El concepto de integral est asociado al concepto de rea. Cuando una figura plana est acotada por lneas rectas es sencillo calcular su rea. Sin embargo, reas acotadas por curvas son ms difciles de calcular (incluso, de definir).Uno de los momentos clave de la Historia de las Matemticas fue cuandoArqumedes fue capaz de calcular el rea de segmentos de una parbolausando el mtodo de exahucin de Eudoxo.Cavalieri (alrededor de 1630) sabacomo integrar funciones potencia(f(x)= x^n) desde n=1 hasta n=9. El resultado general, para n arbitrario, fue obtenido por Fermat.Aunque Cavalieri no conoca el trmino 'funcin' podemos decir que una de sus contribuciones fue que l consider el problema de calcular el rea limitada por la grfica de una funcin positiva, el eje X y dos rectas verticales (un 'trapezoide curvilneo' o 'el rea bajo una curva')

Queremos asignar un nmero a esta regin que represente su rea cuando la funcin sea positiva. Llamaremos a ese nmero la integral definida de f entre a y b.La integral no siempre representa el rea de un 'trapezoide curvilneo'. se es el el caso si la funcin es no negativa. Cuando f es negativa la integral va a ser menos el rea. En general, la integral es el rea del trapecio curvilneo que est por encima del eje X menos el rea de las partes que estn bajo el eje X.

Si queremosintegrar funciones linealesel problema es simple.El problema es ms difcil cuando la grfica de la funcin no es una recta."Vamos a seguir una idea de Arqumedes. Es aproximar la funcin f por funciones horizontales (constantes), y el rea bajo f por la suma de rectangulos pequeos." (Lang)En estos casos queremos construir la integral definida (un nmero) como el resultado de algn tipo de proceso de lmite. Podemos empezar dividiendo [a,b] en subintervalos y tomar la suma de las reas de ciertos rectngulos que aproximan la funcin f en varios puntos del intervalo. El rea de estos rectngulos aproxima la integral. La integracin es un proceso de suma.Usamos esta notacin:

El smbolo S (una S alargada, por suma) se llama signo de integral y fue introducido por Leibniz en 1675. El proceso que produce el resultado se llama integracin. Los nmeros a y b, que se ponen junto al signo de integral, se llaman lmite de integracin inferior y superior.Leibniz us este smbolo porque consideraba la integral como la suma de infinitos rectngulos con altura f(x) y cuyas bases eran "infintamente pequeas". Fue aceptado rpidamente por muchos matemticos porque les gustaba pensar que la integracin era un tipo de "proceso de suma" que les permita sumar infinitas cantidades "infinitesimales" (infinitamente pequeas).Vamos a ver algunas ideas que estn en la definicin rigurosa de integral dada por Bernhard Riemann (1826-1866).P es una particin de [a,b].

Una particin define unos subintervalos. La longitud de esos subintervalos puede ser diferente:

Dada una particin de [a,b] podemos aadir mas nmeros a la particin y obtenemos una nueva particin que tiene subintervalos ms pequeos. Si aadimos suficientes nmeros intermedios entonces los intervalos se pueden hacer arbitrariamente pequeos.A veces se consideran subdivisiones regulares del intervalo. En este caso, las bases de los rectngulos son iguales:

Para cadaitomamos un punto xi*en [xi, xi+1]. El valor f(xi*) puede verse como la altura de un rectngulo."La idea principal que vamos a desarrollar es que si hacemos los intervalos de nuestra particin ms y ms pequeos, la suma de las reas de los rectngulos se aproximarn a un lmite, y podemos usar ese lmite para definir el rea bajo la curva." (Lang)Podemos tomar xi*como el punto medio del subintervalo (como en el mathlet y en los ejemplos previos).Una eleccin popular es que xi*se igual a xi, el extremo izquierdo de cada subintervalo. Entonces la altura del rectngulo ser f(xi):

O tambin podemos tomar xi*igual a xi+1, el extremo derecho del intervalo. Entonces la altura del rectngulo ser f(xi+1):

La eleccin de estos xi*en [xi, xi+1] es arbitraria. Riemann consider

A estas sumas se les llama sumas de Riemann de F para la particin P.Interpretacin geomtrica: "Es el rea total de los n rectngulos que estn en parte por encima de la grfica de f y en parte por debajo de ella. Debido al modo arbitrario de eleccin de las alturas de los rectngulos no podemos estar seguros de si una suma de Riemann en particular es menor o mayor que la integral. Pero parece que esta diferencia no debe importarnos demasiado. Si las bases de todos los rectngulos son suficientemente estrechas entonces las sumas de Riemann tienen que aproximarse a la integral." (Spivak)Si aumentamos el nmero de rectngulos nos acercaremos (intuitivamente) al valor de la integral definida.Podemos decir que la integral definida es el lmite de las sumas de Riemann cuando el nmero de subdivisiones tiende a infinito y la longitud de cada subintervalo tiende a cero. Y no importa el punto xi*que tomamos de cada subintervalo."La moraleja de esta historia es que algo que parece una buena aproximacin a la integral realmente lo es, siempre que las longitudes de los subintervalos de la particin sean suficientemente pequeos." (Spivak)En el mathlet podemos modificar la funcin y el nmero de rectngulos. En general, en cada subintervalo, la altura del rectngulo puede ser cualquier valor de la funcin en un punto del subintervalo, aqu slo consideramos una posibilidad sencilla: xi*es el punto medio del subintervalo."Las integrales de muchas funciones no se pueden determinar exactamente (aunque pueden calcularse con el grado de precisin que se desee calculando sumas de Riemann). Sin embargo, [como veremos ms adelante, por ejemplo, cuando estudiemos elTeorema Fundamental del Clculo], la integral de muchas funciones puede calcularse con facilidad." (Spivak)

Una aproximacin axiomtica de la integral (siguiendo a Serge Lang)En su libro 'A First Course in Calculus', antes de explicar las sumas de Riemann, Lang destaca la importancia de dos propiedades que definirn una integral de f on [a,b]:Sea a, b dos nmmeros, con a < b. Sea f una funcin continua en el intervalo [a,b]. Supongamos que para cada par de nmeros c