CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 661

Además,

'oso = Hln 1 = 160 In 1 = 35 . 70 horas.R 0.8

El límite de confianza de dos lados de 95% se determinó a partir de la tabla 17-11 como

2(1600)(0 223) 2(1600)(0.223) = [20 9. 74.45].

Il 34.17 9.591 1

17-4.9 Pruebas de demostración y de aceptación

No es raro que un comprador pruebe los productos que adquiere para asegurarse de que éstos con-

cuerden con las especificaciones de confiabilidad. Estas pruebas son destructivas y, en el caso de la

medición de atributos, el diseño de la prueba sigue lo correspondiente al muestreo de aceptación tra-

tado antes en este capítulo.

Un conjunto especial de planes de muestreo que supone una distribución de tiempo de falla ex-

ponencial presentado en el manual del Departamento de Defensa de Estados Unidos (DOD H-108),

se utiliza ampliamente para estos propósitos.

17-5 RESUMEN

En este capítulo se han presentado varios métodos de amplia aplicación para el control de calidad es-

tadístico . Se presentaron los diagramas de control y se trató su utilización como dispositivo de super-vivencia del proceso . Los diagramas de control X y R se emplean para datos de medición . Cuando

la característica de calidad es un atributo , puede emplearse el diagrama p para la fracción defectuo-

sa, o los diagramas c o u para los defectos.

También se trató el empleo de probabilidad como una técnica de modelado en el análisis de con-

fiabilidad . La distribución exponencial se emplea ampliamente como la distribución del tiempo de

falla, aunque otros modelos plausibles incluyen las distribuciones normal , lognormal , de Weibull y

gamma . Los métodos de análisis de confiabilidad de sistemas se presentaron para el caso de los sis-

temas en serie, así como de los que tienen redundancia activa o en espera . Además , se habló breve-

mente de la prueba de duración , y la estimación de la confiabilidad.

17-6 EJERCICIOS

17-1 Un dado de extrusión se emplea para producir ficaciones en las barras son 0.5035 ± 0.0010

barras de aluminio . El diámetro de las barras pulgadas. Los valores dados son los últimoses una característica de calidad crítica. A con- tres dígitos de las mediciones; esto es, 34.2 se

tinuación se muestran los valores X y R para lee como 0.50342.

20 muestras de 5 barras cada una. Las especi-

662 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

Muestra y R

1 34.2 32 31.6 43 31.8 44 33.4 55 35.0 46 32.1 27 32.6 78 33.8 99 34.8 10

10 38.6 411 35.4 812 34.0 613 36.0 414 37.2 715 35.2 316 33.4 1017 35.0 418 34.4 719 33.9 820 34.0 4

a) Establezca los diagramas X y R, revisandolos límites de control de prueba si es nece-sario, suponiendo que pueden encontrarsecausas asignables.

b) Calcule el RCP y el RCP, . Interprete estasrazones.

c) ¿Qué porcentaje de defectos está produ-ciendo el proceso?

17-2 Suponga que un proceso está bajo control y

que se emplean límites de control 3-signa en

el diagrama X. Deje que la media sea 1.56.¿Cuál es la probabilidad de que este desplaza-miento sea indetectable en 3 muestras conse-cutivas? ¿Cuál sería esta probabilidad si se

emplean límites de control 2-sigma? El tama-

ño de la muestra es 4.

17-3 Suponga que se utiliza un diagrama X para

controlar un proceso distribuido normalmente,

que las muestras de tamaño n se toman cada hhoras, y que se grafican en el diagrama, el cual

tiene k límites sigma.

a) Encuentre el número esperado de muestrasque se tomarán hasta que se genere una se-ñal de acción falsa. Esto se llama longitudde ejecución promedio (LEP) bajo control.

b) Suponga que el proceso cambia a un esta-do fuera de control . Encuentre el númeroesperado de muestras que se tomarán has-ta que se genere una acción falsa. Esto sellama longitud de ejecución promedio(LEÍ') fuera de control.

c) Evalúe la LEP bajo control para k = 3.¿Cómo cambia si k = 2? ¿ Qué piensa us-ted acerca del empleo de límites de 2-sig-ma en la práctica?

d) Evalúe la LEP fuera de control para un

desplazamiento de una sigma , dado que

n=5.

17-4 Veinticinco muestras de tamaño 5 se extraende un proceso a intervalos regulares , y se ob-tienen los siguientes datos:

25 25

362.75 R¡= 8.60.

a) Calcule los limites de control para los dia-gramas X y R.

b) Suponiendo que el proceso está bajo con-trol y que los límites de especificación son14.50 ± 0.50, ¿qué conclusiones puede us-ted extraer acerca de la capacidad del pro-

ceso para operar dentro de estos límites?Estime el porcentaje de artículos defec-tuosos que se producirán.

c) Calcule RCP y RCP,. Interprete estas ra-

zones.

17-5 Suponga un diagrama X para un proceso bajocontrol con límites 3-sigma. Se extraen mues-tras de tamaño 5 cada 15 minutos. Supongaahora que el proceso se sale de control en 1.56

por 10 minutos después de la hora. Si D es elnúmero esperado de defectos producidos porcuarto de hora en este estado fuera de control,encuentre la pérdida esperada (en términos deunidades defectuosas) que resulta de este pro-

cedimiento de control.

CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 663

17-6 La longitud total del cuerpo de un encendedorde cigarrillos de un automóvil se controla em-pleando diagramas X y R. La siguiente tabla

brinda la longitud para 20 muestras de tamaño

4 (las mediciones se codifican a partir de 5.00mm: esto es. 15 es 5. 15 ntm).

Observación

Muestra 1 2 3 4

1 15 10 8 9

2 14 14 10 6

3 9 10 9 114 8 6 9 135 14 8 9 12

6 9 l0 7 13

7 15 10 12 12

8 14 16 Il 10

9 11 7 16 10

10 11 14 11 12

11 13 8 9 5

12 10 15 8 10

13 8 12 14 9

14 15 12 14 6

15 13 16 9 5

16 14 8 8 12

17 8 10 16 9

18 8 14 10 9

19 13 15 10 8

20 9 7 15 8

a) Haga los diagramas X y R. ¿El procesoestá bajo control estadístico?

b) Las especificaciones son 5 .10 ± 0.05 mm.¿Qué puede usted decir acerca de la capa-cidad del proceso?

17-7 Montygomery (2(x)1) presenta 30 observacio-

ne,, del espesor de óxido en obleas de silicón

india i(Iuales. Los datos son

Espesor EspesorOblea de óxido Oblea de óxido

1 45.4 4 44.02 48.6 5 50.93 49.5 6 55.2

Espesor Espesor

Oblea de óxido Oblea de óxido

7 45.5 19 47.18 52.8 20 45.79 45.3 21 60.610 46.3 22 51.011 53.9 23 53.012 49.8 24 56.013 46.9 25 47.214 49.8 26 48.015 45.1 27 55.916 58.4 28 50.017 51.0 29 47.918 41.2 30 53.4

a) Construya una gráfica de probabilidad nor-mal con los datos. ¿La suposición de norma-lidad le parece razonable?

b) Realice un diagrama de control individualpara los espesores de óxido . Interprete eldiagrama.

17-8 Se usa una máquina para llenar botellas con unamarca particular de aceite vegetal . Se seleccionauna sola botella en forma aleatoria cada mediahora y se registra el peso de la misma . La expe-

riencia con el proceso indica que su variabilidad

es bastante estable, con a= 0.07 onzas. El obje-tivo del proceso es 32 onzas. Se han registrado24 muestras en un periodo de 12 horas, con losresultados que se muestran a continuación

Núm. de muestra x Núm. de muestra x

1 32.03 13 31.972 31.98 14 32.01

3 32.02 15 31.93

4 31.85 16 32.09

5 31.91 17 31.96

6 32.09 18 31.88

7 31.98 19 31.82

8 32.03 20 31.92

9 31.98 21 31.81

10 31.91 22 31.95

11 32.01 23 31.97

12 32.12 24 31.94

664 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

a) Construya una gráfica de probabilidad nor-nial de los datos. ¿Le parece que la supo-sición de nornialidad se satisface?

b) Realice un diagrama de control individualpara los pesos. Interprete los resultados.

17-9 Los siguientes son los números de uniones desoldaduras defectuosas encontradas en nitres-tras sucesivas de 500 uniones.

Día Núm. de defectos Día Núm. de defectos

1 106 11 42

2 116 12 37

3 164 13 25

4 89 14 88

5 99 15 101

6 40 16 64

7 112 17 51

8 36 18 74

9 69 19 71

10 74 20 43

21 80

Construya un diagrama de control de la fraccióndefectuosa. ¿El proceso está bajo control?

17-10 Un proceso se controla por medio de un dia-grama p empleando muestras de tamaño 100.

La línea central del diagrama es 0.05. ¿Cuál esla probabilidad de que el diagrama de control

detecte un desplazamiento a 0.08 en la prime-ra muestra posterior al mismo? ¿Cuál es laprobabilidad de que el desplazamiento se de-tecte por lo menos en la tercera muestra poste-rior al mismo?

17-11 Suponga que un diagrama p con línea centralen p con k unidades sigma se emplea para con-trolar un proceso. Hay una fracción defectuosacrítica p, que debe detectarse con probabilidadde 0.50 en la primera muestra que sigue al des-plazamiento a ese estado. Obtenga una fórmu-

la general para el tamaño de muestra que debeemplearse en este diagrama.

17-12 Un proceso distribuido normalmente empleaM 79- de la banda de especificación . El proce-

so está centrado en la dimensión nominal, y selocaliza a la mitad entre los límites de especi-ficación superior e inferior.

a) ¿Cuál es la razón de capacidad del proce-so RCP?

b) ¿Qué nivel de fallas ( fracción defectuosa)se produce?

c) Suponga que la media se desplaza a unadistancia de exactamente 3 desviaciones es-tándar por debajo del límite de especifica-ción superior. ¿Cuál es el valor de RCPk?¿Cómo ha cambiado la RCP?

d) ¿Cuáles son las fallas reales que se expe-rimentan después del desplazamiento dela media?

17-13 Considere el proceso en el que las especifica-ciones respecto de la característica de calidadson 100 ± 15. Sabernos que la desviación es-

tándar de esta característica de calidad es 5.¿Dónde debemos centrar el proceso para mini-mizar la fracción de defectos producidos? Su-

ponga ahora que la inedia se desplaza a 105 yque estamos usando un tamaño de muestra de 4sobre un diagrama X. ¿Cuál es la probabilidadde que tal desplazamiento se detecte en la pri-

mera muestra posterior al mismo? ¿Qué tama-ño de muestra sería necesario en un diagrama ppara obtener un grado de protección similar?

17-14 Suponga que la siguiente fracción defectuosase ha encontrado en muestras sucesivas de ta-ntaño 100:

0.09 0.03 0.120.10 0.05 0.140.13 0.13 0.060.08 0.10 0.050.14 0.14 0.140.09 0.07 0.110.10 0.06 0.090.15 0.09 0.130.13 0.08 0.120.06 0.11 0.09

¿El proceso está bajo control respecto de su

fracción defectuosa?

i

n

CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD E INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD 665

17-15 Las siguientes cifras representan el número de

defectos de soldadura observados en 24 mues-

tras de cinco tarjetas de circuitería: 7, 6, 8, 10.

24,6,5,4.8. 11. 15.8.4. 16. 11. 12,8.6.5.9.

7, 14, 8, 21. ¿Podemos concluir que el proceso

está bajo control utilizando un diagrama c' Sino, suponga causas asignables que puedan en-

contrarse, y revise los límites de control.

17-16 Las siguientes cifras representan el número dedefectos por 1000 pies de alambre forrado conplástico: 1, 1, 3. 7, 8, 10. 5. 13, 0. 19. 24. 6. 9,11, 1 5 , 8, 3, 6. 7, 4, 9, 20, I I , 7, 18, 10.6.4.0,9, 7. 3. 1, 8, 12. ¿Los datos provienen de unproceso controlado?

17-17 Suponga que se sabe que el número de defectos

en una unidad es 8. Si el número de defectos enuna unidad se desplaza a 16, ¿cuál será la pro-babilidad de que el desplazamiento se detectepor medio del diagrama c en la primera mues-tra posterior al mismo?

17-18 Suponga que estamos investigando los defec-tos por unidad en ciertos cartuchos de disco, yque se conoce que en promedio hay dos defec-tos por unidad. Si decidimos hacer nuestra ins-

pección por unidad para cinco cartuchos dedisco en el diagrama c, y controlar el númerototal de defectos por unidad de inspección,

describa el nuevo diagrama de control.

17-19 Considere los datos del ejercicio 17-15. Hagaun diagrama u para este proceso. Compárelocon el diagrama (- del ejercicio 17-15.

17-20 Considere los datos de los espesores de óxidodados en el ejercicio 17-7. Realice un diagra-

ma de control PMEP con A = 0.20 y L = 2.962.

Interprete el diagrama.

17-21 Considere los datos de los espesores de óxidodados en el ejercicio 17-7. Construya un diagra-ma de control SUMACU con k = 0.75 y h =3.34 si el espesor objetivo es 50 . Interprete eldiagrama.

17-22 Considere los pesos que se proporcionan en elejercicio 17-8. Realice un diagrama de control

PMEP con 2 = 0.10 y /. = 2.7 . Interprete el dia-grama.

17-23 Considere los pesos que se proporcionan en el

ejercicio 17-8. Realice un diagrama de controlSUMACU con k = 0.50 y h = 4.0. Interpreteel diagrama.

17-24 Una distribución del tiempo de falla está dadapor una distribución uniforme:

17-25 Tres unidades que operan y fallan en forma in-dependiente forman una configuración en se-rie, como se muestra en la figura de la parteinferior de esta página.La distribución del tiempo de falla para cadaunidad es exponencial con las tasas de falla

que se indican.

a) Encuentre C(60) para el sistema.

b) ¿Cuál es el tiempo medio de falla para es-te sistema''

1ce <_1:5

^- a

= 0, en otro caso.

a) Determine la función de confiabilidad.

b) Demuestre que

C(t)dt = ^r tf(t)(1t .

c) Determine la función de riesgo.

cl) Demuestre que

C(t) = e H(n

donde H se define como en la ecuación 17-31.

17-26 Cinco unidades idénticas se arreglan en una re-dundancia activa para formar un subsistema.

=3x10-2 =6x10-3 =4x10-2

Figura para el ejercicio 17-25.

666 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA

La falla (le las unidades es independiente, y almenos dos de ellas deben sobrevivir 1000 horaspara quo el subsistema desempeñe su misión.

a) Si las unidades tienen distribuciones de

tiempo de falla exponenciales con tasa de

falla de 0.002. ¿cuál es la confiabilidad

del suhsislem;t,

h) ¿Cuál es la confiabilidad si sólo se requie-

re una unidad?

17-27 Si las unidades descritas en el ejercicio ante-rior se operan en una redundancia en esperacon un interruptor de decisión perfecto y sólose requiere una unidad para la supervivenciadel suhsistema , determine la confiabilidad (lec,,tc últinn1.

17-28 Cien unidades se ponen a prueba y se enveje-cen hasta que todas fallan. Se obtienen los si-

eluientes resultados. v se calcula una vida mediadei = 160 horas a partir de los datos de la serie.

Intervalo de tiempo

0-100100-200200-300300-400400-500

Después de 500 horas

Número de fallas

50

18

17

843

Emplee la prueba de bondad del ajuste de la ji

cuadrada para determinar si usted consideraríala distribución exponencial para representar unmodelo de tiempo de falla razonable con estosdatos.

17-29 Cincuenta unidades se someten a una pruebade duración por 1000 horas . Ocho unidades fa-llan durante ese periodo . Estime Cl 1000) paraestas unidades. Determine un intervalo de con-1 1,111/a inferior de 95% en Cl 10001.

17-30 En la sección 17-4.7 se señaló que para funcio-nes de confiabilidad de un paámetro. C(t;9),C(t;9) = C. ( t;9). donde 9 v C son los estima-dores de máxima similitud . Pruebe este argu-nmento en el caso

('(t;9) =e''Er 1>0.

= 0. en otro caso.

Su^t r^ rrri^r: Exprese la función de densidad .f

en tcrnrinos de C.

17-31 En una prueba sin reemplazo que termina des-pués de 200 horas de operación, se observóque las fallas ocurren en los siguientes tiem-pos: 9, 21, 40. 55 y 85 horas. Se supone que lasunidades tienen una distribución de tiempo defalla exponencial. y que se probaron inicial-

mente 100 unidades.

ti) Estime el tiempo medio de falla.

b) Construya un límite de confianza inferior

de 95% respecto del tiempo medio de fa-lla.

17-32 Emplee el planteamiento del ejercicio 17-31.

ti) Estime ('(300) y construya un límite deconfianza inferior de 954 en C(300).

b) Estime el tiempo para el cual la confiabi-lidad será 0.9, y construya un límite infe-rior de 95%c en to.9.