Ejercicios y Problemas de Matrices
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Ejercicios y problemas de matrices 1 Dadas las matrices: Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; A t . 2 Sean las matrices: Efectuar las siguientes operaciones: (A + B) 2 ; (A - B) 2 ; (B) 3 ; A · B t · C. 3 Dadas las matrices: 1 Justificar si son posibles los siguientes productos: 1 (A t · B ) · C 2 (B · C t ) · A t 2 Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C 3 Determina la dimensión de M para que C t · M sea una matriz cuadrada. 4 Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0 , siendo: 1
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Ejercicios y problemas de matrices
1Dadas las matrices:
Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A; A t.
2Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones:
(A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A · B t ·
C.
3Dadas las matrices:
1 Justificar si son posibles los siguientes productos:
1(A t · B ) · C
2(B · C t ) · A t
2Determinar la dimensión de M para que pueda
efectuarse el producto A · M · C
3Determina la dimensión de M para que C t · M sea
una matriz cuadrada.
4 Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0 , siendo:
5Sea A la matriz . Hallar An , para
n
1
6Por qué matriz hay que premultiplicar la
matriz para que resulte la matriz .
7Hallar todas las matrices que conmuten con la
matriz:
8Calcular la matriz
inversa de:
9Calcular la matriz inversa de:
10Calcular el rango de la matriz siguiente:
11Hallar el rango de la matriz siguiente:
12Calcular el rango de la matriz siguiente:
13Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
2
14Siendo:
Resolver la ecuación matricial:
A X + 2 B = 3 C
15Resolver; en forma matricial, el sistema:
16Obtener las matrices A y B que verifiquen el
sistema:
17Una empresa de muebles fabrica tres
modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los
tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente
1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo
A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000
grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería
grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada
estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes,
en cualquiera de los tres modelos.
1Representar esta información en dos
matrices.
2Hallar una matriz que represente la cantidad
de tornillos y de soportes necesarios para la
producción diaria de cada uno de los seis modelos-
tamaño de estantería.
18Una fábrica produce dos modelos de
lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S.
Produce del modelo A: 400 unidades en la
3
terminación N, 200 unidades en la terminación L y
50 unidades en la terminación S. Produce del
modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100
unidades en la terminación L y 30 unidades en la
terminación S. La terminación N lleva 25 horas de
taller y 1 hora de administración. La terminación L
lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de
administración. La terminación S lleva 33 horas de
taller y 1.3 horas de administración.
1.Representar la información en dos matrices.
2.Hallar una matriz que exprese las horas de
taller y de administración empleadas para cada uno
de los modelos.
Solucionario:
1.- Dadas las matrices:
Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A; A t.
4
2.- Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones:
(A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A · B t ·
C.
3.- Dadas las matrices:
1 Justificar si son posibles los siguientes productos:
5
1(A t · B ) · C
(A t3 x 2 · B2 x 2 ) · C3 x 2 = (A t · B )3 x 2 · C3
x 2
No se puede efectuar el producto
porque el número de columnas de
(A t · B ) no coincide con el nº de fi las de C.
2(B · C t ) · A t
(B2 x 2 · C t2 x 3 ) · A t
3 x 2 = (B · C ) 2 x 3 · A t3
x 2 =
=(B · C t · A t ) 2 x 2
2Determinar la dimensión de M para que pueda
efectuarse el producto A · M · C
A3 x 2 · Mm x n · C3 x 2 m = 2
3Determina la dimensión de M para que C t · M sea
una matriz cuadrada.
C t2 x 3 · Mm x n m = 3
n = 3
4.- Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0 , siendo:
5.- Sea A la matriz . Hallar An , para n
6
6.- Por qué matriz hay que premultiplicar la
matriz para que resulte la
matriz .
7.- Hallar todas las matrices que conmuten con la
matriz:
8.- Calcular la matriz inversa de:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
7
2 Util izar el método Gauss para transformar la
mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que
resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A -1.
F2 - F1
F2 - F3
(-1) F2
9.- Calcular la matriz inversa de:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Util izar el método Gauss para transformar la
mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que
resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A -1.
8
10.- Calcular el rango de la matriz siguiente:
F1 - 2 F2
F3 - 3 F2
F3 + 2 F1
Por tanto r(A) =2.
11.- Hallar el rango de la matriz siguiente:
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
12.- Calcular el rango de la matriz siguiente:
9
F2 = F2 - 3F1
F3= F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3 .
13.- Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
10
14.- Siendo:
Resolver la ecuación matricial:
11
15.- Resolver; en forma matricial, el sistema:
12
16.- Obtener las matrices A y B que verifiquen el
sistema:
Multiplicamos la segunda ecuación por -2
Sumamos miembro a miembro
Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y
sumamos miembro a miembro obtenemos:
17.- Una empresa de muebles fabrica tres
modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los
tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente
1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo
A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000
grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería
grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada
13
estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes,
en cualquiera de los tres modelos.
1Representar esta información en dos
matrices.
Filas: Modelos A, B, C
Columnas: Tipos G, P
Matriz de los elementos de las estanterías:
Filas: Tipos G, P Columnas: T, S
2Hallar una matriz que represente la cantidad
de tornillos y de soportes necesarios para la
producción diaria de cada uno de los seis modelos-
tamaño de estantería.
Matriz que expresa el número de tornil los y
soportes para cada modelo de estantería:
18.- Una fábrica produce dos modelos de
lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S.
Produce del modelo A: 400 unidades en la
terminación N, 200 unidades en la terminación L y
50 unidades en la terminación S. Produce del
modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100
unidades en la terminación L y 30 unidades en la
terminación S. La terminación N lleva 25 horas de
taller y 1 hora de administración. La terminación L
lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de
administración. La terminación S lleva 33 horas de
taller y 1.3 horas de administración.
1.Representar la información en dos matrices.
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Matriz de producción:
Filas: Modelos A y B
Columnas: Terminaciones N, L, S
Matriz de coste en horas:
Filas: Terminaciones N, L,
S Columnas: Coste en horas: T, A
2.Hallar una matriz que exprese las horas de
taller y de administración empleadas para cada uno
de los modelos.
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