EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dos partculas alfa, que consideraremos cargas puntuales fijas, estn separadas 10-11 m. Calcula la fuerza electrosttica con que se repelen y la gravitatoria con la que se atraen, y compralas.

Datos: G = 6.6710-11 SI; K = 9109 SI; e = 1.6010-19 C; m = 6.6810-27 kg.Respuesta

Aplicando las leyes de Coulomb y de la gravitacin universal, y teniendo en cuenta que la carga de una partcula es dos veces la carga elemental:

Por tanto, la fuerza electrosttica de repulsin es mucho ms intensa que la gravitatoria de atraccin:

2. Dos cargas A y B, separadas 3 cm, se atraen con una fuerza de 40 N. Cul es la fuerza entre A y B si se separan 9 cm?

Respuesta

Aplicando la ley de Coulomb, la fuerza pedida es:

La fuerza que nos indican es:

De esta expresin se tiene que el producto Sustituyendo en la primera ecuacin se tiene:

3. Determinar el valor del potencial elctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura.

Respuesta

Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el clculo del potencial en un punto debido a una carga puntual cuya expresin es

y por lo tanto el valor sera

el potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan slo debe ser indicado su signo y su valor numrico.

Respuesta: El potencial en A vale + 1.080 V

4. Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2=-12 x 10 -9 C estn separadas 10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos ab, bc y ac.

Respuesta

Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos, debemos primero hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado

Potencial en punto a: El potencial en a es debido a la accin de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferencia. como el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este clculo para cada una de las cargas.

En consecuencia por lo que como se observa el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 1.800 V y potencial de q2 = - 2.700 V de all surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V).

Potencial en punto b: Repetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las distancias para el punto b por lo que la expresin nos queda como se observa el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 2.700 V y potencial de q2 = - 771 V de all surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1.929 V).

Potencial en punto c: En el punto c no es necesario realizar el clculo numrico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale 0 (Vc=0).

Clculo de los potenciales solicitados

Vab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V

Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V

Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V

Respuesta:

Vab =+ 2.829 V Vbc=- 1.929 V Vac=+ 900 V

5. Sobre una circunferencia tenemos un arco de 90 situado en el primer cuadrante en el que hay una distribucin lineal de carga , qu campo crear en el centro de la circunferencia de radio a?.

6. Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribucin de cargas formada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.

Respuesta

el resultado obtenido indica que los dos puntos O y P estn sobre la lnea equipotencial V=0. Esto no implica que el campo en O y en P sea nulo - que no lo es-. La situacin se refleja en la siguiente figura, en la que se debe observar que las lneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las lneas de campo elctrico.

En casos de distribucin continua de carga el potencial elctrico se calcula mediante la expresin:

7. Cuatro cargas puntuales estn enla esquina de un cuadrado de lado a, como en la figura.

a) Determine la magnitud y direccin del campo elctrico en la posicin de la carga 2q.

b) Calcule el potencial elctrico en el centro del cuadrado.

Respuesta

a) En la figura se ilustra la direccin de los campos debido a las cargas q, 3q y

4q, es decir, Eq, E3q y E4q, con

8. De nuevo el campo debido a un disco (lamina infinita).Calculemos el campo elctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje de un disco circular de radio R a una distancia z de su centro y que tiene una carga uniforme por unidad de rea (fig).

Respuesta

De la simetra de la figura y,

Podemos hallar integrando sobre la superficie, entre los lmites, esto es ,

Haciendo

Resulta,

El resultado anterior es vlido para todos los valores de z, a medida que el radio R crece sin lmite es decir, R>>Z, el segundo trmino dentro del parntesis de la ecuacin tiende a cero, y queda

Se puede observar que se obtiene el mismo resultado si hacemos . Es decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de extensin infinita.

9. Dos cargas puntuales -2Q y Q se hallan sobre el eje x.

a) Calcule el campo elctrico en el punto P.

b) Encuentre la distancia de separacin entre las cargas para la cual la componente Y del campo vale cero.

Respuesta

El campo total en el punto P es:

Donde hemos escrito el campo , en trminos sus componentes rectangulares

Reescribiendo:

Ahora si existe algn r, para el cual la componente del campo se anula:

Por lo tanto pero

O sea: y entonces

10. Calcule el potencial elctrico debido a la distribucin de cargas mostrada en la figura. Evale el potencial en el punto (0, 2a).

Respuesta

Con:

Hemos tomado en cuenta que el potencial elctrico es aditivo.

En particular en el punto (0, 2a):

11. Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de longitud y una carga total Q. determine el campo elctrico y el potencial en el punto P a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.

Respuesta El clculo del campo se obtiene de:Tenemos que,

12. Alambre infinito .En la figura se muestra una seccin de un alambre de carga infinita. Deseamos hallar el campo elctrico a una distancia R del alambre.

Respuesta

Como se trata de una distribucin lineal de carga utilizaremos la expresin

, con

De acuerdo con la figura, la Magnitud del campo elctrico est dada por

Con componentes:

y,

Pero por simetra, para un elemento de carga como el indicado, existe un elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la direccin x se cancelan.

Hagamos ahora el clculo de :

Debido a que las contribuciones al campo debido a cada mitad de la barra son iguales. pero ,

, que al sustituir nos queda 13. Determinar el campo elctrico generado por un dipolo, en un punto lo suficientemente alejado del mismo.Respuesta

Un dipolo elctrico est constituido por dos cargas elctricas de igual magnitud y signo contrario, situadas a pequea distancia.Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta direccin es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto, vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar despus el campo.Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y el ngulo que forma r con dicho eje.Si el punto P est lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es paralelo a r1 y r2 y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas valen:

Sabiendo que el potencial, como funcin de una distribucin de cargas puntuales, viene dado por la expresin :

Si r es muy grande frente a la separacin de las cargas, puede despreciarse el sustraendo del denominador. Por otro lado, el producto q.l se denomina momento dipolar y se representa por p. Segn eso, podemos poner :

Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares r y .Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores unitarios intrnsecos asociados a r y respectivamente. Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :

La longitud de los elementos diferenciales en la direccin en que r y crecen son, respectivamente dr y r. d; por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado de signo, del potencial, podemos poner :

En un punto cualquiera, la intensidad resultante E, ser :

Podemos determinar tambin el ngulo que E forma con la direccin radial. Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene:

14. Una corteza esfrica delgada de radio R tiene una carga total Q distribuida

Uniformemente sobre su superficie. Determine el campo elctrico para puntos

a) r R, es decir, fuera del cascarn

b) r < R, es decir, dentro del cascarn

Respuesta

En la figura se muestran las lneas de campo y los elementos de superficie

supuesta la corteza cargada positivamente. Si construimos una superficie

gaussiana esfrica de radio r R , como se muestra en la figura, la ley de Gauss

Y despejamos E. tenemos R Que es igual al campo debido a una carga puntual Q colocada en el centro de la corteza.

R, en este caso la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y la ley de gauss dice que.

, de donde E=0 es decir,el campo E es cero en todos los puntos interiores.

15. Dada la superficie del elipsoide:

a) Calcular el vector unitario normal en cada punto de la superficie del elipsoide.

b) Calcular la integral :

sobre el elipsoide, siendo : RespuestaDada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la funcin que representa a dicha superficie nos determina un vector normal a ella en el punto considerado.

Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su mdulo:

La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del vector r a travs de S. Para resolver esta parte del problema aplicamos la frmula de Gauss Ostrogradsky:

En nuestro caso tenemos

Con lo que nos quedar:

Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide. Si realizamos un cambio de variable en la forma:

El jacobiano y los lmites de integracin quedarn:

con lo que la integral resultar:

16. Sobre una capa semiesfrica de radio R, tenemos una distribucin de carga uniforme = 1 C/m2. Calcular el campo en el centro de la esfera coincidente con la carga.

Respuesta Vamos a considerar que dividimos la semiesfera en meridianos y paralelos, de tal modo que se forme una red constituida por elementos como el representado en la figura adjunta.Por la simetra del problema, las componentes perpendiculares al eje OA se anulan dos a dos y slo tendrn efecto las componentes tangenciales a dicho eje. Podemos suponer entonces que el valor del campo elctrico en el punto O ser :

1.

Siendo R el radio de la esfera coincidente con el hemisferio y dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:

donde y son, respectivamente, el ngulo polar y la colatitud de la esfera. En esas condiciones, sustituyendo en la anterior expresin, tendremos:

y considerando que los lmites de integracin para las variables que estamos considerando son:

nos queda:

que es el valor del campo elctrico en el punto O. Sustituyendo los valores de la densidad de carga y de la constante dielctrica se obtiene el resultado numrico buscado.

17. Dada la siguiente distribucin de carga:

a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en funcin de r (A = 10 C/m, R0 = 3 cm ;

b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r = R, calcular el valor de R para que la relacin entre el campo calculado en a) y b) sea Eb = 0,9.Ea a una distancia r = 10 cm del centro de la distribucin.Respuesta

Para resolver este problema vamos a obtener primero el campo elctrico y para ello consideraremos independientemente las dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema en dos.1) Calcularemos el campo elctrico para una distribucin de carga dada por:

2) Calcularemos el campo elctrico para una distribucin de carga dada por:

Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

de donde se deduce con facilidad que el campo elctrico viene dado por :

y la expresin se cumple para puntos en los que r es estrictamente menor que R0. Anlogamente, para puntos en los que r es mayor o igual que R0 obtenemos:

y en este caso el campo elctrico valdr:

Si consideramos la segunda distribucin, para los puntos en que r es estrictamente menor que R0 obtenemos que el campo es nulo por serlo la densidad de carga en esa regin. Para los puntos en los que r es mayor o igual que R0 tenemos:

y a partir de ah resulta:

Considerando que el problema tiene simetra radial podemos sumar las soluciones obtenidas con cada distribucin para llegar a :

Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar en dos el problema inicial) y aplicamos la ecuacin de Poisson en coordenadas esfricas, teniendo en cuenta que la distribucin de carga solo depende de r.Para la primera distribucin, en r menor que R0:

Para la segunda distribucin de carga, en r mayor o igual que R0:

La solucin al problema para el caso del potencial vendr dada por la suma de las dos soluciones parciales. Para obtener el valor de las constantes tenemos en cuenta que el gradiente cambiado de signo del potencial es igual al campo elctrico y, por tanto en r menor que R0:

Y, anlogamente, en r mayor o igual que R0:

Segn eso:

Para determinar las constantes C3 y C4 necesitamos dos condiciones pero no podemos hacer uso del hecho de que el potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que tenemos un trmino de la forma Ln r. Solo podemos considerar, entonces, que el potencial ha de ser continuo en r = R0 y obtener una de las constantes a partir de la otra.

Dndole a C2 el valor 0 resulta para C4:

y, finalmente:

Para calcular el campo Eb aplicamos el teorema de Gauss:

y puesto que se ha de cumplir que Eb = 0,9.Ea tendremos:

y haciendo operaciones resulta R = 189,3 cm.18. Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribucin uniforme de una carga Q sobre una esfera de radio R0 y otra carga Q distribuida uniformemente sobre una capa esfrica concntrica con la esfera, de radio interior R = (R0/3).106 y de espesor.

a) Calcular la distribucin de campo en funcin de la distancia r al centro.b) Calcular la energa electrosttica del sistemac) Si por algn procedimiento quitamos la mitad de la carga Q de la capa esfrica, cul es la variacin de energa electrosttica del sistema?RespuestaPara calcular la distribucin del campo elctrico tenemos varias regiones. Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos colocar:

pero el valor de q puede obtenerse a partir de

y, finalmente:

Para los puntos en los que r est comprendido entre R0 y R tenemos :

Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esfrica, podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos:

y, por lo tanto, solo hemos de considerar el campo elctrico para puntos fuera de la capa esfrica en los que se tendr E = 0, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.Para obtener la energa electrosttica del sistema tenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que R el campo elctrico se hace nulo por no existir carga efectiva. Por todo ello, la energa del sistema la obtendremos a partir de la expresin:

y la calculamos como sigue:

y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R:

Si quitamos la mitad de la carga Q de la capa esfrica es como si sobre los puntos situados a una distancia r > R actuara una carga de valor Q/2 situada en el centro de una esfera de radio . En estas condiciones, el campo para puntos situados a una distancia r > R ser:

y al valor de la energa elctrica anteriormente determinado habr que sumarle el trmino:

19. Calclese el potencial y el campo elctrico en la regin del espacio comprendido entre dos lminas planoparalelas cargadas a potenciales V1 y V2. Supngase que hay una distribucin de carga uniforme entre las dos placas.

RespuestaPara resolver el problema aplicamos la ecuacin de Poisson en coordenadas cartesianas:

Por la naturaleza del problema podemos considerar que el potencial slo depender de la coordenada x y tendremos:

Las constantes C1 y C2 las obtenemos a partir de las condiciones de contorno:

con lo que tenemos:

y de ah

Por otra parte, el campo elctrico viene dado por el gradiente cambiado de signo del potencial con lo que en nuestro caso tendremos:

20. Por Integracin de la ecuacin de Poisson, encontrar el potencial y el campo en todo el espacio por efecto de una carga q uniformemente distribuida en el interior de una esfera de radio R.Respuesta

Si consideramos que la permitividad de la esfera es, la ecuacin de Poisson en coordenadas esfricas se expresa:

Si la carga est distribuida uniformemente en el interior de la esfera, tendremos:

y a partir de ah :

Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que la carga es nula y, por lo tanto, tambin es nula la densidad de carga. As pues, tendremos:

Sabemos que el campo elctrico es igual al gradiente cambiado de signo del potencial, por lo que en cada caso tendremos:

Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las siguientes condiciones:

De la primera y la ltima obtenemos C4 = 0 y C1 = 0 ; para las otras dos resulta :

con lo cual :

Por todo ello tenemos, siendo:

21. Encontrar las soluciones con variables separadas de la ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio bidimensional. Aplicar el resultado al clculo del potencial en el interior de un rectngulo de 3 x 2 cm en el cual tres lados estn a potencial nulo y el cuarto a cuatro voltios.Respuesta

Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma por lo cual:

El primer miembro de la ecuacin final depende de x. El segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parmetro obtenemos distintas soluciones para la ecuacin del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio sobre el que est definida la ecuacin. En el caso que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes condiciones(x,0) = 4 ; (2, y) = 0 ; (x, 3) = 0 ; (0, y) = 0.Consideramos entonces soluciones para la ecuacin en X que satisfagan las condiciones:

Dadas las condiciones que tenemos, slo nos interesa estudiar valores > 0, con lo que podemos poner:

X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos y para que X(x) no sea idnticamente nula podemos tomar:

Con ese valor de , encontramos para la ecuacin en Y :

En esas condiciones tenemos para las soluciones particulares

por lo que podemos intentar representar la solucin general mediante la serie de funciones:

y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la funcin f(x) = 4. Para ello tenemos:

y, finalmente:

22. Calcular la densidad superficial de carga inducida sobre un plano a potencial cero sobre el que se encuentra una carga lineal indefinida con una densidad de carga .

Respuesta El desplazamiento elctrico en un punto cualquiera, P, debido a la carga lineal dada, lo podemos obtener por el teorema de Gauss:

Anlogamente, el desplazamiento elctrico en el mismo punto P, a causa de la carga imagen de la lnea, vale:

Pero, segn la figura, tenemos:

Por otro lado, las componentes normales del campo de desplazamiento, viene dadas por:

En el plano (sobre el que nicamente hemos de considerar la componente normal) tendremos:

y recordando que la densidad superficial de carga inducida vale , tendremos :

puesto que D1n = 0 por tratarse de un conductor. 23. Sean dos cilindros de radio a separados una distancia d >> a. Calcular la capacidad del sistema y la fuerza entre ambos conductores. Los cilindros estn cargados con carga y - , respectivamente.

Respuesta

Sabemos que la superficie de un conductor es equipotencial; por lo tanto, podemos hacer el sistema equivalente a uno cuyas superficies equipotenciales sean cilindros circulares de ejes paralelos. Este es el caso de dos rectas paralelas separadas por una distancia 2s y cargadas con cargas iguales y contrarias. Para obtener el potencial debido a cada uno de los hilos, calculamos antes el campo aplicando el teorema de Gauss a un cilindro de longitud L cuyo eje coincida con el del cilindro positivo y negativo, respectivamente.

A partir de estos valores, las intensidades del campo y los potenciales, valdrn:

El potencial total ser la suma de ambos y, adems, por la simetra del problema, ser nulo cuando r1 = r2. De ese modo C11 + C2 = K = 0 y nos quedar:

Para conocer la distancia 2s, tomamos uno de los conductores. Considerando el esquema adjunto y teniendo en cuenta que los puntos P y Q del cilindro han de ser equipotenciales:

Por lo dems, el potencial debido a cada uno de los cilindros, valdr:

y de ah, sustituyendo s por su valor:

La expresin del logaritmo puede simplificarse haciendo lo siguiente:

y despreciando 4.a2 frente a d2, resulta finalmente:

Para obtener la fuerza sabemos que viene dada por F = dW/dx, siendo W la energa del sistema que vale. En el caso que estamos considerando tenemos q = = cte y, por lo tanto:

24. 25. Calcula el campo elctrico creado por una carga Q = +2 C en un punto P situado a 30 cm de distancia en el vaco. Calcula tambin la fuerza que acta sobre una carga q = -4 C situada en el punto P.

- Calculamos el campo elctrico en el punto P:

- Calculamos la fuerza elctrica que acta sobre q:

F = q.E = 4.10-6 C.2.105.u N/C = -0,8.u N

La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario. Su mdulo es:

F = 0,8 N

26. Dos cargas puntuales, Q1 = +1 C y Q2 = +3 C, estn situadas en el vaco a 50 cm una de la otra. Calcula el campo elctrico en un punto P situado sobre el segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1.

- Calculamos el campo elctrico creado por Q1 en P:

E1 = 9.105.u1 N/C

- Calculamos el campo elctrico creado por Q2 en P:

E2 = 1,7.105.u2 N/C

El campo elctrico resultante en el punto Pes la suma vectorial de E1 y E2. Para hallarlo tendremos en cuenta que u2 = -u1.

E = E1 + E2 = 9.105.u1 N/C + 1,7.105.u2 N/C

E = 9.105.u1 N/C - 1,7.105.u1 N/C

E = 7,3.105.u1 N/C

Su mdulo es E = 7,3.105 N/C

27. Las tres cargas elctricas de la figura estn en el aire. Calcula:

a) El potencial elctrico en el punto P.

b) La energa potencial que adquiere una carga q = +2,5 C al situarse en el punto P.

a) Calculamos el potencial elctrico creado por cada una de las cargas en el punto P:

El potencial elctrico en el punto P es la suma algebraica de los potenciales elctricos creados por cada una de las tres cargas:

V = V1 + V2 + V3V = (9 - 2,25 + 9)105 V

V = 15,75105 V

b) Calculamos la energa potencial elctrica que adquiere una carga q = +2,5 C al situarse en el punto P:

Ep = q.V

Ep = 2,510-6 C15,75105Ep = 3,9 J

28. Una carga elctrica puntual Q = +2 C se encuentra en el agua (r = 80). Calcula:a) El potencial elctrico a una distancia de 30 cm y a una distancia de 150 cm de la carga.

b) La energa potencial elctrica que tendra una carga puntual q = -3 C situada en esos puntos.

c) El trabajo que deberamos realizar para trasladar la carga q desde el primer punto hasta el segundo.

- Datos:

a) Calculamos el potencial elctrico en los puntos A y B. Tendremos en cuenta que en el agua el valor de K es:

b) Calculamos la energa potencial elctrica de la carga q en ambos puntos:

EpA = q.VA = -310-6 C750 V = -2,2510-3 J

EpB = q.VA = -310-6 C150 V = -0,4510-3 J

c) El trabajo que realiza el campo elctrico para trasladar la carga q desde A hasta B es igual a la diferencia de energa potencial elctrica entre estos puntos:

W = q.(VA - VB)

W = EpA - EpBW = -2,2510-3 J - (-0,4510-3 J)

W = -1,810-3 JEl trabajo que realiza el campo elctrico es negativo. Esto significa que debemos efectuar un trabajo de 1,810-3 J en contra del campo para trasladar la carga q.29. Dos cargas puntuales de 2.10-6 y -10-6 C estn situadas, respectivamente, en el punto (1,0) y en el punto (0,2) de un sistema de ejes cartesianos cuya escala est establecida en centmetros. Calcula:

a) El campo elctrico en el punto (2,1).

b) El potencial elctrico en el mismo punto.

a) El campo elctrico en un punto debido a una distribucin de cargas es la suma de los campos que crearan cada una de las cargas en el punto se estivieran solas.

El mdulo del campo creado por una carga elctrica puntual viene establecido por:

E = K.Q/r

b) El potencial elctrico en el punto es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas elctricas. El potencial debido a una carga puntual viene expresado por:

V = K.Q/r

V = V1 + V2

V = 8,64.105 V

EJERCICIOS PROPUESTOS:1) Tres cargas puntuales estn sobre el eje X; q1 = -6.0 mC est en x = -3.0 m, q2 = 4.0 mC est en el origen y q3 = -6.0 mC est en x = 3.0 m. Halla la fuerza elctrica sobre q1.

Resp . (1.50 10-2 N)i.

2) Tres cargas, cada una de 3.0 nC estn en los vrtices de un cuadrado de lado 5.0 cm. Las dos cargas en los vrtices opuestos son positivas y la otra es negativa. Determina la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga de 3.0 nC situada en el vrtice restante.

Resp. 2.96 10-5 N, a lo largo de la diagonal, dirigida desde la carga de 3.0 nC.

3) Una carga puntual de 5.0 mC est localizada en x = 1.0 m, y = 3.0 m y otra de 4.0 mC est en x = 2.0 m, y = -2.0 m. Determina la magnitud y direccin de la fuerza sobre un protn en x = -3.0 m, y = 1.0 m.

Resp . 3.04 10-16 N, q = 234.50.

4) Una carga puntual de -2.5 mC est localizada en el origen. Una segunda carga puntual de 6.0 mC se encuentra en x = 1.0 m, y = 0.5 m. Determina la posicin (x, y) en la cual un electrn estara en equilibrio.

Resp. x = -1.82 m, y = -0.910 m.

5) Dos cargas positivas iguales q estn en el eje Y; una est en y = a y la otra en y = -a. Una carga de prueba q0 situada en el origen estar en equilibrio. (a) Estudia la estabilidad del equilibrio para una carga de prueba positiva considerando desplazamientos pequeos del equilibrio a lo largo del eje X y desplazamientos pequeos a lo largo del eje Y. (b) Repite la parte (a) para una carga de prueba negativa. (c) Halla el valor de la carga prueba que puede situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres cargas sea cero. (d) Considera qu ocurre si cualquiera de las tres cargas se desplaza ligeramente del equilibrio.

Resp. (c) q0 = -q/4.

6) Dos cargas positivas iguales q estn en el eje Y; una est en y = a y la otraen y = -a. Una cuenta de collar de masa m con carga negativa q se desliza a lo largo de una cuerda situada sobre el eje X. (a) Muestra que para pequeos desplazamientos de x