Ejercicios tipiados de cálculo I Libro de Eduardo Espinosa

1.- Sif (X )= 1

√x encontrar la derivada de fI (X )x

Solución

f l(X )=limΔx→ o

1

√x+Δx− 1

√ xΔx

= limΔx→ o

√ x−√x+Δx√x √x+ΔxΔx

=limΔx→ o

−1√ x√ x+Δx(√ x+√x+Δx )

= −12x √x

2.-si f(x)=xx2

, calcular fl(X )

3.-si f(x)= cosx, calcularfl(X )

f l(X )=limΔx→0

f ( x+Δx )Δx

=limΔx→o

cos( x+Δx )−cos xΔx

¿ limΔx→0

cos xcox Δx−senx . sen Δx−cos xΔx

=limΔx→0

[−senx .sen ΔxΔx

−cos x(1cos−Δx )Δx

]

¿−senx limΔx→o

sen ΔxΔx

−cos x limΔx→o

1+−cos ΔxΔx

=−senx (1 )−cos (0 )=senx−0=−senx

∴ f l( x )=−senx

4.-Si f(X)=ex, calcular f

l(X )

f l=limΔx→o

f ( x+Δx )−f (X )Δx

=limΔx→0

ex+Δx−ex

Δx=lim

Δx→0

ex eΔx−ex

Δx

¿ex . limΔx→0

eΔx

−1Δx

=e x . ln e=ex

f l=limΔx→0

f ( x+Δx )Δx

=limΔx→0

( x+Δx )2−x2

Δx=lim

Δx→0

x2+2x . Δx+Δx2−x2

Δx

¿ limΔx→0

2 x . Δx+Δx2

Δx=lim

Δx→0(2x+Δx )=2 x+0=2 x

5.-Calcular fl(−1)sif ( x )=8−2 x

3

Por la definición se tienef l(X )=lim

Δx→0

f (−1+Δx)−f (−1)Δx

f l(−1)=limΔx→0

(8−2(−1+Δx)3 )−(8−2(−1 )3 )Δx

¿ limΔx→o

8−2 Δx3+6 Δx2−6 Δx+2−8−2Δx

=limΔx→0

−2 Δx2+6 Δx−6=−6

6.- Hallar una ecuación de la tangente encuentre la ecuación de la recta

tangente a la parábolay=x2 en el punto p(1 .1 ).

Solución

Aquí tenemos a=1 yf ( x )=x2, de modo que la pendiente es:

m=limx→1

f ( x )−f (1)x−1

=limx→1

x2−1x−1

=limx→1

( x−1)( x+1)x−1

=limx→1

( x+1)=1+1=2

7.- Sif ( x )=x2, encuentre la derivada de f ' (X)

Solución:

´ f ' (a )=limx→a

x2−a2

x−a

f ' (a )=limx→a

( x+a)=2a

8.- Sig( x )=x3−3 x , encuentre g '(2 ).

Solución:

g '(2 )limx→2

(x3−3 x )−(23−3 .2 )x−2

Por algebra.

=( x3−3 x )−(23−3.2 )

x−2

=( x3−23 )−3 (x−2)

x−2

=x2+2x+5−3 [ x3−8=( x−2 )( x2+2x+4 ) . ]Por consiguiente

g '(2 )limx→2

( x2+2 x+1 )

=22+2 .2+1

=9.

9.- Si f ( x )=1/ x . entonces f ' ( x )

Solución

f ' ( x )=limh→ 0

1/( x+h )−1/ xh

=lim

h→0

x−( x+h)hx ( x+h)

=lim

h→0

−1x ( x+h )

=− 1

x2

10.- Encuentre D x√x .

Solución:

D x√x=limh→0

√x+h−√xh

Si “racionalizando” el numerador, obtenemos

D x√x=limh→0

(√x+h−√ x )(√ x+h+√x )h(√ x+h+√x )

=lim

h→0

( x+h )−xh (√x+h−√ x )

=lim

h→0

1

√x+h+√ x=12√ x

11.- Encuentre D .( x3−x )(x3+x ).

Solución:

Se nos pide encontrar D [ f ( x )g( x ) ] .donde

f ( x )=x3−x , g( x )=x3+x

D x [( x3−x )( x3+x )]=( x3−x )D x( x3+ x )+( x3+x )D x( x

3−x )

=( x3−x )(3x2+1 )+( x3+x )(3x2−1)

=6 x5−2 x

pag:121

12.- Hallar. D x [√x ( x2−3) ]

Solución:

D x [√x ( x2−3) ]=√x D x( x2−3 )+( x2−3 )D x√x

=√x ( x )+( x2−3 ) 1

2√x

=5 x

2−3√x

13.- hallar la derivada f,( x ) si la función f ( x ) es:

f ( x )=x7+x5+1

x3+4 x

solucion

f ( x )=x7+x5+1x3

+4 x=x7+x5+ x−3+4 x

f ,( x )=7 x6+5 x4−3 x−4+4=7 x6+5 x4−3x4

+4

∴ f ,( x )=7 x6+5x 4−3x4

+4

14.- f ( x )=(x5+2x )(x3+x2+x+7 )

solucionf ,( x )=( x5+2x ), .( x3+x2+x+7 )+( x5+2 x ) .( x3+x2+x+7 ),

¿(5 x4+2) .( x3+x2+x+7 )+( x5+2x ) .(3 x2+2x+1 )¿8 x7+7 x6+6 x5+35 x4+8 x3+6 x2+4 x+14

15.-

f ( x )= x3+2 x2+7x4+x3+x

solucion

f ,( x )=( x 4+x3+x ).( x3+2x2+7 )−( x3+2 x2+7 ).( x4+x3+x )'

( x 4+x3+x )2

¿( x4+x3+x ).(3 x2+4 x )−( x3+2 x2+7 ).( 4 x3+3 x2+1)( x4+x3+x )2

¿−x6+4 x5+2 x4+26 x3+19 x2+7

( x 4+x3+x )2

16.- hallar

dydxsi :

y=ex2+x

solucion

y=ex2+x⇒dy

dx=e x

2+x dydx

( x2+x )=(2 x+1)ex2+ x

17.- y=5x

2+ x2

solucion

y=5x3+ x⇒dy

dx=5x

3+x2ddx

( x3+x2) ln 5⇒dydx

=(3 x2+2 x ) ln 5.5x3−x2

18.- y=ln [ a+x+√ x2+2ax ]

solucion

dydx

=Dx(a+ x+√x2+2ax )a+x+√ x2+2ax

=1+x+a

√ x2+2axa+ x+√x2+2ax

=a+x+√ x2+2ax(a+x+√x2+2ax )√ x2+2ax

∴dydx

=1

√ x2+2ax

19.-Hallar

dydxsi :

y=sen (x2+ex )soluciondydx

=cos (x2+ex )Dx( x2+ex )=(2 x+ex ). cos ( x2+ex )

20.- y=tg( senx+cos x )

soluciondydx

=sec2( senx+cos x ) .D x( senx+cos x )=(cos x−senx )sec2 (senx+cos )

y=cos( senx+x2)

soluciondydx

=sec2( sen+cos x ).D x(senx+x2 )=−(cos+2x ) . sen (senx+x2 )

21.-y=ctg(ex ln x )

soluciondydx

−cosec 2 (ex+ ln x )D x(ex+ ln x )=−(ex+1

x)cosec2 (e x+ln x )

22.-y=arc .tg √4 x2−1solucion

y=arc .tg√4 x2−1⇒dydx

D x√4 x2−11+(√4 x2−1)2

=

4 x

√4 x2−11+4 x2−1

dydx

=4 x4 x2√4 x2−1

=1x√4 x2−1

23.- y=arcsenex+arcsen√1−e2 x

solucion

y=arcsenex+arcsen√1−e2 x ,derivando :

dydx

=D x(e

x )

√1−e2 x+D x(√1−e2 x )√1−(√1−e2 x)2

=ex

√1−e2 x−

e2 x

√1−e2 x√1−1+e2 x

dydx

=ex

√1−e2 x−e

2 x

ex√1−e2 x=e

x

√1−e2 x−e

x

√1−e2 x=0⇒dy

dx=0

24.- y=arc . sen ( ln x )

solucion

y=arc . sen ( ln x )⇒dydx

=D x( ln x )

√1−ln2 x=1x √1−ln2 x

25.-y=arc .tg ( xsenα

1−x cosα)

solucion

y=arc .tg ( xsen α1− xcos α

)⇒dydx

=D x(

xsen α1−xcos α

)

1+( xsenα1−x cosα

)2

dydx

=

(1−cosα )( xsenα )'−( xsenα )(1−xcos α )(1−x cos α)2

(1−x cos α)2+x2sen2 α(1−x cos α)2

=(1−xcos α )senα+xsenα+xsenα cosα1−2x cosα+x2cos2 α+x2sen 2α

¿ senα1−2 x cosα+ x2

∴dydx

=senα1−2 x cosα+ x2

Ahora derivando implícitamente se tiene

y ,

y=senx .D x( ln( x

2+1))+ ln( x2+1 )D x( senx)⇒ y ´= y [ senx .2 xx2+1

+cos x . ln( x2+1 ) ]

dydx

=( x2+1 )senx (2xsenxx2+1

+cos x . ln( x2+1 ))

dydx

=( x2+1 )senx−12 xsenx+( x2+1 )senxcos x ln (x2+1)

26.-

hallardydxsiy=xcos x

solucion

Tomando logaritmo en la ecuación y=xcos x

ln y=ln xcos x=cos x ln x Derivando implícitamente

y´,

y=cos x .D x(cos x )

De donde

y ,= y [cos xx

−ln xsenx ]=xcos x [cos xx

−ln xsenx ]

∴ dydx

=xcos x [cos xx

−ln x . senx ]

27.-hallar

dydx si y=x

ln x

solucion

Tomando logaritmo en y=xln x

ln y=ln( x ln x)=ln . ln xDerivando implícitamente:

y ,

y=2 ln x

x⇒ y ,=2 y ln x

x=2 x ln x ln x

x

∴ dydx

=2 x ln x−1 . ln x

28.- hallar

dydx si x

y= y x

Tomando logaritmo a ambos miembros ln xy=ln y x

Aplicando propiedad de logaritmo y ln x=ln y derivando implícitamente

y , ln x+ yx=ln y+ x

yy ,

De donde ( ln x− x

y) y ,=ln y− y

x

y ln x− xy

. y ,= x ln y− yx

⇒ y ,= yx( x ln y− yy ln x−x

)

∴ dydx

= yx( x ln y− yy ln x−x

)

29.-hallar

dydx si

y= x2√ x+1( x−1)3 5√5 x−1

solucion

Tomando logaritmo y aplicando sus propiedades de derivación:

ln y=ln( x2√ x+1

( x−1)3 5√5 x−1=ln x 2√x+1−ln((x−1)3 5√5 x−1)

ln y=ln x2+ln√ x+1−ln( x−1 )3−ln 5√5x−1ln y=2 ln x+

12ln (x+1 )−3 ln( x−1 )−

15ln(5 x−1 )

y ,

y=2x

+12 (x+1 )

−3x−1

−15(5 x−1)

dondey.= y [2x

+12( x+1)

−3x−1

−15 (5x−1 )

]

dydx

=x2√x+1

( x−1 )3 5√5 x−1[2x

+12( x+1)

−3x−1

−15 (5x−|)

]

30.-En los siguientes ejercicios hallar

dydx si:

y= senx−cos xsenx+cos x SOLUCIÓN

dydx

=( senx+cos x )D x(senx−cos x )−( senx−cos x )D x( senx+cos x )( senx+cos x )

¿( senx+cos x )(cos x+senx )−( senx−cos x )(cos x−senx )( senx+cos x )2

¿( senx+cos x )2+( senx−cos x )2

( senx+cos x )2

¿ sen2 x+cos2 x+2 senx cos x+sen2 x+cos2 x−2 senx cos x

( senx+cos x )2

¿2( sen2 x+cos2 x )( senx+cos x )2

=2(senx+cos x )2

∴dydx

=2(senx+cos x )2