EjerciciosPrácticos2

Problemas prcticos de distribuciones continuas para la Licenciatura de Negocios y Comercio Internacionales.

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Abril de 2011.

Departamento de Matemticas 1 Universidad de Sonora.

Semestre 2011-1

Distribucin Normal.

1. La distribucin de la demanda (en nmero de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribucin de probabilidad normal. Por ejemplo una compaa de comunicacin

por cable ha determinado que el nmero de interruptores terminales de botn solicitados diariamente tiene una

distribucin normal con una media de 200 y una desviacin estndar de 50.

a) En qu porcentaje de los das la demanda ser menos de 90 interruptores?

b) En qu porcentaje de los das la demanda estar entre 225 y 275 interruptores?

c) Con base en consideraciones de costos, la compaa ha determinado que su mejor estrategia consiste en

producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los

das Cuntos interruptores terminales deber producir la compaa cada da?

2. La resistencia a la comprensin de una serie de muestras de cemento puede moldearse con una distribucin normal con media 6,000 kilogramos por centmetro cuadrado, y una desviacin estndar de 100

kilogramos por centmetro cuadrado.

a) Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 kg/cm2?

b) Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 kg/cm2?

c) Cul es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras?

3. El dimetro de una unidad de almacenamiento ptico tiene una distribucin normal con media 0.2508

pulgadas y desviacin estndar de 0.0005 pulgadas. Las especificaciones del dimetro del eje son 0.2500

0.0015 pulgadas. Qu proporcin de ejes cumple con este requisito?

4. El volumen que una mquina de llenado automtico deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una

distribucin normal con media 12.4 onzas de lquido y desviacin estndar de 0.1 onzas de lquido.

a) Cul es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de lquido?

b) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o ms de 12.6 onzas de lquido, cul es la proporcin

de latas desechadas?

c) Calcule especificaciones que sean simtricas alrededor de la media, de modo que se incluya al 99% de todas

las latas.

Continuacin del Ejercicio 4. La media de la operacin de llenado puede ajustarse con facilidad pero la

desviacin estndar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de lquido.

d) Qu valor debe darse a la media para que el 99.9% de todas las latas contengan ms de 12 onzas de lquido?

e) Qu valor debe darse a la media para que el 99.9% de todas las latas contengan ms de 12 onzas de lquido

si la desviacin estndar puede reducirse a 0.05 onzas de lquido?

Intervalos de confianza para la media usando la distribucin normal.

1. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fbrica sigue una distribucin normal con

una desviacin estndar de 0.12 kilos. En el da de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso

medio es de 4.07 kilos.

a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

b) Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendra

mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso a).

c) Se decide que maana se tomar una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los clculos, determinar si un

intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos maana tendra mayor, menor o la

misma longitud que el calculado en el inciso a).

d) Se sabe que la desviacin estndar poblacional para la produccin de hoy es de 0.15 kilos. Sin realizar los

clculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy

tendra mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el inciso a).




Semestre 2011-1

e) Hallar el tamao de muestra necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio

poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media de la muestra sea igual a 0.01 kilos.

2. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en cada lata vara, pues hay

ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es

importante, pero igualmente importante es la variacin s2 de la cantidad de llenado.

Si s2 es grande, algunas latas contendrn muy poco, y otras, demasiado. A fin de estimar la variacin del llenado

en la enlatadora, el supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente

pesaje (en onzas): 7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 8.03 8.02 8.04 8.02. Establezca un intervalo de confianza de

90% para la verdadera variacin del llenado de latas en la enlatadora.

3. Es comn utilizar aceros inoxidables en las plantas qumicas para manejar fluidos corrosivos. Sin embargo,

estos aceros tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por corrosin causada por esfuerzos en ciertos

entornos. En una muestra de 295 fallas de aleaciones de acero que ocurrieron en refineras de petrleo y plantas

petroqumicas en Japn durante los ltimos 10 aos, 118 se debieron a agrietamiento por corrosin causada por

esfuerzos y a fatiga de corrosin. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporcin de

fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosin debido a esfuerzos.

4. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada asignatura a

preparar el examen final tiene una distribucin normal. Se toma una muestra aleatoria de 6 estudiantes

cuyos resultados son los siguientes: 12.2 18.4 23.1 11.7 8.2 24.

a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

b) Calcular un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional.

c) Sin realizar los clculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendra una amplitud

mayor o menor que el hallado en el inciso b).

5. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones sonorenses, se toman al azar dos

muestras representativas de tamaos 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:

Regin 1: media = 1.73; desviacin estndar = 0.10; n1 = 150


Suponga la distribucin de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98%:

a) Intervalo de confianza de la media poblacional de la regin 1.

b) Intervalo de confianza de la media poblacional de la regin 2.

c) Compare los resultados obtenidos en los incisos a) y b) y discuta cul de las dos poblaciones tiene

mayor estatura promedio.

Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales.

1. Para comparar la estatura media de los habitantes de dos regiones sonorenses, se toman al azar dos muestras

representativas de tamaos 150 y 250. Los resultados obtenidos fueron:



Suponga la distribucin de la altura como una normal, se pide calcular al nivel de confianza del 98% un

Intervalo de confianza de la diferencia de medias poblacionales.

2. Construya un intervalo de confianza del 98% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de

bujas, si una muestra de 40 bujas tomada al azar de la primera marca dio una duracin media de 418 horas, y




Semestre 2011-1

una muestra de 50 bujas de otra marca dieron una duracin media de 402 horas. Las desviaciones estndares de

las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente.

3. Se desea estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los nios al nacer. Para ello se

consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman y otras que no) y se obtienen los siguientes

datos sobre el peso X, de sus hijos:

Madres fumadoras n1 = 45 mujeres, 1 = 3.6 Kg, S1 = 0.5 Kg Madres no fumadoras n2 = 37 mujeres, 2 = 3.2 Kg, S2 = 0. 8 Kg

En ambos grupos los pesos de los recin nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias

desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular el

intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales.

Intervalos de confianza para la proporcin.

1. Un gabinete de investigacin quiere estimar la proporcin de consumidores que adquiriran antes un

producto de fabricacin nacional que uno elaborado por un competidor extranjero. Su intencin es

construir un intervalo de confianza para la proporcin poblacional con una amplitud mxima a cada

lado de la proporcin de muestra de 0,04. Cuntas observaciones se necesitan para alcanzar este

objetivo?

2. En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de una universidad a un total de 100 votantes

elegidos al azar en su ciudad, indica que el 55% volvera a votar por el partido actual en la

administracin gubernamental. Calcular un intervalo de confianza del 99% y otro al 99,73% para la

proporcin de votantes favorables al partido actual.

3. Un auditor desea tener un nivel de confianza del 95% en las cuentas que va a examinar, para que la

verdadera proporcin de error no exceda el 2%. Si la poblacin es muy grande, qu tamao tendr la

muestra que va a tomarse si el auditor estima que la proporcin de error es del 5%?

4. Qu tamao de nuestra es necesario, si se considera una confianza del 90% para la proporcin de la

poblacin y el error es del 8%?

Tamao de la muestra para poder estimar la media o proporcin poblacional.

1. Cules deben ser los tamaos de muestra en un sondeo, para conocer si las personas volveran a votar por el mismo partido y tener:

a) Un 99% de certeza de que el partido actual salga reelegido por mayora absoluta, en el caso de arrojar la

encuesta un 55% a favor del partido actual?

b) Un 99.73% de certeza de que el partido actual salga reelegido por mayora absoluta, en el caso de arrojar la

encuesta un 65% a favor del partido actual?

2. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la poltica del actual

equipo directivo. Cul es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporcin de alumnos que

apoyan a esta direccin?




Semestre 2011-1

3. El Gerente de un almacn desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los clientes

que usan la cuenta de crdito, con un error de $2,500, y una probabilidad aproximada de 0.95 Cuantas

cuentas deber seleccionar , si sabe que la desviacin estndar es de $30,000, la cual fue obtenida de los

balances mensuales de las cuentas de crdito. Si el ejemplo anterior en poblaciones infinitas dijera que

el total de cuentas a crdito es de 4,000 Cul sera el tamao de la muestra?

4. Un investigador est interesado en estimar la ganancia en peso total, en 0 a 4 semanas de 1,000

pollitos alimentados con una racin. Obviamente, pesar cada vez sera tedioso y llevara demasiado

tiempo. Por lo tanto se debe determinar el nmero de pollitos a seleccionar en una muestra, para estimar

el total con un lmite para el erro de estimacin igual a 1 ,000 gramos. Muchos estudios similares sobre

nutricin de pollitos se han llevado a cabo en el pasado. Usando datos de estos estudios, el investigador

encontr que la varianza es aproximadamente de 36 gramos .Determinar el tamao de muestra requerido

con confianza del 95%

5. Una empresa de transporte urbano expidi 10,050 tarjetas para que las personas paguen el

combustible; se desea hacer una investigacin sobre la utilizacin: Se Realiz una encuesta preliminar

de 90 tarjetas y encontr que 63 fueron utilizas durante el mes. Por otra parte el total de los gastos

cancelados fueron $2,390,000 y la desviacin estndar de $4,000. a) Se desea determinar el tamao de la

muestra con un error del 2% y una confianza del 95% para estimar proporcin de afiliados que utilizan

tarjeta b) gasto promedio mensual cancelado con tarjeta c) total de gasto mensual cancelado con tarjeta

d) que tamao aconsejara.

Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales.

1. Considere un proceso de produccin que tiene una fraccin defectuosa 1, desconocida. A este proceso se le realizan unas mejoras para reducir el porcentaje de defectuosos que est produciendo, y

queremos saber si estos cambios s reducen sustancialmente la proporcin de artculos defectuosos del

proceso. Para ello, se toma una muestra de 200 artculos del proceso original, y se encuentran 12

defectuosos, y se examinan 150 artculos del nuevo proceso y se observan 6 defectuosos. Cree Usted

que los cambios efectuados al proceso han reducido el porcentaje de artculos defectuosos? Use un

nivel de confianza del 95%.

2. Con el objeto comparar las proporcin de personas que tienen automvil en la ciudad de Hermosillo con la de ciudad Obregn, se realiz un muestreo aleatorio simple en ambas ciudades, de tal forma que de los 100

encuestados en Hermosillo, 30 de ellos tienen automvil, y de los 120 encuestados en ciudad Obregn 25 tienen

automvil. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las dos proporciones.

3. La Universidad de Sonora desea estimar la diferencia entre la proporcin de la Licenciatura en

Finanzas (LF), y la proporcin de la Licenciatura Negocios y Comercio Internacionales (LNCI), de

estudiantes que pretenden realizar estudios de doctorado. Se realiza una encuesta a 50 alumnos de cada

carrera, y se obtiene que 12 alumnos de LF y 15 de LNCI pretenden estudiar doctorado. Construya un

intervalo para la diferencia entre las dos proporciones con un nivel de confianza del 90%.

4. En la ciudad de Hermosillo se toma una muestra aleatoria de 98 empresarios de los cuales 48 han sido

poseedores de acciones de Telmex. En la ciudad de Nogales se selecciona otra muestra aleatoria de 127

empresarios, de los cuales 21 han sido poseedores de acciones de Telmex.

a) Obtener un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones de empresarios que

han sido poseedores de este tipo de acciones en ambas ciudades.




Semestre 2011-1

b) Qu conclusin puede obtener del intervalo hallado?

Distribucin t de Student. 1. El gerente de un auditorio est considerando la posibilidad de aumentar la capacidad de asientos y necesita

conocer el nmero promedio de personas que asisten a los eventos as como la variabilidad. En la tabla siguiente

se muestra la asistencia (en miles de personas) a 9 eventos deportivos: 8.8; 14.0; 21.3; 7.9; 12.5; 20.6; 16.3; 14.1

y 13.0. Calcula la probabilidad de que la media poblacional sea mayor de 15.23.

2. La resistencia a la tensin para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con media desconocida

y varianza desconocida. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midi Xi,

la resistencia a la tensin para el segmento i. Calcula la probabilidad de que la media de muestra est a lo ms a

2S/n de la verdadera media poblacional .

3. Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83

miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos tiene un contenido de nicotina de 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1,

2.0 y 1.6. Encuentre la probabilidad de que la media de la muestra sea menor de 2.1.

4. De una poblacin normal con una media = 14 se toma una muestra de tamao 11; si la desviacin estndar de la muestra es S = 14.3. Encuentra la probabilidad de que la media de muestra sea menor que 18?

Intervalos de confianza para la media usando la distribucin t de Student.

1. Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflacin en el ao, en siete pases. Las previsiones han sido 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5 3.2 3.0.

a) Utilizando estos datos, construye un intervalo de confianza al 99% para la media de la previsin de inflacin,

en estos siete pases. Indica los supuestos que necesitas hacer.

b) Construye un intervalo de confianza, tambin al 90%, para la desviacin estndar

c) Los expertos opinan que el intervalo de confianza calculado para la media es demasiado amplio, y desean

que su longitud total sea de 1,2 puntos. Hallar el nivel de confianza para este nuevo intervalo.

2. De una muestra elegida al azar de 10 cajas de productos para exportacin, se obtuvieron los siguientes datos sobre el peso (en Kg) y la altura (en mts.) de cada uno de los paquetes muestreados.

Peso 7.4 7.9 8.5 4.9 8.3 7.8 7.4 5.4 6.3 6.8

Estatura 2.76 2.18 1.8 1.65 1.82 1.97 2.19 2.45 3 2.7

Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecan a una distribucin normal, un intervalo de

confianza para la media de cada variable, con un nivel de confianza del 95%.

3. Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio fsico en el nivel de colesterol en la

sangre. Para ello se midi el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio

fsico (grupo 1) y otras 11 personas que s lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas

en mg/dl, fueron las siguientes:

Grupo 1 182 232 191 200 148 249 276 213 241 262 480

Grupo 2 198 210 194 220 138 220 219 161 210 226 313

Calcule un intervalo de confianza del 95% para cada una de las dos medias poblacionales.




Semestre 2011-1

4. Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83 miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos tiene un contenido de nicotina de 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1,

2.0 y 1.6. Calcule un intervalo de confianza del 85% para la media poblacional del contenido de nicotina en los

cigarrillos.

Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales usando t de Student.

1. De una muestra elegida al azar de 10 cajas de productos para exportacin, se obtuvieron los siguientes datos

sobre el peso (en Kg) y lo largo (en mts.) de cada uno de los paquetes muestreados. Peso 7.4 7.9 8.5 4.9 8.3 7.8 7.4 5.4 6.3 6.8

Largo 2.76 2.18 1.8 1.65 1.82 1.97 2.19 2.45 3 2.7

Otra muestra de 15 cajas de productos para exportacin dej los siguientes resultados:

Peso 6.3 8.4 7.5 9.4 3.8 8.7 4.7 4.5 3.9 8.6 5.4 10.5 9.8 15 16

Largo 1.67 1. 82 2 1.56 1.28 1.79 2.10 2.15 2.5 2.3 1.95 2 0.9 1 0.5

Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecan a una distribucin normal, un intervalo de

confianza para la diferencia de las medias poblacionales de cada variable, con un nivel de confianza del 95%.

Existe una diferencia significativa entre las dos medias poblacionales, en ambas variables?

2. El gerente de una refinera piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petrleo

crudo. El gerente har la modificacin slo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo

proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso.

Con base en experimentos de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamao

12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una

desviacin estndar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviacin estndar de 2.7.

El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias

independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, debe

adoptarse el nuevo proceso?

3. Se desea estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los nios al nacer. Para ello

se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman y otras que no) y se obtienen los

siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:

Madres fumadoras n1 = 35 mujeres, 1 = 3.6 Kg, S1 = 0.5 Kg Madres no fumadoras n2 = 27 mujeres, 2 = 3.2 Kg, S2 = 0. 8 Kg

En ambos grupos los pesos de los recin nacidos provienen de sendas distribuciones normales de

medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las

mismas. Calcular el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos medias

poblacionales..

4. Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio fsico en el nivel de colesterol en la

sangre. Para ello se midi el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio

fsico (grupo 1) y otras 11 personas que s lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas

en mg/dl, fueron las siguientes:




Semestre 2011-1

Grupo 1 182 232 191 200 148 249 276 213 241 262 480

Grupo 2 198 210 194 220 138 220 219 161 210 226 313

Calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las dos medias.

Intervalos de confianza para la varianza o desviacin estndar con la distribucin Ji-cuadrado. 1. Una mquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de onzas por botella, se

supone que las onzas del contenido que vaca la mquina, tienen una distribucin normal con varianza . Suponga que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido en cada botella. Si se

utilizan estas 10 observaciones para calcular S2, podra ser til especificar un intervalo de valores que incluyeran

a S2 con una alta probabilidad. Calcule los nmeros a y b tales que

2. Un gurda-bosques que estudia los efectos de la fertilizacin en ciertos bosques de pino en el sureste, se

interesa en estimar el rea promedio de la base de los pinos. Al estudiar las reas de la base de rboles similares

durante muchos aos, descubri que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribucin normal

con una desviacin estndar de aproximadamente 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosques selecciona una

muestra de rboles, calcule la probabilidad de que la media de la muestra se desve a los ms 2 pulgadas cuadradas de la media de la poblacin.

3. La resistencia a la tensin para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con una media desconocida y una varianza desconocida 2. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midi Xi la resistencia a la tensin para el segmento i, en donde i = 1, 2, ,6. La media de la y una varianza 2 se

pueden estimar por y S2, respectivamente. Ya que

puede ser estimada por

. Obtn la

probabilidad aproximada de que est a lo ms a

de la verdadera media poblacional .

4. Los ampermetros producidos por una compaa en particular se venden en el mercado con la especificacin

de que la desviacin estndar de las lecturas no es mayor que 0.2 amperios. Se utiliz uno de estos ampermetros

para efectuar 10 lecturas independientes en un circuito de prueba con corriente constante. Si la varianza de las 10

mediciones es de 0.065, y es razonable suponer que las lecturas tienen una distribucin normal, indican los

resultados que el ampermetro que se utiliz no satisface las especificaciones del mercado? [Sugerencia: calcule

la probabilidad aproximada de que la varianza de la muestra exceda de 0.065 si la varianza real de la poblacin

es de 0.04?

5. Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflacin en el ao, en siete pases. Las

previsiones han sido 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5 3.2 3.0. Construye un intervalo de confianza del

90%, para la desviacin estndar de la inflacin.

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