo vector.

Base C Base B

Ası vector −→v = (3, 1) tiene distintas coordenadas en la base canonica y en la base B:

• −→v = (3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1) = 3−→e 1 + 1−→e 2 = (3, 1)C

• −→v = (3, 1) = 2(1, 1) + 1(1,−1) = 2−→u 1 + 1−→u 2 = (2, 1)B ♣

Nota Las coordenadas de −→v ∈ Rn con respecto a la base canonica coinciden con las coordenadas

cartesianas:

−→v = (a1, a2, . . . , an) =⇒ −→v = (a1, a2, . . . , an)C.


Teorema 9.14 (Cambio de base) Sean C = {−→e 1,−→e 2, . . . ,

−→e n} y B = {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u n} dos bases

de Rn y −→v ∈ R

n un vector.

Si conocemos las coordenadas de los vectores de B con respecto a C

B

−→u 1 = (u11, u12, . . . , u1n)C

−→u 2 = (u21, u22, . . . , u2n)C...

−→u n = (un1, un2, . . . , unn)C

tenemos una relacion entre las coordenadas del vector −→v en la base B, XB = (x′1, x′

2, . . . , x′

n)B, y sus

coordenadas en la base C, XC = (x1, x2, . . . , xn)C

x1

x2

...

xn

C

=

u1

↓u2

↓ · · ·un

↓

u11 u21 · · · un1

u12 u22 · · · un2

...... · · ·

...

u1n u2n · · · unn

x′1

x′2...

x′n

B

Esta relacion recibe el nombre de ecuaciones del cambio de base de B a C, ya que relacionan

las coordenadas respecto a dos bases distintas de un mismo vector y transforman sus coordenadas

respecto a B en sus coordenadas respecto a C.

La matriz recibe el nombre de matriz del cambio de base de B a C y sus columnas son las

coordenadas de los vectores de la base B con respecto de la base C. ♣

Nota La matriz del cambio de base de B a C se suele denotar con la letra P y las ecuaciones del

cambio de base de B a C se escriben abreviadamente

XC = P XB

Nota Si P es la matriz del cambio de base de B a C entonces la matriz del cambio de base de C a B

es P−1 y las ecuaciones del cambio de base de C a B se escriben abreviadamente

XB = P−1 XC


Ejemplo 9.9 Sean C = {−→e 1,−→e 2} la base canonica de R

2 y B = {−→u 1,−→u 2} una base de R

2 formada

por los vectores −→u 1 = (1, 1) y −→u 2 = (1,−1).

Obtener las coordenadas en la base canonica del vector −→u = (2, 1)B y las coordenadas en la base

B del vector −→v = (−4, 2)

• Las ecuaciones del cambio de base de B a C son

x1

x2

C

=

u1

↓u2

↓

1 1

1 −1

x′1

x′2

B

Esta ecuacion permite obtener las coordenadas en la base canonica de un vector del que sepamos

sus coordenadas en la base B:

3

1

C

=

1 1

1 −1

2

1

B

• Las ecuaciones del cambio de base de C a B se obtienen al calcular la inversa de la matriz

x′1

x′2

B

=

12

12

12−1

2

x1

x2

C

De esta forma, podemos obtener las coordenadas en la base B de un vector del que sepamos sus

coordenadas en la base canonica

1

−3

B

=

12

12

12−1

2

−2

4

C

♣

9.5 Subespacios vectoriales de Rn.

Los subespacios vectoriales de Rn son los subconjuntos del espacio vectorial que mantienen esta

estructura. De forma que un subconjunto de Rn, E, es un subespacio vectorial si y solo si (E, +, · )

tiene estructura de espacio vectorial.

Definicion 9.15 Sea E ⊆ Rn un subconjunto no vacıo de R

n (E 6= ∅).

E es un subespacio vectorial de Rn si

• −→u +−→v ∈ E ∀−→u ,−→v ∈ E (E es cerrado respecto a la suma de vectores).

• α−→u ∈ E ∀α ∈ R ∀−→u ∈ E (E es cerrado respecto al producto de escalares por vectores). ♣


Teorema 9.16 (Condicion necesaria y suficiente de subespacio vectorial) Sea E ⊆ Rn.

E es un subespacio vectorial de Rn si y solo si α−→u + β−→v ∈ E ∀α, β ∈ R ∀−→u ,−→v ∈ E.

Corolario 9.17 (Condicion necesaria de subespacio vectorial) Sea E ⊆ Rn.

Si E es un subespacio vectorial de Rn entonces

−→θ ∈ E.

Nota Los subespacios vectoriales de R3 son conjuntos de direcciones que tienen como representantes:

• el origen, que recibe el nombre de subespacio trivial

• las rectas que pasan por el origen

• los planos que pasan por el origen

• el espacio tridimensional R3, que recibe el nombre de subespacio total

Teorema 9.18 Sea A ∈Mm×n(R)

Las soluciones del sistema lineal homogeneo A · x = θ forman un subespacio vectorial de Rn. ♣

Definicion 9.19 Sean E ⊆ Rn un subespacio vectorial de R

n y A ∈Mm×n(R).

Un sistema A · x = θ forma las ecuaciones implıcitas del subespacio E si

E = {x ∈ Rn/A · x = θ} ♣

Nota Todo subespacio vectorial se puede expresar mediante unas ecuaciones implıcitas.

Nota Un subespacio de Rn definido por una unica ecuacion recibe el nombre de hiperplano y su

solucion depende de n− 1 parametros.

x=y

X

Y

x=y

X

Y

Z

E = {(x, y) ∈ R2/ x− y = 0} F = {(x, y, z) ∈ R

3/ x− y = 0}

Ejemplo 9.10 El subespacio de R2 dado por la ecuacion implıcita x−y = 0 es la bisectriz del primer

cuadrante. Sin embargo, el subespacio de R3 dado por la ecuacion implıcita x − y = 0 es un plano

en el que la variable z puede tomar cualquier valor. ♣


Teorema 9.20 Sean −→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k ∈ Rn.

El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de −→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k

〈−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k〉 = {α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k / α1, α2, · · · , αk ∈ R}

es un subespacio vectorial de Rn el cual recibe el nombre de variedad lineal generada por

−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k y tambien se denota por L(−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k). ♣


n y −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k ∈ Rn.

El conjunto {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es un sistema generador del subespacio E si

E = 〈−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k〉 . ♣

Nota Todo vector de un subespacio se expresa como combinacion lineal del sistema generador

∀−→v ∈ E ∃α1, α2, · · · , αk ∈ R /−→v = α1−→u 1 + α2

−→u 2 + · · ·+ αk−→u k.

Nota Si −→u 1 = (u11, u12, . . . , u1n),−→u 2 = (u21, u22, . . . , u2n), . . . , −→u k = (uk1, uk2, . . . , ukn) la variedad

lineal generada por estos vectores se expresa mediante su ecuacion parametrica:

u1

↓u2

↓ · · ·uk

↓

x1 = u11α1 + u21α2 + · · · + uk1αk

x2 = u12α1 + u22α2 + · · · + uk2αk

......

......

xn = u1nα1 + u2nα2 + · · · + uknαk

con α1, α2, . . . , αk ∈ R


n y −→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k ∈ Rn.

El conjunto {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} es una base del subespacio E si:

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u k} es un sistema generador de E.

• {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es linealmente independiente. ♣

Proposicion 9.23 Sean E ⊆ Rn un subespacio vectorial de R

n.

El numero de vectores de cualquier base de E es siempre el mismo.

Este numero recibe el nombre de dimension del subespacio E y se denota por dim(E). ♣

Nota El rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores nos da la dimension:

rg

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · uk

↓ ↓ · · · ↓

= dim 〈u1, u2, . . . , uk〉

Nota Si de un sistema generador se eliminan los vectores que dependen de otros se obtiene una base.


Ejemplo 9.11 El subespacio engendrado por el vector (1, 2, 3) es una recta y tiene dimension uno.

Este vector forma una base del subespacio, ya que un conjunto formado por un vector siempre es

linealmente independiente.

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Sin embargo el subespacio engendrado por los vectores (1, 2, 1), (1, 2, 3) y (2, 4, 4) tiene dimension

dos y es un plano. Como el tercer vector es suma de los otros dos, su base esta formada solo por los

dos primeros vectores que sı son linealmente independientes.

Obtencion de una base conocidas las ecuaciones implıcitas del subespacio:

Si las ecuaciones implıcitas de E ⊆ Rn son:

(⋆)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

una base de E se obtiene resolviendo el sistema (⋆), ya que sus soluciones son las ecuaciones pa-

rametricas del subespacio:

u1

↓u2

↓ · · ·uk

↓

x1 = u11α1 + u21α2 + · · · + uk1αk

x2 = u12α1 + u22α2 + · · · + uk2αk

......

......

xn = u1nα1 + u2nα2 + · · · + uknαk

con α1, α2, . . . , αk ∈ R

Si el conjunto de vectores obtenido no es linealmente independiente se eliminan los vectores que

dependen de los demas para obtener la base. En esta base el numero de vectores (dimension del

subespacio) es

dim(E) = dim(Rn)− numero de ecuaciones implıcitas linealmente independientes .


Obtencion de las ecuaciones implıcitas conocida una base del subespacio:

Si {−→u 1,−→u 2, . . . ,

−→u k} es una base de E cuyas coordenadas respecto a la base canonica son:

u1 = (u11, u12, . . . , u1n)

u2 = (u21, u22, . . . , u2n)...

uk = (uk1, uk2, . . . , ukn)

las ecuaciones implıcitas de E se obtienen al imponer

u1

↓u2

↓ · · ·uk

↓

rg

u11 u21 · · · uk1 x1

u12 u22 · · · uk2 x2

......

......

...

u1n u2n · · · ukn xn

= dim(E).

El numero de ecuaciones linealmente independientes del sistema lineal homogeneo obtenido es:

m = dim(Rn)− dim(E).

Ejemplo 9.12 Obtener la dimension, una base, las ecuaciones parametricas y las ecuaciones im-

plıcitas de los subespacios de R3

E = 〈(1, 1, 1)〉 y F = {(x, y, z) ∈ R3/ x + z = 0, x + y + z = 0}

Subespacio E

• Como tenemos un unico vector, este vector el linealmente independiente y, por tanto, tenemos

una recta cuya base es el vector

{(1, 1, 1)} base de E .

• Las ecuaciones parametricas se obtienen imponiendo que un vector generico sea combinacion

lineal del vector de la base (ecuacion vectorial):

(x, y, z) = α (1, 1, 1) =⇒ E

x = α

y = α

z = α

α ∈ R


• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de E:

⋆ El numero de ecuaciones implıcitas linealmente independientes que vamos a obtener es:

no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(E) = 3− 1 = 2

⋆ Anadimos un vector generico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimen-

sion (orlamos el menor que determina el rango con las dos filas que quedan fuera de este):

rg

1 x

1 y

1 z

= dim(E) = 1 =⇒

∣∣∣∣∣∣

1 x

1 y

∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ x− y = 0

∣∣∣∣∣∣

1 x

1 z

∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ x− z = 0

Por tanto, las ecuaciones implıcitas de E son

x− y = 0

x− z = 0

Subespacio F

• El rango de la matriz nos da el numero de ecuaciones implıcitas linealmente independientes:

no de ecuaciones implıcitas l.i. = rg

1 0 1

1 1 1

= 2

• Como son linealmente independientes, tenemos que la dimension del subespacio es:

dim(F ) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 3− 2 = 1 (recta)

• Obtenemos las ecuaciones parametricas de F resolviendo el sistema:

F :

x + z = 0

x + y + z = 0

⋆ Como hay dos ecuaciones implıcitas linealmente independientes, dos de las tres variables

del sistema dependen de la otra y tendremos un parametro (dim(F ) = 1), que sera la variable

que queda fuera del menor que determina el rango:

z = α con α ∈ R.

⋆ Sustituimos el parametro en las ecuaciones implıcitas y resolvemos el sistema:

x + z = 0 =⇒ x + α = 0 =⇒ x = −α

x + y + z = 0 =⇒ − α + y + α = 0 =⇒ y = 0


⋆ Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones parametricas:

F

x = −α

y = 0

z = α

α ∈ R.

• Una base de F esta formada por el vector (−1, 0, 1) (coeficientes de α)

{(−1, 0, 1)} base de F . ♣


plıcitas de los subespacios de R4.

V =< (1, 1,−1, 1), (1, 0, 1, 1) > y W = {(x, y, z, t) ∈ R4/ 2x− y + t = 0; x + y + 2t = 0}

Subespacio V

• Consideramos la matriz cuyas columnas son los vectores de V cuyo rango nos da el numero de

vectores linealmente independientes (dimension de V ):

rg

1 1

1 0

−1 1

1 1

= 2 =⇒ dim(V ) = 2 (plano)

• Como los vectores son linealmente independientes forman una base de V :

base de V {(1, 1,−1, 1), (1, 0, 1, 1)}


lineal de los vectores de la base (ecuacion vectorial):

(x, y, z, t) = α (1, 1,−1, 1) + β (1, 0, 1, 1) =⇒ E + F

x = α + β

y = α

z = −α + β

t = α + β

α, β ∈ R

• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de V :


no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(V ) = 4− 2 = 2



sion (orlamos el menor que determina el rango con las filas que quedan fuera de este):

rg

1 1 x

1 0 y

−1 1 z

1 1 t

= dim(V ) = 2 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 x

1 0 y

−1 1 z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ x− 2y − z = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 x

1 0 y

1 1 t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ − x + t = 0

Por tanto, las ecuaciones implıcitas de E son

x− 2y − z = 0

−x + t = 0

Subespacio W

• Consideramos la matriz cuyas filas son los coeficientes de las ecuaciones (matriz del sistema)

cuyo rango nos da el numero de ecuaciones implıcitas linealmente independientes:


2 −1 0 1

1 1 0 2

= 2

• Determinamos la dimension del subespacio:

dim(W ) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 4− 2 = 2 (plano)

• Las ecuaciones implıcitas son las que nos dan, ya que son linealmente independientes:

W :

2x− y + t = 0

x + y + 2t = 0

• Obtenemos las ecuaciones parametricas de W resolviendo el sistema:

⋆ Como hay dos ecuaciones implıcitas linealmente independientes, dos de las cuatro varia-

bles del sistema dependen de las otras y tendremos dos parametros (dim(W ) = 2), que seran

las variables que quedan fuera del menor:

z = α, t = β con α, β ∈ R.



2x− y + β = 0 =⇒ y = 2x + β =⇒ y = 2(−β) + β = −β

x + y + 2β = 0 =⇒ x = −β

⋆ Al ordenar todas las variables se obtienen las ecuaciones parametricas:

W

x = −β

y = −β

z = α

t = β

α, β ∈ R.

• Una base esta formada por (0, 0, 1, 0) (coeficientes de α) y (−1,−1, 0, 1) (coeficientes de β):

{(0, 0, 1, 0), (−1,−1, 0, 1)} base de W . ♣

9.6 Operaciones con subespacios vectoriales.

Definicion 9.24 Sean E, F ⊆ Rn subespacios vectoriales de R

n.

• La interseccion de E y F es el conjunto E ∩ F = {u ∈ Rn/u ∈ E y u ∈ F}.

• La suma de E y F es el conjunto E + F = {u + v ∈ Rn/u ∈ E y v ∈ F}. ♣

E

FE+F

X

Y

Z E

FEÝFX

Y

Z

Proposicion 9.25 Sean E, F ⊆ Rn subespacios vectoriales de R

n.

• E ∩ F es el mayor subespacio vectorial de Rn contenido en E y en F .

• E + F es el menor subespacio vectorial de Rn que contiene a E y a F . ♣

Nota La union de E y F es el conjunto E ∪ F = {u ∈ Rn/u ∈ E o u ∈ F} y es el menor conjunto

que contiene a E y a F . Sin embargo, solo es un subespacio vectorial cuando uno de los subespacios

esta contenido en el otro.


Proposicion 9.26 Sean E, F ⊆ Rn subespacios vectoriales de R

n.

Si {u1, u2, . . . , uk1} es un sistema generador de E y {v1, v2, . . . , vk2

} un sistema generador de F

entonces {u1, u2, . . . , uk1, v1, v2, . . . , vk2

} es un sistema generador de E + F . ♣

Teorema 9.27 Sean E, F ⊆ Rn subespacios vectoriales de R

n

dim(E + F ) = dim(E) + dim(F )− dim(E ∩ F ). ♣

Nota Si E∩F = {θ} se dice que E+F es una suma directa y se denota el subespacio suma por E⊕F .

Si ademas E + F = Rn se dice que E y F son suplementarios.

Calculo de la suma de dos subespacios:

A partir de las base de E y F :

(E) {u1, u2, . . . , uk1} (F ) {v1, v2, . . . , vk2

}

se obtiene una base de E +F uniendo las bases de los subespacios y eliminando los vectores que sean

linealmente dependientes en el sistema generador:

(E + F ) {E

︷︸︸︷u1, u2, . . . , uk1

,F

︷︸︸︷v1, v2, . . . , vk2

}.

Calculo de la interseccion de dos subespacios:

A partir de las ecuaciones implıcitas de E y F :

(E)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0...

am11x1 + am12x2 + · · ·+ am1nxn = 0

(F )

b11x1 + b12x2 + · · ·+ b1nxn = 0...

bm21x1 + bm22x2 + · · ·+ bm2nxn = 0

se obtienen las ecuaciones implıcitas de E∩F uniendo las ecuaciones de los subespacios y eliminando

las que sean linealmente dependientes en el sistema

(E ∩ F )

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0...

am11x1 + am12x2 + · · ·+ am1nxn = 0

E

b11x1 + b12x2 + · · ·+ b1nxn = 0...

bm21x1 + bm22x2 + · · ·+ bm2nxn = 0

F


Ejemplo 9.14 Obtener la suma e interseccion de los subespacios del ejemplo 9.12:

Subespacio E ∩ F

• Obtenemos unas ecuaciones implıcitas de E ∩ F uniendo las ecuaciones implıcitas:

(E ∩ F )

x− y = 0

x− z = 0

E

x + z = 0

x + y + z = 0

F


nøecuaciones implıcitas l.i. = rg

1 −1 0

1 0 −1

1 0 1

1 1 1

= 3

• Determinamos la dimension del subespacio :

dim(E ∩ F ) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 3− 3 = 0

• Como la dimension es cero, el subespacio esta formado solo por el vector cero:

E ∩ F = {θ}.

Subespacio E + F

• Obtenemos un sistema generador de E + F uniendo las bases de E y de F :

E + F =<

E︷︸︸︷

(1, 1, 1),

F︷︸︸︷

(−1, 0, 1) >

• El rango de la matriz nos da el numero de vectores linealmente independientes (dimension):

rg

1 −1

1 0

1 1

= 2 =⇒ dim(E + F ) = 2 (plano)


• Como los vectores son linealmente independientes forman una base de E + F :

base de E + F {(1, 1, 1), (−1, 0, 1)}


lineal de los vectores de la base (ecuacion vectorial):

(x, y, z) = α (1, 1, 1) + β (−1, 0, 1) =⇒ E + F

x = α− β

y = α

z = α + β

α, β ∈ R

• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de E + F :


no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(E + F ) = 3− 2 = 1


sion (orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de este):

rg

1 −1 x

1 0 y

1 1 z

= 2 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 x

1 0 y

1 1 z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 =⇒ x− 2y + z = 0

Por tanto, la ecuacion implıcita de E + F es

E + F{

x− 2y + z = 0

Ası, E y F son dos rectas que se cortan en el origen y estan contenidas en un plano. ♣


plıcitas de la interseccion y suma de los subespacios de R3

E = 〈(1, 1, 1), (0, 1, 0)〉 y F = {(x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 0}.

Antes de calcular la interseccion y suma de estos subespacios necesitamos la base y las ecuaciones

implıcitas de ambos subespacios


Subespacio E


rg

1 0

1 1

1 0

= 2 =⇒ dim(E) = 2 (plano)

• Como los vectores son linealmente independientes tenemos una base de E:

{(1, 1, 1), (0, 1, 0)} base de E .

• Las ecuaciones parametricas, que dependen de dos parametros (no de parametros=dim(E) = 2),

se obtienen imponiendo que un vector generico sea combinacion lineal de los vectores de la base

(ecuacion vectorial):

(x, y, z) = α (1, 1, 1) + β (0, 1, 0) =⇒ E

x = α

y = α + β

z = α

α, β ∈ R

• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de E:


no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(E) = 3− 2 = 1


sion de E (orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de este):

rg

1 0 x

1 1 y

1 0 z

= dim(E) = 2 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 x

1 1 y

1 0 z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 =⇒ − x + z = 0

Por tanto, la ecuacion implıcita de E es

E{

−x + z = 0


Subespacio F

• Como solo tenemos una ecuacion, tenemos un subespacio de dimension:

dim(F ) = n–no de ecuaciones implıcitas l.i. = 3− 1 = 2 (plano)

• Obtenemos las ecuaciones parametricas de F resolviendo el sistema:

F :{

x + y + z = 0

⋆ Como hay una ecuacion implıcita linealmente independiente, una de las tres variables del

sistema dependen de las otras y tendremos dos parametros (dim(F ) = 2). Estos parametro van

a ser las variables que quedan fuera del menor que determina el rango:

y = α z = β con α, β ∈ R.

⋆ Sustituimos los parametros en las ecuaciones implıcitas y resolvemos el sistema:

x + y + z = 0 =⇒ x + α + β = 0 =⇒ x = −α − β


F

x = −α− β

y = α

z = β

α, β ∈ R.

• Una base de F esta formada por (−1, 1, 0) (coeficientes de α) y (−1, 0, 1) (coeficientes de β)

{(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} base de F .

Subespacio E ∩ F

• Obtenemos unas ecuaciones implıcitas de E ∩ F uniendo las ecuaciones implıcitas de E y F :

E ∩ F

−x + z = 0}

E

x + y + z = 0}

F


no ecuaciones implıcitas l.i. = rg

−1 0 1

1 1 1

= 3


• Por tanto, la dimension del subespacio :

dim(E ∩ F ) = n–no de ecuaciones implıcitas l.i. = 3− 2 = 1 (recta)

• Las ecuaciones implıcitas, al ser linealmente independientes, son las que hemos obtenido:

E ∩ F

−x + z = 0

x + y + z = 0

• Obtenemos las ecuaciones parametricas resolviendo el sistema:


del sistema dependen de la otra y tendremos un parametro (dim(E ∩ F ) = 1), que sera la

variable que queda fuera del menor que determina el rango:

z = α con α ∈ R.


−x + z = 0 =⇒ − x + α = 0 =⇒ x = α

x + y + z = 0 =⇒ α + y + α = 0 =⇒ y = −2α


F

x = α

y = −2α

z = α

α ∈ R.

• Una base esta formada por el vector (1,−2, 1) (coeficientes de α)

{(−1,−2, 1)} base de E ∩ F .

Subespacio E + F

• Obtenemos un sistema generador de E + F uniendo las bases de E y de F :

E + F =<

E︷︸︸︷

(1, 1, 1), (0, 1, 0),

F︷︸︸︷

(−1, 1, 0), (−1, 0, 1) >



rg

1 0 −1 −1

1 1 1 0

1 0 0 1

= 3 =⇒ dim(E + F ) = 3 (espacio tridimensional)

observese que tambien se puede calcular la dimension por la formula:

dim(E + F ) = dim(E) + dim(F )− dim(E ∩ F ) = 2 + 2− 1 = 3

• Como la dimension coincide con la dimension del espacio total el subespacio es el espacio total:

E + F = R3.

Ası, E y F son dos planos que se cortan en una recta. ♣

Ejemplo 9.16 Obtener la suma e interseccion de los subespacios del ejemplo 9.13:

Subespacio V ∩W

• Obtenemos las ecuaciones implıcitas de V ∩W uniendo las ecuaciones implıcitas:

V ∩W

x− 2y − z = 0

−x + t = 0

V

2x− y + t = 0

x + y + 2t = 0

W



1 −2 −1 0

−1 0 0 1

2 −1 0 1

1 1 0 2

= 4


dim(V ∩W ) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 4− 4 = 0.

• Como la dimension es cero, el subespacio esta formado solo por el vector cero:

V ∩W = {θ}.


Subespacio V + W

• Obtenemos un sistema generador de V + W uniendo las bases:

V + W =<

V︷︸︸︷

(1, 1,−1, 1), (1, 0, 1, 1),

W︷︸︸︷

(0, 0, 1, 0), (−1,−1, 0, 1) >

• El rango de la matriz es el numero de vectores linealmente independientes (dimension):

rg

1 1 0 −1

1 0 0 −1

−1 1 1 0

1 1 0 1

= 4 =⇒ dim(V + W ) = 4

que tambien se puede calcular por la formula:

dim(V + W ) = dim(V ) + dim(W )− dim(V ∩W ) = 2 + 2− 0 = 4

• Como la dimension coincide con la dimension del espacio total tenemos que:

V + W = R4.

Ası, V y W son dos planos que se cortan en el origen. ♣


Ejercicios del capıtulo.

Ejercicio 9.17 Estudiar para que valores de k el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (1, k, 0), (2, 0, k)} es

linealmente independientes.

Solucion

• Calculamos el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores en

funcion de k:

rg

1 1 2

1 k 0

1 0 k

⋆ Determinamos los valores crıticos para el rango igualando a cero el menor de mayor orden

que pueda ser no nulo, que en este caso es el determinante de la matriz:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2

1 k 0

1 0 k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= k2 − 3k = 0 ⇔ k = 0 o k = 3.

⋆ Calculamos el rango para los valores crıticos:

⋄ Para a 6= 3, 0 el determinante es distinto de cero y el rango, por tanto, es 3.

⋄ Para a = 3 rg

1 1 2

1 3 0

1 0 3

= 2 (la comprobacion se deja como ejercicio).

⋄ Para a = 0 rg

1 1 2

1 0 0

1 0 0

= 2 (la comprobacion se deja como ejercicio).

En resumen,

rg(A) =

3 a 6= 0, 3

2 a = 0, 3

• El rango de A coincide con el numero de vectores solo para a 6= 3, 0, por tanto, los vectores

son linealmente independientes si y solo si a 6= 3, 0.

Observese que en este caso forman una base de R3. ♣


Ejercicio 9.18 Obtener la dimension, las ecuaciones implıcitas, las ecuaciones parametricas y una

base del subespacio

E = {(x, y, z, t) ∈ R4/ x + y + t = 0, x + y + 2z − t = 0, z + t = 0}

Solucion



1 1 0 1

1 1 2 −1

0 0 1 1

= 3

• La dimension del subespacio es:

dim(E) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 4− 3 = 1 (recta)

• Tenemos 3 ecuaciones implıcitas independientes

x + y + t = 0

x + y + z − t = 0

z + t = 0

por tanto, tres de las cuatro variables del sistema dependen de las otras y tendremos un parametro

(dim(E) = 1). Este parametro sera la variable que queda fuera del menor que determina el rango:

x = α con α ∈ R.

• Sustituimos el parametro en las ecuaciones implıcitas y resolvemos el sistema:

α + y + t = 0 =⇒ α + y − z = 0 =⇒ z = α + y =⇒ z = 0

α + y + z − t = 0 =⇒ α + y + 2z = 0 =⇒ y = −α

z + t = 0 =⇒ t = −z =⇒ t = 0

• Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones parametricas:

x = α

y = −α

z = 0

t = 0

α ∈ R.

• Una base esta formada por el vector (1,−1, 0, 0) (coeficientes de α)

base de E {(−1, 0, 1)}. ♣


Ejercicio 9.19 Calcula la dimension, una base, unas ecuaciones parametricas y unas ecuaciones

implıcitas de los siguientes subespacios vectoriales:

(a) E = {(x, y, z) ∈ R3/x1 + x3 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 0}

(b) F = 〈(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1)〉

Solucion

Apartado a Tenemos un subespacio E ⊆ R3 dado por sus ecuaciones implıcitas:

x1 + x3 = 0

x2 + x3 = 0

x1 + x2 + 2x3 = 0



1 0 1

0 1 1

1 1 2

= 2

• Determinamos la dimension del subespacio:

dim(E) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 3− 2 = 1 (recta)

• Eliminamos las ecuaciones implıcitas linealmente dependientes:

F :

x1 + x3 = 0

x2 + x3 = 0

• Obtenemos las ecuaciones parametricas de E resolviendo el sistema:


del sistema dependen de las otras y tendremos un parametro (dim(E) = 1), que sera la variable que

queda fuera del menor que determina el rango:

x3 = α con α ∈ R.


x1 + x3 = 0 =⇒ x1 + α = 0 =⇒ x1 = −α

x2 + x3 = 0 =⇒ x2 + α = 0 =⇒ x2 = −α


⋆ Al ordenar todas las variables se obtienen las ecuaciones parametricas:

x1 = −α

x2 = −α

x3 = α

α ∈ R.

• Una base esta formada por el vector (−1,−1, 1) (coeficientes de α)

{(−1, 0, 1)} base de E

Apartado b Tenemos un subespacio F ⊆ R4 dado por un sistema generador

{(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1)}


rg

1 0 1

0 1 1

1 0 1

0 1 1

= 2 =⇒ dim(F ) = 2 (plano)

• Al eliminar los vectores linealmente dependientes se obtiene una base de F :

base de F {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}.

• Las ecuaciones parametricas, que dependen de dos parametros, se obtienen imponiendo que

un vector generico sea combinacion lineal de los vectores de la base (ecuacion vectorial):

(x, y, z, t) = α (1, 0, 1, 0) + β (0, 1, 0, 1) =⇒ F

x = α

y = β

z = α

t = β

α, β ∈ R

• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de F :


no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(F ) = 4− 2 = 2


⋆ Anadimos un vector generico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimension

de F (orlamos el menor que determina el rango con las dos filas que quedan fuera de este):

rg

1 0 x

0 1 y

1 0 z

0 1 t

= 2 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 x

0 1 y

1 0 z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ z − x = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 x

0 1 y

0 1 t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 ⇔ t− y = 0

Por tanto, las ecuaciones implıcitas de F son

x− z = 0

y − t = 0

Ejercicio 9.20 Estudiar en funcion de los parametros la dimension de los subespacios de R3

(a) E = 〈(1, 1, 1), (a, 1, 1), (0, a, 0)〉

(b) F = {(x, y, z) ∈ R3/kx + y + z = 0, x + ky + z = 0, x + y + kz = 0}.

Solucion

Apartado a

• Consideramos la matriz cuyas columnas son los vectores de E:

A =

1 a 0

1 1 a

1 1 0

• Determinamos los valores crıticos para el rango, igualando a cero el menor de mayor orden

que pueda ser no nulo, que en este caso es el determinante de A:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a 0

1 1 a

1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a2 − a = 0 ⇔ a = 0, 1.


• Calculamos el rango para estos valores, ya que para el resto es 3 (el maximo posible):

a = 0 =⇒ rg(A) = rg

1 0 0

1 1 0

1 1 0

= 2 a = 1 =⇒ rg(A) = rg

1 1 0

1 1 1

1 1 0

= 2

En resumen se tiene rg(A) =

3 a 6= 0, 1

2 a = 0, 1

• La dimension de E es el rango de la matriz:

dim(E) = no de vectores l.i. = rg(A) =

3 a 6= 0, 1

2 a = 0, 1

Apartado b

• Consideramos la matriz cuyas filas son los coeficientes de las ecuaciones (matriz del sistema):

B =

k 1 1

1 k 1

1 1 k

• Determinamos los valores crıticos para el rango, igualando a cero el menor de mayor orden

que pueda ser no nulo, que en este caso es el determinante de B:

B =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k 1 1

1 k 1

1 1 k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= k3 − 3k + 2 = 0 ⇔ k = −2, 1

• Calculamos el rango para los valores crıticos, ya que para el resto es 3 (el maximo posible):

k = −2 =⇒ rg(B) = rg

−2 1 1

1 −2 1

1 1 −2

= 2 k = 1 =⇒ rg(B) = rg

1 1 1

1 1 1

1 1 1

= 1

En resumen se tiene rg(B) =

3 k 6= −2, 1

2 k = −2

1 k = 1


• La dimension de F se calcula por la formula:

dim(F ) = n–no de ecuaciones inplıcitas l.i. = n− rg(B) =

0 k 6= −2, 1

1 k = −2

2 k = 1

Observese que en este caso la dimension no coincide con el rango de la matriz . ♣

Ejercicio 9.21 Obtener la dimension, una base, las ecuaciones parametricas y las ecuaciones im-

plıcitas de la interseccion y suma de los subespacios de R4:

V =< (1, 0,−1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0,−1) > y W = {(x, y, z, t) ∈ R4/ 2x−z+t = 0; x+z+2t = 0}.

Solucion

Antes de calcular la interseccion y suma de estos subespacios necesitamos la base y las ecuaciones

implıcitas de ambos subespacios

Subespacio V

• Consideramos la matriz cuyas columnas son los vectores de V cuyo rango nos da el numero

de vectores linealmente independientes (dimension de V ):

rg

1 1 1

0 0 0

−1 1 0

1 1 −1

= 3 =⇒ dim(V ) = 3 (espacio tridimensional)

• Como los vectores son linealmente independientes forman una base de V :

base de V {(1, 0,−1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0,−1)}

• Las ecuaciones parametricas, que dependen de tres parametros, se obtienen imponiendo que

un vector generico sea combinacion lineal de los vectores de la base (ecuacion vectorial):

(x, y, z, t) = α (1, 0,−1, 1) + β (1, 0, 1, 1) + γ (1, 0, 0,−1) =⇒ E + F

x = α + β + γ

y = 0

z = −α + β

t = α + β − γ

α, β, γ ∈ R


• Determinamos unas ecuaciones implıcitas linealmente independientes de V :


no de ecuaciones implıcitas l.i. = n− dim(V ) = 4− 3 = 1

⋆ Anadimos un vector generico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimension

(orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de este):

rg

1 1 1 x

0 0 0 y

−1 1 0 z

1 1 −1 t

= dim(V ) = 3 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 x

0 0 0 y

−1 1 0 z

1 1 −1 t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0 =⇒ − 4y = 0 =⇒ y = 0

Por tanto, la unica ecuacion implıcita de V es y = 0.

Subespacio W

• Consideramos la matriz cuyas filas son los coeficientes de las ecuaciones (matriz del sistema)

cuyo rango nos da el numero de ecuaciones implıcitas linealmente independientes:


2 0 −1 1

1 0 1 2

= 2

numero que, ademas, nos permite determinar la dimension del subespacio:

dim(W ) = n–no de ecuaciones implıcitas l.i. = 4− 2 = 2 (plano)

• Las ecuaciones implıcitas son las que nos dan, ya que son linealmente independientes:

W :

2x− z + t = 0

x + z + 2t = 0

• Obtenemos una base mediante las ecuaciones parametricas de W , que se obtienen resolviendo

el sistema.

⋆ Como hay dos ecuaciones implıcitas linealmente independientes, dos de las cuatro variables

del sistema dependen de las otras y tendremos dos parametros (dim(W ) = 2). Estos parametro seran

las variables que quedan fuera del menor que determina el rango:

y = α, t = β con α, β ∈ R.


2x− z + β = 0 =⇒ z = 2x + β z = 2(−β) + β = −β

x + z + 2β = 0 =⇒ x + (2x + β) + 2β = 0=⇒ x = −β



W

x = −β

y = α

z = −β

t = β

α, β ∈ R.

• Una base esta formada por (0, 1, 0, 0) (coeficientes de α) y (−1, 0− 1, 1) (coeficientes de β):

{(0, 1, 0, 0), (−1, 0− 1, 1)} base de W .

Subespacio V ∩W

• Obtenemos las ecuaciones implıcitas de V ∩W uniendo las ecuaciones implıcitas de V y W :

V ∩W

y = 0}

V

2x− z + t = 0

x + z + 2t = 0

W



0 1 0 0

2 0 −1 1

1 0 1 2

= 3


dim(V ∩W ) = n− no de ecuaciones implıcitas l.i. = 4− 3 = 1 (recta)

• Las ecuaciones implıcitas son las obtenidas, ya que son linealmente independientes:

V ∩W

y = 0

2x− z + t = 0

x + z + 2t = 0

• Obtenemos las ecuaciones parametricas de V ∩W resolviendo el sistema:

⋆ Como hay tres ecuaciones implıcitas linealmente independientes, tres de las cuatro variables

del sistema dependen de las otras y tendremos un parametro, que sera la variable que queda fuera del

menor que determina el rango:

t = α con α ∈ R.



y = 0

2x− z + α = 0 =⇒ z = 2x + α z = 2(−α) + α = −α

x + z + 2α = 0 =⇒ x + (2x + α) + 2α = 0=⇒ x = −α

⋆ Al ordenar todas las variables que forman la solucion del sistema se obtienen las ecuaciones

parametricas:

W

x = −α

y = 0

z = −α

t = α

α ∈ R.

• Una base esta formada por el vector (−1, 0− 1, 1) (coeficientes de α):

{(−1, 0− 1, 1)} base de V ∩W .

Subespacio V + W

• Obtenemos un sistema generador de V + W uniendo las bases de V y de W :

V + W =<

V︷︸︸︷

(1, 0,−1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0,−1),

W︷︸︸︷

(0, 1, 0, 0), (−1, 0− 1, 1) >


rg

1 1 1 0 −1

0 0 0 1 0

−1 1 0 0 −1

1 1 −1 0 1

= 4 =⇒ dim(V + W ) = 4

que tambien se puede calcular por la formula:

dim(V + W ) = dim(V ) + dim(W )− dim(V ∩W ) = 3 + 2− 1 = 4

• Como la dimension coincide con la dimension del espacio total es el espacio total:

V + W = R4.

Ası, V y W son un espacio tridimensional y un plano que se cortan en una recta. ♣


Ejercicio 9.22 Sea B= {−→u 1,−→u 2,

−→u 3} una base de R3. Demuestra que B′= {−→u 2,

−→u 3,−→u 1} es una

base de R3 y determina las coordenadas con respecto a B′ del vector −→u = (1, 0,−1)B. ¿Son B y B′

la misma base?.

Solucion

Al ser B una base tenemos que B es un sistema generador de R3 linealmente independiente.

• B′ es una base, ya que los conceptos de sistema generador y de vectores linealmente indepen-

dientes no dependen del orden de los vectores.

• No es la misma base, ya que el orden de los vectores es distinto y conceptos como el de

coordenadas con respecto a una base sı dependen del orden.

• En particular, en las coordenadas de u con respecto a B y B′ cambia el orden:

u = (1, 0,−1)B = u1 + 0u2 − u3 = 0u2 − u3 + u1 = (0,−1, 1)B′ ♣

Ejercicio 9.23 Sean E = {(x, y) ∈ R2/ax + y = 0} y F = {(x, y) ∈ R

2/x + y = 0} subespacios

vectoriales.

Calcula a para que su suma tenga dimension 1.

Solucion

Como E y F tienen dimension 1

dim(E) = dim(R2)− no ecuaciones implıcitas l.i. = 2− 1 = 1

dim(F ) = dim(R2)− no ecuaciones implıcitas l.i. = 2− 1 = 1

para que la dimension de la suma sea 1, la dimension de la interseccion debe valer 1

dim(E ∩ F ) = dim(E) + dim(F )− dim(E + F ) = 1 + 1− 1 = 1.

Para ello, las dos ecuaciones deben ser linealmente dependientes

E∩F

ax + y = 0}E

x + y = 0}Fcon no ecuaciones implıcitas l.i. = dim(R2)−dim(E∩F ) = 2−1 = 1.

Para que la interseccion solo tenga una ecuacion linealmente independiente, el rango tiene que

ser 1 y su determinante 0:


a 1

1 1

= 1 ⇔

∣∣∣∣∣∣

a 1

1 1

∣∣∣∣∣∣

= a− 1 = 0 ⇔ a = 1. ♣

Capıtulo 10

Diagonalizacion de matrices cuadradas.

10.1 Matrices diagonalizables.

Una matriz D∈Mn×n(R) es diagonal si es de la forma

D =

d1 0 · · · 0

0 d2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · dn

El objetivo de este tema es relacionar una matriz cuadrada con una matriz diagonal de las mismas

dimensiones, de forma que, en cierto modo, ambas sean equivalentes.

Definicion 10.1 Sea A∈ Mn×n(R) una matriz cuadrada.

A es diagonalizable si existe una matriz no singular P ∈ Mn×n(R) tal que

P−1AP = D con D diagonal. ♣

Nota Si P es la matriz de paso tal que P−1AP es diagonal y u1, u2, . . . , un son las columnas de P

P =

↑ ↑ · · · ↑

u1 u2 · · · un

↓ ↓ · · · ↓

se tiene que B = {u1, u2, . . . , un} es una base de Rn y que P es la matriz del cambio de base de B a

la base canonica de Rn. Esto hace que P reciba el nombre de matriz de paso y que digamos que

A y D son matrices semejantes.

Nota Si A es diagonalizable y P es la matriz de paso podemos escribir A como

A = PDP−1

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