El cálculo en carreras de ingeniería: un estudio...

El cálculo en carreras de ingeniería:un estudio cognitivo

Leopoldo Zuñiga 1

RESUMEN

En este artículo se reporta un estudio cognitivo de carácter cualitativo en relación alaprendizaje de los conceptos de función de dos variables y de derivada parcial, en elcontexto de la ingeniería. Se sostiene que en escenarios didácticos contextualizadosse propicia un aprendizaje con significado para el estudiante, con sentido en el ámbitode su futura área profesional. Esto motivó la investigación sobre lo que sucede a nivelcognitivo en los alumnos en este tipo de ambientes didácticos. Se describen losreferentes teóricos para el estudio del funcionamiento cognitivo en un acto mental deaprendizaje (como el proceso de resolución de un problema), y se presenta el análisissobre los resultados de la puesta en escena del diseño de un escenario didáctico conun grupo de estudiantes de ingeniería.

• PALABRAS CLAVE: Aprendizaje, contexto, funcionamiento cognitivo,ingeniería.

ABSTRACT

This paper reports a cognitive study of a qualitative character in relation to the learningof the two variable functions and partial derivative concepts in the engineering context.It defends the fact that didactic settings in context can be conducive to a logicalmeaningful learning for the student with sense in the future professional area. Thismotivated us to research what happened at cognitive levels for students in this type ofdidactic environment. The theoretical framework is described by the study of cognitivefunctioning in a mental act of learning (the process of resolving problem). The analysisreports the experience which results in the implementation of didactic setting designswith one group of engineering students.

• KEY WORDS: Learning, context, cognitive functioning, engineering.

Fecha de recepción: 20 de Mayo de 2006 / Fecha de aceptación: 24 de Noviembre de 2006.1 Escuela de Ingeniería y Ciencias, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), CampusSan Luis Potosí, México.

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp.145-175

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RESUMO

Este artigo se reporta a um estudo cognitivo de caráter qualitativo em relação a apren-dizagem dos conceitos de função de duas variáveis e de derivada parcial, em umcontexto de engenharia. Fundamenta-se que em cenários didáticos contextualizadosse propicia uma aprendizagem com significado para o estudante, com sentido no âm-bito de sua futura área profissional. Isso motivou a investigação sobre o que sucede anível cognitivo, nos alunos, nesse tipo de ambiente didático. Descrevem-se os referen-ciais teóricos para o estudo do funcionamento cognitivo em um ato mental de aprendi-zagem (como o processo de resolução de um problema), e se apresenta a análisesobre os resultados de um local em cena do planejamento de um cenário didático comum grupo de estudantes de engenharia.

• PALAVRAS CHAVE: Aprendizagem, contexto, funcionamento cognitivo,engenharia.

RÉSUMÉ

Dans cet article on fait le rapport dúne étude cognitif à caractère qualitative en ce quiconcerne lápprentissage des concepts à propos des fonctions à deux variables etdes dérivées partielles, dans le contexte de língénierie. Il en ressort que dans dessituations didactiques en contexte, lápprentissage acquiert un signifié, porteur desens dans son environnement scolaire. Ceci a déclenché une recherche sur ce qui sepasse chez les étudiants au niveau cognitif dans ce genre de situations didactiques.On décrit les référents théoriques pour l´étude du fonctionnement cognitif dans unacte mental dápprentissage puis on présente les résultats de léxpérience de miseen oeuvre du design dúne situation didactique avec un groupe d´étudiants díngénierie.

• MOTS CLÉS: Apprentissage, contexte, fonctionnement cognitif, ingénierie.

INTRODUCCIÓN

En el ámbito de la investigación en di-dáctica de las matemáticas es bastanteconocido que la enseñanza habitual delcálculo se basa en la transmisión de co-nocimientos con un énfasis muy marca-do en el desarrollo de habilidades alge-braicas y se desatiende el discernimiento

intelectual para la comprensión de ideas,nociones y conceptos. Tal situación hasido abordada en diversos trabajos en losque se muestran desde argumentacionesteóricas hasta propuestas para mejorarla calidad del aprendizaje, las cuales in-cluyen tanto los conocimientos previos

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que necesitaría tener un estudiante paratener éxito en el estudio de cálculo, comola elaboración de materiales didácticos(Farfán, 1991 & 1994; Artigue, 1995; Do-lores, 1999; Salinas et al., 2002).

Por ejemplo, Moreno (2005) indica que:"La enseñanza de los principios del cál-culo resulta bastante problemática, yaunque seamos capaces de enseñar alos estudiantes a resolver de forma máso menos mecánica algunos problemasestándar, o bien a realizar algunas deri-vadas o integrales, tales acciones estánmuy lejos de lo que supondría una verda-dera comprensión de los conceptos y mé-todos de pensamiento de esta parte delas matemáticas". Un problema importan-te ligado a esta situación es que el cono-cimiento generalmente se trata fuera decontextos apropiados. Así, cuando sepretende mostrar a los estudiantes la uti-lidad de los contenidos que se estudian,a lo más que se llega en un curso comúnde cálculo es a resolver los llamados pro-blemas de aplicación que se proponenen los textos, que casi nunca correspon-den a la realidad.

Esto tiene consecuencias negativas cuan-do los que aprenden son estudiantes queen el ejercicio de su profesión requierende conocimientos y habilidades que lespermitan resolver problemas de verdad.Tal es el caso de quienes se preparan encarreras de ingeniería. Camarena (1990)menciona que "parte de la problemáticaen ingeniería es que la matemática seencuentra totalmente desvinculada de lasasignaturas de la ingeniería, y la realidaddel ingeniero reclama esta vinculación queen materia de educación está en tierrade nadie".

Particularmente, en los programas deestudio correspondientes a los cursos decálculo para ingeniería se puede leer, por

ejemplo, que su objetivo consiste en pro-porcionar al alumno los conocimientosfundamentales del cálculo que serán uti-lizados en la interpretación, planteamientoy resolución de problemas específicos desu carrera; sin embargo, ni en dichos pro-gramas ni en los textos que se sugierenpara los cursos son mencionados o tra-tados. Y más todavía: en comunicacio-nes personales con profesores que im-parten dichos cursos señalan que, si bientienen alguna idea, no conocen proble-mas o situaciones específicas de las ca-rreras profesionales; por tanto, se limitana enseñar, cuando mucho, el tipo de apli-caciones contenidas en los textos quellevan los alumnos.

Hay varios reportes en torno a esta situa-ción de los profesores de matemáticasen el nivel superior de enseñanza. More-no (2005) hace referencia a una investi-gación sobre las creencias de los docen-tes e indica que algunos maestros dematemáticas de las carreras de biologíay química reconocen su "deficiente for-mación alejada de los modelos químicosy biológicos, y la influencia que esto tie-ne en su enseñanza, pues les impide darexplicaciones convincentes de algo queni dominan ni conocen suficientemente".

Por otra parte, en entrevistas con profe-sores que imparten cursos de especiali-dad en ingeniería, donde se supone queemplean sus conocimientos de cálculo,afirman que realmente necesitan muypoco de estos conceptos, debido a queno se involucran con las deducciones demétodos o fórmulas, sólo las usan. Ycomo el tipo de problemas no van másallá de los rutinarios –ejercicios típicosque se presentan en los libros de textode uso común–, no se necesita más.

Estas situaciones, producto de la expe-riencia, creencias y costumbres de los

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2 Se entiende por sistema didáctico habitual a aquel en que el profesor tiene el rol principal en el proceso deenseñanza-aprendizaje, mientras que los estudiantes asumen una actitud pasiva. El aprendizaje sucede principal-mente por repetición, no por descubrimiento, lo cual conduce a un aprendizaje producto del énfasis en lamecanización del saber (esto no significa que el aprendizaje por repetición sea erróneo o inadecuado, sino queresulta insuficiente); además, la didáctica empleada está determinada por el discurso de los libros de texto. Lassesiones de clase se diseñan para el cumplimiento a los programas de estudio (que, en muchos casos, estánelaborados en función a la estructura de contenidos de los libros de texto). En buena medida, tales situaciones sedeben a que los profesores de matemáticas no tienen una capacitación profesional en docencia (mucho menosen didáctica de las matemáticas), lo cual provoca que su trabajo como docentes se guíe casi exclusivamente porlas experiencias vividas como estudiantes, su percepción de lo que significa ser un buen profesor, y lo que dictanlos programas y libros de texto oficiales.

profesores, así como de su inmersión enel sistema didáctico habitual2, repercu-ten directamente en el aprendizaje de losestudiantes y crea ideas falsas tantosobre lo que se debe (qué y cómo) apren-der como sobre la importancia de la ma-temática en su formación.

En diversos trabajos se mencionan lasconsecuencias negativas de estas situa-ciones. Artigue (1995) señala:

"Numerosas investigaciones rea-lizadas muestran, con convergen-cias sorprendentes, que si bien sepuede enseñar a los estudiantesa realizar de forma más o menosmecánica algunos cálculos de de-rivadas y primitivas y a resolveralgunos problemas estándar, seencuentran grandes dificultadespara hacerlos entrar en verdad enel campo del cálculo y para hacer-los alcanzar una comprensión sa-tisfactoria de los conceptos y mé-todos de pensamiento que son elcentro de este campo de las ma-temáticas. Estos estudios tam-bién muestran de manera claraque, frente a las dificultades en-contradas, la enseñanza tradicio-nal y, en particular, la enseñanzauniversitaria, aún si tiene otras am-biciones, tiende a centrarse en unapráctica algorítmica y algebraicadel cálculo y a evaluar en esencialas competencias adquiridas eneste dominio. Este fenómeno se

convierte en un círculo vicioso:para tener niveles aceptables deéxito, se evalúa aquello que los es-tudiantes pueden hacer mejor, yesto es, a su vez, considerado porlos estudiantes como lo esencial,ya que es lo que se evalúa…"

Esta problemática condiciona el ambien-te en el aula, la disposición de los estu-diantes para aprender y su actitud antelos nuevos conocimientos. Saber mate-máticas significa, para los alumnos, te-ner alguna habilidad en la resolución deecuaciones, desarrollar procedimientos,aplicar fórmulas y métodos. Rara vez unestudiante concibe a las matemáticascomo algo que le pueda ser útil más alláde eso, y cuando llega a suceder, no esdel todo claro. ¿Qué se puede hacer?¿Cómo vincular los contenidos matemá-ticos con las áreas que puedan interesaral estudiante? Al respecto, Camarena(2000) menciona:

"La matemática en contexto: ayu-da al estudiante a construir su pro-pio conocimiento de una matemá-tica con significado, con amarresfirmes y no volátiles; refuerza el de-sarrollo de habilidades matemáti-cas, mediante el proceso de re-solver problemas vinculados conlos intereses del alumno..."

De esta manera, atendiendo a la idea deque los estudiantes de ingeniería seránen su futura vida profesional usuarios de

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la matemática, y que requieren en su for-mación de situaciones que les muestrenla utilidad de los conocimientos matemá-ticos en su área de especialidad, este tra-bajo se inscribe en la línea de investiga-ción que aborda la problemática de laenseñanza de las matemáticas en con-texto. Particularmente, su objetivo con-siste en dotar de significado a los objetosy procesos matemáticos del cálculo, me-diante el diseño de una situación-proble-ma en el contexto de la ingeniería, a finde investigar su impacto en el aprendiza-je de los estudiantes dentro del aspectocognitivo.

Cabe señalar que entre los anteceden-tes de estudios sobre matemática encontexto realizados en México se cuentacon el Diseño de un curso de ecuacionesdiferenciales en el contexto de los circui-tos eléctricos (Camarena, 1987), el Aná-lisis de Fourier en el contexto del análisisde señales eléctricas y electromagnéti-cas (Camarena, 1993) y La serie deFourier en el contexto de la transferenciade masa (Muro, 2000), mientras que enel ámbito mudial podemos mencionar aRiordan & Noyce (2001) y Meyer & Dio-polus (2002). Incluso se están desarro-llando algunos proyectos, como el Core-Plus Mathematics Project, llevado a cabopor investigadores de las institucionesWestern Michigan University, Universityof Michigan, University of Maryland y Uni-versity of Iowa. Sus productos didácticoshan sido publicados bajo el título Contem-porary mathematics in context: a unifiedapproach (Hirsch et al., 2003).

Sin embargo, para los fines de este tra-bajo es elemental considerar que prácti-camente no se han realizado estudiossobre el cálculo en el contexto de la inge-niería, atendiendo a las funciones cogni-tivas que están involucradas en el apren-dizaje de los estudiantes. Se entiende por

funciones cognitivas a los prerrequisitosbásicos para que se den en forma satis-factoria las operaciones mentales y, engeneral, el procesamiento de la informa-ción en situaciones de aprendizaje, porejemplo, al resolver un problema (esto sedescribe con mayor detalle en el marcoteórico del trabajo).

Las investigaciones citadas proponen ar-gumentos teóricos, estudian el impactodel diseño y la puesta en escena de si-tuaciones-problema en contexto y hacenpropuestas didácticas, mas no reportanun estudio específico y detallado de lo quesucede en las funciones cognitivas dequien aprende. Todo parece indicar en di-chos trabajos que, cuando el aprendizajeocurre en situaciones contextualizadas,se obtienen mejores resultados; de ma-nera concreta, por la motivación que seprovoca en los alumnos y el significadoespecífico en el área de interés que, sesupone, adquieren las nociones, ideas yconceptos matemáticos. Pero si esto esasí, ¿qué sucede en la mente del estu-diante?, ¿qué elementos de orden cogni-tivo están implicados en el aprendizaje?

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Para atender la problemática de la ense-ñanza y el aprendizaje de las matemáti-cas en carreras profesionales de ingenie-ría es necesario construir propuestassobre estructuras didácticas alternativasque posibiliten un mejor aprendizaje, quetenga significado en los procesos inge-nieriles prácticos cercanos al interés delos estudiantes y donde el estudio delcálculo adquiera sentido.

En aras de tal propósito, resulta indis-pensable indagar sobre el funcionamien-to cognitivo de los estudiantes cuando se

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enfrentan a un escenario de aprendizajedel cálculo contextualizado en ingeniería,para tener elementos que den luz sobrela forma en que sucede el aprendizaje denociones y conceptos matemáticos enese tipo de escenarios. Se entiende queel funcionamiento cognitivo en un acto deaprendizaje que está determinado tantopor las operaciones mentales –compara-ciones, síntesis, análisis– que posibilitanla interiorización y codificación de cono-cimientos, como por las funciones cogni-tivas –descritas en el marco teórico– quesubyacen en el nivel operativo; es decir,las funciones que posibilitan la maniobra-bilidad para transformar y adecuar las re-presentaciones mentales en juego duranteel acto de aprendizaje.

De tal modo, se definió el problema deinvestigación mediante la pregunta ¿quésucede en el aspecto cognitivo en los es-tudiantes de cálculo cuando el procesode aprendizaje se realiza en escenarioscontextualizados de la ingeniería? Estosurgió como respuesta a la necesidad deestudiar los aspectos cognitivos mencio-nados en experiencias de aprendizaje,dentro del contexto de la ingeniería. Ade-más, se reconoce que la situación en lapráctica educativa que reclama tal inves-tigación está marcada por un hecho querevela la experiencia en las aulas, al me-nos en los primeros niveles de educaciónsuperior: la creencia generalizada (o almenos una duda constante) en los estu-diantes de que las matemáticas poco lesserán útiles en su futuro ámbito profesio-nal.

Se sabe que un antecedente directamen-te ligado a este hecho radica en que elproceso de aprendizaje que han vivido losestudiantes en los niveles básicos estácaracterizado por las tendencias de en-señanza tradicional; en ese sentido, suexperiencia con las matemáticas no ha

sido tal vez la más conveniente. Aquí, secree que uno de los factores con influen-cia decisiva es que tanto los programasde estudio como las ideas didácticas enlos textos de cálculo están basados enuna estructura que propicia diversos con-flictos en el aprendizaje, como señalanCantoral & Mirón (2000): "la enseñanzahabitual del análisis matemático logra quelos estudiantes deriven, integren, calcu-len límites elementales sin que sean ca-paces de asignar un sentido más amplioa las nociones involucradas en su com-prensión. De modo que aun siendo capa-ces de derivar una función, no puedan re-conocer en un cierto problema lanecesidad de una derivación".

Ahora bien, situaciones como ésta pro-vocan que los estudiantes se formen unaimagen conceptual restringida, y en mu-chos casos errónea, sobre el estudio yutilidad de las matemáticas. En particu-lar, parece ser que para ellos el cálculosólo es una serie de fórmulas, reglas ométodos sin beneficio, lo cual predispo-ne su funcionamiento cognitivo. La acti-tud de los estudiantes hacia el aprendi-zaje de las matemáticas no es la mismacuando no hay motivación o interés porestudiar algo que, desde su perspectiva,no les resulta provechoso ni en su for-mación profesional ni en su futuro cam-po laboral.

Entonces, se considera que el aspec-to cognitivo es fundamental en la investi-gación didáctica actual, ya que puedeofrecer información respecto a lo que su-cede en la mente del que aprende. Sehace pertinente investigar cómo un su-jeto obtiene conocimiento cuando seenfrenta a una situación problemática nue-va, en un escenario de su interés, e inte-ractúa con os recursos de que disponeen su memoria, tanto de orden cognitivofuncional y operativo –el estado de sus

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3 De acuerdo a la teoría de funciones cognitivas utilizada en la investigación, y que se describirá en los siguientespárrafos.


capacidades, en términos de funcionescognitivas y operaciones mentales– comolos que atañen a sus conocimientos ma-temáticos previos.

Dado el problema de investigación en estaforma, el objetivo de nuestro trabajo fueanalizar las funciones cognitivas3 de losestudiantes de cálculo en experiencias deaprendizaje de sus contenidos en el con-texto de la ingeniería.

Cabe señalar que se supone que los es-tudiantes tienen mejor comprensión cuan-do los contenidos se tratan en contextoy, por consiguiente, se entiende a su vezque los estudiantes logran un mejor apren-dizaje si es significativo (Ausubel et al.,1978); es decir, si los nuevos conocimien-tos se tratan en un proceso consistenteen que los pensamientos, expresados sim-bólicamente de modo no arbitrario y obje-tivo, se unen con los conocimientos yaexistentes en el sujeto para producir elaprendizaje. Por ello, el diseño de expe-riencias didácticas tiene que permitir unarelación intencionada (no arbitraria) y sus-tancial (no al pie de la letra) con los cono-cimientos e ideas del alumno, pues elindividuo debe desarrollar una serie de es-trategias que le permitan adquirir un co-nocimiento, almacenarlo y recuperarlocuando sea necesario. La eficacia de esteaprendizaje se encuentra en función de susignificatividad, no de las técnicas memo-rísticas, lo cual es acorde con las ideassobre la matemática en contexto.

De esta forma, resulta esencial lainvestigación sobre cómo se logra eseaprendizaje, en términos de los elemen-tos cognitivos implicados en el procesodonde se adquiere el conocimiento. Estojustifica el interés por abordar el análisis

de las funciones cognitivas que soportanlos procesos de pensamiento y posibi-litan el nivel de operatividad mental ade-cuado para que suceda el aprendizaje.

MARCO TEÓRICO

El propósito de estudiar el aprendizaje ensituaciones contextualizadas obligó a rea-lizar una búsqueda de referentes teóricosque soportaran el análisis de todos losfactores implicados en el desarrollo delproceso donde se implantan las experien-cias de aprendizaje del cálculo en con-texto y, por ende, en el propio proceso deconceptuación que concierne a las no-ciones matemáticas.

Por tanto, el soporte teórico debía tenercomo componente central al análisis delos aspectos cognitivos que ocurren encada etapa del proceso de resolución deun problema contextualizado (Camarena,2000). Estos son: planteamiento del pro-blema; determinación de las constantesy variables del problema; incorporación delos temas y conceptos matemáticos ne-cesarios para abordar el problema; obten-ción del modelo matemático del proble-ma; solución matemática del modelomatemático; solución e interpretación entérminos del problema. Aquí se incluyela comprensión de la situación, el proce-so de resolución y la emisión de la res-puesta.

Hay teorías que han sido pensadas (almenos en su origen) para estudiar los pro-cesos de conceptuación progresiva de lasestructuras matemáticas (Piaget, 1978;Vergnaud, 1990), lo cual implica un análi-sis en función de las etapas del desarro-

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4 Percepción clara: conocimiento exacto y preciso de la información. La disfunción cognitiva: percepción borrosaconsiste en un proceso pobre e impreciso de los datos de la información. Exploración sistemática de una situación deaprendizaje: capacidad para organizar y planificar la información. La disfunción de la exploración sistemática es laimpulsividad ante una situación de aprendizaje, consistente en una incapacidad para tratar la información de manerasistemática y planificada. Organización de la información: capacidad para utilizar diferentes fuentes de informacióna la vez. Percepción y definición de un problema: consiste en la habilidad para delimitar qué pide el problema, quépuntos hay que acotar y cómo averiguarlos. Interiorización y representación mental: capacidad para utilizar símbolos

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llo mental, como indica Vergnaud (1990),cuando explica el objetivo de su teoría:"Su principal finalidad es la de proporcio-nar un marco que permita comprender lasfiliaciones y las rupturas entre conoci-mientos, en los niños y los adolescen-tes". Y aclara que "las ideas de filiacióny de ruptura se refieren igualmente alos aprendizajes del adulto, pero estosúltimos se efectúan bajo restriccionesque son más del orden de los hábitos yde sesgos de pensamiento adquiridosque relativos al desarrollo del aparatopsíquico".

El interés de esta investigación estuvodirectamente relacionado con esa acla-ración de Vergnaud; es decir, con lo quesucede respecto a los efectos, en el ni-vel cognitivo, de tales hábitos y sesgosde pensamiento en situaciones de apren-dizaje, sobre todo considerando que elpresente trabajo se hizo con estudiantesde cálculo en carreras de ingeniería, quese supone han alcanzado la madurezcognitiva.

De este modo, para atender al objetivodel trabajo se decidió basar sus estudiosen dos ideas esenciales: (1) incluir as-pectos del comportamiento psíquico; esdecir, para el análisis del funcionamientocognitivo se recurrió a la idea de la ana-logía entre mente y ordenador como basecientífica de estudio, pero se incorpora-ron elementos teóricos que nos dieranluz sobre los factores internos en que sebasan los procesos mentales y que in-fluyen en las conductas de aprendizaje

de los estudiantes; (2) implementar unaforma sistemática de analizar lo con-cerniente a la conceptuación de nocio-nes matemáticas en una experiencia deaprendizaje en contexto.

Para la primera consideración, se tomóla teoría de las funciones cognitivas, comola concibe Feuerstein (1977), y para lasegunda tanto el modelo teórico de la tri-pleta conceptual fenomenologías-genera-lizaciones-notaciones, de Godino & Re-cio (1998), como las nociones de actomatemático-cognitivo y escenario didác-tico. Se describen a continuación estosrecursos teóricos.

Las funciones cognitivas son considera-das como los prerrequisitos básicos dela inteligencia, subyacen en las ope-raciones mentales, ayudan a la interio-rización de la información y permiten laautorregulación del organismo. La inte-riorización es el pilar básico del aprendi-zaje y de la adaptación y, por tanto, de lainteligencia. "Las funciones cognitivascomo actividades del sistema nerviosoexplican, en parte, la capacidad del indi-viduo para servirse de la experiencia pre-via en su adaptación a nuevas situacio-nes" (Feuerstein, 1979).

Particularmente, este estudio sigue elesbozo teórico presentado en un trabajoanterior (Zúñiga, 2004), en el cual se des-criben las características de cada faseen el procesamiento de la informaciónsobre las funciones cognitivas4 de Feuers-tein, que aparecen en el acto mental de


aprendizaje implicado en la resolución deun problema, y que se presenta a conti-nuación:

En la fase de entrada:

• La comprensión implica tener unapercepción clara tanto de los datos quese ofrecen en el enunciado como delestado final o meta a la que se quierellegar (los datos proporcionan una des-cripción completa del contexto del pro-blema y de los parámetros bajo loscuales se debe operar).

• A su vez, para el logro de la percep-ción clara es necesario que lasfunciones cognitivas de exploraciónsistemática de una situación de apren-dizaje y de organización de la infor-mación aparezcan en forma eficiente.

En la fase de elaboración:

• La resolución del problema implicala búsqueda de una vía de solución(que conecte el estado inicial con elestado meta), pero antes es necesa-rio que el sujeto sea capaz de percibiry definir con precisión el problema, locual implica que su función cognitivade percepción y definición de un pro-blema surja en forma eficiente. Estees un momento crucial en el procesoporque constituye el enlace entre lacomprensión de la situación problemá-

internos de representación. La falta o deficiencia de la interiorización se manifiesta en la conducta demasiadoconcreta y sin generalización apropiada. Planificación de la conducta: capacidad para prever la meta que se quiereconseguir utilizando la información adquirida previamente. Conducta comparativa: consiste en la capacidad pararealizar todo tipo de comparaciones y relacionar objetos y sucesos anticipándose a la situación. La deficiencia en laconducta comparativa consiste en la incapacidad para establecer relaciones de semejanza y diferencia entre objetosy sucesos. Pensamiento hipotético: capacidad para establecer hipótesis y comprobarlas, aceptando o rechazando lahipótesis previamente establecida. Comunicación explícita: consiste en utilizar un lenguaje claro y preciso queresponda al problema formulado en la tarea. Esto supone un cierto nivel de comprensión por parte del sujeto. Ladisfunción es la comunicación egocéntrica. Precisión y exactitud en las respuestas: capacidad para pensar yexpresar la respuesta correcta a un problema o situación general de aprendizaje. Control de las respuestas: consisteen la capacidad para reflexionar antes de emitir cualquier tipo de respuesta. El control y la autocorrección implicanprocesos metacognitivos.

tica y lo que es propiamente la resolu-ción del problema. Se pueden tenerdificultades en el desarrollo de la fasede elaboración cuando no se definecon precisión el problema en términosde la meta a la que se quiere llegar.

• La búsqueda de una vía de soluciónimplica la planificación de la conduc-ta (una función cognitiva que está pre-sente en todo el proceso de resolu-ción), así como la recuperación deesquemas en la memoria a largo pla-zo que involucran conocimientos ma-temáticos, lo cual a su vez requierede una conducta comparativa.

• El proceso de pensamiento para eluso, adecuación o modificación de es-quemas previos en la construcción delas nuevas ideas, nociones o concep-tos matemáticos involucra, al menos,la capacidad de pensamiento hipoté-tico y la conducta comparativa.

• La construcción de conocimiento re-quiere para la codificación de la infor-mación correspondiente a las nuevasideas, nociones y conceptos de la fun-ción cognitiva de interiorización y re-presentación mental, que es una delas más importantes. Como señalaPrieto (1992): "La interiorización es elpilar básico del aprendizaje y de laadaptación y, por tanto, de la inte-ligencia".

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tipo de representaciones materiales os-tensivas que ocupa la actividad matemá-tica (términos, expresiones, símbolos, grá-ficos, tablas, diagramas, etc.; en general,a entidades notacionales), y las genera-lizaciones, como ideas matemáticas oabstracciones (conceptos, proposiciones,procedimientos, teorías; esto es, entida-des intencionales).

Cabe señalar que, si bien este modelosemiótico ha sido pensado para el estu-dio de los procesos de interpretación ycomunicación en educación matemática,en este trabajo se le hace una interpreta-ción y adecuación personal para analizarlos elementos conceptuales sobre los quedebe transitar un estudiante cuando hacomprendido una noción matemática; esdecir, si es capaz de reconocer y transi-tar por las fenomenologías, notaciones ygeneralizaciones que lo caracterizan.

Esta investigación también es acorde conla idea de que el estudio matemático tan-to de los fenómenos del mundo real comodel matemático coloca al que aprendeante situaciones-problema. Asimismo,que las generalizaciones matemáticas enesas situaciones son producto de los pro-cesos de generalización de las accionesrealizadas; es decir, de la generalizaciónde esquemas o invariantes de sistemasde acciones, así como de las condicio-nes de realización y los resultados detales acciones, apoyados por el uso desistemas de signos. De igual modo, quelas entidades notacionales pueden sercadenas de letras o números, pero tam-bién gráficos, diagramas o incluso obje-tos físicos, y no tienen sólo una valenciasemiótica, sino que a la vez son instru-mentos ostensivos para la actividad ma-temática (Godino & Recio, 1998).

Respecto a las nociones de acto mate-mático-cognitivo y escenario didáctico,

En la fase de salida:

• La respuesta ha de emitirse utilizan-do un lenguaje claro y preciso en fun-ción de la meta final del problema for-mulado; es decir, se debe observaruna comunicación explícita de tal res-puesta.

• Se debe observar capacidad para pen-sar y expresar la respuesta correctaal problema, así como para reflexio-nar antes de comunicarla. Debe ha-ber precisión y exactitud en la respues-ta y un control en su emisión.

Las etapas de la matemática en contex-to (Camarena, 2000), mencionadas al ini-cio de esta sección, están contempladasdentro del esbozo teórico. En la fase deentrada: planteamiento del problema y de-terminación de las constantes y variables.En la fase de elaboración: incorporaciónde los temas y conceptos matemáticosnecesarios para abordar el problema; ob-tención del modelo matemático del pro-blema, y solución matemática del mode-lo matemático. En la fase de salida:solución e interpretación de la soluciónen términos del problema.

Además, para el análisis del aprendizajesobre los conceptos matemáticos invo-lucrados en la experiencia, se empleócomo apoyo un modelo teórico particularpara estudiar las relaciones dialécticasentre pensamiento, lenguaje matemáticoy situaciones-problema, el cual incluyelos elementos concepto, signo/símboloy objeto/contexto (Godino & Recio, 1998).Este modelo tiene las siguientes entida-des básicas: las fenomenologías, dondese considera a las situaciones-problema,las aplicaciones, las tareas específicasy, en general, a las entidades extensio-nales que inducen actividades matemáti-cas; las notaciones, que abarcan a todo


resolución inmediata y posibilita la bús-queda de procedimientos por parte delalumno a partir de sus conocimientos pre-vios. Esta concepción de problema impli-ca la novedad, tanto en el sentido de unatarea que tiene elementos nuevos que nose comprenden, como en la idea de cons-truir procedimientos o estrategias para suresolución.

DESCRIPCIÓN DELA EXPERIENCIA

La investigación se realizó en el ámbitode la carrera de Ingeniería Industrial y deSistemas que ofrece el Instituto Tecno-lógico y de Estudios Superiores de Mon-terrey (ITESM), Campus San Luis Poto-sí, México. Se trabajó con un grupo de12 estudiantes, entre 19 y 21 años deedad, que habían cursado y acreditadodos cursos de cálculo, uno de diferencialy otro de integral, ambos en una variablereal.

La investigación se efectuó de acuerdocon dos fases: la primera comprendióun estudio previo de carácter didácticosobre las áreas de especialidad en inge-niería donde se usan conocimientos decálculo, y la segunda a la puesta en es-cena del diseño y al propio análisis sobrelas funciones cognitivas.

El estudio de la primera fase se circuns-cribió al análisis de los textos en queestán basados los cursos de esas áreas,la consulta a los profesores responsa-bles y la revisión del plan de estudios dela carrera de Ingeniería Industrial y deSistemas (con especial atención en losprogramas analíticos). Los resultados per-mitieron observar que hay áreas de espe-

constituyen recursos teóricos propios quefue necesario definir en el desarrollo de laexperiencia (esto se comenta más ade-lante, en la sección sobre el diseño y lasactividades en el aula):

El escenario didáctico está constituidopor todos los elementos que conformanel contexto de la situación problemática,y es el que determina y da sentido al es-tudio de las ideas, nociones y conceptosmatemáticos necesarios para la resolu-ción del problema que se plantea en talcontexto. Esto incluye también los facto-res extramatemáticos y extraescolaresque dan origen al diseño de la situación-problema en contexto.

Con acto matemático-cognitivo nos refe-rimos al hecho concreto del acto mentalen que sucede el aprendizaje de unaidea, noción o concepto matemático (oincluso un proceso algorítmico). Se en-cuentra constituido por al menos un pro-ceso interpretativo que, a su vez, contie-ne las tres entidades básicas del modeloconceptual de Godino & Recio (1998): fe-nomenologías, notaciones y generaliza-ciones.

Un proceso interpretativo es cada elemen-to simbólico que interviene en el actomental de resolver un problema, y estáconformado tanto por la notación simbó-lica como por lo que representa en elámbito de ese problema (interpretaciónpersonal sobre el término proceso inter-pretativo, usado por Godino & Recio,1998).

Por último, es importante precisar la con-cepción de problema que se maneja,pues es un elemento central en el análi-sis de la investigación. Un problema re-presenta un reto o dificultad que no tiene

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(resultado de la primera fase), como sedescribe a continuación.

EL DISEÑO Y LAS ACTIVIDADES EN EL AULA

En atención a los objetivos de la investi-gación y los resultados del estudio previo–primera fase–, se decidió aprovechar unasituación que desde hace años es un pro-blema ambiental en ciertas zonas aleda-ñas a la ciudad de San Luis Potosí: lacontaminación por residuos de sustanciasquímicas que realizan algunas empresas.De hecho, algunos casos han sido docu-mentados y dados a conocer a la opiniónpública en medios informativos como laprensa y la televisión. Inclusive, científi-cos de la Universidad Autónoma de SanLuis Potosí han efectuado estudios ex-perimentales (toma de muestras y su aná-lisis) que han sido tema para estudios deposgrado.

Esta problemática se dio a conocer y sediscutió con los estudiantes, previo al de-sarrollo de la experiencia, y constituyóuno de los factores que dieron sentido alproblema matemático estudiado en elaula; además, situó el escenario didácti-co global en el contexto específico de laingeniería industrial.

El diseño de la experiencia fue el si-guiente:

Uno de los problemas más desa-fiantes para el control de la conta-minación del agua lo presenta laindustria del curtido de pieles. Losdeshechos de esta industria sonquímicamente complejos. Se ca-racterizan por valores elevados enla demanda de oxígeno bioquími-co, los sólidos volátiles y otras me-

cialidad de la ingeniería industrial –comoel análisis de regresión y el análisis y dise-ño de experimentos– donde se ocupan co-nocimientos de cálculo. De manera parti-cular, se identificó un conocimiento deespecialidad, el método de mínimos cua-drados para el ajuste de curvas, en el queaparecen conocimientos de cálculo comolas funciones de dos variables independien-tes, la derivada parcial y el cálculo de ex-tremos de funciones.

La segunda fase comprendió las siguien-tes etapas:

a) Se diseñó la situación-problema en con-texto que fue presentada a los estudian-tes y se determinaron las actividadesespecíficas del proceso a realizar en elaula.

b) Se realizó la experiencia de aprendiza-je, mediante la aplicación de la situa-ción problemática contextualizada algrupo de estudiantes ya mencionado,que llevaba el curso de Matemáticas paraIngeniería III (cálculo multivariable y unaintroducción al cálculo vectorial). Fue-ron conformados equipos para trabajocolaborativo y se abordó la situación pro-blemática.

c) Se llevó a cabo el análisis cognitivo-cualitativo en el proceso de implemen-tación de la experiencia, desde la pers-pectiva de Feuerstein, así comorespecto al modelo teórico del triángulofenomenologías-generalizaciones-nota-ciones. La recolección de datos se hizomediante grabaciones en video y de losmateriales que escribieron los alumnos.

Esta última fase se enfoca en el diseño deuna experiencia de aprendizaje en el con-texto de la Ingeniería Industrial y de Siste-mas, particularmente en el método de ajustede curvas llamado de mínimos cuadrados


al estudio de los conocimientos matemá-ticos necesarios para resolverla.

Tabla 1

La secuencia de actividades para la re-solución del problema fue la siguiente:

1era. sesión:

• Presentación de la situación proble-mática (por escrito).

• Los estudiantes leen y discuten sobreella (trabajo colaborativo).

• Se pide a los estudiantes que descri-ban por escrito lo que se solicita, loque conocen y lo que desconocen, asícomo el planteamiento de una estra-tegia de solución.

• Se les encarga que investiguen en tor-no a lo que desconocen de la situa-ción (extra clase).

diciones de contaminación. Actual-mente, se tiene un problema seriocon este tipo de contaminación enlas cercanías de la ciudad de SanLuis Potosí, y se les está invitan-do a contribuir en la solución delproblema. De acuerdo con los es-tudios realizados, lo que se nece-sita en estos momentos es deter-minar un modelo matemático parael comportamiento de este fenó-meno y poder entonces estimar ele-mentos en relación con la conta-minación producida.

Considérense los datos experi-mentales de la tabla (ver Tabla 1),los cuales se obtuvieron de 33muestras de desperdicios que setratan químicamente en un es-tudio realizado en la empresapotosina Pieles Naturales del Cen-tro, durante el periodo comprendi-do entre agosto de 2001 y enerode 2002. Se presentan las lectu-ras de la reducción porcentual deltotal de sólidos (x) y de la reduc-ción porcentual de demanda de oxí-geno químico (y) para esas 33muestras.

¿Qué modelo matemático propon-drían para el comportamiento de es-tos datos experimentales?

Se organizó al grupo en cuatro equiposde trabajo, con tres integrantes, mientrasque el trabajo se realizó en seis sesio-nes de 75 minutos cada una.

Es importante mencionar que presenta-mos a los estudiantes el escenariodiseñado antes de abordar cualquier con-tenido de cálculo diferencial en varias va-riables, con el objetivo de que la situa-ción problemática motivara y diera sentido

3711151827293030313132333334363636373839393940414242434445464750

51121161628272535304032343234373834363837364539414044374446464951

Reducc iónde sólidos,x (%)

Demanda deoxígeno quími-co, y (%)

Relime158

5 (*) [ ] 2

1( )

n

i ii

y mx b=

− +∑

• Se deduce el criterio para determinarvalores extremos.

• Se solicita a los estudiantes que ana-licen la expresión (*) ya escrita comofunción y en términos de todo lo estu-diado hasta el momento.

6a. sesión:

• Se determina en forma general el sis-tema de ecuaciones para determinarla pendiente y la ordenada al origen,y se resuelve.

• Se pide a los estudiantes que entre-guen por escrito todo el proceso deresolución del problema.

Antes de presentar el desarrollo de la ex-periencia y el estudio cognitivo correspon-diente, cabe resaltar un hecho que resul-tó fundamental durante el proceso deimplementación de las actividades dise-ñadas: la necesidad de definir los elemen-tos teóricos con base en los cuales sehabría de realizar el análisis cognitivo res-pecto a los actos de aprendizaje en todoel proceso de resolución de la situación-problema en contexto.

Para el diseño particular en cuestión, eranecesario precisar el papel que jugabanlos actos concretos; por ejemplo, reco-nocer o interpretar la expresión:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

como un ente matemático susceptible dediferenciación, las ideas y nociones ma-temáticas involucradas en la conceptua-ción de la derivada parcial, y el acto deaprendizaje del método para calcular unextremo de una función de dos variables.

2a. sesión:

• Se discute sobre lo investigado y, conbase en ello, se induce a los estu-diantes a trabajar la idea básica delmétodo de mínimos cuadrados.

• Se deduce en interacción grupal y porequipos la expresión matemática (*)5

que resulta al usar dicha idea.

• Se cuestiona a los estudiantes sobrequé se debe hacer para continuar elproceso de resolución.

• Se discute la naturaleza de la expre-sión última (*).

• Se pide a los estudiantes que reali-cen un ejercicio particular con sólocuatro datos numéricos (extra clase).

3ra. sesión:

• Se discute el trabajo extra clase y laexpresión (*).

• Se dedica la sesión al estudio de fun-ciones de dos variables.

4a. sesión:

• Se discute acerca de las condicionespara que ocurra un valor extremo (entérminos de pendientes de rectas yplanos).

• Se estudia el concepto de derivadaparcial y la forma de calcularla.

5a. sesión:

• Se continúa la última actividad de lasesión anterior.


PROCESOS INTERPRETATIVOSPARA EL ANÁLISIS DE LAS

FUNCIONES COGNTIVAS

Las palabras y expresiones matemáti-cas que aparecen tanto en el enunciadodel problema en contexto como en el pro-ceso de resolución, y que desencade-nan procesos interpretativos, son las si-guientes: Modelo matemático, %, x, y,los números (de la tabla), gráfica, pun-tos coordenados, función de una varia-ble, función de dos variables, superficie,diferencia de ordenadas, pendiente, or-denada al origen, variables, constantes,sumatoria, igualdad, cuadrado (de poten-cia), derivada parcial, ecuación y solu-ción de un sistema de ecuaciones linea-les.

En cuanto a los procesos interpretativos,son:

1. Sobre el enunciado:

1a, modelo matemático significafunción; 1b, % representa porcen-taje; 1c, las letras x, y designanvalores numéricos (datos experi-mentales); 1d, los números en lastablas representan valores porcen-tuales.

2. Sobre el proceso de resolución:

2a, di representa las diferenciasverticales entre la recta que sebusca y los datos numéricos. Se

Sin embargo, no había un término, ni enla teoría de Feuerstein ni en la tripleta con-ceptual de Godino & Recio (1998), con elque se pudieran ubicar en el marco teóri-co esos actos de aprendizaje. Entonces,para vertebrar los elementos centrales delanálisis cognitivo (las funciones cogniti-vas implicadas, así como los conceptosmatemáticos de estudio y sus relacionesen términos de generalizaciones, fenome-nologías y notaciones), hubo necesidadde asignarle nombre a dichos actos y de-finir lo que significaban en el análisis. Así,se definió el término acto matemático-cognitivo y se precisó lo que se entiendepor escenario didáctico y procesos inter-pretativos (ya mencionado en la seccióndel marco teórico).

El escenario didáctico descrito, que es labase de nuestra investigación, está con-formado por el problema de contamina-ción ambiental en las cercanías de la ciu-dad de San Luis Potosí. Aquí, el contextoen la ingeniería queda determinado tantopor los resultados del estudio previo so-bre las áreas de especialidad en ingenie-ría donde se usan conocimientos de cál-culo como por la situación social delproblema de contaminación, que atañeal área de especialidad de la ingenieríaindustrial. Esto implica que la noción decontexto se conforma por dos elemen-tos: el ámbito institucional (planes y pro-gramas analíticos de estudio) y el ámbi-to extraescolar (situaciones o problemasvinculados al quehacer de un ingeniero).

El uso de los elementos teóricos en lainvestigación es como se presenta ense-guida.

Relime160

2j, ( )[ ]∑=

+−=n

iii bmxybmf

1

2),( es

una función en las variables inde-pendientes m, y b, (f (m, b) resul-ta de una extensión –generaliza-ción– de la notación f (x));

2k, b

bmfm

bmf∂

∂∂

∂ ),(),( y simboli-

zan las derivadas parciales de frespecto a m y a b;

2l, 0),(0),(=

∂∂

=∂

∂b

bmfm

bmf y son

la pendiente nula de f tocante a my la pendiente nula de f en relacióna b;

2m, ( )[ ]( )∑=

−+−n

iiii xbmxy

1

22 es la

derivada parcial respecto a m, y

( )[ ]( )∑=

−+−n

iii bmxy

1

122 la derivada

parcial que atañe a b;

2n, ( )[ ]( )∑=

=−+−n

iiii xbmxy

1

022

( )[ ]( ) 01221

=−+−∑=

n

iii bmxy

es el sistema de ecuaciones quepermite determinar m y b, bajo elconocimiento de que la igualacióna cero proporciona los valores dem y b, donde f (m, b) toma su valorextremo mínimo.

En cada proceso interpretativo se puedereconocer la dialéctica entre las ideas

coloca junto al segmento de rectaque une un punto con la represen-tación gráfica de la recta que sepide;

2b, x, y designan los datos numé-ricos;

2c, m y b simbolizan la pendientey la ordenada al origen de la rectaque se busca, respectivamente;

2d, y = mx + b traduce la expre-sión "forma de una función líneal"(también puede interpretarse como"la ecuación pendiente-ordenada alorigen de la recta");

2e, yi - mxi + b es la diferencia en-tre la ordenada yi de cada puntodato numérico y la ordenada de unpunto de la recta y = mx + b;

2f, di = yi - (mxi+b) figura laequivalencia entre los procesosinterpretativos 2a y 2e;

2g, ∑=

n

i 1representa una suma de

términos, del primero al n-ésimo;

2h, [ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

)( significa la

suma de todas las diferencias en-tre los puntos, datos experimen-tales y la recta buscada;

2i, ( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2 determina

una forma válida y conveniente parael trabajo en el registro algebraicoy figura la suma de las diferenciasentre los puntos datos experimen-tales y la recta, al cuadrado;


basa el proceso al cual se refiere, no sóloen términos del proceso como tal.

RESULTADOS Y ANÁLISIS

Todo el análisis se efectúa con base enlas observaciones sobre el desarrollo delas experiencias de aprendizaje, así comoen el material de los videos y los escri-tos en papel de los estudiantes sujetosa las experiencias. Las frases en letracursiva y entre comillas corresponden atranscripciones literales de los alumnos.

Fase de entrada

1era sesión

Al inicio no se observan dificultades paracomprender lo que plantea el enunciado;sin embargo, en el tránsito al proceso deresolución surgen problemas en la fun-ción cognitiva de percepción y definiciónde un problema, ya que los alumnos com-prenden lo que trata la situación proble-mática, mas no es inmediata su percep-ción del problema por los siguientesdesequilibrios:

• Desequilibrio causado por el enfrenta-miento con información novedosa:"hay cosas que no se conocen y noes claro lo que se pide".

• Las condiciones en que se aborda lasituación problemática hace que losestudiantes tengan un desequilibrio ensus concepciones sobre las formasde enseñanza-aprendizaje a las quehan estado expuestos (primero sehan de estudiar los contenidos mate-máticos, después las aplicaciones).Aparecen comentarios como "pero sitodavía no hemos visto nada del cur-so, ¿cómo lo vamos a resolver?"

(generalizaciones), el lenguaje simbólico(notaciones) y la situacion matemáticaen que sucede (fenomenologías).

Por ejemplo, en 2c la idea (generaliza-ción) de incógnita o variable está "encap-sulada" en la notación m, b, y el hechofenomenológico queda constituido por larepresentación geométrica donde se ubi-ca (plano cartesiano), la cual es produc-to de la idea que genera el método. Otroejemplo: en 2e la idea de diferencia(como una distancia en el registro gráfi-co) está representada por la expresiónyi - (mxi+b), y el hecho fenomenológicoes la situación geométrica en que se en-marca (resulta de la idea que origina elmétodo).

LOS ACTOSMATEMÁTICOS-COGNITIVOS

El análisis se centra en los actos mate-mático-cognitivos de aprendizaje funda-mentales en el proceso de resolución delproblema en estudio:

1. La interpretación de:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

como una función de dos variables.

2. La conceptuación de la derivada par-cial.

3. El proceso para determinar un valormínimo de una función de dos varia-bles

Cabe señalar que en este último acto elanálisis se hace considerando los cono-cimientos matemáticos que entran en jue-go; es decir, se analiza en función de lasideas, nociones y conceptos en que se

Relime162

ses siguientes en el desarrollo de la ex-periencia. Sin embargo, no se puede pre-suponer el éxito en cuanto al aprendizajede los contenidos de cálculo involucradossólo porque hay motivación y disposiciónde los alumnos para hacer las activida-des diseñadas.

Fase de elaboración

1era. sesión

Una vez que los estudiantes han grafica-do los puntos en el plano xy, aparecenideas diversas sobre la estrategia paradeterminar el modelo que pide el proble-ma. Sin embargo, en todas se observanpatrones de comportamiento muy simila-res en los estudiantes: planifican lo quevan a hacer, siguen hipótesis, realizancomparaciones y utilizan la evidencia ló-gica. Por ejemplo, un equipo, luego dediscutir, escribe: "intentamos graficar losdatos dados en el problema y nos dimoscuenta que la gráfica no correspondía auna función, puesto que se repiten variosvalores en el eje x".

Al platicar con ellos al respecto, señalanque planearon (planificación de la conduc-ta) graficar para ver si podían determinarla forma de la función, lo cual implicala suposición (pensamiento hipotético) deque los datos numéricos representan, pre-cisamente, una función. Luego, les sur-gieron ideas como unir los puntos consegmentos de recta, y uno de los estu-diantes dijo que eso se parecía a una grá-fica como las de códigos de barras, queno recordaba cómo eran, pero se hacíancon funciones trigonométricas, hecho queimplica una conducta comparativa; final-mente, advierten que la colección de pun-tos no representa una función porque haypares ordenados donde se repite la abs-cisa. Esto significa que recurren a su co-

Estas dificultades se van superando amedida que los sujetos piensan reflexi-vamente el problema y lo discuten parabuscar una definición conveniente; asi-mismo, descartan aquellos aspectos in-compatibles e incongruentes y utilizantodo tipo de información previamentealmacenada que tenga cierta relación conel problema, lo cual implica el uso de lasfunciones cognitivas de exploración sis-temática de una situación de aprendiza-je y de organización de la información.De manera particular, los estudiantes re-cuperan sus esquemas sobre el concep-to de función, los de representación sim-bólica y gráfica y, sobre todo, la idea delo que hay que hacer cuando lo que setiene es una colección de puntos (en unatabla): graficar los puntos en un plano co-ordenado. Esa es la primera idea que apa-rece en prácticamente todos los equiposde trabajo.

Los esquemas previos de representaciónde funciones de una variable hacen quelos estudiantes tengan confianza paraelaborar una definición precisa del pro-blema; además, les crea un sentimientode competencia para abordarlo.

Por otra parte, se nota un aspecto desuma importancia en esta fase de entra-da: hay una gran motivación en el grupopor tratar un problema asociado a unasituación real, ligada al área de su for-mación profesional. Se percibe en el aulaun ambiente propicio para el aprendizajey existe disposición en cada alumno porabordar el problema y colaborar con suscompañeros de equipo. Cabe señalar queésta era una situación ya esperada (de-bido a los resultados de investigación conque se contaba en este aspecto, men-cionados en la introducción de este tra-bajo); sin embargo, se considera impor-tante comentarla porque determina laconducta de los estudiantes para las fa-


Los estudiantes presentan diversos mé-todos numéricos (el nombre y alguna ideade cómo funciona) tanto de correlacióncomo de interpolación y extrapolación,entre otros. El profesor, dentro de todaslas posibilidades, induce al uso del mé-todo de mínimos cuadrados, y explicasus ventajas en relación con el problemaque se está tratando y con los objetivosdel curso. Se decide que se intente ha-llar un modelo lineal para los datos, re-cuperando la idea de uno de los equipos(ya mencionada).

Una vez estudiadas las ideas básicas enque se fundamenta el método, es decir,minimizar el cuadrado de la suma de lasdiferencias entre cada punto (dato expe-rimental) y la mejor recta de ajuste, y de-terminan que la expresión que represen-ta estas ideas es:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

se prosigue con el análisis de las funcio-nes cognitivas en términos de los actosmatemático-cognitivos y los procesosinterpretativos descritos anteriormente.

ANÁLISIS PARA EL ACTOMATEMÁTICO COGNITIVO 1

Acto matemático-cognitivo:

La interpretación de:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

como una función de dos variables.

nocimiento previo sobre el concepto defunción y usan la evidencia lógica paradescribir el comportamiento de los datosy descartar la posibilidad de una función,como habían supuesto inicialmente.

Otro de los equipos anota: "Primero vi-mos que es bidimensional, después gra-ficamos para darnos una idea de la ten-dencia que tiene la gráfica de la función;al verla, se nos ocurre trazar dos líneasparalelas entre las que se encuentran to-dos los puntos y después trazar una nue-va recta paralela, exactamente entre lasdos primeras rectas".

Nuevamente, se planea graficar y se su-pone que los datos representan una fun-ción. Sin embargo, la estrategia para tra-tar de hallar el modelo es diferente. Estosalumnos suponen que es una buena idea,dado el comportamiento de los puntos,dirigir sus esfuerzos a encontrar una rec-ta que pase entre los datos numéricos;tal conducta implica el pensamiento hi-potético y el uso de la evidencia lógica.Suponen que es una buena idea pensaren un modelo lineal, considerando la evi-dencia de la forma en que se comportanlos datos.

Aquí, se invita a los estudiantes a reflexio-nar sobre lo que conocen y lo que desco-nocen de la situación problemática. Endiscusión, primero en equipos y des-pués grupal, se delibera sobre la posibili-dad de que existan métodos para reali-zar lo que se pide se acuerda investigaral respecto.

2a. sesión

Se presentan por equipo los resultadosde la tarea encomendada en la sesiónanterior.

Relime164

• Las variables son x y y: conocimientofijo en la memoria como producto delabuso en el uso de estas letras paradenotar variables en el sistema comúnde enseñanza.

• No es lo mismo incógnita que varia-ble. Para los estudiantes, las varia-bles son x y y porque "son las quevarían en los datos de la tabla". Estoes, x y y "toman diversos valores";m y b, por su parte, son incógnitasporque "no toman distintos valores,simplemente no sabemos cuántovalen".

Estas concepciones son un obstáculopara la interpretación en 2j porque, porejemplo, una función tiene variables in-dependientes, no incógnitas independien-tes; además, los estudiantes comentanque "son muchas variables e incógnitas".Asimismo, se privilegian a los símbolosen la expresión sobre la forma en que sedenota una función, debido a que el pro-ceso interpretativo 2i no tiene una gene-ralización ni una fenomenología implíci-tas asociadas.

También surge impulsividad (disfunciónasociada a la función cognitiva de explo-ración sistemática de una situación deaprendizaje) ante la pregunta ¿qué tipode expresión matemática es:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2?

Los estudiantes dan respuestas inmedia-tas como "es la suma de las diferenciasentre los puntos y la recta que se bus-ca", con lo cual muestran una tendenciaa contestar sin reflexionar sobre la pre-gunta; sólo lo hacen en términos de losaspectos previos en la deducción dela expresión (procesos interpretativos an-teriores). Ante esta situación, se les in-

Procesos interpretativos involucrados:

2i. ( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2determina una

forma válida y conveniente para el tra-bajo en el registro algebraico. Repre-senta la suma del cuadrado de lasdiferencias entre los puntos datos ex-perimentales y la recta.

2j. ( ) ( )[ ]∑=

+−=n

iii bmxybmf

1

2, indica

una función en las variables indepen-dientes m; b, del símbolo f(m, b), re-sulta de una extensión –generaliza-ción– de la notación f(x).

En 2i hay una expresión algebraica, perono tiene un significado conceptual (comofunción) para los estudiantes ni está en-marcada en una situación fenomenológi-ca (que no sea el propio registro gráficoque la origina).

Respecto a 2j, establece una represen-tación simbólica funcional en las varia-bles m y b, con lo cual se tiene un proce-so interpretativo en el que intervienen lostres componentes del modelo: una ex-presión simbólica (notaciones); una ideamatemática (noción de función de dosvariables), y una fenomenología implíci-ta, que atañe al espacio (sistema tridi-mensional) y la situación que le dio ori-gen (los puntos datos experimentales yla idea básica del método).

Análisis:

Se observan dificultades en algunos es-tudiantes para interiorizar la expresiónen 2i como una función de dos varia-bles, debido a concepciones previas. Porejemplo:


está estudiando, ponen toda su atencióny muestran disposición a participar en lasdiscusiones.

Se debe aclarar que las situaciones dedisfunción cognitiva observadas no songeneralizadas en el grupo, pues tanto losconflictos iniciales respecto al conoci-miento previo como la impulsividad apa-recen sólo en algunos estudiantes dentrode los equipos de trabajo. Otros, de ini-cio, proponen que la expresión "no es unaecuación porque no está igualada connada", o "sí representa una función, perole falta el nombre", etc.

En esta parte, para situar las caracterís-ticas involucradas en el tránsito del pro-ceso interpretativo 2i al 2j, necesario parala conceptuación de:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

como una función de dos variables, sepropuso a los estudiantes que considera-ran el siguiente ejercicio:

Considera los puntos coordenados(2, 2), (4, 11), (6, 28) y (8, 40).Aplica la idea del método de míni-mos cuadrados vista en la sesiónde clase (sustituye estos valoresen la expresión que estamos estu-diando), desarrolla la sumatoria,simplifica y grafica en Maple la ex-presión resultante. Imprime unaperspectiva gráfica donde se apre-cie lo mejor posible el valor extre-mo que tiene.

Una vez que los estudiantes han simplifi-cado y obtenido la expresión:

siste a que piensen en lo que representa:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

como objeto matemático; es decir, si laexpresión simboliza una ecuación, unafunción, una identidad, etc.

Algunos estudiantes contestan de mane-ra impulsiva que la expresión representauna ecuación; otros, una función. Se pue-de inferir que en su razonamiento subya-cen hipótesis particulares sobre la natu-raleza de la expresión, y eso los motivaa ofrecer sus respuestas. A su vez, talrazonamiento implica comparaciones consus esquemas previos sobre el tipo deexpresión en cuestión. Las funciones cog-nitivas de conducta comparativa y pen-samiento hipotético entran así en juego,en forma implícita, en la situación deaprendizaje.

Es importante señalar que la impulsivi-dad de algunos estudiantes ocurre, enciertos casos, porque no efectúan una ex-ploración sistemática y reflexiva sobre lascaracterísticas de la expresión en estu-dio, no porque no tengan el conocimientopara identificar los símbolos asociados alas notaciones comúnmente usadas parauna ecuación o una función.

Además, se observa que esta impulsivi-dad surge por el deseo de participar en elproceso de aprendizaje, ya que algunosestudiantes que comúnmente no colabo-ran en el grupo aportando ideas, ofrecien-do respuestas o discutiendo, lo hacenahora. La motivación que subyace en laexperiencia de aprendizaje al abordar elproblema crea un ambiente donde estosalumnos encuentran sentido a lo que se

Relime166

En cierta forma, los estudiantes descu-bren que trabajan con una expresión quedesigna un nuevo tipo de función, y surepresentación geométrica es una gráfi-ca en el sistema coordenado rectangu-lar tridimensional.

Hasta este momento, el trabajo de trán-sito entre los procesos interpretativos 2iy 2j se encuentra en una etapa donde laexpresión matemática en 2i tiene unaetapa donde la expresión matemática en2i tiene una notación explícita asociada,la ecuación:

,25091621072404120 22

+−−−++=

bmmbbmS

y una fenomenología que la soporta, lasituación que le dio origen y el registrogeométrico tridimensional. Sin embargo,no se ha alcanzado la generalización,ya que si bien los estudiantes intuyenaspectos de las características de estenuevo tipo de función, todavía no cuen-tan con una definición.

3a. sesión

Esta sección se dedica a estudiar el con-cepto de función en su definición, nota-ciones, representaciones gráficas y nu-méricas. Al término de esta actividad, losestudiantes, en el proceso interpretativo2j, también tienen una generalizaciónpara el concepto de función de dos va-riables, en particular para la expresión:

( ) ( )[ ]∑=

+−=n

iii bmxybmf

1

2,

25091621072404120 22

+−−−++

bmmbbm

comprenden que ésta siempre es la for-ma que se obtiene, y que no depende delos números en los pares ordenados. Ade-más, cuando se les cuestiona acerca dela forma geométrica de dicha expresión,algunos recuperan sus conocimientossobre graficación de funciones en una va-riable y dan argumentos como "es unacuadrática general que tiene sus térmi-nos cuadráticos positivos y entoncesdebe abrir para arriba,… como una cosatipo parábola". Si se trabaja con analo-gías y comparaciones de tal índole, a losestudiantes no se les dificulta aceptar queeste tipo de expresión siempre tendrá unvalor extremo mínimo.

Cuando los alumnos capturan la expre-sión en el software Maple reflexionan so-bre su naturaleza, ya que la instrucciónPlot3d grafica funciones (parte del traba-jo extraclase consistía en investigar cómoutilizar el Maple para graficar este tipo deexpresiones). Algunos escriben en sureporte de tarea:

,25091621072404120 22

+−−−++=

bmmbbmS

donde S representa la sumatoria de la cualse obtuvo la parte derecha de la ecua-ción. Los demás estudiantes del grupoaceptan esta notación sin dificultad. En-tonces, se les pregunta ¿de cuántas va-riables depende esta expresión?, y prác-ticamente todos están de acuerdo en quedepende de dos: m y b. Aparecenexplicaciones como "la sumatoria dependede m y de b".


4a. y 5a. sesiones

En estas sesiones se abordan las activi-dades que propician el aprendizaje de lasnociones, ideas y definiciones que con-forman el concepto de derivada parcial.

El acto matemático-cognitivo local y losprocesos interpretativos en juego son lossiguientes:

Acto matemático-cognitivo:

La conceptuación de la derivada par-cial.

Procesos interpretativos involucrados:

2k. ( ) ( )

bbmf

mbmf

∂∂

∂∂ ,, y simbolizan

las derivadas parciales de f respectoa m y b.

2l.( ) ( ) 0,0, =

∂∂=

∂∂

bbmf

mbmf y son la

pendiente nula de f respecto a m y lapendiente nula de f respecto a b.

2m. ( )[ ]( )∑=

−+−n

iiii xbmxy

1

22 es la

derivada parcial respecto a m, y

( )[ ]( )1221

11 −+−∑=

n

ibmxy la derivada

parcial respecto a b.

2n. ( )[ ]( )

( )[ ]( ) 0122

022

1

1

=−+−

=−+−

∑

∑

=

=

n

iii

i

n

iii

bmxy

xbmxy

es el sistema de ecuaciones que per-mite determinar m y b, bajo el conoci-

miento de que la igualación a ceroproporciona los valores de m y b, don-de f (m, b) toma su valor extremomínimo.

En 2k hay una notación asociada a unaidea, la noción de derivada parcial comopendiente, y una fenomenología consti-tuida por el espacio (tanto el sistema co-ordenado tridimensional en papel comoel espacio real donde se desarrolla la ex-periencia; por ejemplo, considerando lasparedes y el piso del aula como los pla-nos que conforman el primer octante delsistema coordenado).

En 2l está encapsulada la idea de pen-diente nula, que implica la idea de rectatangente horizontal respecto a m y b. Lacomponente fenomenológica es la mis-ma que en 2k.

Para 2m hay una notación explícita paralas derivadas parciales de:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

que se asocia con la idea de pendientede las rectas tangentes en las direccio-nes de m y b en algún punto arbitrario. Lacomponente fenomenológica es la mis-ma que en los dos procesos anteriores.

En 2n se tiene una notación general aso-ciada a pendientes nulas de rectas tan-gentes a la superficie f. La componentefenomenológica es la misma que en losotros procesos.

Análisis:

Se retoma el ejercicio usado en la sesiónanterior y se cuestiona a los estudiantessobre qué estrategia o procedimiento se-guirían para determinar el punto (m, b),que corresponde al valor más pequeño

Relime168

de la superficie. Se discute en los equi-pos de trabajo y dan respuestas como:

"Derivando la ecuación con res-pecto a m y b. Como es de estiloparabólico y abre hacia arriba, notiene máximos, por lo cual al deri-var resultará el valor más peque-ño de la superficie. Después dederivar, se iguala a cero. El valorobtenido será el más pequeño por-que es la tangente, es decir, enese punto la inclinación es cero".

Se observa que estos alumnos toman unaconducta comparativa sobre la nueva si-tuación con respecto a sus conocimien-tos previos del cálculo diferencial en unavariable, en particular los de su nociónde derivada como pendiente y la tangen-te. Aunque en este momento no sabencómo derivar la función, suponen que suprocedimiento se puede realizar, lo cualimplica un pensamiento hipotético.

Otros estudiantes van más allá en sushipótesis al escribir:

"Creemos que una opción es deri-var la función e igualar la derivadaa 0 para obtener los valores extre-mos de m y b.

Después podemos sacar la segun-da derivada para saber si los ex-tremos son mínimos o máximos.Un resultado (+) revela una con-cavidad hacia arriba, es decir, unmínimo. Lo contrario sucederá conun resultado negativo.

Por otro lado, podemos tomar va-lores cercanos a los puntos queobtuvimos de la primera deriva-da (un valor a la izquierda yuno a la derecha) y sustituirlos en

la 1era. derivada. Con ello veremossi la pendiente crece-decrece(+,–) = máximo, o lo contrario(–, +) = mínimo".

Los supuestos que asumen estos estu-diantes los llevan a transferir característi-cas de las funciones en una variable a lasde dos, pero sin reflexionar sobre las im-plicaciones propias del sistema tridimen-sional. Por tanto, aparece implícita unapercepción borrosa de la situación, ya queno se reflexiona, por ejemplo, sobre elsignificado de izquierda o derecha en elespacio. Si bien parecen claros los cono-cimientos de dichos alumnos sobre loscriterios para determinar valores extremosen funciones de una variable, en la nuevasituación que enfrentan hacen una explo-ración sistemática deficiente. Este hechopuede ser consecuencia de la impulsivi-dad que surge de los desequilibrios tantopor el desconocimiento sobre el signifi-cado de la derivada para funciones en elespacio como por la forma de calcularlaalgebraicamente.

En esta parte interviene el profesor y ex-plica la interpretación geométrica de laderivada parcial, la simbología que seemplea y el uso de las reglas dediferenciación, interactuando con los es-tudiantes en función de sus conocimien-tos previos.

Se logra sin dificultad la interpretación de:

( ) ( ) 0,0, =∂

∂=∂

∂b

bmfm

bmf y

como la situación geométrica de aque-llos puntos (m, b) donde la pendiente delas rectas tangentes a la superficie f, endirección del eje m y del eje b, respecti-vamente, es nula.


Por otra parte, se discute sobre posiblessituaciones geométricas de superficiesdonde pueda ocurrir que:

( ) ( ) 0,0, =∂

∂=∂

∂b

bmfm

bmf y

pero que no exista un valor extremo (pun-tos silla). También se tratan superficiescon valores extremos en puntos dondelas derivadas parciales no existen (el"pico" de un cono, por ejemplo).

Inmediatamente después de este trata-miento de la derivada, se regresa a la re-solución del problema de contaminación.De nuevo se les pide a los estudiantesque describan –en función de todo lo quese ha abordado– las funciones de dosvariables y la derivada parcial, el tipo defunción que es:

( ) ( )[ ]∑=

+−=n

iii bmxybmf

1

2,

y el procedimiento a seguir para determi-nar sus valores extremos. Sus descrip-ciones son muy similares. Por ejemplo,uno de los equipos señala:

"La función es una cuadráticacomo una hoja doblada hacia arri-ba, por eso tiene un punto mínimosolamente y se puede saber ade-más porque al derivar una cuadrá-tica siempre quedan ecuacioneslineales; entonces, al resolverlas,cuando se iguala a cero, nada másqueda un solo valor de m y b, quees el crítico donde está el mínimo.No se necesita checar nada másde las derivadas parciales porqueesta función no tiene picos ni pun-

tos de silla. Además, es continuasiempre".

Se observa que los alumnos interaccio-nan sin dificultad en las componentesconceptuales de notación, generalizacióny fenomenologías. Las ideas, nocionesy definiciones provocan que los concep-tos sean significativos en el ámbito enque se han estudiado. En este momen-to, han comprendido tanto el método demínimos cuadrados como los conceptosde función de dos variables y la derivadaparcial, desde la perspectiva teórica quese está manejando.

Fase de salida

6a. sesión

Es claro para los estudiantes que lo queresta por hacer es obtener las derivadasparciales y averiguar para qué valores dem y b se anulan. Se discute en los equi-pos de trabajo y advierten que, de seguirel procedimiento realizado con el ejerci-cio de los cuatro puntos, tendrían quetrabajar demasiado en el desarrollo de lasumatoria. Entonces, sugieren que sedebe tratar de encontrar las derivadasparciales en forma general, aplicando lasfórmulas de diferenciación, y dejando in-dicados todos los símbolos que involu-cra f(m, b), a fin de igualar a cero y re-solver el sistema para m y b. Así, se de-terminan las ecuaciones del proceso in-terpretativo 2n y los equipos de trabajoresuelven el sistema con el método queconsideran más adecuado. Finalmente,después de algunas dificultades algebrai-cas, se llegan a establecer las ecuacio-nes que permiten determinar las varia-bles m y b.

Relime170

CONCLUSIONES

El análisis e interpretación de la infor-mación que se obtuvo mediante las teo-rías cognitivas utilizadas permitió lograruna descripción detallada sobre el fun-cionamiento cognitivo del grupo de es-tudiantes sujeto a la experiencia deaprendizaje. Todo parece indicar que lasfunciones cognitivas y los procesosmentales operativos6 propician una ade-cuada codificación e interiorización dela información tratada. De igual manera,aparecen en forma eficiente como pro-ducto de la atención y esfuerzo que losestudiantes brindan a las actividades deaprendizaje, lo cual se debe a la moti-vación cuando abordan el problema enun contexto de su interés.

Los resultados del trabajo muestran que,en el escenario contextualizado en la in-geniería que se utilizó, el funcionamien-to cognitivo de los estudiantes propicióla comprensión de los contenidos de cál-culo en el ámbito de su área de espe-cialidad. Tal comprensión se logró tantopor las características de la situaciónproblemática (que fue una tarea poten-cialmente significativa) como por la ac-titud positiva de los estudiantes al tra-tarla, lo cual concuerda con lo queseñalan Ausubel, Novak & Hanesian(1978), en el sentido de que un aprendi-zaje es significativo si el estudiante tie-ne "una disposición para relacionar demanera significativa el nuevo material deaprendizaje con su estructura existentede conocimiento", y si la tarea de apren-dizaje "consiste en sí de un material ra-zonable o sensible y si puede relacio-narse de manera sustancial y no

arbitraria con la estructura cognoscitivadel estudiante particular".

La eficiencia observada en el funciona-miento cognitivo de los estudiantes en estaexperiencia en contexto también se de-bió, en una parte importante, al diseño delescenario y sus implicaciones didácticas;particularmente, a la idea básica de pre-sentar el problema a los alumnos antesde cualquier contacto con los contenidosdel cálculo diferencial de dos variables.Esto permitió que la situación problemá-tica, además de proporcionar un contex-to específico de interés, fungiera comoelemento rector de las acciones a efec-tuar para resolver la propia situación y re-presentara un verdadero problema. Así, elnuevo conocimiento fue resultado de lainteracción entre los nuevos objetos ma-temáticos de estudio y el conocimientoprevio sobre el cálculo diferencial de unavariable real que los estudiantes poseían.El funcionamiento cognitivo estuvo siem-pre orientado hacia la obtención de nue-vas metas y el aprendizaje de las herra-mientas matemáticas que permitieran alos alumnos solucionar el problema.

Además, el texto del escenario didácticohace explícito el tema (la contaminaciónprovocada por una empresa industrial) yproporciona, en parte, el contexto en laingeniería. Este es uno de los factores másimportantes sobre el aspecto afectivo enlos estudiantes, principalmente cuandoabordan una experiencia de aprendizajey tratan de comprenderla. Varios autoreslo reconocen, como Schunk (1997), quienseñala:

"Uno de los factores dirigidos con-ceptualmente más importantes dela comprensión es el tema general

6 Clasificación, análisis, síntesis, etc.


del material. La expectativa del quecomprende sobre el tema de unpasaje puede servir como un sis-tema para la comprensión del ma-terial. El tema global de un pa-saje puede afectar notablementea casi todos los aspectos de lacomprensión".

Respecto al objetivo general de la inves-tigación, se considera que se cumplió deacuerdo con lo planteado. La teoría cog-nitiva de Reuven Feuerstein permitió rea-lizar el análisis cognitivo en términos delas funciones que subyacen –como pre-rrequisitos para el aprendizaje– en lasoperaciones mentales y el procesamien-to de la información al resolver el proble-ma en el contexto de la ingeniería, pro-pósito central de la investigación. Laexplicación de algunas conductas comola impulsividad, la exploración sistemáti-ca, el pensamiento hipotético y la con-ducta comparativa no se hubieran podi-do estudiar sin esta teoría, al menos nocon los elementos necesarios para justi-ficar las observaciones realizadas.

A su vez, el modelo teórico para el análi-sis de significados locales en cada pro-ceso interpretativo, que se empleó comosoporte de apoyo en las experiencias deaprendizaje, resultó fundamental para in-terpretar las observaciones hechas al pro-ceso de aprendizaje de las ideas, nocio-nes y conceptos involucrados en cadaacto matemático-cognitivo básico en laresolución del problema.

Durante el diseño de la experiencia, sedetectó la necesidad de organizar el aná-lisis en torno a los actos mentales deaprendizaje que implican los principalesconceptos y procesos matemáticos cen-trales en la comprensión y desarrollo delmétodo de mínimos cuadrados: los con-ceptos de función de dos variables y de

derivada parcial, así como el procesopara determinar un valor mínimo.

En razón de sus características, se lla-mó actos matemático-cognitivos deaprendizaje a dichos actos mentales. Talelemento teórico permitió orientar lasobservaciones en la investigación y la des-cripción de los elementos de aprendiza-je involucrados en la experiencia. Los pro-cesos interpretativos para el análisis delas componentes conceptuales, es de-cir, las nociones e ideas matemáticas(fenomenologías), las definiciones con-ceptuales (generalizaciones) y el siste-ma de símbolos (notaciones) resultaronen cierta forma insuficientes por sí solospara el tipo de estudio que se quería rea-lizar. Los actos matemático-cognitivos deaprendizaje permitieron identificar, defi-nir y analizar los puntos medulares en elproceso de resolución del problema,como se concibió en el diseño.

Respecto a los elementos teóricos usa-dos en la investigación para el análisisde las ideas, nociones y conceptos ma-temáticos, se considera que los actosmentales de aprendizaje ocurren cuan-do el estudiante transita adecuadamen-te por los procesos interpretativos invo-lucrados en cada uno; es decir, cuandotiene la capacidad de interactuar entrelas fenomenologías, notaciones y gene-ralizaciones que constituyen cada pro-ceso interpretativo en el acto mental.

De esta forma, considerando la teoríacognitiva de Feuerstein utilizada paraanalizar un acto mental de aprendizajeespecífico en la fase de elaboración dela resolución de un problema, se debeestablecer el acto matemático-cognitivode interés, identificar los procesos inter-pretativos y definir las fenomenologías,notaciones y generalizaciones para cadauno de ellos. Una vez que se realiza la

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experiencia de aprendizaje, hay queabordar el funcionamiento mental opera-tivo (uso de analogías, comparaciones,análisis, síntesis, etc.) en términos delas funciones cognitivas que le subya-cen.

Estas observaciones son importantesporque muestran la forma en que se in-tegraron los elementos teóricos especí-ficos para el estudio de contenidos ma-temáticos con los de la teoría cognitivade Feuerstein en el desarrollo del traba-jo. El uso de las teorías que soportaronla investigación permitió, como se ha se-ñalado, indagar en el funcionamiento cog-nitivo de los estudiantes sujetos a lasexperiencias, desde las funciones cog-nitivas que permiten la operatividad men-tal en cuanto a capacidades hasta la for-ma en que ocurre el aprendizaje concretode conceptos matemáticos. Además,son importantes porque esta investiga-ción no tenía como objetivo estudiar ellogro del aprendizaje en sí mismo, sinoel análisis específico del funcionamientocognitivo.

Sin embargo, aunque no era un propósi-to en el trabajo, esta forma de integra-ción de los elementos teóricos utiliza-dos posibilita el estudio y, a la vez, ofrecelos referentes para interpretar y explicar,aunque sea en forma incipiente, las ca-pacidades que debe mostrar un sujetocuando ha realizado satisfactoriamenteun acto mental de aprendizaje. Esto im-plica el logro del aprendizaje mismo (aunsiendo parcial), dado que el acto mentalde aprendizaje implica un proceso cog-nitivo y el aprendizaje en sí mismo es suconsecuencia.

Otro aspecto que se desprende de estainvestigación es la importancia que, eneste tipo de experiencias, tiene la me-diación del profesor en el proceso de

aprendizaje. Por ejemplo, se pudo notarque algunos estudiantes tuvieron disfun-ciones cognitivas que, sin la intervencióndel profesor, probablemente no hubieransuperado y tal vez no hubieran reflexio-nado, por ejemplo, sobre la importanciade comprender la naturaleza de los obje-tos que estaban tratando. Un estudiantebien podría derivar la expresión:

( )[ ]∑=

+−n

iii bmxy

1

2

(una vez que conoce la forma algebraicapara determinar una derivada parcial)y proseguir el proceso de resoluciónen términos operativos, sin reparar enla naturaleza de tal expresión y sinconsiderar, en particular, si representauna función o no. Esta situación, deacuerdo al modelo teórico y el propósi-to del trabajo, resultó uno de los actosmatemático-cognitivos de aprendizaje bá-sicos en el análisis.

De hecho, se puede indicar como resul-tado del trabajo que el diseño de una si-tuación problemática en contexto (y detodo el escenario didáctico y la secuen-cia de actividades a realizar) con fines deaprendizaje –en el sentido como se haconcebido en esta investigación– implicanecesariamente la mediación del profe-sor. Requiere de su intervención para guiarel proceso, explicar aspectos particula-res de las ideas, nociones y conceptosque se tratan cuando es necesario, ysobre todo, ayudar al estudiante cuandose enfrenta a una situación de disfuncióno ineficiencia de alguna función cognitivaen los actos de aprendizaje.

Finalmente, a manera de reflexión gene-ral sobre el trabajo, se puede señalar queconstituye un esfuerzo por entender yexplicar el funcionamiento cognitivo deestudiantes sujetos a una experiencia en

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Esta última consideración, más la defi-nición y uso de los actos matemático-cognitivos de aprendizaje, los procesos

interpretativos y la tripleta conceptual fe-nomenologías-generalizaciones-notacio-nes, posibilitó un análisis cognitivo máscompleto en las experiencias de aprendi-zaje realizadas. Se tiene la intención deque el cuerpo teórico utilizado en este tra-bajo pueda ofrecer una opción en la ma-temática educativa para realizar estudioscognitivos sobre el aprendizaje de las ma-temáticas en contexto.

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El cálculo en carreras de ingeniería: un estudio...

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