Ejercicios_Resueltos_para_PEP_3_1_18094011_181300

8/12/2019 Ejercicios_Resueltos_para_PEP_3_1_180940__1__1_181300

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Pauta Gua 6 PEP 3PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas Pgina 1

1.- Sea una muestra aleatoria de , distribuida segn , con desconocido.Donde representa el tiempo mximo necesario para terminar un proceso, en segundos:

1.1) Determine el estimador mximo verosmil de .1.2) En base a una muestra aleatoria de , determine la estimacin mximo verosmil de ,

donde la muestra est constituida por los siguientes datos: 0,7; 0,9; 0,6; 0,8; 0,9; 0,7; 0,9;0,8. Estime la probabilidad del tiempo mximo necesario para terminar un proceso, noexceda los 0,5 segundos, ni supere los 0,75 segundos.

1.3) Determine el estimador mximo verosmil de: a) . b) c) 1.1) Solucin: Determinamos la funcin de verosimilitud:

En seguida, calculamos el logaritmo natural de :

Derivamos e igualamos a cero:

1.2) Solucin: Determinamos el estimador mximo verosmil de , con los datos de la muestra que nosentrega el ejercicio:


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Pgina 2 Alejandro Gonzlez Tapia Ingeniera Civil en Minas

Luego, estimamos que la probabilidad de

Respuesta: En base a una muestra aleatoria de , que nos otorga el ejercicio, el estimador mximoverosmil de , corresponde a 3,0271, y al estimar que la probabilidad del tiempo mximo necesario

para terminar un proceso, no excede los 0,5 segundos, ni supera los 0,75 segundos, es igual 0,3102.

1.3) Solucin: Debido a que determinamos , que corresponde al estimador mximo verosmil de ,por lo tanto, las expresiones pedidas las calculamos por medio de propiedades:

a)

b)

c) 2.- Una empresa se provee de componentes electrnicos provenientes de dos fbricas. El

inters del dueo est centrado en el tiempo de vida til de tales componentes. Al recibir unagran partida de cada fbrica, decide inspeccionar una muestra aleatoria de cada partida, lascuales somete a experimentacin con el propsito de recabar los tiempos de vida til en horas.Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Vida til (En Horas) Fabrica 1 Fabrica 2[0, 300] 4 6

(300, 500] 12 16(500, 1000] 23 19

(1000, 1500] 6 4

2.1) Se sabe que los componentes electrnicos, para que se les otorgu certificado de calidad

deben tener una vida til mayor a 500 horas. Estime con una confianza del 99%, laproporcin de componentes certificados de la fabrica 1.

2.2) Si la proporcin estimada en 2.1) disminuye en un 10%, y a su vez mantiene el mismoerror probable que tena antes de la modificacin, Cul debera ser el tamao de lamuestra, si se utiliza un 95% de confianza?

2.3) Si en la fabrica 2 se realiza un ajuste tecnolgico en el proceso de elaboracin, tiene comoconsecuencia el aumento de la vida til en un 15% Cul sera la estimacin de la varianzacon un 10% de significacin?


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2.4) Estime el mnimo tamao de muestra que se debe considerar para estimar la duracinpromedio de los componentes electrnicos de la fbrica 1, considerando un error deestimacin de a lo ms 5 horas con 23 minutos,

y una confianza de 95%.

2.5) El supervisor de la empresa, le solicita al encargado de produccin de la fbrica 1, unreporte con la duracin media de los componentes electrnicos que elabora su fbrica. El

encargado, debido a que es mal remunerado, estima el reporte pedido por el supervisor,con un 5% de significacin, para esto utiliza una muestra de 45 componentes electrnicos,con una media de 600 horas y una varianza de 90000 horas2.

2.6) Luego de la situacin ocurrida en 2.5) el encargado de produccin de la fbrica 2,encuentra en su oficina un documento que contena estudios previos de dicha fbrica,donde se detallaba que la desviacin estndar es de 222 minutos, por lo que decide volvera estimar la media de la duracin de los componentes electrnicos, con .

2.1) Solucin: Sean:

Componentes electrnicos elaborados por la fabrica 1

Componentes electrnicos elaborados por la fabrica 2Debido a que el problema habla de proporcin, debemos utilizar la siguiente frmula para determinar el

intervalo confidencial:

Con:

Nota: El valor de

se calcula dividiendo la nmero de datos de la muestra que cumplen la

caracterstica que nos da el problema, en este caso, los componentes electrnicos que tienen una vidatil mayor a 500 horas.

Reemplazando, obtenemos:

Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:

Respuesta: El intervalo tiene un 99% de contener a la proporcin de los componenteselectrnicos que tienen una vida til mayor a 500 horas, es decir certificados.


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Evaluando:

Respuesta: El intervalo tiene un 99% de probabilidad de contener la duracinmedia de los componentes electrnicos elaborados por la fbrica 2, con una desviacin estndar

poblacional igual a 222 minutos.

3.- En el mercado existen dos tipos de plsticos (A y B), los que son utilizados en la fabricacinde diversos artculos. Una variable importante que se maneja es su tensin de ruptura (en psi) ypor lo tanto se ha diseado un experimento para medir la variable en ambos tipos. Losresultados en 41 ensayos del plstico A fueron los siguientes:

Tensin de Ruptura 144 a 150 150 a 156 156 a 162 162 a 168

5 12 16 8Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensin a la ruptura en el plstico B, seobtuvo un promedio de 154 psi con desviacin estndar de 5,2 psi.

3.1) Considerando un nivel de significacin del 5% y la informacin que entregan los datos.Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quin sealaque el valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi?

3.2) El German Professional Institute certifica a los plsticos que posean una tensin media ala ruptura mayor a 159 psi. Si de estudios anteriores se sabe que la desviacin estndar

de la ruptura del plstico A es 7,3 psi El plstico A ser certificado por el GermanProfessional Institute, con ?

3.3) Con un 95% de nivel de confianza, es posible corroborar que ms de un 30% de lasunidades del plstico A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi?

3.4) Con un nivel de significacin del 2,5% Muestran los datos la evidencia suficiente paracorroborar que efectivamente la distribucin de probabilidad de la tensin a la rupturadel plstico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi)2?

3.1) Solucin: Sea: Tensin de ruptura del tipo de plsticos A, en psi

Tensin de ruptura del tipo de plsticos B, en psi

Para : Para :

144150 147 5150156 153 12

156162 159 16

162168 165 8 41


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Las hiptesis a contrastar son: Luego, como desconocemos la varianza el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:

La Regin Crtica (Con ): Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, esdecir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que seal que el

valor medio de la tensin a la ruptura del plstico A es de 155,5 psi, con un 5% de significacin.

3.2) Solucin: Las hiptesis a contrastar son:

Luego, como conocemos la varianza, el estadstico de prueba se determina de la siguiente forma:

La Regin Crtica (Con ):

Respuesta: Debido a que , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula, conun 5% de significacin, es decir, el plstico A no ser certificado por el German Professional Institute.

3.3) Solucin: Sea: Proporcin de las unidades del plstico A que presentan una tensin a laruptura superior a 160 psi

Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de frmula de percentil, como se ve acontinuacin:

144150 5 5

150156 12 17

156162 16 33

162168 8 41 41


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Luego, las hiptesis a contrastar son: El estadstico de prueba esta dado por:

La Regin Crtica (Con : Respuesta: Como , no existe suficiente informacin para rechazar la hiptesis nula con un 5%de significacin, es decir, no se puede corroborar que ms de un 30% de las unidades del plstico tipo

A presentan una tensin a la ruptura superior a 160 psi.

3.4) Solucin: Las hiptesis a contrastar son:

Con

Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos que

abarcan todos los nmeros del conjunto de los reales, es decir, desde el al , donde tambin seadiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:


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En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que , porlo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las

tres ltimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:

Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

Con: Debido a que no se utiliza ningn estimador, el valor de es igual a cero y el nmero de filas despus

de la modificacin corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:

Respuesta: Como , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que latensin a la ruptura del plstico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y unavarianza de 25 psi2, con un nivel de significacin de 0,025.4.-En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parsitos en laproduccin de doradas. Para ello, se tom una muestra de 5 individuos cada da, repitiendo elexperimento durante 550 das. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantosde ellos contenan parsitos. Se ajusta a un modelo de distribucin Binomial con 5% designificacin?

N de individuos con parsitos 0 1 2 3 4 5

Frecuencia Observada 17 81 152 180 104 16

4) Solucin: Sea: Nmero de individuos con parsitosLuego, como el ejercicio no nos entrega el valor de , procedemos estimar el valor:


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Adems, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribucin binomial est

dada por la siguiente frmula, teniendo cuidado con el es el nmero de veces que se repite elexperimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:

Las hiptesis que nos interesan contrastar son:

Con

Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si se distribuyede forma binomial, como se ve a continuacin:

Ya que todos los sucesos cumplen con condicin , la tabla no se modifica.Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma:

Con:

Debido a que utilizamos el estimador de , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas es seis,por lo tanto, reemplazando tenemos:


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Respuesta: Como , en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar lahipotesis nula, es decir, el nmero de individuos con parsitos se distribuye en forma binomial, con un

nivel de significacin de 0,05.

5.- Se propone que el nmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue unadistribucin Poisson. Se rene una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y seobserva el nmero de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Evale si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de unadistribucin Poisson, con un nivel de significacin igual a 0,05.

5) Solucin: Sea: Nmero de defectos en las tarjetas de circuito impresoLas hiptesis a contrastar son:

Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datostabulados:

Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si tiene unadistribucin Poisson, como se ve a continuacin:

Nmero de defectos Frecuencias observadas0 321 152 9

3 o ms 4


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Puesto que la frecuencia esperada en la ltima celda es menor que 5, se combinan las dos ltimasfilas.

Posteriormente, se aplica la frmula para calcular el estadstico de prueba:

Adems, la regin crtica est definida de la siguiente forma: Con:

Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el nmero de filas despus dela modificacin es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos: Respuesta: Como , se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que elnmero de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribucin Poisson.

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