Ejercicios1

Problemas de Estadstica Descriptiva

Tema 2 1/1

Tema 21.- Clasifica en discretas o continuas las siguientes variables:a) Nmero de habitantes por kilmetro cuadradob) Nmero de bacterias de cierto tipo, por mililitroc) Densidad de diferentes muestras de un mismo lquidod) Nmero de frutos de un rbol de la misma especiee) Velocidad de un vehculo al pasar por un determinado puntof) Puntuaciones obtenidas en un test por un grupo de personasg) Superficie dedicada a cierto cultivo, por hectreas, en un municipioh) Peso de un nio al cumplir 3 aos

2.- De un examen realizado a un grupo de alumnos, cuyas notas se han evaluado del 1 al 8, seha obtenido el siguiente cuadro estadstico:Xi ni Ni fi Fi12345678

44

75

7

16

283845

0'08

0'160'14

0'14

Se pide:(a) Acabar de rellenar la tabla estadstica.(b) N de alumnos que se han examinado.(c) N de alumnos que han obtenido una nota superior a 3(d) % de alumnos que han sacado una nota igual a 6(e) % de alumnos que han obtenido una nota superior a 4(f) N de alumnos que han obtenido una nota superior a 2

e inferior a 5.

3.- Una fbrica empaqueta en lotes de 100 unidades los tornillos que produce. Se establece unplan de inspeccin por muestreo consistente en examinar, de cada lote, 20 tornillos elegidos alazar y rechazar el lote si de los 20 aparecen ms de 4 defectuosos; almacenar el lote comorevisable si el nmero de defectuosos es menor que 5 pero mayor que 1, y aceptarlo en otrocaso. Se inspeccionan 52 lotes y resulta el siguiente nmero de tornillos defectuosos de cadamuestra:

1 2 4 3 2 0 9 2 0 2 0 0 4 3 0 2 0 1 6 5 2 0 0 1 0 32 0 7 1 4 3 0 2 1 0 4 3 0 7 1 0 0 3 2 0 1 0 5 2 0 1

a) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas del resultado de la inspeccinb) Dibuja el diagrama de barras para los resultados de la inspeccinc) Dibuja el diagrama acumulativo de frecuencias

Agrupa los resultados por lotes: Rechazados, revisables y aceptados y:

d) Construye la tabla de frecuencias para los lotese) Determina la proporcin de lotes rechazadosf) Representa la distribucin de frecuencias mediante un histogramag) Dibuja el diagrama acumulativo de frecuenciash) Comenta las diferencias entre los resultados de los apartados c) y g)


Tema 3 1/3

Tema 3

1.- El salario medio por semana en miles de pesetas de 160 obreros se distribuye de lasiguiente forma:

Intervalos ni Se pide:

4 - 88 - 1212 - 1616 - 2020 - 2424 - 2828 - 3232 - 36

3124047321394

(a) Calcular la media aritmtica.(b) Sea Ui = (Xi-18)/4, calcular la media de la variable U y, a partir de ella,

la media de la variable X (cambio de origen y escala).(c) Realizar una redistribucin en la que los intervalos tengan una amplitud

de 8, y con los nuevos intervalos, calcular la media aritmtica.Comparar los resultados obtenidos con los del apartado (a)

(d) Realizar el histograma en los dos casos.

2.- Analizar el siguiente comentario: "La mejor medida de tendencia central es la mediaaritmtica, por eso la utilizaremos siempre salvo que no se conozcan los valores extremos dela variable"

3.- Supongamos que desde hace 5 aos una empresa gasta cada Navidad la cantidad total de100.000 ptas. en regalar presentes a sus clientes. Si los precios de ese presente han sidodurante los 5 aos: 400; 500; 750; 800 y 1.000 ptas respectivamente, calcular el costepromedio por cliente para el periodo de 5 aos.

4.- El precio del pan sufri los siguientes incrementos: del 7% de 1990 a 1991, del 6% de1991 a 1992, del 4% de 1992 a 1993, del 3% de 1993 a 1994 y de 1994 a 1995. Cul es elincremento medio anual de 1990 a 1995?

5.- Si invertimos 100.000 pesetas durante 10 aos a los siguientes intereses: 3%, 5%, 6%, 9%,8%, 5%, 5%, 4%, 3%, 3%. Calcular:(a) El capital medio durante esos 10 aos(b) El inters medio durante esos 10 aos

6.- Dada la siguiente tabla estadstica:

N de horas de estudio: Xi 1 2 3 4 5N de alumnos: ni 5 15 20 8 2

Se pide:1.- Hallar las medias: a) armnica, b) geomtrica, c) aritmtica.2.- Comprobar la relacin: Ma Mg X


Tema 3 2/3

7.- Con motivo de la venta de una casa, un agente inmobiliario estableci que el ingresomedio en la zona era de 2.000.000 pts, sin embargo, en una reunin de protesta decontribuyentes de la zona (donde l tambin reside) afirm que el ingreso ms comn era de1.200.000 pts Puede explicarse esta aparente contradiccin?es necesariamente deshonestoese agente?

8.- Suponemos que el ingreso anual disponible de los 5 millones de habitantes de cierto pastienen una media de 4.800 $ y una mediana de 3.400 $.(a) Cul es el ingreso nacional disponible total anual?(b) Cul consideraras que es el ingreso anual disponible del "habitante tipo"?

9.- La distribucin de las acciones de una determinada sociedad viene dada de la siguienteforma:

Nmero deacciones

Nmero deaccionistas

0 - 20 1020 - 28 3228 - 32 5032 - 48 8

Se pide:(a) El capital aproximado de la empresa, supuesto un valor nominal para cada accin de 500

pts.(b) N medio de acciones por accionista(c) Paquete de acciones posedas por un mayor nmero de accionistas(d) En el supuesto de que en la junta general de accionistas los votos se establecen en

proporcin al nmero de acciones posedas, qu mnimo de acciones debe tener unaccionista para que su poder decisorio sea mayor al de la mitad de los socios?

10.- En una zona de Madrid, la superficie de las viviendas sigue la siguiente distribucin:

Superficie(m2)

Frecuencia relativa(%)

50 - 6060 - 7070 - 8080 - 100100 - 120

2025152515

Calcular::1.- La superficie media por vivienda.2.- Los tipos de vivienda que dividen la distribucin en cuatro partes iguales.3.- El tipo de vivienda ms frecuente.4.- La superficie de vivienda que no es superada por el 36% de las viviendas


Tema 3 3/3

11.- En un supermercado, los cuatro artculos ms vendidos, han originado en determinadomes los beneficios totales (en miles de pesetas) y los beneficios por unidad que se dan acontinuacin:

Tipo de artculovendido

Beneficios mensuales(miles de ptas.)

Beneficios por unidad(ptas/unidad)

ABCD

44560388505390047188

200222196188

Calcula el beneficio medio por artculo.

12.- El tiempo de espera de 322 pacientes, para ser atendidos en cierto ambulatorio mdico, esel que se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo de espera(en minutos)

Nmero de pacientes

[0, 5)[5, 10)[10, 15)[15, 20)[20, 25)[25, 30)[30, 35)[35, 40)[40, 45)[45, 50]

3359863554412651

a) Calcula los cuartiles y los deciles 2 y 7b) Si consideramos a los pacientes que esperan media hora o ms, Qu porcentaje

representan del total?c) Cuntos pacientes esperan entre 7 y 23 minutos?, Qu porcentaje representan del total?


Tema 4 1/2

Tema 4

1.- Un horno industrial vena operando con temperaturas que oscilaban entre los 80 y los 140C. Con un nuevo sistema se ha conseguido incrementar las temperaturas habituales en 9 C.En qu medida vendran afectados el recorrido relativo a la media y el coeficiente devariacin de Pearson?

2.- La superficie media de las explotaciones agrarias espaolas, segn el censo de 1982 es de18'9 Ha y su desviacin tpica 121'6 Ha.En la comarca de "Los cantos" la superficie media de las explotaciones agrarias es de 8 Ha ysu desviacin tpica de 5 Ha.Comparar las superficies de las explotaciones a nivel nacional y comarcal.

3.- En una zapatera se estiman unas ventas diarias de: 8 zapatos de hombre y 12 de mujer. Laganancia media en los zapatos de hombre es de 2000 pesetas, con una desviacin tpica de500 ptas.; mientras que en los zapatos de mujer, la ganancia media es de 2500 ptas. con unadesviacin tpica de 800 ptas..a) Determina la ganancia media en cada par de zapatos y la desviacin tpica de la ganancia

en cada venta de zapatos.b) Determina la ganancia media diaria en la zapatera, as como la desviacin tpica de la

ganancia diaria.

4.- Los salarios por hora de los obreros de dos empresas A y B, son los que se dan en lasiguiente tabla:

Salarios Empresa A Empresa B

[550,750)[750,1050)[1050,1550)[1550,2550)

10325754

7203778

Determinar:(a) El salario medio de las dos empresas(b) El salario ms frecuente de las dos empresas(c) Cul es el salario que no es superado por el 50% en las dos empresas?(d) Cul de las dos empresas tiene mayor homogeneidad salarial?, por qu?

5.- Un experto en estndares de trabajo observa el tiempo que se requiere para preparar unamuestra de 10 cartas de negocios en una oficina y obtiene los siguientes resultados: 42, 5, 5,9, 7, 5, 12, 13, 12 y 10 minutos. Se pide:(a) Determinar la media, la mediana y la moda de esos 10 tiempos(b) Cul de las tres medidas de posicin central calculadas te parece ms representativa en este

caso?(c) Diras que esas 10 observaciones son valores dispersos? por qu?


Tema 4 2/2

6.- Cierto conjunto de personas se divide en dos grupos A y B, y se mide luego la estatura delos componentes de cada grupo. La media de las estaturas y la varianza de cada grupo son lasque se dan a continuacin:

Grupo Media VarianzaAB

176 m180 m

006 m2004 m2

Si la media de estaturas del conjunto de los dos grupos es de 177m.a) En qu proporcin estn los tamaos de los grupos A y Bb) Cul es la varianza del conjunto?

7.- Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:a) El intervalo modal de una distribucin agrupada en intervalos es aquel que tiene mayor

frecuencia absoluta.b) Si los precios de los productos lcteos aumentan en un 10%, la varianza de esos precios

aumentar en un 21%


Tema 5 1/2

Tema 5

1.- Los siguientes datos corresponden al nmero de das de trabajo perdidos por enfermedaddurante el cuarto trimestre del ao por los 35 empleados de una gestora:

2 1 0 1 1 3 00 2 7 5 0 1 30 0 4 1 2 4 05 3 0 6 0 4 02 6 2 3 0 1 1

Estudiar la forma y concentracin (asimetra y curtosis) de la variable que mide el nmero dedas de trabajo perdidos por enfermedad por esos 35 empleados

2.- Un informe de 40 pginas presenta la siguiente distribucin de errores de mecanografiado:

Errores por pgina 0 1 2 3 4 5 6

N de pginas 3 8 9 10 7 2 1Estudiar la forma y la concentracin de la variable que mide el nmero de errores demecanografiado

3.- En una empresa trabajan 20000 productores, cuyos salarios, segn categoras, son:

salarios(miles de ptas)

N deproductores

10-2020-4040-5050-100100-200

1200060001000800200

a) Dibuja la curva de Lorenz y comenta la concentracin en el reparto de la masa salarialb) Calcula el ndice de concentracin de Gini.c) Qu parte de la nmina recibe el 60% de los productores peor pagados?d) Qu parte de la nmina recibe el 5% de los productores mejor pagados?e) Qu porcentaje de productores reciben el 818% de los salarios?f) Qu porcentaje de productores reciben el 50% de los salarios?

4.- Los salarios de los 50 trabajadores de una empresa se recogen en la siguiente tabla:

Salario (miles) 85 100 110 115 150 185 250N trabajadores 6 7 12 11 8 4 2

a) Calcula el coeficiente de asimetra de Fisher.b) La masa salarial de la empresa, est repartida de forma equitativa?, por qu?


Tema 5 2/2

5.- Una compaa de seguros ofrece determinadas coberturas, previa suscripcin de lacorrespondiente pliza cuya prima anual est estipulada segn la edad del beneficiario. Encierta comarca, el nmero de plizas suscritas para cada tramo de edad es el que se da acontinuacin:

Edad (aos) [15,25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65]

N de plizas 34 211 332 422 194a) Calcula la diferencia entre los percentiles 7 y 93 de la distribucin de las edades de los

beneficiarios de las plizasb) Calcula la dispersin respecto a la media de las edadesc) Calcula el coeficiente de asimetra de Pearson y el coeficiente de asimetra de Fisher,

Cul es ms fiable?, por qu?

6.- Se dispone de la siguiente informacin respecto a las ganancias medias mensuales de lostrabajadores de un sector en un determinado pas:

Ganancias mediasmensuales (miles de u.m.) 25-30 30-40 40-50 50-60 60-80 80-100

nmero de trabajadores(en miles) 34 211 332 422 472 194

a) Dibuja la curva de Lorenz e indica si hay concentracin salarial en el sectorb) Qu porcentaje de la masa salarial se distribuyen el 60% de los trabajadores que menos

ganan?c) Qu porcentaje de los trabajadores que menos ganan, se distribuyen el 60% de la masa

salarial total?


Tema 6 1/2

Tema 6

1.- En una encuesta en la que se ha entrevistado a 480 familias, se han obtenido para lasmismas los siguientes datos sobre ingresos mensuales (X) y depsitos a la vista en Bancos yCajas de Ahorros (Y):

Intervalos de YIntervalos de X

0 - 200.000 200.000 - 500.000 500.000-2.000.000 2.000.000-10.000.000

50.000 - 100.000100.000 - 150.000150.000 - 250.000250.000 - 500.000

401684

12488040

8129272

-4

2024

Suponiendo que las marcas de clase son representativas de cada intervalo:(a) Calcular los valores que toman n1., n2., n.2 y n.3(b) Expresar, en tanto por uno, los valores que toman: f12, f23, f34, f42, f2., f3., f.2 y f.4.(c) Expresar, en porcentaje, los valores que toman: f13, f21, f32, f44, f1., f3. y f.4.(d) Expresar, en tanto por uno, los valores que toman:

f(X = 75.000 / Y = 350.000) f(X = 125.000 / Y = 1.250.000)f(Y = 100.000 / X = 375.000) f(Y = 350.000 / X = 200.000)

(e) Expresar, en porcentaje, los valores que toman:f(X = 200.000 / Y = 1.250.000) f(X = 375.000 / Y = 6.000.000)f(Y = 350.000 / X = 375.000) f(Y = 1.250.000 / X = 200.000)

2.- Cierta fundacin ha concedido 15 becas, distribuidas de la siguiente forma:Y

X1 2 3 4

23

1--

52

13

21

X=nmero de investigadores Y=millones de pesetas concedidos.Calcula:

a) Porcentaje de becas de becas de 3 millones y 2 investigadoresb) Porcentaje de becas de 3 millonesc) De las becas con 2 investigadores, porcentaje de las de 3 millones

3.- De una muestra de 24 puestos de venta en un mercado de abastos se recoga informacinacerca de: X = nmero de balanzas Y = nmero de vendedores.

YX

1 2 3 4 Obtener:

1357

11--

221-

-322

-163

(a) Distribucin de frecuencias absolutas y relativas delnmero de balanzas (X) condicionado a que el nmero devendedores sea superior o igual a tres (Y 3)

(b) Calcular el nmero medio de balanzas con esa condicin. (c) Despus de una remodelacin de dicho mercado, las variables X e Y han sufrido las

siguientes modificaciones: X' = 2

1X + Y' = 2 YCmo se habrn modificado las varianzas y la covarianza?


Tema 6 2/2

4.- En una poblacin se tomaron datos de diferentes caractersticas, siendo dos de ellas: elnmero de hijos y la distancia en Km. desde el domicilio familiar hasta el lugar de trabajo,para las cuales se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias:

DH

0-2 2-4 4-6

0 24 4 81 6 1 22 12 2 4

a) Determinar el porcentaje de casos en los que una familia tiene 2 hijos y vive a ms de 2Km. de su lugar de trabajo

b) Determinar el porcentaje de casos en los que una familia tiene 2 hijos, dado que vive ams de 2 Km. de su lugar de trabajo

c) Determinar la distancia media al lugar de trabajo de las familias con 2 hijosd) Dibujar el histograma para la variable que se considere ms conveniente.e) Determinar el valor de la mediana para ambas variables.f) Estudiar la dispersin absoluta y la dispersin relativa de las dos variables y comentar los

resultados.g) Es independiente la distancia desde el domicilio al lugar de trabajo del nmero de hijos?

5.- Se ha encuestado a 100 familias en una ciudad, sobre su gasto mensual en ocio (Y), y susingresos mensuales (X). Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla, donde losingresos y los gastos estn expresados en miles de pesetas.

YX [0,2] (2,8] (8,20] (20,80]

[60,100] 4 1 1 0(100,150] 9 8 3 0(150,200] 9 12 20 3(200,300] 6 9 12 3

a) Qu porcentaje de las familias con ingresos no superiores a 150000 pesetas, gasta en ocioms de 8000?.

b) Explica cul de las dos distribuciones marginales es ms homognea.c) Razona si X e Y son estadsticamente independientes.d) Cul es el ingreso ms comn?e) Calcula el coeficiente de correlacin lineal entre ambas variables y explica lo que

representa ese valor.f) Determina si es equitativa la distribucin de los ingresos de las familias cuyo gasto en

ocio es superior a 8000 pesetas.g) Obtn los valores que determinan el gasto en ocio del 70% central de las familias cuyos

ingresos no superan las 200000 pesetas


Tema 7 1/4

Tema 7

1.- En un mercado de una ciudad se han observado durante 6 das consecutivos las cantidadesde sardinas vendidas en cientos de Kilogramos (C) y el precio correspondiente en ptas/kg (P).A partir de dichos datos se han elaborado los siguientes resultados:

Cii=1

6 = 21 Pii=1

6 = 840 Ci Pii=1

6 = 2.730 Ci2i=1

6 = 91 Pi2i=1

6 = 120.200Se pide:1.- Calcular a y b en la recta de regresin C*= a + bP.2.- Calcular la varianza de C y su descomposicin en la varianza explicada por la regresin

y varianza residual.3.- Calcular el coeficiente de determinacin .4.- Para un precio de 100 ptas/kg, qu valor estimaras para la cantidad de sardinas

vendidas?

2.- Dada la siguiente tabla, correspondiente a 50 observacionesconjuntas de 2 productos sustitutivos.Se pide:

X = precio del artculo AY = precio del artculo B

(1) Calcular la covarianza y la recta de regresin de Y/X(2) Si los precios hubieran experimentado una variacin del tipo

YX

80 90 96

Y' = 0'8 Y y X' = 10 + 1'1 X, mantenindose la mismadistribucin de frecuencias, cul sera la covarianza entre X'e Y'? y la recta de regresin de Y'/ X'?

607080

73-

8122

288

3.- En una poblacin se ha procedido a realizar 100 observaciones sobre la pareja de variablesX e Y, habindose obtenido los siguientes resultados.

Yi Xi Frecuencias (ni) Se pide:4545656767

1122233344

382101861219616

1.- Estimar los parmetros de la recta de regresin deY/X.

2.- Estimar los parmetros de la recta de regresin deX/Y.

3.- Calcular el coeficiente de determinacin lineal simpleentre X e Y.

4.- Calcular la varianza residual en la regresin de Y/X.5.- Calcular la varianza residual en la regresin de X/Y.6.- Representar grficamente ambas rectas de regresin.

4.- A partir de un conjunto de datos sobre las variables X e Y se ha calculado la regresin deY sobre X, obtenindose los siguientes resultados:

Y* = 10 + 0'45 X R2 = 0'9 y X = 20Estimar los parmetros de la recta de regresin de X sobre Y.


Tema 7 2/4

5.- Para un sector productivo integrado por siete empresas se han obtenido los siguientesestadsticos, referidos a las variables produccin (P) medida en miles de toneladas y empleo(C) medido en cientos de trabajadores.

P = 63'55 C = 46'71 ci pii=1

7 = 5361'06 pi2i=1

7 = 14654'78 ci2i=1

7 = 1976'23Las letras maysculas hacen referencia a valores originales y las letras minsculas adesviaciones respecto a las medias.a) Calcular a y b en la recta de regresin P* = a + bC.b) Representar grficamente dicha funcin.c) Estimar la varianza residual.d) Estimar el coeficiente de determinacin.e) Estimar la productividad marginal del sector por persona empleada.f) Qu productividad media en tm/empleado estimars para una empresa con 10.000 empleados?

6.- Supongamos que despus de un anlisis terico se ha llegado a la conclusin de que elmodelo que relaciona la demanda de un bien (Y) respecto a la renta disponible (X) debe tenerla siguiente especificacin:

Yi = b Xi + eies decir, la relacin es lineal, pero sin trmino independiente. Para su contrastacin se disponede los siguientes datos, observados en 5 familias:

Yi 3 9 11 18 24Xi 10 20 30 40 50

Se pide:(1) Estimar b, por ajuste minimocuadrtico, teniendo en cuenta en el ajuste la restriccin a

priori de que el trmino independiente sea igual a 0.(2) Cuando se introduce esta restriccin en el ajuste, comprobar si se cumple: Y = Y *(3) Comprobar si se cumple: Yi

2 = Yi*2 + ei2(4) Comprobar si se cumple: Yi Y ( ) 2 = Yi* Y *( ) 2 + ei2(5) Calcular, para estudiar la bondad del ajuste, el coeficiente de determinacin segn:

R2 =y*2 y2

y R2 = xy2

x2 y2Se obtienen resultados diferentes? En caso afirmativo, a qu se deben estas discrepancias?

7.- Estudiando el mercado de un cierto producto de consumo se ha reunido la siguienteinformacin sobre los consumidores:

C ( consumo en 104 pts) 1'6 1'7 2'0 2'1 2'2 2'5 2'6R ( renta en 104 pts) 2'0 2'1 2'4 2'4 2'5 2'8 3'0

Ajustar una funcin de consumo potencial del tipo: C* = a Rb


Tema 7 3/4

8.- Tenemos el siguiente conjunto de datos:

Xi 1 1 2 3 3Yi 120 90 85 60 85

Ajustar una funcin exponencial del tipo: Y* = a bX

9.- Sean dos variables X e Y, de las que conocemos x = 5, rxy = 18 , CVy = 0'1, X =15,Y = 40. Se pide la varianza de la variable X - Y.

10.- Suponer que un analista toma una muestra de 100 embarques enviados por camin deuna compaa y registra la distancia en miles de km (D) y el tiempo de entrega en das (T).Realizados unos clculos los resultados obtenidos son los siguientes:

Dii=1

100 =76'2 Tii=1

100 =285 DiTii=1

100 =263'7 Di2i=1

100 =71'043 Ti2i=1

100 =997'5Se pide:(a) Determinar la recta de regresin minimocuadrtica Ti

* = a + b.Di(b) Si se sabe que un embarque registra una distancia de 700 km, qu valor estimaras para

su tiempo de entrega?(c) Calcular el coeficiente de correlacin lineal(d) Calcular el coeficiente de determinacin(e) Estudiar detalladamente la veracidad de las siguientes afirmaciones

(e.1) La relacin entre D y T es creciente porque el coeficiente de determinacin espositivo

(e.2) El 10% de la varianza de la variable T no est explicado por la regresin(e.3) Si un embarque aumenta su distancia en 1.000 km, el tiempo de entrega

incrementa en un 3'58%(e.4) Si se cambian las unidades de medida de la variable distancia, su media no vara(e.5) Si se cambian las unidades de medida de la variable distancia, la fiabilidad de la

regresin no vara

11.- En una empresa se dispone de los siguientes datos sobre los diferentes niveles deproduccin y los costes de produccin unitarios correspondientes a los mismos.

Niveles de produccin (miles de unidades) 1 1,5 1,8 2,1 3Costo unitario (pesetas) 3250 1250 1000 825 450

a) Ajusta a los datos, considerando el coste unitario como variable dependiente, en unmodelo del tipo: XbaY .* = .

b) Determina la bondad de este ajuste. Comenta lo que haces y por qu.c) Cul ser el costo unitario de produccin para un nivel de produccin de 2500

unidades?d) Cul ser el incremento porcentual del costo unitario, para un nivel de produccin de

2000 unidades si este nivel se incrementa en un uno por ciento?


Tema 7 4/4

12.- Dados los siguientes datos sobre los tiempos (en minutos) empleados por 8 trabajadoresen la produccin de un determinado artculo, y el beneficio (en pesetas) obtenido en cadacaso:

Tiempo 10 12 16 20 25 40 60 80Beneficio 80 75 70 65 62 60 55 525

a) Ajusta a estos datos una funcin hiperblica de la forma: XbaY += considerando el

beneficio como variable dependienteb) Determina el beneficio previsto para un trabajador cuyo tiempo es de 3 minutos. Es

fiable este resultadoc) Supongamos que el empleado que tarda 2 minutos tiene un problema fsico y su tiempo

aumenta en un 1%, En qu porcentaje variar el beneficio estimado en su caso?

13.- Despus de realizar un ajuste lineal para estimar los beneficios (B) de un determinadonegocio, en trminos de la inversin realizada (D), utilizando regresin minimocuadrtica, sehan obtenido los siguientes resultados:

DB .9'13'0* += con 158595'02 == DyRa) Determina la recta de regresin que nos indica la cuanta de la inversin para obtener un

determinado beneficio.

b) Para una inversin de 3 unidades, cul ser el beneficio estimado?c) Si la inversin anterior, de 3 unidades, aumenta en un 1%, en qu porcentaje aumentar

el beneficio estimado?


Tema 8 1/4

Tema 8

1.- Las cantidades consumidas y los precios de ciertos productos lcteos son los siguientes:

Precios CantidadesArtculos 1.986 1.987 1.986 1.987LecheQuesoMantequilla

70 pts/l1.000 pts/kg800 pts/kg

75 pts/l1.200 pts/kg820 pts/kg

1.000 l30 kg40 kg

1.000 l40 kg50 kg

Calcular los ndices de precios y cantidades de Laspeyres, Paasche, Edgeword y Fisher conbase 1.986

2.- En unos almacenes, las cifras de ventas anuales para el periodo 1.982/1.986, expresadas enporcentajes, en relacin con las del ao anterior fueron:

Aos It1t

1.9821.9831.9841.9851.986

1181049896

106

Sabiendo que en el ao 1981 las ventas alcanzaron los 1.000millones de pts, determinar:(a) Las cifras de ventas para 1982 a 1986(b) El ndice de ventas con base 1981

3.- Un garaje ha experimentado en los ltimos cuatro meses los siguientes cambios en suclientela:

1er mes 2o mes 3er mes 4o mesC1C2C3

12464536

12662524

13064520

12965530

Siendo: C1 Coches a pupilaje (todo el da)C2 Coches a pupilaje (excepto noches)C3 Coches por aparcamiento (a horas)

Asignando pesos ponderativos de 8 para C1, 4 para C2 y 1 para C3, calcular, con base alltimo mes observado, el ndice de la media aritmtica y el de la media agregativa.

4.- En 1984 la produccin de un mineral creci un 40% sobre la de 1983. En 1985 laproduccin estaba un 20% por debajo de la de 1984, pero un 1667% por encima de la de1986. Determina las relaciones de produccin para los aos, desde 1983 a 1986, tomandocomo base 1986.


Tema 8 2/4

5.- Una magnitud econmica aumenta, entre el ao 0 y el ao 1, en un 30%, entre el ao 1 y elao 2 en un 20% y ha disminuido entre el ao 2 y el ao 3 en un 40%. Obtener la serie denmeros ndices para esta magnitud con base el ao 0.

6.- Las siguientes series corresponden a los beneficios distribuidos por una sociedad y alndice del coste de la vida, con base 1.976.

Ao Beneficiosdistribuidos

Indice del coste de lavida (base 1.976)

1.9801.9811.9821.9831.984

2.634.1253.046.8293.335.6103.886.1844.254.207

170180206219226

Se pide:(1) Supuesto que la frmula del ndice del coste de la vida admita la transferibilidad,

expresar la serie en base 1.980.(2) Presentar los ndices de beneficios con base 1.980, en trminos monetarios y en trminos

reales.

7.- El precio medio de los automviles de menos de 1.200 c.c., as como los ndices deprecios, en el perodo 1980-1986, fueron los siguientes:

Ao Precio(en 105 ptas.)

ndice deprecios

1980198119821983198419851986

7'68'08'59'19'8

11'412'3

110117125132140148155

(a) Realizar un estudio comparativo de los precios de los automviles en trminos constantesde 1980.

(b) Si estos automviles sufren en 1987 un incremento en sus precios, en trminos constantes,del 6%, y el ndice de precios se incrementa en un 5%, Cul sera el valor de un coche enpesetas corrientes de ese ao?

(c) Suponiendo que en 1986 los ndices cumplen la propiedad de reversibilidad de losfactores, y sabiendo que el ndice de valor de 1986 con base en 1980 es 168, quvariacin, para 1986, en % respecto a 1980, se ha producido en la cantidad de coches conmenos de 1200 c.c. que salen al mercado?


Tema 8 3/4

8.- Las tres salas de cine de una empresa presentan, de lunes a domingo, las siguientes cifrasde asistencia en la tercera semana de Septiembre:

Nmero de espectadoresDa Sala 1 Sala 2 Sala 3lunes

martesmircoles

juevesviernessbado

domingo

210320330330420430450

190190220330380400420

110130140140150190230

Expresar, para cada uno de los das de la semana, con base en el domingo:(a) Los ndices de la media agregativa y de la media aritmtica de la asistencia en los tres

cines de la empresa.(b) Si el precio de la entrada es de 300 ptas. en las salas 1 y 3 y de 200 ptas. en la sala 2,

calcular los ndices de recaudacin de la empresa.

9.- El anlago al IPC espaol en un cierto pas es, en 1986, un 8% mayor que en 1985, un12% mayor que en 1984 y un 4% menor que en 1987. Se pide:(a) Calcular la serie de nmeros ndices de precios de 1984 a 1987 con base 1984(b) Si el ndice de valor en 1987 con base 1984 de los artculos que configuran la cesta de la

compra para la realizacin de ese ndice es 108. Calcular, suponiendo que se cumple lapropiedad de reversibilidad de los factores, el porcentaje de variacin de las cantidadesde dichos artculos de 1984 a 1987

(c) Si un individuo cobr en 1984 1.150 u.m. y en 1987 1.300 u.m., crees que dichoindividuo habr ganado poder adquisitivo? por qu?

10.- En la tabla siguiente se dan los salarios anuales en miles de pesetas de cierta categora deempleados, as como los ndices de precios al consumo en el mismo periodo.

Ao IPCbase 79

Salarios (a) (b) (c)

198819891990199119921993

169'2173'8178'6184'7189'8194'7

2.0432.1252.2522.3932.5132.561

Se pide:(a) Calcular los ndices, con base 1988, que miden la variacin de los salarios(b) Calcular los ndices de precios de consumo con base 1988(c) Calcular los salarios en pts constantes de 1988(d) En trminos constantes, cul ha sido la variacin de los salarios de 1992 a 1993?


Tema 8 4/4

11.- Los datos de que disponemos sobre el IPC de un determinado pas, son los siguientes: en1990 era 120; en 1991, 132; en 1992 el incremento anual fue del 9%; en 1993 el incrementofue del 7% y en 1994 fue del 6%.Explicando qu propiedades de los nmeros ndices utilizas, responde a lo siguiente:a) Obtn la serie completa con base en 1990.b) Si un alquiler se pact en 60000 u.m. en el ao 1991 con una clusula de revisin segn el

IPC, cunto se pag en 1992?c) El alquiler pactado en 1991, a qu cantidad equivaldra en el ao 1994?d) Si para los artculos de la cesta de la compra, el ndice de valor para el ao 94 con base en

el ao 92 es 115, Cul ser el ndice de cantidad en el mismo perodo?

12.- La siguiente tabla muestra los ndices de precios en un determinado pas

Ao 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997IPC 1347 1601 1749 1830 1942 2093 2356 2688

a) Obtn la serie de ndices de precios con base en el ao 1990b) Obtn la serie de ndices de precios tomando como base (perodo de referencia) la media

aritmtica de los ndices de los aos 1993 a 1995c) Determina el poder adquisitivo de una unidad monetaria cada uno de los aos de este

perodo (toma como referencia el ao 1990)d) Si en 1990 se hace una inversin de 100u.m. en 1993 otra de 150u.m. y en 1995 otra de

200u.m., a cunto equivale la inversin en trminos monetarios de 1997?


Tema 9 1/2

Tema 9

1.- El n de viajeros que han utilizado el ferrocarril para trasladarse de las ciudades A a Bdurante el periodo 1964/1970 ha sido:

AoSemestre

19640

19651

19662

19673

19684

19695

19706

12

5886

6292

6896

73101

78110

82118

87123

(a) Calcula la tendencia por el mtodo de las medias mviles(b) Con los datos agregados anuales, calcular la ecuacin de la tendencia supuesta sta lineal,

mediante ajuste mnimo cuadrtico. Tambin los valores para los dos semestres de lossiete aos

(c) Supuesto modelo multiplicativo, se ha obtenido que la tabla que contiene lascomponentes estacional e irregular es la siguiente:

AoSemestre

19640

19651

19662

19673

19684

19695

19706

12

-1'1781

0'82121'1720

0'83951'1532

0'85131'1445

0'85011'1579

0'83671'1654

0'8386-

Obtn los ndices de variacin estacional e interprtalos.(d) Cul ser la prediccin para el 2 semestre del ao 1971?

2.- Dada la siguiente tabla cronolgica, halla su tendencia secular por el mtodo de las mediasmviles de orden 3 y por el ajuste a una funcin matemtica temporal. Compara grficamentelos resultados.

ti 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1968 1959 1960Yi 19 21 17 15 14 15 14 12 14 13

3.- En la tabla que sigue se dan las ventas en una industria textil en el periodo 1975/1980:Aos 1975 1976 1977 1978 1979 1980Tendencia 50.000 54.000 58.000 62.000 66.000 70.000

Se pide:(a) Determinar la ecuacin lineal de tendencia anual de esta serie tomando como origen el

ao 1975. Estimar tambin el valor de la tendencia para las ventas en el ao 1982(b) Cambiar el origen de la ecuacin de tendencia de 1975 a 1978 y utilizando la ecuacin

de tendencia modificada estimar las ventas de 1982.(c) Cambiar la ecuacin de tendencia a base mensual con origen enero de 1975 y determinar

el valor de tendencia para los 12 meses de 1982.(d) Suponiendo que el ndice de variacin estacional de junio es 1'2, cul es el valor

esperado de ventas para junio de 1981?


Tema 9 2/2

4.- Se sabe que la variable Y en el tiempo tiene una tendencia lineal, pero de ella slo seconocen los siguientes valores:

Aos 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962Y 4 8 7 10 11 11

Estima los valores desconocidos.

5.- Halla el coeficiente de autocorrelacin de la siguiente serie cronolgica:

t 1 2 3 4 5 6Y 2 0 5 4 2 3

(1) Tomando un retardo de 1 ao(2) Tomando un retardo de 2 aos

6.- La cuanta de las imposiciones a plazo inferior a dos aos en una sucursal de Caja deAhorros es, desde 1973:

Ao t Millonesde pts

197319741975197619771978197919801981198219831984

01234567891011

343537393842464751575560

Se pide:(a) Calcular la ecuacin de tendencia lineal anual.(b) Obtener el valor de tendencia para el segundo semestre y el

segundo cuatrimestre de 1975(c) Sabiendo que el I.P.C. del ao 1983 con base 1973 es 466'4 y

el I.P.C. del ao 1984 con base 1983 es 111'3, obtener lacuanta de las imposiciones a plazo en pesetas constantes de1973 para el ao 1984.

7.- Detallar la validez de las siguientes afirmaciones:

(a) Si el ndice de salarios de 1995 respecto a 1990 es 125, el de 1990 respecto a 1995 es 80(b) Si un ndice de precios industriales, con base 1985, era en 1989 de 128 y en 1995 de 192,

significa que de 1989 a 1995 ha habido un incremento del 64%(c) Si el salario de un individuo en 1992 fue de 3 millones de pts, tuvo un aumento de un 5%

en 1993 y el IPC de 1993 con base 1992 fue 106, el poder adquisitivo del individuodisminuy de 1992 a 1993

(d) Los ndices de Laspeyres, Paasche y Fisher cumplen la propiedad de reversibilidad delos factores

(e) La componente estacional mide la variacin que experimenta la serie a largo plazo

Ejercicios1

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