Ejercicios_resueltos TEMA5
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 1
TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRA
UNIDADES DE MEDIDAS DE NGULOS
EJERCICIO 1
a Pasa a radianes los siguientes ngulos: 210 y 70 rad53,yrad6
7:nguloslosgradosaPasab)
Solucin:
rad6
7rad
180210210a)
rad
18
7rad
1807070
210180
6
7rad
6
7b)
"7'32200
18053rad53
,,
EJERCICIO 2 : Completa la tabla:
Solucin:
rad18
13rad
180130130
240180
3
4rad
3
4
rad6
11rad
180330330
"37'5685
18051rad51
,,
Por tanto:
NGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA
EJERCICIO 3 : :)hallar(sincalculacuadrante,primerelenestquengulounesy31
Si tg
tgtgtgtg 360d)360c)180b)180a)
Solucin:
3
1180a) tgtg
3
1180tgb) tg
3
1360c) tgtg
3
1360d) tgtg
EJERCICIO 4 : Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :cossen 180b)180a)
Solucin:
350180a) ,sensen
coscos 180b)
Necesitamos saber cunto vale cos: 13501 2222 cos,cossen
87750112250 22 ,coscos, )900puespositivo,(es94,0 cos
940180:tantoPor ,coscos
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 2
EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen50 0,77, cos50 0,64 y tg50 1,19, calcula sin utilizar lasteclas trigonomtricas de la calculadora:
310d)230c)310b)130a) sencostgcos
Solucin:
64,050150180130a) coscoscos
19,15050360310b) tgtgtg
64,05050180230c) coscoscos
77,05050360310d) sensensen
RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS
EJERCICIO 6 : En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm.Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ngulos.
Solucin:Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el otro cateto:
cm9b81144225b225b14415b12cba22222222
Hallamos los ngulos: "12'52366015
9 B,Bsen
c
bBsen 48"'75390 BA
Por tanto:
90Ccm;15c;"12'5236Bcm;9b;48"'753Acm;12a
EJERCICIO 7 : Para sujetar un mstil al suelo como indica la figura hemosnecesitado 10 metros de cable.
Halla la altura del mstil y la distancia entre los puntos A y B.
Solucin:
hsenz
hsenz
z
hsen
z
hsen
3510
60
10
35
60
35351060351060 senzsensenzsenzsenz
3510356035103560 sensensenzsensenzsenz m9833560
3510,
sensen
senz
m4533560
60351060 ,
sensen
sensensenzh
La altura del mstil es de 3,45 m
Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y:
m99160
453
6060 ,
tg
,
tg
hy
y
htg
m934
35
453
35
35 ,
tg
,
tg
hx
x
htg
Por tanto, la distancia entre A y B es de xy 4,93 1,99 6,92 m.
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 4
EJERCICIO 11 : Resuelve este tringulo, es decir, halla sus lados y sus ngulos:
Solucin:Hallamos el lado c con el teorema del coseno:
8548162590
504592459
2
2
222
222
,,c
cos,,c
Ccosabbac
cm5874572 ,c,c
Como conocemos los tres lados, la solucin es nica.
:nguloelHallamos A
587
5059
50
58759
,
sen,Asen
sen
,
Asen
,
Csen
c
Asen
a
"24'4573960 A,Asen
"36'1456180 CAB
Por tanto: 50Ccm;58,7c;"36'1456Bcm;4b;"24'4573Acm;5,9a
EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ngulos de este tringulo:
Solucin:
:senoslosdeteoremaelconnguloelHallamos B
BsensenBsen
b
Asen
a 8
108
15
46"'2830507015
1088
B,sen
Bsen
relacin).unahaysoloagudos,serdehanyobtuso,es(Como CBA
:nguloelHallamos C "14'3141180 BAC
Calculamos el lado c:
m4610
108
15
"14'3141
,c
sensen
c
Asen
a
Csen
c
Por tanto: "14'3141Cm;46,10c;"46'2830Bm;8b;108Am;15a
EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ngulos del siguiente tringulo:
Solucin:
Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de losotros dos, existe solucin nica. Hallamos los ngulos A y B con el teoremadel coseno:
Acosbccba 2222 Acos,, 423625128451
845136251242 ,,Acos 59342 ,Acos
"12'54948500 A,Acos
Bcos,,,Bcosaccab 4863684512512222
87502512368451486 ,Bcos,,Bcos, "7'5828 B
"41'756180 BAC
Por tanto: "41'756Ccm;6c;"7'5828Bcm;5,3b;"12'5494Acm;2,7a
EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando unngulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco est a 34 km del punto inicial y el segundo barco,a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qu distancia se encuentra un barco del otro?
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 5
Solucin:Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:
38209170421561
1105234252342
222
,x
cosx
km2071
3850692
,x
,x
Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km.
EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B,B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ngulo correspondiente a B esde 50, y el ngulo en A es de 75. Cul es la distancia entre B y C? Y entre A y C?
Solucin:
:nguloelHallamos C 55180 BAC Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:
m9211755
75100
55
100
75,
sen
sena
sensen
a
m529355
50100
55
100
50,
sen
senb
sensen
b
Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.
EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente tringulo, es decir, halla el valor de suslados y de sus ngulos:
Solucin:
:senoslosdeteoremaelconnguloelHallamos B
BsensenBsen
b
Asen
a 6
105
10
"9'253558010
1056
B,sen
Bsen
solucin).unahaysoloagudos;serdehanyobtuso,es(Como CBA
:denguloelHallamos C "51'3439180 BAC
Calculamos el lado c: m6610510
"51'3439,c
sensen
c
Asen
a
Csen
c
Por tanto: "51'3439Cm;6,6c;"9'2535Bm;6b;105Am;10a
EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qu distancia se encuentra un castillo que est en laorilla opuesta de un ro. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran eltringulo en cuyos vrtices estn cada uno de los dos, y el castillo. El ngulo correspon-diente al
vrtice en el que est Sara es de 25 y el ngulo del vrtice en el que est Manolo es de 140. A qudistancia se encuentra Sara del castillo? Y Manolo?
Solucin:
:sernguloEl C 1514025180 C Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:
m3524815
140100
15
100
140,
sen
senx
sensen
x
m2916315
25100
15
100
25,
sen
seny
sensen
y
Por tanto: Sara est a 248,35 m del castillo y Manolo, a163,29 m.
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 6
DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMTRICAS
EJERCICIO 18 : Demuestra que:
a)xsenxcos
xcos
xcos
xsen
xsen
xcos
221
2111
b) 1
21
22 2
xcosx
cos
c) ysenxsenyxsenyxsen22
d)
xsenxsenxcos
xcosxcosxsen
21
2
e) xcosxcos
xsen
x2tg
xsen 2
2
Solucin:
a)
2
2
11
1
111
1
22222
xcosxsenxcos
xsenxcos
xcosxsenxcos
xsenxcos
xcosxsen
xsenxsenxcos
xcos
xsen
xsen
xcos
xsenxosc
xosc
22
1
21
b) 112
1
2
12
2
1
22 2
xcosxcosxcosxcos
xcosx
cos
c)
22 ysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenyxsenyxsen ysenxsenxsenysenxcosysenxsenyxsencosycosxsen 2 2222222222 1
ysenxsenysenxsenysenysenxsenxsenysenxsen 22222222221
d)
xsenxcosxsenxcos
xcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcos
xcosxcosxsen 22
xcos
xcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcos
xcosxcosxsen
2
222 22
22
2
xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222
e) xcos
xsen
xcos
xsen
xsen
xcos
xsen
xtg
xsen 22
2
2
2
2
2
xcos
xsen
xcosxsen
xsenxcosxsen
xcos
xsen
xsen
xcosxsen 2222
2
2
2
22
xcosxcos
xcos
xcos
xsenxsenxcos
xcos
xsen
xcos
xsenxcos
2222222
RESOLUCIN DE ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
EJERCICIO 19 : Resuelve:a) 14545 xsenxsen b) sen2xcos x 0
c) cos x sen2xsen x 0 d) xsenxcosxcosxcos 333
e) xcosxcos 3124 f) xsenxcosxcosxsen 22122
Solucin:
a) 14545 xsenxsen 145454545 senxcoscosxsensenxcoscosxsen
1452 cosxsen 2
2
2
1121
2
22 xsenxsenxsen
kx
kkx
360135
donde36045
Z
b) 0120202
xsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 7
donde360330
360210
2
1012
36027036090
0
Zkkx
kxxsenxsen
kxkx
xcos
c) 01xcos2xsen0xsenxcosxsen2xcos0xsenx2senxcos2
2
2
2
1
2
1012
36018036000
22 xcosxcosxcos
kxkxxsen
kx
kxxcos
kxkxxcos
360225
360135
2
2
36031536045
22
Por tanto, las soluciones son:
.donde
360225360315360180
360135360453600
Z
k
kxkxkx
kxkxkx
d) xsenxcosxcosxcos 333 0333 xsenxcosxcosxcos 0332 xsenxcosxcos
0331 2 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos
023
360270360900
2 xsenxsen
kxkxxcos
vale)(no2
1
2
13
2
13
2
893xsen
kxxsen 3602701
Por tanto las soluciones son:
Zsiendo
360270
36090k
kx
kx
e) xcos31xsenxcos4xcos31x2cos422 xcos31xsen4xcos4 22
xcos31xcos14xcos422 05xcos3xcos8xcos31xcos44xcos4 222
1
8
5
16133
161693
1616093xcos
kxxcos
k
kx
kxxcos
3601801
siendo
360"56'40308
360"4'1951
8
5
Z
f) xsenxcosxcosxsen 22122 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212
0212 222 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 xcosxsenxcosxcosxsen 0112 xcosxcosxsen 02 xcosxcosxsen 012 xsenxcos
kx
kxxx
k
kx
kxx
360150
36030
2
1sen01sen2
siendo
360270
360900cos
Z
REPRESENTACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
EJERCICIO 20
a Representa la siguiente funcin trigonomtrica:
2
xcosy
b Escribe la ecuacin de la funcin cuya grfica es la siguiente:
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7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5
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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 8
Solucin:a Hacemos una tabla de valores:
La grfica sera:
b La grfica corresponde a la funcin y cos x.
EJERCICIO 21a Escribe la ecuacin de la funcin correspondiente a esta grfica:
b Representa la siguiente funcin: ycosx
Solucin:
a La grfica corresponde a la funcin ysen x.b Hacemos una tabla de valores:
La grfica sera: