El Cálculo Proposicional

7/26/2019 El Clculo Proposicional

1/8

El Clculo ProposicionalEl clculo proposicional se presentar como un sistema formal, vamos ahora a darun detallede los elementos sealados arriba que sern los que conformen el sistema formalcon el que

Trabajaremos:Alfabeto: El alfabeto con el que construiremos las expresiones o palabras estarconstituidopor los siguientes smbolos:constantes: las constantes true false se usarn para los valores verdadero falsorespectivamente!

variables: las variables proposicionales o booleanas que representarn los valorestrue o false! "e usarn generalmente las letras p, q, r paranombrar a estas variables!operador unario: negaci#n $!%!&! 'a implicaci#n

Ahora de(nimos los dos )ltimos operadores, la implicaci#n * la consecuencia +!%!-./ Axioma! 0e(nici#n de implicaci#n: p * q 1 p 2 q 1 q%!34/ Axioma! 0e(nici#n de consecuencia: p + q 1 p 2 q 1 p0ebido a la similitud entre estos dos operadores, daremos solamente teoremas queinvolucrenal operador implicaci#n, los correspondientes a la consecuencia sigueninmediatamente delAxioma %!34!'o primero que podemos observar sobre la implicaci#n es que puede reescribirse dedistintasformas! 'os siguientes teoremas describen esta situaci#n:

En la maora de los sistemas de clculo proposicional, la equivalencia se de(necomo)ltimo operador, se hace a trav5s de la mutua implicaci#n, con lo cual el teoremaque sigue,resulta un axioma en estos sistemas!

Teorema! 6mplicaci#n mutua: p * q/ 7 q * p/ 1 p 1 qAntes de establecer el siguiente teorema diremos que una operaci#n binaria 8, esantisim59trica si x 8 7 8 x * x es cierta para cualquier par x, ! ;or ejemplo < = sonoperadoresantisim5tricos!

Teorema! Antisimetra: p * q/ 7 q * p/ * p 1 q/'os siguientes teoremas estn relacionados con la transitividad se usarn en elpr#ximocaptulo para abreviar el formato de demostraci#n:


2/8

>#rmulas: 'as expresiones bien formadas o f#rmulas del clculo proposicional sernlas quese obtienen a partir de las siguientes reglas:i/ 'as variables proposicionales las constantes son f#rmulas!ii/ "i E es una f#rmula, entonces $E/ es tambi5n una f#rmula!iii/ "i E > son f#rmulas ? es un operador binario, entonces E ? >/ es unaf#rmula!iv/ "#lo son f#rmulas las construdas con las reglas precedentes!@a vimos en los captulos anteriores la de(nici#n de expresi#n booleana, tambi5nmencionamosel rol fundamental que 5stas cumplen en la de(nici#n de un lenguaje arti(cial librede lasambigedades contradicciones usuales del lenguaje corriente! Bbservemos que elconjunto def#rmulas o expresiones bien formadas que tenemos en cuenta en este sistemaformal, coincidecon el concepto de expresi#n booleana que hemos estado manejando! ;odemosa(rmar entoncesque las expresiones booleanas o f#rmulas se construirn usando los smbolos lasreglasanteriores formarn la sintaxis de nuestro clculo proposicional!Ceglas de6nferencia:

'as reglas de inferencia usadas sern las que a presentamos para la relaci#n deigualdad en el Daptulo ! Adems, la equivalencia entre expresiones booleanassatisfacer las siguientes propiedades:Transitividad "i ;, F, C son expresiones booleanas, entonces; F, F C; CCegla de'eibniG"i ; F son expresiones booleanas, E es una expresi#n que

involucra a la variable proposicional r, entonces:

; F

E Hr : ;I E Hr : FI

"ustituci#n "i ; C son expresiones booleanas, ; involucra a la variable

proposicional r, entonces:

;

; Hr : CI


3/8

Calculo proposicional

El clculo proposicional es denominado tambi5n l#gica proposicional es

de(nidacomo la ciencia que trata de los principios vlidos del raGonamiento la

argumentaci#n!El estudio de l#gica es el esfuerGo por determinar las condicionesque justi(can a unapersona para pasar de una proposici#n dada, llamadas

premisas, a una conclusi#n quese deriva de aquellas! "eg)n '!Jarca, ..4, la

'#gica proposicional estudia lasoperaciones proposicionales la deducci#n

proposicional! Kna proposici#n es un ordenamiento resultado de nuestra actividad

pensantedonde expresamos, bien la posibilidad de la ocurrencia de un hecho, o la

necesidad deuna acci#n, o una orden, un deber, una interrogante, entre otras cosas!

;uede decirseque una proposici#n es una frase declarativa o juicio al que, podemos

asignarle unvalor verdadero a sea cierto o falso! ;or ejemplo la frase LEl programa

es de "oftM, esuna proposici#n, a priori no puede decirse si esta proposici#n tiene un

valor cierto ofalso, pero si se parte de un contexto en que se establece

unvocamente de qu5programa se est hablando adems se conoce queefectivamente este es de "oft,puede a(rmarse que la proposici#n es cierta! Toda

proposici#n, puede ser representada por una f#rmula del clculoproposicional, por

lo que, si a las primeras se les puede asignar un valor veritativo, esde esperar que a

las segundas tambi5n!

'as f#rmulas ms simples son las que constande solo un smbolo de variable o

constante proposicional p, q, r, , 4, etc!/, a estas seles llama at#micas! En el caso

de las f#rmulas 4 sus valores veritativos sernsiempre falso 4/ cierto /

respectivamente! 'as variables por su parte, como sunombre lo indica, pueden

tomar cualquier valor 4 o /! A manera de ejemplo,sup#ngase que la variable p

representa a la proposici#n Lest lloviendoM, entonces ptomar valor cuando

efectivamente est5 lloviendo, mientras tomar valor 4 cuandoesto no sea as! ;ara

determinar el valor veritativo de una f#rmula no at#mica, lo primero que senecesita

es asociar un valor a cada una de las variables que la forman! ;ero con estono

basta, se necesita de reglas de interpretaci#n de precedencia para

lasoperaciones!

;rueba de teoremas en donde participa la implicaci#n

Naremos aqu una serie de consideraciones generales sobre los teoremas en dondeaparece la


4/8

implicaci#n! En estos casos, la t5cnica de prueba %!O3 ser de gran utilidad, paraesto es necesariorecordar no s#lo la de(nici#n de implicaci#n Axioma %!-./ sino tambi5n losteoremas %!3,%!3O %!3% de acuerdo a la estructura de la expresi#n que debemos manipular! ;arailustrar esto

)ltimo, probaremos %!3P/, p * q 1 r/ 1 p 7 q 1 p 7 r! Domo esta expresi#ncontiene conjunciones,la de(nici#n alternativa de implicaci#n %!3O/ parecera la ms apropiada parautiliGar,a que muestra como reemplaGar una implicaci#n introduciendo una conjunci#n:p * q 1 r/

%!3O/ 0e(nici#n de implicaci#n

p 7 q 1 r/ 1 p h%!-O/, p 7 q 1 r/ 1 p 7 q 1 p 7 r 1 pip 7 q 1 p 7 rQeamos ahora c#mo probar la implicaci#n mutua %!RP/, p * q/ 7 q * p/ 1p 1 q

Ejemplo.

p f alse 7 p * q * p// 1 $p

T5cnica de prueba: comenGamos desde el lado iGquierdo '6/ Sms estructurado

para alcanGar el lado derecho '0/ de la expresi#n!

p f alse 7 p * q * p//

h "ustituci#n i

p f alse 7 G * q * G//HG : pI

h Teo! %!R.a/ con e, f, E : p, f alse,G * q * G/i

p f alse 7 G * q * G//HG : f alseI

h "ustituci#n i

p f alse 7 f alse * q * f alse//


5/8

Teo! Elem! absorbente a iGq! de la * con p : q * f alse

p f alse 7 true

h Teo! Elem! Ueutro del 7i

p f alse

CeemplaGo por 1

p 1 f alse/

h Teo! p 1 $p 1 f alsei

AUT6JKA JKATEVA'A

E"TAW'E"6V6EUTB: 6!T

UBVWCE: ;AW'B AUTBU6B @K;E CAVB"

DATE0CAT6DB: W6CBU DK'AXA@

TCAWAXB 0E 6UQE"T6JAD6BU


6/8

DKC"B:'BJ6DA>EDNA:%Y4OYO43

Ejercicios'os teoremas que siguen establecen propiedades cuando se reemplaGanvariables por constantesbooleanas!%!./ Teorema! CeemplaGo por true :

a/ p * EG : p

1 p * E HG : trueIb/ q 7 p * E

G : p

1 q 7 p * E HG : trueI%!.O/ Teorema! CeemplaGo por f alsea/ E

G : p* p 1 E

G : f alse * pb/ E

G : p* q 2 p 1 E

G : f alse * q 2 p%!.%/ Teorema! CeemplaGo por true : p 7 E

G : p


7/8

1 p 7 E HG : trueI%!.P/ Teorema! CeemplaGo por f alse : p 2 EG : p

1 p 2 E

G : f alse%!.-/ Teorema! "hannon: E

G : p

1 p 7 E HG : trueI/ 2

$p 7 E

G : f alse

Ejemplo.Qamos a ilustrar el uso de estos )ltimos teoremas demostrandop 7 q * p 1 q/usando el reemplaGo por true %!.b!p 7 q * p 1 q/

%!.b/ CeemplaGo por true con p:p

p 7 q * true 1 q/

%!.b/ CeemplaGo por true con p:q

p 7 q * true 1 true/ h%!%/ Ueutro de 1i

p 7 q * true hteorema %!&- con p : p 7 qitrue%!.! EjerciciosEjer


8/8

El Cálculo Proposicional

Documents

Transcript of El Cálculo Proposicional