Semántica del Cálculo Proposicional -...

Semántica del Cálculo Proposicional

Revisiones: Abril y Mayo del 2005 - Abril 2006

Á 1. Valuación como función.

Notación: Con Form se identifica al conjunto de todas las fómulas y Var al conjunto

de todas las variables proposicionales. El conjunto booleano {0, 1} se denota con 2.

Definición: La función v es una valuación si y solo si v : Form � 2

Teorema: Sea - : Var � 2, existe una única valuación v : Form � 2 que extiende a -,

es decir, - (pi ) = v (pi ) para todo i ± 1.

PRUEBA: DE EXISTENCIA Y DE UNICIDAD:

Una analogía:. Cualquier función definida sobre los vectores de la base canónica

del plano, se puede extender a todo el plano.

Á 2. Tautologías contradicciones y contingencias .

Teniendo el concepto de valuación ¿Cómo será ésta en diferentes clases de fórmula?

Una fórmula D es una tautología si para toda v valuación v(D) = 1.

Una fórmula D es una contradicción si para toda v valuación v(D) = 0.

Una fórmula D es una contingencia si existen v, v' valuaciones

tal que v(D) = 1 y v' (D) = 0.

Ejemplo: Probar que si D, E ± Form, entonces J = ((D Á E) Á (E Á D)) es una tautología.

Sea v una valuación v(J) = MAX( v(D Á E), v(E Á D)) [[ Por definición de la valuación

de una disyunción]]

= MAX( MAX(1- v(D), v(E)), MAX(1- v(E), v(D)))

[[ Idem, de una implicación ]]

= MAX(1- v(D), v(E), 1- v(E), v(D)) [[ Por definición de máximo ]]

= 1 [[ Por definición de valuación ]]

Ejemplo: Probar que si D, E ± Form, D y E no tienen variables en común,

D y E son contingencias, entonces J = ((D Á E) Á E) es una contingencia.

i) Sea v, v' valuaciones tal que v(D) = v' (E) = 0, [ [v, v' se pueden definir por ser D y E contingencias ]]

ii) Sea w otra valuación definida de la siguiente manera: En Var(D) w coincide con v,

en Var(E) w coincide con v' y en las restantes variables w vale 0.

[[ Esta definición es posible pues las fórmulas

D y E no tienen variables en común ]]

iii) Entonces, w(D) = w(E) = 0, entonces, w(J) = 0.

iv) De manera análoga se puede construir una valuación w' tal que w'(J) = 1.

2 08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb

Observación: La proposición del ejemplo actual resulta falsa si no se pide que las fórmulas � y �

carezcan de variables en común, veamos: � = p1 , �

= ¬p1 , ambas son contingencias,

pero (( p1 � ¬p1 ) � ¬p1 ) es una Tautología.

Á 3. Equivalencia

Definición: Dos fórmulas D, E son equivalentes (es la notación es D � E) si coinciden

en todas las valuaciones, es decir, para toda v valuación, v(D) = v(E).

Teorema: Sean D ± Form y sean v, v' valuaciones tal que ambas coinciden en Var(D),

entonces, v(D) = v' (D)

PRUEBA: Por inducción en la complejidad de D.

Á 4. Conectivos: Conjuntos adecuados y no adecuados .

Conjuntos adecuados de conectivos.

El conjunto adecuado de conectivos definidos en el lenguaje del Cálculo Proposicional es: {¬, � , � , � }

Como la implicación se puede expresar en terminos del conjunto {¬, � } nos queda como

conjunto adecuado de concetivos {¬, � , � } .

1) ¿es adecuado {¬, � }?

¬ (x � y) (¬x ¬y), entonces

¬ (¬x � ¬ y) � (x y)

2) ¿es adecuado {¬, }?

¬ (x y) � (¬x � ¬y), entonces

¬ (¬x ¬ y) � (x � y)

3) ¿Es adecuado { ¬, }?

(¬x y) � x � y

¬(x ¬ y) � (¬(¬x � ¬ y)) � (x � y)

Ejemplo del uso de { ¬, } para expresar la conjunción:

08-05-NOTAS-SemanticaCalcProp.nb 3

Clear � B, x, y � ;B � x_, y_ � : � LogicalExpand � � Implies � x, � y � � ;

B � p, q �p && q

Conectivo ternario adecuado

Sea el conectivo ternario definido por T(x, y, z) = (x Á ( y Á ¬z)) es adecuado. Prueba:T (x, y, z) = (x Á (y Á ¬z))Sean p, q elementos de Var.

T (p, p, p) � (p Á (p Á ¬p)) � (¬p Ñ (¬p Ñ ¬p)) � ¬pT (p, T (q, q, q), T (q, q, q)) � T (p, ¬q, ¬q) � (p Á (¬q Á q)) � (¬p Ñ (q Ñ q)) � (¬p Ñ q)

Conjuntos adecuados de un solo elemento: Barra de Nicod y Sheffer.

Barra de Nicod:

� , � fórmulas, entonces ( � � � ) es una formula equivalente a ¬( � � � )

Prueba: (Se debe probar que es adecuado)

Exploración:

Conectivo barra de Nicod: Ni(x,y) = ¬(x y)

Clear ! x, y, Ni " ;Ni ! x_, y_ " : # LogicalExpand ! $ % x &'& y ( ) ;

Ni * P, P )+P

Ni , P, Q -+P &&

+Q

Ni , Ni , P, P - , Ni , Q, Q - -P && Q

Barra de Sheffer:

. , / fórmulas, entonces . | / es una formula equivalente a ¬( . 0 / )

Prueba: (Se debe probar que es adecuado)


Exploración:Conectivo barra de Sheffer: Sh(x,y) = ¬(x 1 y)

Clear 2 x, y, Sh 3 ;Sh 2 x_, y_ 3 : 4 LogicalExpand 2 5 6 x && y 7 3 ;

Sh 2 P, P 3 6 8 P es una variable 8 9:P

Sh ; P, Q < = 8 P y Q son variables 8 9:P >'> ? Q

Sh @ Sh @ P, P A , Sh @ Q, Q A AP >'> Q


Conjuntos no adecuados de conectivos

Decidir si el conjunto de conectivos binarios { B , C } es adecuado:

Si no se puede expresar un conjunto adecuado de conectivos a partir del conjunto dado, entonces corresponde probar que no es adecuado.

Proposición:

Sea D una fórmula escrita en términos de {Â, Á}, y además, w: VAR E 2, es una

valuación tal que w(pi ) = 1; para toda pi F VAR, entonces, se verifica que, w( G ) = 1.

Prueba por inducción en la complejidad de G : c( G ) = n.

Base: c( G ) = n = 0 H G =pi H w(pi ) = w( G ) = 1 Por definición de w.

H.I.: c( G ) < n > 0, entonces, w( G ) = 1.

Tesis: c( G ) = n > 0, entonces, w( G ) = 1.

Prueba: c( G ) = n > 0 H G = G ' I J '' con I K {Â, Á} y además c( J ') < n y c( J '') < n,

por consiguiente, puedo aplicar H.I. a J ' y J '', luego

w( J ') = w( J '') = 1 entonces w( J ) = Max (w( J '), w( J '')) o bien w( J ) = Min (w( J '), w( J '')),

según cual sea el conectivo I , y en ambos casos es 1.

Digresión:

El objetivo original era probar que { L , M } no es adecuado y hemos probado que

cuando definimos una valuación que manda a todo VAR al 1, entonces, a todas las

formulas escritas con este conjunto de conectivos, la valuación precedente las manda al 1.

Esto indica que en el conjunto de formulas de este lenguaje no hay contradicciones,

pues si hubiera al menos una contradicción, entonces la valuación la hubiese mandado al 0.

Luego {Â, Á} no permite expresar contradicciones. entonces, NO ES ADECUADO


Decidir si el conjunto {¬} es adecuado:

Proposición: Sea N una fórmula escrita en términos de {¬}, y además, v: VAR O 2, es una

valuación tal que v(pi ) = 1; para toda pi P VAR, y w: VAR O 2, es una valuación tal que

w(pi ) = 0; para toda pi P VAR entonces, N P Q R no puede ser una tautología.

Prueba:

Sea S = ¬(¬(...¬(¬pi )...) tal que la cantidad de negaciones sea par, entonces, v( S ) = 1 y w( S ) = 0.

La otra alternativa es que la cantidad de negaciones sea impar, luego, v( S ) = 0 y w( S ) = 1.

Conectivos ternarios no adecuados.

Ahora bien, ¿que pasa con el siguiente operador: T(x, y, z) = ((x T y) T z) ?

Si es adecuado, permitiría, en particular, expresar contradiciones:

Sea S una fórmula escrita utilizando el operador T, tal que S es una contradición,

entonces, para toda valuación v : Var U 2, v( S ) = 0.

¿Es esto posible?

Proposición: Sea S una fórmula escrita en terminos de T, entonces, si w: VAR U 2,

es una valuación tal que w(pi ) = 1 para toda pi V VAR, entonces, w( S ) = 1.

Prueba por induccion en la complejidad de S : c( S ) = n.

Base n = 0. S = pi T w(pi ) = w( S ) = 1 Por definicion de w.

H.I.: c( S ) < n > 0, entonces, w( S ) = 1.

Tesis: c( S ) = n > 0, entonces, w( S ) = 1.

Prueba: Si c( S ) = n > 0, entonces, S = T( W 1, W 2, W 3 ) donde c X Y i Z [ n, para i \ 1, 2, 3;

luego para ] 1, ] 2, ] 3 , puedo aplicar la H.I., entonces,

w ^ ] 1 _ \ w ^ ] 2 _ \ w ^ ] 3 _ \ 1, entonces w( ` ) = 1.

Luego T no permite expresar contradiciones. Se puede observar que una prueba análoga

sirve para demostrar que T tampoco permite expresar tautologías.


Á 5. CONCECUENCIA SEMANTICA

Definición: Sea *° Form, D ± Form es consecuencia semántica de *,

si para toda v valuación, v : Form � 2, que verifique v(J) = 1 para toda J ± *,

entonces, v(D) = 1.

Notación: D ± C(*) o bien, * � D

Ejemplo:

* = {p1 , p2 }; D = (p1 Â p2 ); D ± C(*).

Ejemplo:

* puede ser infinito;

* = {¬p1 , p2 , p3 , ..., pi , ...} con i ± 1, i > 1.

Si D = (p0Á p2 ) entonces D ± C(*).

Si D = (p0Â p2 ) entonces D ² C(*).

p0 ² C(*).


Á 6. Conjuntos satisfacibles de fórmulas

DEFINICION: Sea *° Form es satisfacible (SAT) si existe v valuación,

v : Form � 2, que verifique v(J) = 1 para toda J ± *.

En caso contrario *° Form es Insatisfacible.

Ejemplo 1: * = {p1 , p2 , (¬p2Á p1 )}; v(p0 ) = 0, v(p1 ) = 1, v(p2 ) = 1,

v(pi ) = 0 � i >2, i ± 1. * es SAT.

Ejemplo 2: * = {¬p1 ,¬p2 , (p1Á p2 )}; * es INSAT.

Proposición: Sea *° Form un conjunto finito, * = {D0 , D1 , ..., Dn a 1 }, entonces,

*es Insatisfacible si y solo si (D0 Â D1 Â ... Â Dn a 1 ) es una contradicción.

Abuso de notación: ( b 0 c b 1 c ... c b n d 1 ) es una forma abreviada de escribir ((.....( e 0 f e 1 ) f ... ) f e n d 1 )

Prueba: Supongamos por el contrario que existe v valuación, tal que

v(D0 Â D1 Â ... Â Dn g 1 ) = 1; entonces v(D0 ) = 1, ..., v(Dn g 1 ) = 1 Á * es SAT. (Absurdo)

OBSERVACIONES:

1. Sea *° Form, * SAT, * finito, entonces existen infinitas valuaciones que satisfacen

a * pues cada valuación depende de un número finito de variables. (Probarlo)

2. Si *es infinito y además Var ° *, entonces, la valuación que satisface a * es única.

¿Porque?

Ejemplo: Donde * es infinito y Var ° ** = {p0 , p1 , ¬p2 , p3 ,¬p4 , ..., ¬p2 i , p2 i h 1,...} i ± 1

La única valuación que satisface a * es: v(p0 ) = 1, v(p1 ) = 1, v(p2 ) = 0, v(p3 ) = 1,

v(p2 i ) = 0, v(p2 i h 1 ) = 1, � i U1, i ± 1. ¿Porque es única?

Además, podemos ver una fórmula que no es consecuencia de i :

j = (p1 k p8 ), v( j ) = 0, entonces, j l C( m ).


Modelo: Cada valuación que satisface a * equivale a un modelo que satisface las hipóte-sis.

Á 7. PROPIEDADES DE LA CONSECUENCIA.

1. Sean *° Form, si D ± * entonces D ± C(*) entonces * ° C(*).

En general, * � C(*), ¿bajo que condiciones puede ser * igual a sus consecuencias?

2. Si * = Form, entonces, �D ± Form se verifica que D ± C(*).

Prueba: * ° C(*) ° Form (Por la propiedad 1)

Form ° C(*) ° Form (Por hipótesis, * = Form )

C(*) = Form (Por definición de igualdad de conjuntos)

3. Si * = ©, ¿Qué es C(*)?

¿Qué valuaciones satisfacen al vacío?

Proposición: Toda valuación satisface al vacío; pues D ± © Á v(D) = 1, es verdadera

para toda v valuación. Luego, C(©) = Tautologías.

4. Si * = {(p1Â ¬p1 )} entonces Form ° C(*)

5. *1° *2 Á C(*1 ) ° C(*2 )

Prueba: Toda valuación v que satisface a *2 también satisface a *1 y por definición

de consecuencia satisface a C(*1 ) y C(*2 ), sea J ± C(*1 ) todas las valuaciones

v que satisfacen a *2 valen v(J) = 1 y al mismo tiempo satisfacen a las C(*2 ), luego J ± C(*2 ),

entonces, C(*1 ) ° C(*2 )

6. C(C(*)) = C(*)

Prueba: i) Por la propiedad 1, C(*) ° C(C(*))

ii) Falta probar C(C(*)) ° C(*), Sea J ± C(C(*)) supongamos que J ² C(*) entonces

sea v valuación tal que v(*) ° {1} y v(J) = 0, por otra parte J ± C(C(*)), entonces

para la misma valuación v que manda a * al 1 y a C(*) al 1, también mandará a


C(C(*)) al 1, entonces v(J) = 1. Absurdo.-

Por lo visto, la consecuencia es un operador de clausura.

Concepto de operador de clausura:

Un operador de clausura sobre un conjunto X es una función *: 7(X) ] 7(X) que verifica:

i) *(©) =©ii) *(*(A)) = *(A) Para todo A ± 7(X)

iii) A ° B Á *(A) ° *(B)

Si además se verifica que:

iv) A, B ± 7(X), *(A ¿ B) = *(A) ¿ *(B) (esto no lo cumple la consecuencia lógica)

Se dice que * es aditiva y en este caso * induce una topología, donde A ± 7(X) es cer-rado si *(A) = A.

Nota: Un conjunto se dice abierto si su complemento es cerrado.

7. Teorema: Si D ± Form, * °Form, entonces D ± C( *) si y solo si * ¿ {¬D} es insatis-facible.

Este teorema relaciona los conceptos de consecuencia y satisfacibilidad.

8. Teorema: Si D ± Form, entonces D ± C(Var) ó bien Var ¿ {D} es insatisfacible.

Se puede observar que el teorema afirma, D ± Form, entonces D ± C(Var) ó bien ¬D ± C(Var)

Prueba:

i) Si D ² C(Var) Á �v tal que v(D) = 0 y v(J) = 1, �J ± Var.

ii) Si Var ¿ {D} es satisfacible, entonces existe una valuación w tal que w(D) = 1 y w(J) = 1, �J ± Var. Pero v y w son dos valuaciones que coinciden en Var, luego no puede ocur-rir que v(D) = 0 y w(D) = 1, entonces se ha llegado a una contradicción.-

Á 8. Conjuntos Independientes. Bases.


Definición: * es independiente si �D ± *, D ² C( * - {D})

También podemos decir que * es dependiente si �D ± * tal que D ± C( * - {D})

Definición: Se llama base a un conjunto de fórmulas independientes que no se

puede extender (agregarle fórmulas) tal que mantenga la independencia.

Ejemplo:

* = Var es independiente.

Prueba: Debo verificar que pi ² C(* - {pi }), sea v(pi ) = 0 y v(p j ) = 1 � j � i, j ± 1.

Ejemplo:

i) * = Var, D = (p1Â ¬p1 ), * ¿ {D} ¿es independiente?

No, pues al ser D Contradicción, cualquier J ± * es consecuencia de ( *- {J} ) ¿ {D}.

Resumiendo, Sea D Contradicción, D ² C(*) y * ¿ {D} es dependiente.

Nota: En este caso colocar que n o C( p ) es redundante pues no existe otra posibilidad al ser n una contradic-ción.

ii) Sea D Tautología, D ± C(*) y * ¿ {D} es dependiente.

Nota: Caso análogo al anterior, escribir n q C( r ) es redundante pues no existe otra posibilidad

al ser s una tautología.

Prueba: Por hipótesis D ± C(*) Á D ± C( (* ¿ {D}) - {D})

iii) Sea D Contingencia, D ² C(*) y * ¿ {D} es dependiente.

Nota: Por ser D una contingencia es posible que D ± C(*) y * ¿ {D} es dependiente (trivialmente) por una prueba idéntica a la anterior.

Veamos algunos casos concretos:

i) D está en las consecuencias de *:

* = Var, D = ( p1Á p2 ), * ¿ {D} = Var ¿ ( p1Á p2 ) es dependiente.

ii) Caso en que D no está en las consecuencias de *:

* = Var, D = (¬p1Â p2 ), evidentemente D ² C(*), entonces

¿ ¿ Â


Â

* ¿ {D} = Var ¿ (¬p1Â p2 ) es dependiente pues es insatisfacible.

Prueba: Como D ² C(*) * ¿ {D} es insatisfacible, entonces cualquier fórmula

es consecuencia y el conjunto * ¿ {D} es dependiente.

Conclusión: si * es Var no se lo puede extender sin que pierda su independencia,

es una base.

Á 9. TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN (Semántico)

Teorema: * ¿ {D} � E x * � (D Á E)

Sean D, E ± Form, *° Form, entonces E ± C( * ¿ {D}) si y solo si (D Á E) ± C( *)

Prueba: [[ Á ]] (Por contra recíproco)

Supongamos que (D Á E) ² C( *) entonces existe una valuación v que satisface a *,

pero no satisface a (D Á E) luego v(D Á E) = 0 entonces v(D) = 1 y v(E) = 0 y además

v satisface a * ¿ {D}, entonces E ² C( * ¿ {D}).

Prueba: [[ ¿ ]]

Si (D Á E) ± C( *) entonces, para toda v valuación que satisface a *, v(D Á E) = 1,

ahora podemos hacer el análisis por casos:

i) v(D) = 1 y v(E) = 1 entonces E ± C( * ¿ {D}) porque v(*) ° {1}, v(D) = 1 y v(E) = 1.

ii) v(D) = 0 y v(E) = 1 entonces E ± C( * ¿ {D}) porque * ¿ {D} es insatisfacible.

iii) v(D) = 0 y v(E) = 0 entonces E ± C( * ¿ {D}) porque * ¿ {D} es insatisfacible.

Corolarios:

Ê Si * = {D} entonces E ± C(*) si y solo si (DÁE) es tautología.

O bien, en forma equivalente: Si * = {D} entonces E ± C(*) si y solo si (D Â ¬E)

es insatisfacible.

Ê Si * = {D1 , D2 , ...,Dn } entonces E ± C(*) si y solo si ( (D1Â D2Â ...Â Dn ) Á E ) es tau-tología.


Â Â Â

O bien, en forma equivalente:

* = {D1 , D2 , ...,Dn } entonces E ± C(*) si y solo si (D1Â D2Â ...Â DnÂ ¬E ) es insatisfacible.

Á 10. TEOREMA DE COMPACIDAD

Teorema: Si D ± C(*), entonces existe *' ° *, *' finito, tal que D ± C(*').

Equivalencias:

i) Sea * ° Form, * insatisfacible, entonces existe en * un subconjunto finito insatisfacible.

Prueba:

ii)Sea * ° Form, si para todo *' ° *, *' finito, *' es satisfacible, entonces * es satisfacible.

Prueba:A. H. Diolaiti - A. Petrovich Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Abril 2005Revisado - Abril 2006 Profesor A. H. Diolaiti


Semántica del Cálculo Proposicional -...

Documents

Transcript of Semántica del Cálculo Proposicional -...