8/18/2019 Ejercicios_Temas3_4

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INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS

Elaborados por Domingo Pestana Galván

y José Manuel Rodrı́guez Garcı́a

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Escuela Politécnica Superior

Departamento de Matemáticas

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3. Ĺımites

3.1.   Halla los siguientes ĺımites:

1) ĺımx→1

3x4 − 2x3− 1 .   2) lı́m

x→−2−x2 − x + 5

x3 − x   .   3) ĺımx→0 

2x5 − x2 + 3x + 2 .

Solución:  1) 0. 2) − 1/2. 3) √ 2.

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3.2.   Halla los siguientes ĺımites:

1) ĺımx→0

2x3 − 5x2x7 − x4 − x2   .   2) ĺımx→3

x2 − 9x − 3   .

3) ĺımx→3

x2 − 6x + 9x2 − 5x + 6   .   4) ĺımx→1

x3 − 3x2 + 28x2 + 7x − 15   .

5) ĺımx→−2+

x2 − 4√ x + 2

.   6) ĺımh→0

(x + h)3 − x3h

  .

7) ĺımx→2

√ x −√ 2x − 2   .   8) ĺımx→−1

√ 2 − x−√ x + 4x2 + 4x + 3

  .

9) ĺımx→1

x2 − 7x + 6√ 2x + 3 −√ x + 4 .   10) ĺımh→0

√ 3x + 3h −√ 3x

h  .

11) ĺımx→0

−2x2

  .   12) ĺımx→4

2

(x − 4)6   .

13) ĺımx→−3

x + 1(x + 3)4(x2 + x + 1)

  .   14) ĺımx→−1

x + 2x3 + 2x2 + x

  .

Solución:   1) 5. 2) 6. 3) 0. 4)  − 3/23. 5) 0. 6) 3x2. 7) 1/(2√ 2) = √ 2/4. 8)  − 1/(2√ 3) = −√ 3/6.9) − 10√ 5. 10) 3/(2√ 3x). 11) −∞. 12) ∞. 13) −∞. 14) −∞.

3.3.   Halla los siguientes ĺımites:

1) ĺımx→2+

x + 5x2 − 5x + 6   .   2) ĺımx→2− x + 5x2 − 5x + 6   .   3) ĺımx→2 x + 5x2 − 5x + 6   .

Solución: 1)  −∞. 2) ∞. 3) No existe el ĺımite.

3.4.   Halla los siguientes ĺımites:

1) ĺımx→0

1− e1/x1 + e1/x

  .   2) ĺımx→1

  2

x2 + x − 2 −  4

x2 + 4x − 5 .3) ĺım

x→−3

  1x + 3

 +  2

x2 + 4x + 3

.   4) ĺım

x→0(x3 + 2x + 2)

x2+10

x3+2 .

5) ĺımx→1

x5 − x2 + 1

2

1(x−1)6

.   6) ĺımx→2+

(x2 − 3x + 5) 7(x−2)5 .

7) ĺımx→2−

(x2 − 3x + 5)7

(x−2)5 .   8) ĺımx→2

(x2 − 3x + 5)7

(x−2)5 .

9) ĺımx→−1

(3x2 − 2)5

(x+1)5 .   10) ĺımx→∞

(−2x5 + x2 + 7x − 4) .

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11) ĺımx→−∞

(−2x5 + x2 + 7x − 4) .   12) ĺımx→−∞

−5x3 + 4x + 6x2 − x   .

13) ĺımx→−∞

x3 + 7x

2x4 + x3 − 1   .   14) ĺımx→−∞3x2 + x + 2

−4x2 + 2x − 2   .

15) ĺımx→∞

(2x3 + 3x + 1)2(x2 − 5)3(3x4 + 5)(x2 − 5)4   .   16) ĺımx→−∞

4√ 

x3 − 32x + 2

  .

17) ĺımx→∞

x3√ 2x − 3 + 7x3   7√ 

x3 + 5.   18) ĺım

x→−∞

 x6 + 5x + x3

.

19) ĺımx→−∞

√ 1− 52x√ 

3x2 + 6 −√ 3x2 − 5 .   20) ĺımx→−∞2x + 7

2x − 6√ 4x2+x−3

.

21) ĺımx→∞

ex − 5xex + 5x

  .   22) ĺımx→−∞

4−x − 3−x4−x + 3−x

  .

Solución: 1) No existe el lı́mite. 2) − 1/9. 3) − 1/2. 4) 32. 5) 0. 6) ∞. 7) 0. 8) No existe el ĺımite. 9) 0.10) − ∞. 11) ∞. 12) ∞. 13) 0. 14) − 3/4. 15) 4/3. 16) 0. 17) ∞. 18) 0. 19) ∞. 20) e−13. 21)  − 1.22) 1.

3.5.   Halla ĺımx→1

f (x), si  f  se define como

f (x) =

3x2 + 2 ,   si  x ∈ [0,9, 1,1] ,ex,   si  x /∈ [0,9, 1,1] .

Solución: 5.

3.6.   Halla ĺımx→1

g(x), si  g  se define como

g(x) = x2,   si  x ≤ 1 ,

2x

x2 + 1   ,   si  x > 1 .

Solución: 1.

3.7.   Halla ĺımx→0

h(x), si  h  se define como

h(x) =

x3 + 1

x − 3   ,   si  x ≤ 0 ,ex,   si  x > 0 .

Solución: No existe el ĺımite.

3.8.   Halla los siguientes ĺımites:

1) lı́mx→1

|x − 1|x − 1   .   2) lı́mx→0 x arctan

 1

x  .

Solución: 1) No existe el ĺımite. 2) 0.

3.9.   Halla los siguientes ĺımites:

1) ĺımx→∞

log   x2√ 

2x3 + 8

.   2) lı́m

x→3log

2√ x − 2√ 3x − 3

.

Solución: 1) ∞. 2) log(1/√ 3 ) = −12

 log 3.

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