39. Calcúlense los valores inicial y final de una renta discreta, inmediata, formada por 10

términos de cuantía 1.000 € y valorada a un tanto periodal del 5%.

Distinguir los casos prepagable y pospagable.

Solución: 7.721,73 €; 12.577,89 €; (pospagable) 8.107,82 €; 13.206,79 €; (prepagable).

C n i V0 V10 V'0 V'10

1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872

40. Calcular la diferencia entre los valores actuales, valorando al 13%, de dos rentas de

cuantía constante anual 500 euros, prepagables e inmediatas de 100 años de duración una

e indefinida la otra. Solución: 0,0214 €.

C n i V0 V0p Diferencia

500 100 0,13 4346,13245 4346,15385 0,02139246

41. Calcular el valor actual de una renta postpagable de 400 euros trimestrales, valorando

al 12% nominal, a la que tendremos derecho dentro de un año y recibiremos durante los

5 siguientes. Solución: 5.287,38 €.

30 1 2

1.000

10

1.000

90 1 2

1.000

10

1.000

990 1 2

500

100

500

0 1 2

500 ...500

79,206.1305,182,107.8)1(''

82,107.805,105,0

05,11000.1)1()1('

89,577.1205,173493,721.7)1(

73493,721.705,0

05,11000.1

1010

010

10

00

10

10

10

010

10

0

iVV

iaCiVV

sCiVV

aCV

in

i

in

02139246,0

15385,346.413,113,0

500)1(

13245,346.413,113,0

13,11500)1(

00

0

100

0

VV

ii

CV

iaCV

p

p

in

C j(4) i(4) n m V0

400 0,12 0,03 5 4 5287,37749

42. Cierta persona ha venido realizando durante 7 años imposiciones de 1.000 euros al

principio de cada semestre en una entidad financiera que capitaliza a rédito constante

semestral del 4%. Determínese el montante de que podrá disponer en este momento

sabiendo que hace un año que realizó la última imposición. Solución: 19.784,53 €.

C n m i(2) V15/2

1.000 7 2 0,04 19784,5311

43. Una finca tiene un valor estimado de 500.000 euros pero está gravada con un censo,

que se paga cada 2 años por un importe de 5.000 euros. Si el próximo censo vence dentro

de 2 años, cuál es el valor neto de la finca suponiendo un tipo de interés efectivo anual

del 8'5%?. Solución: 471.787,28 €.

C C' i i(1/2) V0p C - V0p

500.000 5.000 0,085 0,177225 28212,7239 471.787,28

45. Determínese el número de términos postpagables de cuantía constante 1.500 euros

necesarios para cancelar una deuda de 10.000 euros sabiendo que para su valoración se

utiliza un rédito periodal constante del 10%. Si el resultado obtenido no es entero

redondearlo por defecto y considerar un pago complementario al contado.

Solución: 11 pagos de 1.500 € y 257,41 € al contado.

0 1

400

24/4

400

13/20 1/2 2/2

1.000

15/2

1.000

60 2 4

5.000 5.000 5.000

37749,287.503,103,0

03,11400))4(1(400 4

204

)4(200 iaV i

5876,023.1904,104,0

104,1000.1 2

14

2

15V

28,787.471000.500..7239,212.28177225,0

000.5

)2

1(

000.5

177225,01085,11)1()2

1(085,0

00

22

pp VEV

i

V

iii

V0 C n i X

10.000 1.500 11,5267039 0,1 9999,99964 257,408492 10000

46. Mediante el pago de 2.000 euros al final de cada año se pretende cancelar una deuda

de 15.000 €. Si el tanto de valoración es el 10% anual. ¿Cuál será el número de pagos a

efectuar?. Si el resultado obtenido no es entero redondearlo por exceso y modificar la

cuantía de los pagos. Solución: 15 pagos de 1.972,11 €.

V0 C n i C'

15.000 2.000 14,5450818 0,1 15000 1972,10665 15000

47. El valor al contado de una vivienda es de 160.000 euros y nos proponemos adquirirlo

entregando 110.000 euros en el momento de la compra y el resto en 20 pagos anuales

de 5.000 euros, efectuándose el primero al año de la compra. ¿Qué tanto de interés nos

cobran por los pagos aplazados?. Solución: 7,75 %.

V0 C n i

50000 5.000 20 0,07754689 50000,0005

48. Calcúlese el valor inicial de una renta prepagable de cuantía anual de 2.000 euros y

5 años de duración, si para su valoración se utiliza un rédito constante anual del 11 %

los 3 primeros años y del 10% los restantes. Solución: 8.216,87 €.

V0 C n i i'

8216,86831 2.000 5 0,11 0,1

30 1 2

1.500 10.000

30 1 2

2.000 15.000 2.000 2.000 2.000

30 1 2

5.000 160.000-110.000

20

41,2571,1

1,11500.1500.1000.10

5267,111,0

1,11500.1500.1000.10

11

11 XXaX

na

i

n

in

11,972.1'1,0

1,11''000.15

545,141,0

1,11000.2000.2000.15

15

1,015 CCaC

nan

in

0775,0)1(1

000.5000.5000.110000.16020

20 ii

ia i

49. Calcular el valor inicial de una renta postpagable de 10 términos anuales cuyos tres

primeros son de 800 €, cada uno de los 4 siguientes de 1.200 € y los restantes de 1.300 €.

El tipo de interés es del 8 % para los 4 primeros años y del 10 % para los restantes.

Solución: 6.922,54 €.

V0 C C' C'' i i'

6922,54299 800 1.200 1.300 0,08 0,1

50. Un señor necesita disponer de un capital de 40.000 € dentro de ocho años.

Determínese la cuantía de las imposiciones a realizar en los casos:

(a) Ocho imposiciones anuales prepagables de cuantía constante A en una entidad que

capitaliza al 8 % anual.

(b) Imposiciones anuales postpagables de cuantía B los seis primeros años y de cuantía 2B

los restantes valorando al 8 % anual.

(c) Imponer al principio de cada año una cuantía constante C durante los ocho años, siendo

los réditos anuales de valoración en este caso del 7 % los 5 primeros años y del 9 % para

los restantes. Solución: A = 3.482,03 €; B = 3.145,49 €; C = 3.465,66 €.

V8 i i' i'' A B C

40.000 0,08 0,07 0,09 3482,02817 3145,48803 3465,65824

40000 40000 40000

50 1 2

0,1

2.000

30 102

800 800800 1.300 1.3001.300

80 1 2

A 40.000A A A A

80 1 2

2 B40.000

80 1 2

C40.000

87,216.811,11,1000.211,1000.2 3

1,0211,030 aaV

54,922.608,11,1300.108,11,1200.1800 43

1,03

4

1,0408,030 aaaV

53. Cierta persona con derecho a percibir dentro de 3 años una renta pospagable semestral

de cuantía 1.000 € y con duración indefinida solicita en el momento actual sustituirla por

otra renta trimestral de 20 años de duración, recibiendo el primer término en este mismo

momento. Si los tantos nominales semestrales de valoración son del 9 % para los 10

primeros años y del 10 % para los siguientes, determínese la cuantía trimestral a percibir.

Solución: 429,20 €.

C j(2) i(2) i(4) j'(2) i'(2) i'(4)

1.000 0,09 0,045 0,02225242 0,1 0,05 0,02469508

V01 V02 C'

16142,9212 16142,9212 429,202903

54. Una inmobiliaria pone en venta pisos cuyo precio de contado asciende a 80.000 € y

ofrece a sus compradores las siguientes formas de pago:

(a) Dar entrada del 25 %, el 50 % mediante 10 letras semestrales, la primera dentro de 6

meses, y el 25 % restante es financiado mediante una hipoteca cuya amortización se

realiza en 12 años a razón de 3.228,74 € anuales.

(b) Entregar 15.000 € de entrada, 10.000 € al cabo de 6 meses y el resto en letras mensuales

durante 10 años, siendo el vencimiento de la primera dentro de un año.

Sabiendo que la inmobiliaria carga un 21 % de interés en los pagos aplazados, ¿cuál será la

cuantía de estos en cada una de las modalidades?. ¿Qué tanto de interés se aplica para

constituir la hipoteca?. Plantear la ecuación que nos da el tanto global de la primera

···

0 8/23

1.000 1.000

7/2

79/40 3/4 10

C' C'C' C' C'C'

66,465.309,109,0

109,109,1

07,0

107,109,109,1000.40

49,145.308,0

108,1208,1

08,0

108,1208,1000.40

03,482.308,108,0

108,108,1000.40

23

6

09,02

3

07,06

22

6

08,02

2

08,06

8

08,08

CCCsCsC

BBBsBsB

AAsA

20,429'

02225242,102469508,102469508,0

02469508,11'02225242,1

02225242,0

02225242,11'

))4(1())4('1('))4(1('

9212,142.16045,105,0

000.1045,1

045,0

045,11000.1

))2(1()2('

000.1))2(1(000.1

404040

40

)4('40)4(40

2

0

20614

206

)2(14

1

0

C

CC

iiaCiaCV

ii

iaV

ii

i

opción. ¿Qué modalidad le interesará más a un posible comprador desde el punto de vista

financiero?. Solución: 6.509,82 € (a); 1.252,27 € (b); 12 %; 16.66 %; 1ª.

i i(2) i(12) E L C V01

0,21 0,1 0,01601187 20.000 6509,8158 3.228,74 40000

i' V02 E' C' V03

0,12000026 20000 15.000 10.000 1252,27475 80000

ie ie(2) V04

0,1665581 0,08007319 80.000

La 1ª modalidad es mejor desde el punto de vista financiero pues es tanto efectivo

de la operación es del 16,66 % menor que el de la 2ª (21 %).

55. Calcular el valor actual de los ingresos que percibirá una empresa en los próximos 6

años, sabiendo que la producción del primer año se valora al final del año en 100.000 € y

que será incrementada cada año sobre el anterior en 20.000 € si para la valoración se

utiliza el 10 % anual. Solución: 629.209,49 €.

C d n i V0

100.000 20.000 6 0,1 629209,494

120 10/2 0

3.228,7440.000 LL 3.228,74

119/120 1/2 1

10.000 C'15.000

50 1 2 6

200.000

1666,074,228.382,509.6000.20000.80

27,252.1'01601187,101601187,0

01601187,11'

1,1

000.10000.15

))12(1('))2(1(000.10000.15000.80

12,0''

)'1(174,228.374,228.3000.20

82,509.61,0

1,11000.40

12)2(10

4

0

11120

11

)12(120

1

12

'12

2

0

10

)2(10

1

0

eii

i

i

i

iaaV

CC

iaCi

ii

iaV

LLaLV

ee

49,209.6291,0

6000.20

1,0

1,116000.20

1,0

000.20000.100

6

0i

ndand

i

dCV in

56. El concesionario de la explotación de una patente tiene convenido con el inventor

indemnizarle en la siguiente forma: Al final de cada año durante 8 años le entregará

cantidades crecientes comenzando por 20.000 € y aumentando cada año en 2.000 €, en los

años del 9 al 12 se percibirá la cuantía del octavo y a partir del año 13 se comenzará a ir

disminuyendo las entregas en 6.800 € cada año respecto del anterior.

Después de pagado el cuarto plazo deciden de común acuerdo sustituir los pagos

restantes por cuantías constantes en el mismo número de las que quedan por vencer.

Si el tipo de interés de valoración es el 12 % anual, determinar el valor actual de las

cuantías a abonar por la concesión y la cuantía constante a abonar después del cuarto año.

Solución: 184.006,34 €; 29.213,96 €.

C d d' i V4 C'

20.000 2.000 -6.800 0,12 180962,186 29213,9576 180962,186

V0

184006,345

57. Cierta persona impone en un banco el primero de Enero de cierto año la cantidad de

1.000 € y en la misma fecha de los años siguientes impone una cantidad que es un 10 %

mayor que la del año anterior. ¿Qué cantidad reunirá al cabo de 8 años de efectuar la

primera imposición, si la entidad capitaliza al tanto del 5 % anual?.

Distinguir si ha vencido el noveno término o no. Solución: 16.132,39 € (si) 13.988,80 € (no).

C q n i V8 V'8

1.000 1,1 8 0,05 13988,8007 16132,3895

160 1 8

34.000

9 12

6.800= 27.200

80 1 2

1.000 · 1,17 1.000 · 1,181.000 1.000 · 1,1

34,006.18412,112,0

4000.2

12,0

12,114000.2

12,0

000.2000.20

96,213.29'12,0

12,11''186,962.180

186,962.18012,112,0

4800.6

12,0

12,114800.6

12,0

800.6200.27

12,112,0

12,11000.34

12,0

4000.2

12,0

12,114000.2

12,0

000.2000.28

4

4

4

0

12

12,012

84

444

4

VV

CCaC

V

39,132.161,105,1

1,105,1000.1':

39,132.161,1000.1'

8,988.1305,11,105,1

1,105,1000.1)1(

1

)1(

99

8

8

88

88

8

VbienO

VV

iqi

qiCV

nn

58. Una persona que percibe actualmente un sueldo neto anual de 40.000 € ahorra el 25 %

de sus ingresos y los deposita al final de cada año en una entidad bancaria que capitaliza

al 5 % anual. Determínese la cuantía de que podrá disponer al cabo de 10 años en el

supuesto de que las subidas salariales sean del 8 % anual acumulativo durante los 5

primeros años y del 6 % durante los restantes. Solución: 171.457,83 €.

C q q' C5 i V10

10.000 1,08 1,06 13604,8896 0,05 171457,833

59. La Sociedad Anónima X estudia un proyecto consistente en el montaje de un

determinado servicio, cuyas instalaciones significan un gasto inicial de 100.000 € y unos

gastos periódicos de cuantía 10.000 € durante los tres primeros años, decreciendo después

a razón de un 8 % anual sobre esta cantidad. Los ingresos se estiman en el 70 % de los

gastos anuales durante los tres primeros años creciendo un 10 % acumulativo a partir del

tercero. Suponiendo que la explotación del servicio se realice durante 15 años al cabo de

los cuales se traspasa a un tercero por 705.000 €, calcular el valor actual de los beneficios

tomando como tanto de valoración el 5% y plantear la ecuación que nos da el tanto

interno de rendimiento del proyecto. Solución: 290.108,83 €; 15 %.

C C' d i V01 C'' q

100.000 10.000 -800 0,05 167524,175 7.000 1,1

Residual V02 V02-V01 TIR

705.000 457633,008 290108,833 0,15000357 4,6212E-06

100 1 2

10.000 · 1,084 · 1,06510.000 · 1,08410.000 · 1,08

150 1 2

40010.000100.000 10.000 10.000 9.200

150 1 2

705.000

7.000 · 1,1127.000 · 1,1

83,457.17106,105,1

06,105,106,108,1000.1005,1

08,105,1

08,105,1000.10

5545

55

10V

83,108.290

008,633.45705,1000.70505,11,105,1

05,11,111,1000.7000.7

175,524.167

05,105,0

1280012800

05,0

800200.9000.10000.100

1

0

2

0

153

1212

05,03

2

0

3

05,01205,03

1

0

VV

aV

aaV

61. Calcúlese con fecha 1 de Enero, el valor actual al 5 % anual de los ingresos que pueden

obtenerse por la explotación de un kiosco de venta de helados durante los próximos 10

años, si se estima que los ingresos ascenderán a 1.000 euros al final de cada mes durante

los meses de Mayo a Septiembre en que permanece abierto. Solución: 39.402,24 €.

C i i(12) n V0

1.000 0,05 0,00407412 5 39402,2432

62. Un estudiante prevé que va a tener los siguientes gastos durante los cinco años de

carrera:

*Gastos de matricula 600 € los dos primeros años, subiendo a 800 € en los tres siguientes.

Estas cantidades se pagan el 50 % el 1 de Octubre de cada año y el resto el 1 de Enero del

año siguiente.

*Gastos de material 200 € al comienzo de cada uno de los tres trimestres del curso.

*Gastos de manutención y alojamiento 600 € mensuales a pagar al final de cada mes

durante los nueve meses de curso (de Octubre a Junio) durante el primer año,

incrementándose a razón de un 8 % acumulativo anual en años sucesivos.

Determínese la cantidad que tendrá que depositar en estos momentos, al inicio de la

carrera, en una entidad financiera que capitaliza al 5 % anual, para poder hacer frente

a estos pagos. Solución: 33.935,06 €.

0 5/12 113/12

1.0001.000 1.000

21/12

17/40 5/4 9/4

400

18/40 4/4 16/4

200

17/4

15,0

)1(12800

12800800

200.9000.10000.100

)1(000.705)1(1,1)1(

)1(1,111,1000.7000.70

3

123

1531212

3

TIR

TIRTIR

aTIR

a

TIRTIRTIR

TIRa

TIRTIR

TIR

24,402.39

05,0

05,1100407412,1

00407412,0

100407412,1000.1))12(1(000.1

103

5

10

3

)12(50 ii aisV

C C' C'' C''' q i i(4)

300 400 200 600 1,08 0,05 0,01227223

i(12) V01 V02 V03 V0

0,00407412 3226,60613 2694,63636 28013,8197 33935,0622

63. La Sociedad Ferroviaria X pretende construir un ramal de ferrocarril para dar salida a la

producción de una fábrica de cementos de reciente creación. Se estima que la instalación

de vías y adquisición de material (máquinas, vagones, etc.) alcanzará un millón de euros.

Los diversos gastos de carácter mensual se elevan a 50.000 € durante el primer año

incrementándose en los sucesivos a razón de 10.000 € anuales.

Cada ocho años es preciso empezar a reponer el tendido de la vía, operación que tarda en

realizarse cuatro años, importando anualmente 100.000 €. Cada diez años se prevén unos

gastos de material de 500.000 €.

Sobre la base de este informe técnico y valorando a un tanto del 10 % constante anual,

ha de fijarse el precio base que la Sociedad Ferroviaria X debe cobrar por tonelada

transportada suponiendo una producción de salida de la fábrica constante de 400.000

toneladas mensuales. La duración de la concesión del transporte es de 30 años.

Transcurrido este tiempo las instalaciones pasan a ser propiedad de la fábrica de

cementos. Solución: 0,362 euros/Tm

57/120 9/12 49/12

600 · 1,084

1/12

600 · 1,08600 · 1,08

13/12

0 1/12 349/12

340.00050.000 340.0001.000.000 50.000

12/12

60.00060.000

06,935.33

8197,013.2808,105,1

05,108,1100407412,1

00407412,0

100407412,1600

1

)1(1))12(1(600

63636,694.205,105,0

05,1101227223,1

01227223,0

01227223,11200

)1())4(1(200

60613,226.305,105,0

05,1101227223,1

01227223,0

01227223,11400

05,105,0

05,1101227223,1

01227223,0

01227223,11300

)1())4(1(400)1())4(1(300

3

0

2

0

1

00

55

3

9

55

3

)12(9

3

0

53

5)4(3

2

0

1

32

22

1

3)4(22)4(2

1

0

VVVV

qi

iqisV

iaiaV

iaiaiaiaV

i

ii

iiii

E C d i i(12) i(1/8) V01

1.000.000 50.000 10.000 0,10 0,00797414 1,14358881 16576744,9

C' V02 C'' i(1/10) V03 V0

100.000 249044,319 500.000 1,59374246 295747,735 17121536,9

Producción a V'0

400.000 0,36207377 17121536,9

64. Una empresa para resolver sus problemas de transporte, puede decidir entre las

siguientes opciones:

(a) Adquisición cada 4 años de un vehículo que le cuesta 50.000 € y tiene unos gastos de

conservación y reparación que se estiman en 6.000 € anuales al final de cada año.

(b) Adquisición cada 6 años de un vehículo que le cuesta 60.000 € y tiene unos gastos de

conservación y reparación de 9.000 € anuales al final de cada año.

Suponiendo un interés del 15% anual. ¿Cuál de las dos opciones es más interesante para

la empresa si al final de la vida útil se efectúan las correspondientes renovaciones con

carácter indefinido. Solución: V0a =156.755,12 €; V0b =165.694,76 €; (a)

0 9 28

100.000100.000 100.000

20

100.000

25

0 20 30

500.000500.000 500.000

0 24

50.000

240 1 2

6.0006.000 6.000

Tmeurosaaa

VVVV

aV

aaV

i

sd

asdi

sdsV

i

i

ii

i

ii

i

i

/362,0000.4009,536.121.17

9,536.121.17

735,747.295000.500

319,044.249000.100

9,744.576.1630

30000.50000.000.1

)12(360

3

0

2

0

1

00

)10

1(3

3

0

)8

1(3

4

2

0

)12(12

30)12(12

)12(12

)12(12

1

0

E C i i(1/4) i(1/6) V0a V0ap

50.000 6.000 0,15 0,74900625 1,31306077 151278,99 156755,117

E' C' V0b V0bp

60.000 9.000 159906,335 165694,763

Hemos valorado en un horizonte temporal múltiplo de 4 y 6 pero podiamos valorar en 12

años que sería el mínimo común múltiplo de 4 y 6.

Si planteamos la resolución como rentas perpetuas:

Es preferible la opción a, en ambos planteamientos.

65. Tres compañeros de la Escuela de Empresariales, tras finalizar sus estudios en la misma

deciden crear una empresa que ofrece el servicio de conexión a Internet. Para ello,

alquilan un local que les cuesta 1.000 € mensuales y piden un crédito que les supone un

gasto de 3.949,67 € cada cuatrimestre al final del mismo, y con el que afrontan los pagos

que les ha supuesto adquirir la franquicia que les permite ser servidores de Internet.

Estiman unos gastos de mantenimiento bimensuales de 500 €. Los ingresos estiman que

aumentarán cada mes en un 15 % acumulativo durante los tres primeros años,

estabilizándose en el mismo nivel que el último mes del tercer año los tres restantes.

Para la valoración se utiliza un tanto de interés compuesto anual del 9 %, y un horizonte

temporal de seis años.

(a) ¿Cuáles deberán ser los ingresos del primer mes para que la empresa no incurra en

pérdidas ni tenga beneficios?

(b) ¿Cuál es el importe del préstamo pedido por los tres amigos si el tanto de interés

anual compuesto aplicable al mismo es del 12,4864 %?

Solución: a) 30,72 €; b) 50.000 €.

0 24

60.00060.00060.000

240 1 2

9.000

0 1/12 71/12

1.0001.0001.000 1.000

335,906.159000.9))6

1(1(000.60

99,278.151000.6))4

1(1(000.50

24)

6

1(4

0

24)

4

1(6

0

ii

b

ii

a

aiaV

aiaV

763,694.165000.9

))6

1(1(

)6

1(

000.60

117,755.156000.6

))4

1(1(

)4

1(

000.50

0

0

ii

i

V

ii

i

V

bp

ap

C C' C'' a i i(12) i(3)

1.000 3.949,67 500 30,7220841 0,09 0,00720732 0,02914247

V01 i' i'(3) V02 V'02 ¡(6) V03

56420,7386 0,124864 0,04 54717,7715 50000,0455 0,01446659 13953,9661

V0 q V'0

125092,476 1,15 125092,476

0 1/3 18/3

3.949,67 3.949,67 3.949,67

0 2/12 72/12

500 500500

0 1/12 72/12

a a · 1,1535

72,30

00720732,100720732,0

00720732,1115,1

15,100720732,1

00720732,115,11

))12(1()12(1

))12(1(1476,092.125

476,092.125

9661,953.1301446659,0

01446659,11500500

000.5004,0

04,1167,949.367,949.3'

7715,717.5402914247,0

02914247,1167,949.367,949.3

7386,420.5600720732,100720732,0

00720732,11000.1))12(1(000.1

3636

353636

36

)12(36

353636

3

0

2

0

1

00

36

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3

0

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2

0

18

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2

0

72

)12(72

1

0

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iaqaqi

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VVVV

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i

i

i

i

i