1. Calcular el montante que obtendremos al capitalizar 5.000 euros al 5% durante 90 días

(año civil y comercial). Solución: 5.061,64 euros (civil); 5.062,50 euros (comercial).

Co n i C90 C'90

5000 90 0,05 5061,64384 5062,5

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años.

Solución: 480 euros

Co n i I0-2 C2

6000 2 0,04 480 6480

3. Calcular el tanto de interés anual al que se invirtieron 10.000 euros durante 6 meses

obteniendo 10.400 euros. Solución: 8%

Co C6 n i

10000 10400 6 0,08

4. Calcular el tiempo durante el que se capitalizaron 2.700 euros al 1% mensual simple

obteniendo 2.882,25 euros. Solución: 6 meses y 22 días.

90 0

5.000 Cn

2 0

6.000 C2

6 0

10.000 10.400

n 0

2.700 2.882,25

5,062.5)05,0360

901(000.5'

64,061.5)05,0365

901(000.5

90

90

C

C

480000.6480.6

480.6)04,021(000.6)21(

48004,02000.62

0220

02

020

CCI

iCC

iCI

08,0)12

61(000.10400.10)1(0 iiinCC n

Co i(12) Cn n

2700 0,01 2.882,25 6,75 (meses)

5. ¿Cuál es el descuento cobrado por un banco al descontar 10.300 euros al 6% de interés

durante 6 meses. Solución: 300 euros

N n i Dr E Dr = N - E

10300 6 0,06 300 10000 300

6. Calcular el tanto de interés aplicado al descontar una letra de nominal 3.704 euros con

vencimiento a 90 días si el efectivo obtenido fue de 3.650 euros. Solución: 5,92%

E N n i

3650 3704 60 0,05917808

7. ¿Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 6% un pagaré de nominal

10.300 euros si éste vence dentro de 6 meses y nos cobran una comisión del 0,5%?.

¿Cuál sería el tanto de interés efectivamente aplicado?.

Solución: 9.948,50 euros; 7,07%

N n i Comisión E ie

10.300 6 0,06 0,005 9948,5 0,07066386 9948,50029

6 0

E 10.300

90 0

3.650 3.704

6 0

E 10.300 i = 0,06 Comisión: 0,005

mesesnn 75,6)01,01(700.225,882.2

300000.10300.10000.10

06,012

61

300.10

1

300

06,012

61

06,012

6300.10

1

ENDin

NE

in

inCD

r

n

r

059178,0

360

901

704.3650.3

1i

iin

NE

8. Vendemos una letra de 12.000 euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida

si ésta vence dentro de 4 meses. ¿Cuál es el descuento cobrado? . ¿Y la rentabilidad que

obtendría el comprador si espera al vencimiento?.

Solución: 11.800 euros; 200 euros; 5,08%

Co C4 d n Dc = C4 - Co r

11800 12000 0,05 4 200 0,05084746 12000

9. Para pagar un artículo valorado en 1.150 euros hacemos una entrega inicial de 250 euros

y tres pagos iguales con vencimientos a 30, 60 y 90 días. Para los que nos ofrecen recargar

el precio del artículo en un 6% o cobrarnos por los pagos aplazados un 12% de descuento

y una comisión del 0,1%. ¿Qué decisión debemos adoptar?.

Solución: P1=323 euros; P2=306,44 euros; 2ª

PVC 1,06 PVC Entrega N d N'

1150 1219 250 323 0,12 306,435138 1150

n1 n2 n3 Comisión

30 60 90 0,001

Interesa la 2ª opción porque se paga menos ( 306,44 < 323 ).

10. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir 11.800 euros al 5% de interés

4 0

E 12.000

90 0 30 60

1.150- 250

N' N' N'

d = 0,12

07066,0

12

61

300.105,948.9

5,948.9300.10005,0

06,012

61

300.10

e

e

i

i

E

0508,0000.12)12

41(800.11

200800.11)05,012

41(000.12 040

rr

CCDC c

44,306''3001,0)12,0360

901()12,0

360

601()12,0

360

301('250150.1

3233

2501219219.106,1150.1

NNN

NPVCPVC

anticipado durante 4 meses. ¿Cuál es el interés obtenido?.¿Y el tanto de interés vencido

equivalente?. Solución: 12.000 euros; 200 euros; 5,08%

C0 - C0 n i* n i* C0 I*0-4 i

11800 4 0,05 12000 200 0,05084746

11. Se sustituyen tres letras de 600 euros, 550 euros y 750 euros con vencimientos

respectivos 3, 6 y 9 meses por otra, calcular su vencimiento si:

(a) Su nominal es de 1.880 euros y nos aplican un tanto de interés del 4%.

(b) Si su nominal es de 1.880 euros y nos aplican un tanto de descuento del 4%.

(c) Si su nominal es de 1.900 euros y nos aplican un tanto de descuento.

Solución: a) 3 meses; b) 3 meses y 3 días; c) 6 meses y 7 días

C C1 C2 C3 i n E

1880 600 550 750 0,04 2,99273566 1861,43043

E n1 n2 n3 n' E' E'

1861,43077 3 6 9 3,11170213 1860,5 1860,5

n''

6,23684211

4 0

C0 - C0 n i* = 11.800 C0

9 0 3 6

600 550 750

i = 0,04

n , n' , n'' 0

1.880 d

d

05084746,0

05,012

41

05,0

200800.11000.12*000.12

05,012

41

800.11800.11)05,0

12

41( 4000

i

ICC

mesesnn

99,2

04,012

1

1880

04,012

91

750

04,012

61

550

04,012

31

600

n'' representa el vencimiento medio con la Ley de Descuento Simple Comercial,

ya que C = C1 + C2 + C3 (n'' no depende del tanto de descuento d utilizado)

12. Queremos sustituir tres letras de 400 euros, 500 euros y 700 euros con vencimientos

respectivos 3, 6 y 9 meses por otra con vencimiento dentro de 2 meses. Calcular su

nominal si se utiliza el descuento comercial al 6% y nos cobran una comisión del 0,1% por

cada letra sustituida. Solución: 1.564,75 euros

N1 N2 N3 n1 n2 n3

400 500 700 3 6 9

N n d Comisión E E

1564,74747 2 0,06 0,001 1549,1 1549,1

13. Una entidad vende a crédito concediendo 10 plazos mensuales e incrementando el

importe de la factura con un recargo del 10%. Descuenta al d = 6% y comisión 0,3% en un

banco los nueve efectos suscritos por el comprador. Determinar el beneficio inmediato

que produce a la entidad esta operación si el precio de venta es de 5.000 euros.

Solución: 361,40 euros

9 0 3 6

400 500 700

d = 0,06 Comisión: 0,001

2 0

N

d = 0,06 Comisión: 0,001

1 0 2

N

9

...

mesesnn

11,3')04,012

'1(880.1)04,0

12

91(750)04,0

12

61(550)04,0

12

31(600

mesesC

CnCnCnn 24,6

900.1

750955066003'' 332211

75,564.1)06,012

21(

)700500400(001,0)06,012

91(700)06,0

12

61(500)06,0

12

31(400

NN

PVC 1,1 PVC N d Comisión E Beneficio

5000 5500 550 0,06 0,003 5361,4 361,4

14. El señor X, tiene ahorrada una determinada cantidad de dinero y decide comprar un

efecto comercial cuyo valor nominal es de 7.816,50 euros y vence dentro de un año

rindiendo un 8%. Sin embargo con este dinero que tiene ahorrado podría comprar tres

letras de igual nominal y vencimientos respectivos de 2, 5 y 11 meses cobrando un 7% de

descuento comercial. Estas tres letras son propiedad del señor Y obtenidas al vender un

aparato de aire acondicionado valorado en 7.062,50 euros que le abonaron mediante

dichas letras con vencimiento a los 3, 6 y 12 meses de la venta aplicando a las mismas un

determinado tanto de descuento.

(a) ¿Cuál fue el coste del efecto comercial para el señor X?.

(b) ¿Cuál es el nominal de las tres letras que el señor X podría haber comprado?.

(c) ¿Qué tanto de descuento aplicó el señor Y a las letras en la venta del aparato de aire

acondicionado?. Solución: a) 7.237,50 euros; b) 2.500 euros; c) 10%

N i PC d N'

7816,5 0,08 7237,5 0,07 2500 7237,5

PVC d' E'

7062,5 0,1 7062,5

1 0

PC 7.816,5

12 0 1 6

7.062,5 N' N' N'

d = 0,07

7.237,5

d

4,361000.54,361.55509003,0

)06,012

91()06,0

12

31()06,0

12

21()06,0

12

11(550550

55010

500.5500.51,1000.5

EBeneficio

E

NPVCPVC

1,0')'12

121()'

12

61()'

12

31(500.25,062.7

500.2')07,012

111()07,0

12

51()07,0

12

21('5,237.7

5,237.708,1

5,816.7

dddd

NN

PC

15. El Sr. Alvarez posee una tienda de artículos de deporte y vende al Sr. Sánchez un velero

que ofrecería a su hijo como regalo de fín de carrera. El Sr. Sánchez entrega en ese

momento 1.125 euros y conviene en pagar el resto mediante dos letras de igual nominal

con vencimiento dentro de 6 y 12 meses. Cuando han transcurrido 3 meses el Sr. Alvarez

presenta al descuento dichas letras obteniendo 5.285, 95 euros líquidas (el tanto que le

aplican es del d = 15 % simple, y una comisión del 5,47 % sobre el descuento). Se pide:

(a) Nominal de las letras que firma el Sr. Sánchez.

(b) Precio de venta al contado del velero, sabiendo que el Sr. Alvarez cuando vende a

plazos recarga el precio del artículo en un 25%, deja a elección del cliente la entrega

inicial y el resto lo divide en los plazos acordados.

(c) Plantear la ecuación que nos lleva a calcular el interés efectivo del comprador.

Solución: a) 2.870 euros; b) 5.492 euros; c) 43,09%

E d Comisión N

5285,95 0,15 0,0547 2869,9991 5285,95 2870

1125 PVC ie

6865 1,25 5492

Entrega N E d Comisión E

1125 2869,9991 5285,95 0,15 0,0547 5285,95

1,25 PVC PVC ie

6864,99821 5491,99857 0,43089773 5492,00005

16. Unos amigos que quieren montar un despacho necesitan comprar un ordenador pero

no disponen de suficiente efectivo de forma que acuerdan hacer un pago en efectivo y

firmar tres letras de doble nominal que dicho pago. El vendedor les aplica un tanto del

12% de descuento y les exige que las letras sean a 30,60 y 90 días respectivamente.

Calcular el nominal de dichas letras si el precio de venta al contado es de 3.500 euros.

A los 45 días y no disponiendo de efectivo deciden cambiar las restantes por una única que

venza en 45 días. El vendedor acepta aplicando el mismo tanto pero cobrando una

comisión del 0,1% sobre el nominal de dicha letra. Calcular el nominal y plantear la

ecuación que nos da el tanto de interés simple efectivo de la operación finalmente

realizada. Solución: 1.017,44 euros; 2.047,29 euros; 12,66%

N 2 N d n1 n2 n3 PVC

508,72093 1017,44186 0,12 30 60 90 3500

N' d Comisión E' ie

2047,29154 0,12 0,001 2014,53488 2014,53488 0,12664014 3500,00087

12 0

1.125 N

4309,0

12

121

870.2

12

61

870.2125.1492.5

549225,1

99821,864.699821,864.6870.22125.125,1

870.215,0)12

9

12

3(0547,0)15,0

12

91()15,0

12

31(95,285.5

e

ee

i

ii

PVCPVC

NNN

17. El señor X ha perdido su cosecha debido al desbordamiento de un río colindante a su

finca y tendrá que volver a sembrar, aunque en estos momentos carece de fondos para

comprar la semilla. Posee dos letras de igual nominal y vencimientos a los 9 y 15 meses

respectivamente, que obtuvo al vender una máquina cosechadora. Si el señor X acudiese

a un banco A que descuenta aplicando un tanto d = 8% simple y una comisión de 1%,

obtendría 1.820 euros. Por otra parte le ofrecen acudir a un banco B que descuenta

aplicando un tanto de interés del 7% simple y una comisión del 2%. Se pide:

(a) Nominal de las letras que posee el señor X.

(b) Cantidad que obtendrá el señor X si descontara sus letras en el banco B.

(c) ¿Qué tanto de descuento deberá aplicar el banco A para que al señor X le resultase

indiferente ambas propuestas?. (Se mantienen las comisiones).

Solución: a) 1.000 euros; b) 1.829,66 euros; c) 7,52%

N n1 n2 d Comisión E

1000 9 15 0,08 0,01 1820

i Comisión E' d'

0,07 0,02 1829,65899 0,07517051 1829,65899

90 0 30 60

3.500 - N 2 N 2 N 2 N

d = 0,12 Comisión: 0,001

15 0

E E' N

i = 0,07 Comisión: 0,02 d = 0,08 Comisión: 0,01

1266,0

360

901

29,047.2

360

301

44,017.172,508500.3

29,047.2')12,0360

451(''001,0)12,0

360

451()12,0

360

151(44,017.1

44,017.1272,508

)12,0360

901()12,0

360

601()12,0

360

301(2500.3

e

ee

i

ii

NNN

NN

NN

0752,0'66,829.1000.1201,0)'12

151()'

12

91(000.1

66,829.1000.1202,0

07,012

151

000.1

07,012

91

000.1'

000.1201,0)08,012

151()08,0

12

91(820.1

ddd

E

NNN

18. Calcular el montante de 10.000 de euros invertido al 6% anual durante 8 años y 5 meses

por los convenios exponencial y lineal.

Solución: 16.330,18 euros (exponencial) ;16.336,94 euros (lineal)

Co n i Conv.Expo. Conv.Lineal

10000 8,41666667 0,06 16330,1823 16336,9428

19. Calcular el montante producido por un capital de 500 euros invertido al 8% durante 8

años. Calcular asímismo los intereses obtenidos.

Solución: 925,47 euros; 425,47 euros

Co n i C8 I0-8

500 8 0,08 925,465105 425,465105

20. Determinar el montante de un capital de 7.500 euros invertido al 6% anual

capitalizable por trimestres, siendo 10 años el tiempo que estuvo invertido. ¿Cuál es el

tanto anual equivalente?. Solución: 13.605,14 euros; 6,14%

Co n j(4) i(4) C10 i

7500 10 0,06 0,015 13605,1381 0,06136355

21. Determinar el tanto anual de interés compuesto que se necesita usar para obtener un

montante de 300.000 euros al invertir 200.000 euros durante 5 años. ¿Qué tanto efectivo

se utilizará si sabemos que se capitaliza por cuatrimestres?. Solución: 8,45%; 2,74%

8,42 0

10.000 Cn

8 0

500 C8

10 0

7. 500 C10

94,336.16)06,042,01(06,1000.10

)))((1()1('

18,330.1606,1000.10)1(

8

)(

042,8

42,8

042,8

inEnteroniCC

iCC

nEntero

n

47,42547,925)08,01(500 0880

8

8 CCIC

0614,01015,11))4(1(

14,605.13))4(1(500.7

015,04

06,0

4

)4()4(06,0)4(

44

40

10

ii

iC

jij

Co n i C5 i(3)

200000 5 0,08447177 300000 0,02739966

22. ¿Durante cuánto tiempo debe invertirse un capital de 10.000 de euros al 6 % de interés

compuesto anual, para que llegue a obtenerse un montante de 17.000 euros?

Solución: 9 años 1 mes y 8 días.

Co n i Cn

10000 9,10654186 0,06 17000

23. Un banco abona a sus depositantes el 9% de interés capitalizable semestralmente, una

segunda entidad abona el mismo 9% capitalizable trimestralmente y una tercera lo hace

mensualmente. Determinar el tanto efectivo anual y el montante que se tendrá

transcurridos 3 años y medio si se colocan 5.000 euros.

Solución: 9,20%; 6.804,31 euros(A); 9.31%; 6.827,42 euros (B); 9.38%; 6.843,25 euros (C)

Co n j(2) i(2) i C3,5

5000 3,5 0,09 0,045 0,092025 6804,30915

j'(4) i'(4) i' C'3,5

0,09 0,0225 0,09308332 6827,41714

j''(12) i''(12) i'' C''3,5

0,09 0,0075 0,0938069 6843,24843

5 0

200.000 300.000 i

n 0

10.000 17.000 i = 0,06

3,5 0

5.000 C3,5 j''(12) = 0,09 j'(4) = 0,09

0274,010845,11)1()3(0845,01000.200

000.3001 3

1

3

15

11

0

iiC

Ci

nn

añosLn

LnLn

iLn

CLnCLnn n 1065,9

06,1

000.10000.17

)1(

0

25,843.60938069,1000.5''0938069,01))12(''1(''0075,012

)12('')12(''09,0)12(''

42,827.609308,1000.5'09308,01))4('1('0225,04

)4(')4('09,0)4('

31,804.6092025,1000.5092025,01))2(1(045,02

)2()2(09,0)2(

5,3

5,3

12

5,3

5,3

4

5,3

5,3

2

Ciij

ij

Ciij

ij

Ciij

ij

24. Hace 14 años una entidad bancaria nos proporcionó dos formas de inversión, ambas a

plazo fijo y a un tanto nominal del 15%, invertido un capital en ambas proposiciones

observamos una diferencia de 1.301,10 euros. Calcular el capital invertido sabiendo que

en la primera forma de inversión el tanto nominal tenía una frecuencia semestral y en la

segunda bienal. ¿Cuánto deberíamos haber invertido en la segunda para que ambos

capitales hubieran producido igual montante?. Solución: 1.000 euros; 1.207,35 euros

Co j(2) i(2) C14 j'(1/2) i'(1/2) C'14

1000,00266 0,15 0,075 7575,96837 0,15 0,3 6274,86837

C14 - C'14 C'o

1301,1 1207,35433 7575,96937

25. ¿Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 8% un pagaré de nominal

20.000 euros si éste vence dentro de 2 años y nos cobran una comisión del 0.5%.

¿Cuál será el tanto de interés efectivamente aplicado?. Solución: 17.046,78 euros; 8,32%

N n i Comisión E ie

20000 2 0,08 0,005 17046,7764 0,08316311 17046,7767

26. Vendemos una letra de 12.000 euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida

si ésta vence dentro de 4 años y la rentabilidad que obtendrá el comprador si espera al

vencimiento. Solución: 9.774,08 euros; 5,26%

14 0

C0

C14

C'14

j(1/2) = 0,15

2 0

E 20.000 i = 0,08 Comisión: 0,005

4 0

E 12.000 d = 0,05

35,207.1'96837,575.73,1'

000.1)3,1075,1('1,301.1

3,1'3,015,022/1

)2/1(')2/1('15,0)2/1('

075,1))2(1(075,02

)2()2(15,0)2(

0

7

0

0

728

01414

7

014

28

0

28

014

CC

CCCC

CCj

ij

CiCCj

ij

0832,0)1(

000.2078,046.17

78,046.17000.20005,008,1000.20005,0)1(

2

22

e

e

ii

NiNE

N n d E r

12000 4 0,05 9774,075 0,05263158 12000

27. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir 11.800 euros al 5% de interés

anticipado durante 2 años y 4 meses. ¿Cuál es el interés obtenido?. ¿Y el tanto de interés

vencido equivalente?. Solución: 13.300,26 euros; 1.500,26 euros; 5,26 %

Cn (1 - i*)n

n i* Cn I0-2,333 i

11800 2,33333333 0,05 13300,264 1500,26401 0,05263158

28. Por tres préstamos contraídos con una entidad bancaria tenemos las siguientes

obligaciones:

(a) Pago de 2.000 euros dentro de 5 años.

(b) Pago de 3.000 euros dentro de 10 años.

(c) Pago de 5.000 euros dentro de 15 años.

Queremos efectuar una entrega única de 10.000 euros valorando al 5% de interés. ¿Dentro

de cuántos años debemos efectuar la entrega?. ¿Cuál deberá ser la cantidad a entregar a

los 12 años para saldar las tres deudas?.

Solución: 11 años, 1 mes y 12 días; 10.440,89 euros

N1 N2 N3 n1 n2 n3 i

2000 3000 5000 5 10 15 0,05

N n E N' n'

10000 11,1157106 5813,87758 5813,87758 10440,8888 12 5813,87758

2,33 0

11.800 = C0 = Cn (1 - i*)n Cn i* = 0,05

15 0 5 10

E 2.000 3.000 5.000

i = 0,05

12 0

E 10.000

0526,0000.12)1(075,774.9

075,774.9)05,01()1(000.12

4

4

rr

dE n

0526,01800.11

300.13300.13)1(800.11

26,500.1800.1126,300.1326,300.13)05,01(

800.11

*)1(

33,2

1

33,2

33,2033,2

0

ii

ICCi

CC nnnn

89,440.10'05,1'05,1000.505,1000.305,1000.2

1157,1105,1000.1005,1000.505,1000.305,1000.2

1215105

15105

NN

añosnn