Capítulo 1 Ejercicios Cálculo

CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. THOMAS. 11 ED.

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EJERCICIOS 1.1

Representacin Decimal

1. Expresar 1/9 como repeticin decimal, usando una barra para indicar los dgitos repetidos. Cules sern las

representaciones decimales de de 2/9? 3/9? 8/9? 9/9?

Solucin

De este modo realizamos la operacin: 1/9=0.111111. Usando la barra para dgitos repetidos: 1/9=0.111

De igual forma para 2/9=0.2222222. Usando la barra para dgitos repetidos: 2/9=0.222

3/9=0.333333. Usando la barra para dgitos repetidos: 3/9=0.333



2. Expresar 1/11 como repeticin decimal, utilizando la barra como indicador de los dgitos repetidos. Cules sern las

representaciones decimales de 2/11? 3/11? 9/11? 11/11?

Solucin

Realizando la operacin: 1/11= 0.090909. Usando la barra para dgitos repetidos 1/11=0.09

Realizando la operacin: 2/11=0.18181818. Usando la barra para dgitos repetidos 2/11=0.18

De igual forma para 3/11=0.272727. Usando la barra para dgitos repetidos 3/11=0.27

9/11=0.81818182. Usando la barra para dgitos repetidos 9/11= 0.81

11/11=1.000000. Usando la barra para dgitos repetidos 11/11=1.00

Desigualdades

3. Si 2 < x < 6, Cules de los siguientes argumentos con respecto a x es necesariamente verdadero, y cules no lo

son?

a. 0 < x < 4 b. 0 < x-2 < 4 c. 1 < (x/2) < 3 d. (1/6) < (1/x) < (1/2) e. 1 < (6/x) < 3

f. x-4 < 2 g. -6 < -x < 2 h. -6 < -x < -2

Solucin

Tenemos que la desigualdad que tenemos como referencia es: 2 < x < 6. Luego considerando el conjunto solucin de

esta desigualdad es el intervalo abierto (2,6). Para la se

Para a. 0 < x < 4. El conjunto solucin de esta desigualdad es intervalo abierto (0,4). De este modo vemos que como el

conjunto solucin de la desigualdad expresada en el inciso (a), no es necesariamente verdadero la expresin de esta

desigualdad, con respecto a la desigualdad que se nos da como referencia, solo los valores de 2 hasta 4 del conjunto

solucin de la desigualdad 0 < x < 4, cumplen con el conjunto solucin de la desigualdad 2 < x < 6. Por lo que se

determina que la desigualdad 0 < x < 4 no es necesariamente es verdadera para la variable x condicionada por la

desigualdad de referencia: 2 < x < 6.


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Para b. 0 < x-2 < 4, procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma ya

sea trabajando independientemente cada elemento de la desigualdad es decir 0 < x-2 y x-2< 4, o trabajndolo como

conjunto 0 < x-2 < 4, tenemos: 0 +(2) < x-2+(2) < 4+ (2) 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de

referencia para determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad 0 < x-2 < 4, es

necesariamente verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.

Para c. 1 < (x/2) < 3, procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que

tendremos 1*(2) < (x/2)*(2) < 3*(2) 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de referencia para

determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad 1 < (x/2) < 3, es necesariamente

verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.

Para d. (1/6) < (1/x) < (1/2), procederemos a dejar solo a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma

que ahora para mayor comodidad tratamos separadamente, cada parte de la desigualdad, es decir (1/6)


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-6* (-1) > -x* (-1) > 2* (-1)

6 > x > -2, ahora tratando por separado cada miembro de la desigualdad:

6 > x x > -2

-x > -6 x > -2

x < 6 x > -2

De este modo el conjunto solucin de esta desigualdad -6 < -x < 2, es intervalo abierto (-2,6) De este modo vemos que

como el conjunto solucin de la desigualdad expresada en el inciso (g), no es necesariamente verdadero la expresin

de esta desigualdad, con respecto a la desigualdad que se nos da como referencia, solo los valores de 2 hasta 6 del

conjunto solucin de la desigualdad -6 < -x < 2, cumplen con el conjunto solucin de la desigualdad 2 < x < 6. Por lo

que se determina que la desigualdad -6 < -x < 2 no es necesariamente es verdadera para la variable x condicionada por

la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.

Para h. -6 < -x < -2, procedemos primero a que x tenga un valor positivo, De tal forma que tenemos:

-6 *(-1) > -x* (-1) > -2* (-1)

6 > x > 2, ahora tratando por separado cada miembro de la desigualdad, para poder hacer que tome una forma ms

simple

6 > x x > 2

-x > -6 -2 > -x

x < 6 2 < x

De tal forma que la desigualdad -6 < -x < -2, es igual a la desigualdad 2 < x < 6, que es exactamente la expresin que

tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable x. Con lo que se determina la desigualdad -6 < -x < -

2, es necesariamente verdadera para la variable x condicionada por la desigualdad de referencia: 2 < x < 6.

4. Si -1 < y-5 < 1, Cul de las siguientes sentencias acerca de y son necesariamente verdaderas, y cules

necesariamente no verdaderas?

a. 4 < y < 6 b. -6 < y < -4 c. y > 4 d. y < 6 e. 0 < y-4 < 2 f. 2 < (y/2) < 3

g. (1/6) < (1/y) < (1/4) h. y-5 < 1

Solucin

Primero procederemos a simplificar o modificar la desigualdad que se tiene como referencia: -1 < y-5 < 1, a fin de poder

determinar su conjunto solucin, de tal modo que la variable y, no tenga ningn otro trmino que lo acompae: -1 +(5) <

y-5 + (5) < 1 + (5) 4 < y < 6 . De tal forma que el conjunto solucin para esta desigualdad es el intervalo abierto (4,6).

Ya analizada la desigualdad de referencia se procede a evaluar las desigualdades que pide el problema:

Para a. 4 < y < 6, vemos que es exactamente igual a la desigualdad -1 < y-5 < 1 o su equivalente dejando solo el

trmino y: 4 < y < 6. Por lo que podemos deducir que la desigualdad 4 < y < 6, es necesariamente verdadera para la

variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.

Para b. -6 < y < -4, como podemos ver el conjunto solucin para esta desigualdad es el intervalo abierto (-6,-4), este

intervalo no tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6). Por lo que


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podemos afirmar que la desigualdad -6 < y < -4, no es verdaderamente necesaria con respecto a la variable y

condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.

Para c. y > 4, se determina que el conjunto solucin de esta desigualdad es el intervalo abierto (4, ), este intervalo slo

tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6), que son los valores

comprendidos de 4 hasta 6. Por lo que podemos afirmar que la desigualdad y > 4, es verdaderamente necesaria con

respecto a la variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.

Para d. y < 6, se determina el conjunto solucin de esta desigualdad es el intervalo abierto (- ,6), este intervalo slo

tiene elementos comunes con el conjunto solucin de la desigualdad de referencia (4,6), que son los valores

comprendidos de 4 hasta 6. Por lo que podemos afirmar que la desigualdad y < 6, es verdaderamente necesaria con

respecto a la variable y condicionada por la desigualdad -1 < y-5 < 1.

Para e. 0 < y-4 < 2, procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que

tendremos 0 + (4) < y-4 + (4) < 2+ (4) 4 < y < 6, que es exactamente la expresin que tenemos de referencia para

determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad 0 < y-4 < 2, es necesariamente

verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 < 1.

Para f. 2 < (y/2) < 3, procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma que

ahora para mayor comodidad tratamos en conjunto esta desigualdad: 2*(2) < (y/2)*(2) < 3* (2) 4 < y < 6, que es

exactamente la expresin que tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se

determina la desigualdad 2 < (y/2) < 3, es necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad

de referencia: -1 < y-5 < 1.

Para g. (1/6) < (1/y) < (1/4), procederemos a dejar solo a la variable y, sin ningn otro trmino junto a este. De tal

forma que ahora para mayor comodidad tratamos separadamente, cada parte de la desigualdad, es decir

(1/6) < (1/y) (1/y) < (1/4)

(1/6)* (y) < (1/y)* (y) (1/y)* (y) < (1/4)* (y)

(y/6)*(6) < (1)* (6) (1)* (4) < (y/4)* (4)

y < 6 4 < y

De tal forma que la desigualdad (1/6) < (1/y) < (1/4) es igual a la desigualdad 4 < y < 6. que es exactamente la expresin

que tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad (1/6) <

(1/y) < (1/4), es necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 <

1.

Para h. y-5 < 1, procedemos a utilizar las propiedades del valor absoluto de tal forma tenemos que si empleamos la

propiedad 6, que indica que x < a , si y solo si -a < x < a, del tal forma tenemos: -1< y-5 < 1, procederemos a dejar solo

a la variable x, sin ningn otro trmino junto a este. De tal forma

-1 + (5) < y-5 + (5) < 1 + (5)

4 < y < 6

De tal forma que la desigualdad y-5 < 1, es igual a la desigualdad 4 < y < 6, que es exactamente la expresin que

tenemos de referencia para determinar la condicin de la variable y. Con lo que se determina la desigualdad y-5 < 1 es

necesariamente verdadera para la variable y condicionada por la desigualdad de referencia: -1 < y-5 < 1.

En los ejercicios 5 al 12, resolver las desigualdades y mostrar el conjunto solucin en la lnea real.


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5. -2x> 4

Solucin

-2x * (-1/2) < 4* (-1/2) x < -2. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- ,-2)

6. 8-3x 5

Solucin

8-3x (8) 5 (8) -3x * (-1/3) (-3) * (-1/3) x 1. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente abierto por la

izquierda (- ,1].

7. 5x -3 7 3x

Solucin

5x -3 + (3) + (x) 7 + (3) 3 x+ (x) 8x* (1/8) 10 * (1/8) x 5/4. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente

abierto (- , 5/4].

8. 3 (2 x) > 2 (3 + x)

Solucin

6-3x > 6+2x 6-(6) > 2x +3x 0 > 5x 0 > x x < 0. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- ,0)

9. 2x (1/2) 7x + (7/6)

Solucin

-2 -3 0

1 0 2

5/4 1 0

0 -1 -2


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2x-7x (7/6) + (1/2) -5x 5/3 x (-5/15) x - 1/3. El conjunto solucin es el intervalo parcialmente abierto (- ,

-1/3]

10. (6-x)/4 < (3x-4)/2

Solucin

2 (6-x) < 4 (3x-4) 12- 2x < 12x -16 28 < 14 x 28/14 < x x > 2. El conjunto solucin es el intervalo abierto

(9/7, )

11. (4/5) (x-2) < (1/3) (x-6)

Solucin

12 (x-2) < 5 (x-6) 12x-24 < 5x-30 7x < -6 x < -6/7. El conjunto solucin es el intervalo abierto (- , -6/7)

12. (x+5)/2 (12+3x)/4

Solucin

-4 (x+5) 2 (12+3x) -2 (x+5) 12+3x -2x-10 12+3x -5x 22 x -22/5. El conjunto solucin es el intervalo

parcialmente abierto [-22/5, )

0 -1 -1/3

1 2 3

-1 -6/7 0

-22/5 -4 -3


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Valor Absoluto

Resolver las desigualdades en los ejercicios 13 al 18.

13. y =3

Solucin

Utilizando el enunciado nmero 5 para valor absoluto: x =a, si y slo s x= a. de este modo tenemos que el valor que

cumple con la definicin de valor absoluto es:

y=3 y =-3. Por lo que la solucin a la ecuacin y =3, es y=-3 e y=3

14. y-3 =7

Solucin



y-3=7 y-3=-7

y=10 y=-4. Por lo que la solucin a la ecuacin y-3 =7, es y=10 e y=-4

15. 2t+5 =4.

Solucin



2t+5=4 2t+5=-4

2t=1 2t=-9

t=1/2 t=-9/2. Por lo que la solucin a la ecuacin 2t+5 =4, es t=1/2 y t=-9/2

16. 1-t =1

Solucin



1-t=1 1-t=-1

-t=0 -t=-2

t=0 t=2. La solucin a la ecuacin 1-t =1, es t=0 y t=2

17. 8-3s =9/2

Solucin


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8-3s=9/2 8-3s=-9/2

-3s=(9/2)-8 -3s=-(9/2)-8

3s=8-(9/2) 3s=8+(9/2)

3s=7/2 3s=25/2

s=7/6 s=25/6. La solucin a la ecuacin 8-3s =9/2, es s=7/6 y s=25/6

18. (s/2)-1 =1

Solucin



(s/2)-1=1 (s/2)-1=-1

(s/2)=2 (s/2)=0

s=4 s=0. La solucin a la ecuacin (s/2)-1 =1, es s=4 y s=0

Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19 al 34, expresando el conjunto solucin como un intervalo o unin de

intervalos. Tambin, muestre cada solucin en la recta real.

19. x


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21. t-1 3

Solucin

Utilizando la propiedad 8 del valor absoluto que indica que x a, si y solo si -a x a. De tal forma tenemos:

-3 t-1 3, de esta forma tratamos de dejar la variable t sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que procedemos

de la siguiente manera:

-3+1 t-1+1 3+1 -2 t 4. Por lo que el conjunto solucin para la desigualdad es el intervalo cerrado [-2,4]

22. t+2 < 1

Solucin

Usando la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:

-1 < t+2 < 1 , de esta forma tratamos de dejar la variable t sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que

procedemos de la siguiente manera:

-1-2 < t+2-2 < 1-2 -3 < t < -1. Por lo que el conjunto solucin para esta desigualdad t+2 < 1, es el intervalo abierto (-

3, -1)

23. 3y-7


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24. 2y+5


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27. 3-(1/x) < 1/2

Solucin


-1/2 < 3-(1/x) < 1/2, de esta forma tratamos de dejar la variable x sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que


(-1/2)-3 < 3-(1/x)-3 < (1/2)-3 (-7/2)*(-1) > (-1/x)*(-1) > (-5/2)*(-1) (7/2) > (1/x) > (5/2), ahora para poder quitar como

denominador en la desigualdad, procederemos a tomar o analizar a la desigualdad considerando cada uno de los

elementos que la componen por separado, de esta forma tenemos:

(7/2) > (1/x) (1/x) > (5/2)

x > 2/7 2/7 < x 2/5 > x x< 2/5

Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad 3-(1/x) < 1/2, comprende el intervalo abierto (2/7, 2/5)

28. (2/x)-4 < 3

Solucin


-3 < (2/x)-4 < 3, de esta forma tratamos de dejar la variable x sola, sin ningn factor que la acompae, por lo que


-3+4 < (2/x)-4+4 < 3+4 1* (1/2) < (2/x)*(1/2) < 7*(1/2) (1/2) < (1/x) < (7/2), ahora para poder quitar como

denominador en la desigualdad, procederemos a tomar o analizar a la desigualdad considerando cada uno de los

elementos que la componen por separado, de esta forma tenemos:

(1/2) < (1/x) (1/x) < (7/2)

x < 2 2/7 < x

Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad (2/x)-4 < 3, comprende el intervalo abierto (2/7, 2)

29. 2s 4

Solucin

2/5 2/7

x

2 2/7

x


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Usando la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:

2s 4 2s -4

s 2 s -2

De este modo el conjunto solucin de esta desigualdad 2s 4, est compuesto por la unin de los intervalos

parcialmente abiertos (- ,-2] [2, )

30. s + 3 1/2

Solucin


s + 3 1/2 s + 3 -1/2

s (1/2) 3 s (-1/2) 3

s -5/2 s -7/2

El conjunto solucin de esta desigualdad s + 3 1/2 est compuesto por la unin de los intervalos parcialmente

abiertos (- , -7/2] [-5/2, )

31. 1-x > 1

Solucin

Usando la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a, tenemos:

1- x > 1 1-x < -1

-x > 0 -x < -2

x < 0 x > 2

El conjunto solucin para esta desigualdad 1-x > 1, es la unin de los intervalos abiertos (- ,0) (2, )

2 -2

s

-5/2 -7/2

s

-5/2 -7/2

x


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32. 2 3x > 5

Solucin

Usando la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a, tenemos:

2 3x > 5 2 3x < -5

-3x > 3 -3x < -7

x < -1 x > 7/3

El conjunto solucin para esta desigualdad 2 3x > 5, es la unin de los intervalos abiertos (- ,-1) (7/3, )

33. (r+1)/2 1

Solucin


(r + 1)/2 1 (r + 1)/2 -1

r +1 2 r + 1 -2

r 1 r -3

El conjunto solucin para esta desigualdad (r+1)/2 1, es la unin de los intervalos parcialmente abiertos (- ,-3] [1, )

34. (3 r/5)-1 > 2/5

Solucin


( 3 r/ 5) -1 > 2/5 ( 3 r/ 5) -1 < -2/5

(3 r/5) > (2/5) + 1 (3 r/5) < (-2/5) + 1

(3 r/5)* (5/3) > (7/5) * (5/3) (3 r/5) * (5/3) < (3/5) * (5/3)

r > (7/3) r < 1

El conjunto solucin para esta desigualdad (3 r/5)-1 > 2/5, es la unin de los intervalos abiertos (- ,1) (7/3, )

7/3 -1

x

1 -3

r


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Desigualdades Cuadrticas

Resolver las desigualdades en los ejercicios 35 al 42. Expresar el conjunto solucin como un intervalos o unin de

intervalos y mostrarlos sobre la lnea real. Utilizar el resultado = a cuando sea apropiado.

35. x2


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2 < x x < 3

x > 2 x < 3

Para la desigualdad x > 2, usamos la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -a,

tenemos:

x > 2 x < -2 , por lo que para esta parte de la desigualdad x > 2 o 2 < x , el conjunto solucin es la unin de los

intervalos abiertos (- , -2) (2, )

Para la parte de la desigualdad x < 3, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a <

x < a, tenemos:

-3 < x < 3, por lo que el conjunto solucin para esta parte de la desigualdad x < 3, es el intervalo abierto (-3,3).

De tal forma que para poder obtener el conjunto solucin de la desigualdad 4 < x2 < 9, debemos encontrar los elementos

comunes o la interseccin de los conjuntos solucin de las desigualdades de 2 < x y de x < 3, es decir:

((- , -2) (2, )) (-3,3), que es el conjunto solucin conformado por el intervalo abierto (-3,2) (2,3)

38. (1/9) < x2 < (1/4)

Solucin

Usando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:

(1/9) < x2 < (1/4) (1/3) < x < (1/2), luego tratamos por separado cada elemento que conforma la desigualdad, a fin

de poder resolver de una manera ms fcil la desigualdad.

1/3 < x x < 1/2

x > 1/3 x > 1/2

Para la desigualdad x > 1/3, usamos la propiedad del valor absoluto 7, que indica que: x > a, si y solo si x > a o x < -

a, tenemos:

x > 1/3 x < -1/3, por lo que el conjunto solucin para la desigualdad 1/3 < x , es la unin de los intervalos abiertos (-

,-1/3) (1/3, ).

3 -3

2 -2

-3 -2 2 3

x


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Para la desigualdad x < 1/2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a,

tenemos:

-1/2 < x < 1/2, por lo que el conjunto solucin de la desigualdad x < 1/2, el intervalo abierto (-1/2,1/2).

De tal forma que para poder obtener el conjunto solucin de la desigualdad (1/9) < x2 < (1/4), debemos encontrar los

elementos comunes o la interseccin de los conjuntos solucin de las desigualdades de 1/3 < x y de x < 1/2, es decir:

((- ,-1/3) (1/3, )) (-1/2,1/2), que es el conjunto solucin conformado por el intervalo abierto (-1/2,-1/3) (1/3,1/2)

39. (x-1)2 < 4

Solucin


(x-1)2 < 4 x-1 < 2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:

-2 < x-1 < 2 -2 +1 < x-1+1 < 2 + 1 -1 < x < 3, el conjunto solucin de la desigualdad (x-1)2 < 4, es el intervalo abierto

(-1,3).

40. (x + 3)2 < 2

Solucin


(x + 3)2 < 2 x+3 < (2)1/2 , usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a,

tenemos:

-(2)1/2

< x+3 < (2)1/2

-3 - (2)1/2 < x < 3 + (2)1/2, por lo que el conjunto solucin de la desigualdad (x + 3)2 < 2, es el

intervalo abierto (-3 - (2)1/2

, 3 + (2)1/2

)

41. x2-x < 0

Solucin

-1/2 -1/3 1/3 1/2

x

3 -1

x

x

3 + (2)1/2

(-3 - (2)1/2

)


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Completando el trinomio

x2-x < 0 x2 x + 1/4 < 0 +1/4 (x- (1/2) )2 < 1/4, aplicando el resultado: = a , tenemos: = x , por lo que se

puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:

x- (1/2) < 1/2, usamos la propiedad del valor absoluto 6, que indica que: x < a, si y solo si -a < x < a, tenemos:

-1/2 < x (1/2) < 1/2 -1/2 + (1/2) < x 1/2 + (1/2) < 1/2 + (1/2) 0 < x < 1, por lo que el conjunto solucin de la

desigualdad x2-x < 0, es el intervalo abierto (0,1).

42. x2 x 2 0

Solucin

Completando el trinomio:

x2 x 2 0 x2 x 2 x2 x +1/4 2 + 1/4 (x-(1/2))2 9/4, aplicando el resultado: = a , tenemos: = x , por

lo que se puede expresar de la siguiente forma la desigualdad:

x- (1/2) 3/2, usamos la propiedad del valor absoluto 9, que indica que: x a, si y solo si x a o x -a, tenemos:

x (1/2) (3/2) x (1/2) - (3/2)

x 2 x -1

Por lo que el conjunto solucin de la desigualdad x2 x 2 0, es la unin de los intervalos parcialmente abiertos (- ,-

1] [2, ).

Teora y Ejemplos

43. No caer en el error -a =a. Para que nmero real a es esta ecuacin verdadera? Para cul nmero real es falso?

Solucin

Tomando en cuenta que por la propiedad 1 del valor absoluto -a = a , luego a = a

Consideremos luego la definicin de valor absoluto:

De tal forma que para x 0 x = x. Para x < 0 x = - (x).

x

1 0

2 -1

x


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Por lo que para la ecuacin que se analiza: -a =a, teniendo en cuenta esta definicin, es verdadera para los valores de

a 0, y es falsa para a < 0

44. Resolver la ecuacin x-1 = 1 - x

Solucin

Primero hacemos la consideracin sea -r= x -1, luego r= -(x-1)=-x+1=1-x, por lo que sustituyendo -r =r, sustituyendo: -

(x-1) =1-x

Tomando en cuenta que por la propiedad 1 del valor absoluto -a = a .

Consideremos luego la definicin de valor absoluto:

De tal forma que para x 0 x = x. Para x < 0 x = - (x).

Por lo que

-(x-1) =1-x, si y solo si 1-x 0, de tal forma que:

1 x 0 - x - 1 x 1. Por lo que el conjunto solucin de la igualdad x-1 = 1 x, es el intervalo parcialmente

abierto (- ,1].

45. Una demostracin de la desigualdad del tringulo. Dar una razn que justifique cada paso numerado en la siguiente

demostracin de la desigualdad del tringulo:

Solucin

Para el paso (1) sea a+ b = (a + b) o ( a + b), por la regla 5 del valor absoluto que dice que x = a, luego a la

expresin a+ b = (a + b) o ( a + b), se eleva al cuadrado ambos lados, es decir ( a+ b )2 = ( ( a + b))

2

a + b 2=( a + b )

2.

Para el paso (2) consideramos la desigualdad: a + b 2

( a + b )2, si desarrollamos el lado derecho de la desigualdad:

tenemos: a + b 2

a2 + 2 ab + b

2, luego utilizando la propiedad 2 del valor absoluto que indica que: ab = a b , por lo

que al aplicar esta propiedad tenemos: a + b 2

a2 + 2 a b + b

2.


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Para el paso (3) tenemos que usando la propiedad 5 del valor absoluto que indica que a = a, por lo que al elevar al

cuadrado ambos lados de la igualdad, tenemos ( a )2= ( a)

2 a 2 = a2, de igual forma se aplica a b 2 = b2. Por lo que

aplicado a:

a + b 2= (a +b )

2 = a

2 + 2ab + b

2 = a

2 + 2 a b + b

2 = ( a + b )

2

Para el paso (4) a + b a + b , sea que; x2 y

2, si obteneos la raz cuadrada en ambos lados, tendremos; (x

2)1/2

(y2)1/2

x y, para todos los nmeros reales no negativos, por lo que si sustituimos x= a + b , y sea y= a + b , de

modo que ( a + b )2 ( a + b )

2 a + b ( a + b )

46. Probar que ab = a b para cualquier nmero a y b.

Solucin

Consideramos primero que a y b son positivos, es decir a 0 y b 0, por lo que ab 0 de igual forma que el producto

ab 0, de igual manera a 0 y b 0.De tal forma que usando la definicin del valor absoluto:

De tal forma que ab =ab= a b

Para el caso: a < 0 y b < 0, es decir sean nmeros negativos, por lo que (-a)(-b) = ab , de igual manera (-a)(-b)=ab, y

finalmente -a = a y -b = b , esto por la regla 1 del valor absoluto. De tal forma que usando la definicin del valor

absoluto:

De tal forma que ab =(-a)(-b)= a b .

Para el caso a 0 y b < 0. Tendremos que el producto ab es negativo, es decir ab < 0, por lo que: (a) (-b) = -ab ,por la

regla 1 del valor absoluto que indica que -a = a , por lo que -ab = ab . Luego tendremos que (a) (-b) = -ab, luego,

usando la definicin del valor absoluto

ab = - ((a) (-b))= (ab). Finalmente a -b , usando la propiedad 1 del valor absoluto -b = b , por lo que a -b = a b .

De tal forma que ab = -(a)(-b)=(a)(b)= a b .

Para el caso a < 0 y b 0, es el mismo anlisis que en el caso anterior, es decir (-a)(b) = ab =-(-a) (b)=(a)(b)= a b .

Con lo que se demuestra que ab = a b para cualquier nmero a y b.

47. Si x 3 y si tambin x > -1/2, Que se puede decir acerca de x?

Solucin


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Procedemos a determinar el conjunto solucin para cada una de las dos desigualdades:

Para x 3 , usando la propiedad 8 del valor absoluto, donde x a si y solo si -a x a, por lo que sustituyendo

tendremos: -3 x 3, es decir el conjunto solucin es el intervalo cerrado [-3,3]

Para x > -1/2, el intervalo a abierto (-1/2, ), el conjunto solucin.

De tal forma que para que se pueda solucionar ambas desigualdades debemos considerar loa elementos comunes que

tienen ambas desigualdades en sus respectivos conjunto solucin, de tal forma que : [-3,3] (-1/2, ), por lo que el

conjunto solucin para ambas desigualdades es el intervalo abierto parcialmente (-1/2,3].

48. Graficar la desigualdad x + y 1.

Solucin:

Procedemos a graficar esta desigualdad usando el programa MAPLE 13

49. Sea f(x) = 2x +1 y sea > 0 para cualquier nmero positivo. Demostrar que x-+1 < implica f(x) f(1) < 2 . Aqu la

notacin f(a) significa que el valor de la expresin 2x +1 cuando x=a.

Solucin

Debido a que se determina que es cualquier nmero positivo y que f(x)=2x+1. Se define que si x-+1 < entonces

f(x) f(1) < 2 .

Por lo que para la desigualdad x-+1 < , multiplicamos por dos ambos lados de esta desigualdad: x-+1 < 2* x-+1

< 2* , aplicando la ley distributiva: 2* x-+1 < 2* 2x+2 < 2 .


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Luego tenemos que f(x)=2x+1 para x=1 f(1)=(2)*1+1=3. De este modo f(x) f(1) < 2 , si sustituimos el valor de

f(1), por lo que f(x) f(1) < 2 2x+1 - 3 < 2x-2 < . Con lo que se demuestra que x-+1 < implica f(x) f(1) <

2 .

50. Sea f(x) = 2x +3 y sea > 0 para cualquier nmero positivo. Demostrar que f(x)-f(0) < cuando x-0 < /2. Aqu la

notacin f(a) significa el valor de la expresin 2x +3 cuando x=a.

Solucin

Se define a como cualquier nmero positivo, sea f(x) = 2x +3, luego tambin x-0 < /2. Esta ltima desigualdad se

modifica a fin de poderla manipular mejor: x-0 < /2 2 x-0 < , aplicando la ley distributiva: 2x < . Luego tendremos

que f(x) = 2x +3, para x=0, f(0)=2(0)+3=3. De este modo: f(x)-f(0) 0 y que a < 0. Sea a=b. Por la definicin del valor absoluto se tiene que -a

= b y por lo tanto b = -b, ya que b=-a, se tiene que -a =-(-a)=a, por lo que -a =a.

Para a < 0, tenemos a = -a. Si a < 0, entonces a > 0. Sea b=-a. por la definicin de valor absoluto b = b, si sustituimos

el valor de b, tenemos -a = -a, de modo que a = -a =-a.

52. Sea a cualquier nmero positivo. Demuestre que x > a si y solo si x > a o x < -a

Solucin

Se demuestra x > 0 x > a o x< -a para cualquier nmero positivo a.

Para x 0, x = x, x > x > a.

Para x < 0, x = -x, x > x > a x < -a.

Se demuestra x > a o x < -a, x > 0 para cualquier nmero positivo a.

a > 0 y x > a , x = x. De tal forma x > a x > a.

Para a > 0, -a < 0 y x < -a x < 0 x = -x. De tal forma x < -a -x > a x > a.

53. (a) Si b es cualquier nmero real diferente de cero, demostrar que 1/b = 1/ b .

(b) Demuestre que a/b = a / b para cualquier nmero a y b 0.


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Solucin

(a) Demostrar que 1/b = 1/ b

Tenemos que 1/b como 1 =1 , sustituimos 1/b = 1 / b 1/b =1/ b .

b) Demuestre que a/b = a / b

Tenemos a/b a * (1/b) a * 1/b como 1 =1, sustituimos a * (1/ b ) a / b . Por lo que se demuestra: a/b =

a / b

54. Usando la induccin matemtica ( ver apndice 1), demuestre que an

= an para cualquier nmero a y para

cualquier nmero entero positivo n.

Solucin

Sea a1

= a1 = a, de modo que S1 es verdadero. Ahora, asmase que Sk = a

k = a

k es verdadero para algunos

nmeros enteros k.

Puesto que a1

= a1 y a

k = a

k , nosotros tenemos a

k+1 = a

k * a

1 = a

k a

1 = a

k a

1 = a

k +1. Por lo tanto, Sk+1= a

k+1 =

ak+1

, es tambin verdadero. Por lo tanto con el principio de induccin matemtica, Sn= an

= an, es verdadera para todos

los nmeros n enteros positivos.

EJERCICIOS 1.2

Incrementos y Distancia

En los ejercicios 1 al 4, una partcula se mueve de A hasta B en el plano. Encontrar los incrementos x y y en las

coordenadas de la partcula. Tambin encuentre la distancia entre A y B.

1. A (-3,2), B (-1, -2)

Solucin

Cuando una partcula se mueve de un punto a otro en el plano, los cambios netos en las coordenadas son llamados

incrementos. Estos son calculados restando las coordenadas del punto de inicio a las coordenadas del punto final. Si x

cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1

De esta manera tenemos

Incrementos x = x2- x1

y = y2- y1

x2 x1

y2 y1

-1 -3

-2 2

x = x2- x1= 2

y = y2- y1= -4

La distancia entre los puntos P (x1, y1) y Q (x2 , y2) es

d = ( ( x)2 + ( y)

2 )

1/2 = ( (x2 x1)

2 + (y2 y1)

2 )1/2

.


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De tal manera

Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2

d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2

2*(5)1/2

2. A (-1,-2), B (-3,2)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

-3 -1

2 -2

x = x2- x1= -2

y = y2- y1= 4


d = ( ( x)2 + ( y)

2 )

1/2 = ( (x2 x1)

2 + (y2 y1)

2 )1/2

.

De tal manera

Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2

d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= 2*(5)1/2

3. A (-3.2, -2) B (-8.1,-2)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

-8.1 -3.2

-2 -2

x = x2- x1= -4.9

y = y2- y1= 0


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d = ( ( x)2 + ( y)

2 )

1/2 = ( (x2 x1)

2 + (y2 y1)

2 )1/2

.

De tal manera

Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2

d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= 4.9

4. A ((2)1/2

, 4) B (0, 1.5)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

0 (2)

1/2

1.5 4

x = x2- x1= -(2)1/2

y = y2- y1= -2.5


d = ( ( x)2 + ( y)

2 )

1/2 = ( (x2 x1)

2 + (y2 y1)

2 )1/2

.

De tal manera

Distancia d = ( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= ( (x2 x1)2 + (y2 y1)2 )1/2

d=( ( x)2 + ( y)2 )1/2

= (8.25)1/2

Describa la grfica de las ecuaciones en los Ejercicios 5 al 8.

5. x2 + y

2 = 1

Solucin

Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P (x, y) cuya distancia desde el centro C (h,

k) es igual a. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si

(x - h)2 + (y k)

2 = a

2

De esta definicin, se determina que es un crculo con centro en (0,0) y radio a= 1


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6. x2 + y

2 = 2

Solucin


k) es igual. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si

(x - h)2 + (y k)

2 = a

2

Por la definicin tenemos un circunferencia con centro en (0.0) y radio a= (2)1/2

.

7. x2 + y

2 3

Solucin

Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad

(x h)2 + (y k)

2 a

2

Son los puntos que se encuentran el interior de la regin del crculo con centro (h, k) y radio a

Con lo anterior se tiene un disco con centro en (0.0) y la superficie de este disco abarca el centro, hasta la longitud del

radio a = (3)1/2

.

Graficamos esta desigualdad usando MAPLE 13

8. x2

+ y2 =0

Solucin


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k) es igual. De la frmula de la distancia, P cae en el crculo si y slo si

(x - h)2 + (y k)

2 = a

2

Por lo que es un punto localizado en las coordenadas (0,0), ya que su radio a=0.

Pendientes, Lneas e Intercepciones

Grafique los puntos en los ejercicios 9 al 12 y encuentre la pendiente (si existe) de la lnea que estos puntos definen.

Tambin encuentre la pendiente (si existe) de la lnea perpendicular a la lnea AB.

9. A (-1,2), B (-2,-1)

Solucin

Procedemos primero a graficar los puntos indicados, usando para ello el programa MAPLE 13:

Cargando plottools Cargando plots

La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2.

De este modo sustituyendo tenemos:


= y2- y1

x2 x1

y2 y1

-2 -1

-1 2

x = x2- x1= -1

y = y2- y1= -3

Por lo que la pendiente de la recta es:

A (-1,2)

B (-2,-1)

Pendiente m= 3


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Pendiente

m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = 3

Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -

1, de modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.

m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).

De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es m2= -1/3.

10. A (-2,1), B (2,-2)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

2 -2

-2 1

x = x2- x1= 4

y = y2- y1= -3

B (2,-2)

A (-2,1)

Pendiente m= -3/4


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Pendiente

m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = -3/4

Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -1, de

modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.

m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).

De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es m2= 4/3

11. A (2,3), B (-1,3)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

-1 2

3 3

x = x2- x1= -3

y = y2- y1= 0

A (2,3) B (-1,3)

Pendiente m= 0


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Pendiente

m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = 0

Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -1, de

modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.

m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).

De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, no existe

12. A (-2,0), B (-2,-2)

Solucin






= y2- y1

x2 x1

y2 y1

-2 -2

-2 0

x = x2- x1= 0

y = y2- y1= -2


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Pendiente

m = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) = No existe

Si dos lneas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satisfacen la igualdad m1m2 = -

1, de modo que cada pendiente es negativa y recproca a la otra.

m1 = - (1/ m2), m2 = - (1 / m1).

De esta manera pendiente de la recta perpendicular a la recta formada por la recta AB, es 0.

En los ejercicios del 13 al 16, encontrar una ecuacin para (a) la lnea vertical y (b) la lnea horizontal a travs del punto

dado.

13. (-1, 4/3)

Solucin

Un punto en el plano tiene las coordenadas cartesianas P (a, b), de esta forma todos los puntos sobre la lnea vertical

que pasa por el punto a sobre el eje coordenado-x es igual a a. Por lo tanto, x=a es una ecuacin para la lnea vertical.

De forma similar, y=b, es una ecuacin para la lnea horizontal que implica que esta lnea recta es paralela al eje-y en el

punto b.

(a) Por lo que la ecuacin para la lnea vertical es x=-1. (b) La ecuacin para la lnea horizontal es y= 4/3.

14. ( (2)1/2

, -1.3)

Solucin




punto b.

(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=(2)1/2

. (b) La ecuacin de recta horizontal es y=-1.3

15. (0,-(2)1/2

)

Solucin




punto b.

(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=0. (b) La ecuacin de recta horizontal es y=-(2)1/2

16. (- ,0)

Solucin


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punto b.

(a) Por lo que la ecuacin de la recta vertical a este punto es x=- . (b) La ecuacin de recta horizontal es y=0

Para los ejercicios 17 al 30, escriba una ecuacin para cada lnea que se describe.

17. Pasa por el punto (-1,1) con pendiente -1.

Solucin

Podemos escribir una ecuacin para una lnea recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas de

punto P1 (x1, y1) que esta sobre esta recta L. Si P (x, y) es cualquier otro punto de la recta L, entonces podemos usar

los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente. De este modo la ecuacin que define recta es:

y=y1+m(x-x1)

Por lo que si sustituimos tenemos: y=1-1(x-(-1)) y=1-(x+1) y=1-x-1 y=-x

18. Pasa por el punto (2,-3) con pendiente (1/2)-

Solucin

Podemos escribir una ecuacin para una lnea recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas de

punto P1 (x1, y1) que esta sobre esta recta L. Si P (x, y) es cualquier otro punto de la recta L, entonces podemos usar

los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente. De este modo la ecuacin que define recta es:

y=y1+m(x-x1)

De este modo sustituimos y=-3+[(1/2)(x-2)] y=-3 + [(x/2) -1] y= (x/2) -4

19. Pasa por los puntos (3,4) y por los puntos (-2,5)

Solucin

La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la

pendiente de la recta que une esos dos puntos es:

m=(y2 y1) / (x2 x1) m=(5-4)/(-2-3) m=-1/5.

Como ya conocemos un punto y la pendiente de la recta que pasa por ese punto, usamos la ecuacin y=y1+m(x-x1)

y=4 + [(-1/5) (x-3)] y=4+ [(-x/5) + (3/5)] y= (-x/5) + (23/5)

20. Pasa por el punto (-8,0) y por (-1,3).

Solucin

La constante m = altura/ recorrido = y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la

pendiente de la recta que une esos dos puntos es:

m= (y2 y1) / (x2 x1) m=(3-0)/(-1-(-8)) m=3/7.



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y=3 + [(3/7) (x-(-1))] y=3 + [(3x/7) + (3/7)] y= (3/7) x + (24/7)

21. La recta tiene una pendiente -5/4, y corta al eje y en 6.

Solucin

De este forma conocemos que la pendiente m= -5/4, y su ordenada al origen es b=6. Usamos de esta manera la

ecuacin pendiente- ordenada al origen: y=m x +b. Por lo que al sustituir, tenemos: y= (-5/4) x + 6

22. Tiene una pendiente de 1/2, y corta al eje y en -3.

Solucin

De este forma conocemos que la pendiente m= 1/2, y su ordenada al origen es b=-3. Usamos de esta manera la

ecuacin pendiente- ordenada al origen: y=m x +b. Por lo que al sustituir, tenemos: y= (1/2) x - 3

23. La recta pasa por el punto (-12,-9) y tiene una pendiente 0.

Solucin

Esta recta al tener una pendiente m=0, se deduce que es una recta horizontal, al ser una recta horizontal, la ecuacin de

esta tipo de recta es y=b. Por lo tanto la ecuacin es y=-9.

24. La recta pasa por (1/3,4) y no tiene pendiente.

Solucin

La recta al no tener pendiente, es decir que es indefinida, se deduce que es una recta vertical que pasa por ese punto.

La ecuacin que define una recta vertical es: x=a, por lo que la ecuacin que define esta recta es x=1/3.

25. La recta intercepta el eje y en 4, e intercepta al eje x en -1.

Solucin

Las coordenadas de los puntos indicados son (0,4) y (-1,0). Con esto en mente, la constante m = altura/ recorrido

= y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la pendiente de la recta que une esos

dos puntos es:

m= (y2 y1) / (x2 x1) m= (0-4)/(-1-0) m=4.


y=0 + [4(x-(-1)] y=4x + 4

26. La recta corta el eje y en -6, y corta el eje x en 2.

Solucin

Las coordenadas de los puntos indicados son (0,-6) y (2,0). Con esto en mente, la constante m = altura/ recorrido

= y/ x = (y2 y1) / (x2 x1) es la pendiente en la lnea no vertical P1 P2. Por lo que la pendiente de la recta que une esos

dos puntos es:

m=(0-(-6))/(2-0) m=6/2 m=3.



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y=0+[3(x-2)] y= 3x-6

27. La lnea recta pasa por el punto (5,-1) y es paralelo a la lnea 2x+5y=15.

Solucin

Al ser paralela a la recta 2x+5y=15, por lo que tiene la misma pendiente. De esta forma calculamos la pendiente de esta

recta: 2x+5y=15 5y = 15 -2x y= 3 (2/5)x. Esta ecuacin es de la forma y= m x +b, por lo que se deduce que m=-

2/5.

Como conocemos un punto por donde pasa la recta y su pendiente usamos la ecuacin: y=y1+m(x-x1)

y=-1 + [(-2/5)(x-5)] y=-1 + [-(2x/5)+2] y= -(2/5)x + 1

28. La recta pasa por el punto (-(2)1/2

,2), y es paralela a la recta [(2)1/2

]x+5y=(3)1/2

.

Solucin

Al ser paralela a la recta [(2)1/2

]x+5y=(3)1/2

, por lo que tiene la misma pendiente. De esta forma calculamos la pendiente

de esta recta: [(2)1/2

]x+5y=(3)1/2 5y=(3)1/2 - [(2)1/2]x y= [(3)1/2]/5 ([(2)1/2]/5)x. Esta ecuacin es de la forma y= m x +b,

por lo que se deduce que m= -((2)1/2

/5).


y= 2 -((2)1/2

/5)[x+(2)1/2

] y= 2 [-((2)1/2/5)x (2/5)] y= -((2)1/2/5)x +8/5

29. La recta pasa por el punto (4,10) y es perpendicular a la lnea 6x 3y =5.

Solucin

La recta que se pretende encontrar al ser perpendicular a la recta 6x 3y =5, tienen pendiente inversas y negativas. De

esta forma calculamos la pendiente de esta recta: 6x 3y =5 -3y=5-6x y= -(5/3) + 2x. Esta ecuacin es de la forma

y= m x +b, por lo que se deduce que m1= 2.

Al ser perpendiculares las recta tenemos m2=-(1/m1) = -(1/2).


y= 10 (1/2) [x-4] y=10 + [(-x/2) + 2] y=-(1/2) x +12.

30. La lnea pasa por el punto (0,1) y es perpendicular a la recta definida por 8x -3y = 13.

Solucin

La recta que se pretende encontrar al ser perpendicular a la recta 6x 3y =5, tienen pendiente inversas y negativas. De

esta forma calculamos la pendiente de esta recta: 8x -3y = 13 -3y=13-8x y=-(13/3) + (8/13) x. Esta ecuacin es de

la forma y= m x +b, por lo que se deduce que m1= 8/13.

Al ser perpendiculares las recta tenemos m2=-(1/m1) = -(13/8).


y=1 (13/8)[x-0] y= -(13/8)x +1

En los ejercicios 31 al 34 encuentre la ordenada y la abscisa al origen, use esta informacin para graficar la lnea.


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31. 3x + 4y =12.

Solucin

La ordenada al origen tiene las coordenada (0,b), y la abscisa al origen tiene la coordenada (a,0), por lo que

sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: 3x + 4y = 12. Por lo que

x=0 y=0

3x + 4y = 12 3x + 4y = 12

4y= 12 3x= 12

y=3 x=4

Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0,3) y la abscisa al origen es (4,0)

Por lo que procedemos a graficar esta ecuacin usando el programa MAPLE 13

32. x +2y = -4

Solucin


sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: x +2y = -4. Por lo que

x =0 y=0

x +2y = -4 x +2y = -4

2y= -4 x =-4

y= -2


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Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0,-2) y la abscisa al origen es (-4,0)


33. (2)1/2

x (3)1/2

y = (6)1/2

Solucin


sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: (2)1/2

x (3)1/2

y = (6)1/2

. Por lo que

x =0 y=0

(2)1/2

x (3)1/2

y = (6)1/2

(2)1/2

x (3)1/2

y = (6)1/2

(3)1/2

y = (6)1/2

(2)1/2

x = (6)1/2

y = - [(6)1/2

]/[ (3)1/2

] x = [(6)1/2

]/[ (2)1/2

]

y = -(6/3)1/2

x = (6/2)1/2

y= -(2)1/2

x = (3)1/2

Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0, -(2)1/2

) y la abscisa al origen es ((3)1/2

,0)



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34. 1.5 x y = -3

Solucin


sustituyendo en la ecuacin de la recta que se pretende graficar: 1.5 x y = -3. Por lo que

x =0 y=0

1.5 x y = -3 1.5 x y = -3

-y = -3 1.5 x = -3

y = 3 x = -2

Por lo que tenemos los puntos: la ordenada al origen es (0, 3) y la abscisa al origen es (-2,0)



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35. Existe algo especial entre la relacin entre las lneas Ax +By = C1 y Bx Ay = C2 (A 0, B 0)? De una razn para

su respuesta.

Solucin

Para la primera ecuacin la desarrollamos Ax +By = C1 By = C1 Ax y = -(A/B) x + (C1/B)

Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m1= -(A/B)

Haciendo lo mismo para Bx Ay = C2 -Ay = -Bx + C2 y= (B/A) x + (C2/A)

Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m2=(B/A)

Con lo que se verifica que son rectas perpendiculares, ya que m1 = -(1/m2) (m1)(m2)=-1 -(A/B)(B/A) =-1.

36. Existe algo especial entre la relacin entre las lneas Ax + By = C1 y Ax + By = C2 (A 0, B 0)? De una razn para

su respuesta.

Solucin

Para la primera ecuacin la desarrollamos Ax + By = C1 By = - Ax + C1 y= -(A/B) x + (C1/B)

Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m1= -(A/B)

Haciendo lo mismo para Ax + By = C2 By = -Ax + C2 y= -(A/B) + (C2/B)

Con lo que por comparacin con la ecuacin y= m x +b, tenemos que su pendiente m2 = -(A/B)

Como m1 = m2 podemos deducir que son rectas paralelas.

Incremento y Movimiento

37. una partcula arranca en A (-2,3) y logra cambiar de posicin logrando incrementos x = 5, y =-6. Encontrar la

nueva posicin.

Solucin


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cambia de x1 a x2, el incremento en x es x = x2- x1.

Dados dos puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, llamaremos el incremento x= x2 x1 y y= y2 y1 , el recorrido y

la altura , respectivamente, entre P1 y P2

Con lo anterior sea B el punto final con coordenadas B (x2, y2) y el punto inicial A (-2,3). Por lo que si tenemos los

incrementos: x = 5, y =-6. De tal manera

x = 5 x2-x1 = 5 x2 = 5 + x1 x2 =5 + (-2) x2 = 3.

y =-6 y2-y1= -6 y2 = -6 +y1 y2 = -6 +3 y2 = -3

Por lo que la nueva posicin es B (3,-3).

38. Una partcula inicia en el punto A (6,0) y logra desplazarse por medio de incrementos x= -6, y = 0. Encontrar la

nueva posicin.

Solucin






Con lo anterior sea B el punto final con coordenadas B (x2, y2) y el punto inicial A (6,0). Por lo que si tenemos los

incrementos: x= -6, y = 0. De tal manera

x= -6 x2-x1 = -6 x2 = -6 + x1 x2 = -6 + 6 = 0.

y = 0 y2-y1 = 0 y2 = 0 + y2 y2 = 0 -0 =0

Por lo que la nueva posicin es B (0,0).

39. Las coordenadas de una partcula cambia por los incrementos x=5, y y=6, cuando se mueve desde A (x, y) hasta

B (3,-3). Encontrar x e y.

Solucin






Sea el punto A (x, y), el punto de inicio del desplazamiento de la partcula.

x=5 x2-x1=5 -x1 = 5 x2 x1 = x2 5 x1 = 3 5 = -2

y=6 y2-y1=6 -y1 =6 y2 y1 = y2 6 y1 = -3 6 = -9


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Por lo que la posicin inicial de la partcula es A (-2,-9)

40. Una partcula que inicia su movimiento en el punto A (1,0) y gira en torno al origen en sentido contrario a las

manecillas del reloj, y regresa nuevamente al punto A (1,0). Cul fue el cambio neto en las coordenadas?

Solucin

El cambio neto en las coordenadas es cero ya que usando las frmulas de los incrementos tenemos:

x= x2-x1=1-1=0

y=y2-y2=0-0=0

Crculos

En los ejercicios 41 al 46, encontrar una ecuacin para el crculo con el centro dado en C (h, k) y radio a. Luego dibuje el

crculo en el plano-xy. Incluya el centro del crculo en su dibujo. Tambin indique la interseccin con los ejes x e y si

existe con su par coordenado.

41. C (0,2), a=2

Solucin

Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=0, k=2, el radio a=2.


k) es igual a (x - h)2 + (y k)

2 = a

2

Sustituyendo tenemos: (x-0)2+(y-2)

2=(2)

2 x2 +(y-2)2=4.


(0,4)

C (0,2)

(0,0)


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42. C (-3,0), a=3

Solucin

Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-3, k=0, el radio a=3.



2 = a

2

Sustituyendo tenemos: (x-(-3))2 + (y-0)

2 =(3)

2 (x+3)2 + y2 =9.


43. C (-1,5), a=(10)

1/2.

Solucin

Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-1, k=5, el radio a = (10)1/2

.



2 = a

2

Sustituyendo tenemos:(x-(-1))2 + (y-5)

2 =((10)

1/2)2 (h+1)2 + (k-5) =10.


(0,-6) (0,0) C (0,-3)


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44. C (1,1), a = (2)

1/2.

Solucin

Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=1, k=1, el radio a = (2)1/2

.



2 = a

2

Sustituyendo tenemos: (x-1)2 + (y-1)

2 = ((2)

1/2)2 (h-1)2 + (y-1)2 = 2.

Para los puntos que cortan los ejes:

x=0 y=0

(x-1)2 + (y-1)

2 = 2 (x-1)

2 + (y-1)

2 = 2

(-1)2+(y-1)

2 = 2 (x-1)

2 + (-1)

2 = 2

(y-1)2 = 1 (x-1)

2 = 1

y-1 = 1 x-1 = 1

y=2 o y= 0 x= 2 o x= 0

(0,2) ; (0,0) (2,0) ; (0,0)


(0,2)

(0,8)

C (-1,5)


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45. C (-(3)

1/2, -2). a= 2

Solucin

Tenemos las coordenadas del centro del crculo h=-(3)1/2

, k=-2, el radio a = 2.



2 = a

2

Sustituyendo tenemos ( x-(-(3)1/2

))2 + (y-(-2))

2 = (2)

2 (x +(3)1/2)2 + (y+2)2 = 4

Para los puntos que cortan los ejes:

x=0 y=0

(x +(3)1/2

)2 + (y+2)

2 = 4 (x +(3)

1/2)2 + (y+2)

2 = 4

((3)1/2

)2 + (y+2)

2 = 4 (x +(3)

1/2)2 + (2)

2 = 4

(y+2)2 = 4 -3 (x +(3)

1/2)2 = 4 -4

(y+2) = 1 x +(3)1/2

=0

y = -1 o y = -3 x= - (3)1/2

(0,-1) ; (0,-3) (- (3)1/2

,0)


C (1,1)

(0,2)

(0,0) (2,0)


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Grafique los crculos cuyas ecuaciones son proporcionadas en los ejercicios 47 hasta 52. Identifique el centro del

crculo, y la intercepcin (si existe) con los ejes coordenados x-y, como un par de coordenadas rectangulares.

47. x2

+ y2

+ 4x- 4y + 4 = 0.

Solucin

Si una ecuacin para un crculo no es de la forma estndar o cannica, podemos encontrar el centro y el radio del

crculo, primero convirtiendo la ecuacin a la forma estndar. La tcnica algebraica para hacer esto, es completando

cuadrados. De este modo:

x2

+ y2

+ 4x- 4y + 4 = 0 (x2 + 4x) + (y

2 4y) = -4 (x

2 + 4x +4) + (y

2 4y + 4) = -4 + 4 +4 (x+2)

2 + (y-2)

2 = 4.

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (-2, 2). Un radio a = 2. Los puntos de intercepcin de

los ejes coordenados son:

x=0 y=0

(x+2)2 + (y-2)

2 = 4 (x+2)

2 + (y-2)

2 = 4

(2)2 + (y-2)

2 = 4 (x+2)

2 + (-2)

2 = 4

(y-2)2 = 0 (x+2)

2 = 0

y-2 = 0 x+2 = 0

y=2 x = -2

(0,2) (-2,0)


C (-(3)1/2

,-2)

(-(3)1/2

,0)

(0,-1)

(0,-3)


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48. x

2 + y

2 8x + 4y + 16 = 0

Solucin




x2 + y

2 8x + 4y + 16 = 0 (x2 8x) + (y2 +4y) = -16 (x2 -8x +16) + (y2 + 4y +4) = -16 + 16 +4 (x-4)2 +(y+2)2 = 4.

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (4, -2). Un radio a = 2. Los puntos de intercepcin de


x=0 y=0

(x-4)2 +(y+2)

2 = 4 (x-4)

2 +(y+2)

2 = 4

(-4)2 + (y+2)

2 = 4 (x-4)

2 + (2)

2 = 4

(y+2)2 = -12 (x-4)

2 = 0 x-4 = 0 x = 4

Como no hay raz cuadrada de nmeros negativos no interseccin de la circunferencia con el eje y. La intercepcin con

el eje x se da en el punto (4,0).


C (-2,2)

(-2,0)

(0,2)

(x+2)2 + (y-2)

2 = 4


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49. x

2 + y

2 3y -4 = 0.

Solucin




x2 + y

2 -3y -4 = 0 x2 + (y2 3y) = 4 x2 + (y2 3y + (3/2)2) = 4 + (3/2)2 x2 + (y (3/2))2 =(25/4).

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (0, 3/2). Un radio a = 5/2. Los puntos de intercepcin

de los ejes coordenados son:

x=0 y=0

x2 + (y (3/2))

2 = (25/4) x

2 + (y (3/2))

2 =(25/4)

(y (3/2))2 = (25/4) x

2 + (-(3/2))

2 = (25/4)

y (3/2) = 5/2 x2 = (25/4) (9/4) x2 = 4

y= (5/2) +(3/2) x = 2

y = 4 o y= -1 x = 2 o x= -2

(0,4) ; (0,-1) (2,0) ; (-2,0)


C (4,-2)

(4,0)


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50. x2 + y

2 4x (9/4) = 0

Solucin




x2 + y

2 4x (9/4) = 0 (x2 4x) + y2 = 9/4 (x2 -4x + 4) + y2 = (9/4) +4 (x 2)2 + y2 = 25/4.

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (2, 0). Un radio a = 5/2. Los puntos de intercepcin

de los ejes coordenados son:

x=0 y=0

(x 2)2 + y

2 = 25/4 (x 2)

2 + y

2 = 25/4

(-2)2 + y

2 = 25/4 (x 2)

2 = 25/4

y2 =( 25/4) 4 y2 = 9/4 (x 2) = 5/2 x = 5/2 +2

y = 3/2 y= 3/2 o y = -3/2 x = 9/2 o x = -1/2

( 0, 3/2) ; (0,-3/2) (9/2,0) ; (-1/2,0)


C (0,3/2)

(0,4)

(0,-1)

(2,0) (-2,0)


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51. x2 + y

2 4x + 4y = 0.

Solucin




x2 + y

2 4x + 4y = 0. (x2 4x) + (y2 + 4y) = 0 (x2 4x + 4) + (y2 + 4y +4 ) = 8 (x-2)2 + (y+2)2 = 8.

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (2, -2). Un radio a =2 (2)1/2

. Los puntos de

intercepcin de los ejes coordenados son:

x=0 y=0

(x-2)2 + (y+2)

2 = 8 (x-2)

2 + (y+2)

2 = 8

(-2)2 +(y+2)

2 = 8 (x-2)

2 + (2)

2 = 8

(y+2)2 = 8 - 4 (x-2)

2 = 8 - 4

y+2 = 2 x-2= 2

y=0 o y=-4 x=4 o x= 0

(0,0) ; (0,-4) (0,0) ; (4,0)


C (2,0) (9/2,0) (-1/2,0)

(0,3/2)

(0,-3/2)


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52. x2 + y

2 + 2x = 3.

Solucin




x2 + y

2 + 2x = 3 (x2 + 2x) + y2 = 3 (x2 + 2x + 1) + y2 = 3+1 (x+1)2 + y2 = 4.

De este modo tenemos una circunferencia con centro C (h, k) C (-1, 0). Un radio a =2. Los puntos de intercepcin de


x=0 y=0

(x+1)2 + y

2 = 4 (x+1)

2 + y

2 = 4

(1)2 + y

2 = 4 (x +1)

2 = 4

y2 = 3 y = (3)1/2 (x+1) = 2 x = 2 -1

y = (3)1/2

o y= -(3)1/2

x = 1 o x= -3

(0, (3)1/2

) ; (0,- (3)1/2

) (1,0) ; (-3,0)


C (2,-2)

(4,0) (0,0)

(0,-4)


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Parbolas

Graficar las parbolas en los ejercicios 53 al 60. Identifique el vrtice, y la intercepcin con loe ejes en el caso de que

existan.

53. y = x2 -2x -3.

Solucin

La ecuacin de la parbola de la forma y = ax2 + bx + c. La parbola abre hacia arriba si a > 0, y abre hacia abajo si a <

0. El eje de la parbola es la lnea x= -(b/2a). El vrtice de la parbola es el punto donde el eje de la parbola y la

parbola se cruzan. Es el eje coordenado-x, si x=- b/2a ; es el eje coordenado-y si se encuentra por sustitucin x= -

b/2a en la ecuacin de la parbola.

Comparando la ecuacin con y = ax2 + bx + c podemos ver que

a =1, b= -2, c= -3.

Como a > 0, la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical

x= -b/2a x = - (-2)/2(1) = 1.

El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=1, se determina el valor de la

ordenada en: y = x2 -2x -3 y = (1)2 -2(1) 3 y = 1 2 3 y=-4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (1,-

4).

Los puntos donde se cruzan los ejes coordenados con la parbola son:

x= 0 y=0

y = x2 -2x -3 y = x

2 -2x -3

y = (0)2-2(0) -3 x

2 -2x -3 = 0 (x2-2x)=3 (x2-2x+1)=3+1 (x-1)2=4

y=-3 (x-1)= 2 x= 2 +1 x = 3 o x = -1

C (-1,0) (-3,0)

((3)1/2

,0)

(3,0)

(-(3)1/2

,0)


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(0,-3) (3,0) ; (-1,0)

Graficamos la parbola usando el archivo MAPLE 13

54. y= x2 +4x + 3.

Solucin


a =1, b= 4, c= 3.

Como a > 0, la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical

x= -b/2a x = - (4)/2(1) =- 2.


ordenada en: y= x2 +4x + 3 y = (-2)2 + 4(-2) + 3 y = 4 -8 + 3 y=-1. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en

(-2,-1).


(3,0) (-1,0)

(0,-3)

(1,-4)

Eje de la parbola x=1

y = x2 -2x -3


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x= 0 y=0

y= x2 +4x + 3 y= x

2 +4x + 3

y=(0)2+4(0)+3 x

2-+4x+3=0 x2+4x=-3 (x2+4x+4)=-3+4 (x+2)2=1

y=3 x+2= 1 x= 1 -2 x=-1 o x=-3

(0,3) (-3,0) ; (-1,0)


55 y= -x2 +4x.

Solucin


a =-1, b= 4, c= 0.

Como a < 0 la parbola abre hacia abajo. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical

(0,3)

(-1,0) (-3,0) (-2,-1)

Eje de la parbola x= - 2

y = x2 +4x +3


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x= -b/2a x = -(4)/2(-1) x = 2.


ordenada en: y= -x2 +4x y = -(2)2 + 4(2) y = -4 + 8 y = 4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (2,4).


x= 0 y=0

y= -x2 +4x y= -x

2 +4x

y = -(0)2 +4(0) -x

2 +4x=0 x2 -4x=0 (x2 -4x +4) = 0 +4 (x-2)2 = 4

y=0 x-2= 2 x= 2 +2 x= 4 o x=0

(0,0) (4,0) ; (0,0)


56. y= -x2 + 4x -5.

(0,0) (4,0)

(2,4)

Eje de la parbola x= 2

y = -x2 +4x


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Solucin


a =-1, b= 4, c= -5.


x= -b/2a x = -(4)/2(-1) x = 2.


ordenada en: y= -x2 + 4x -5 y = -(2)2 + 4(2) - 5 y= -4 +8 -5 y= -1. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en

(2,-1).


x= 0 y=0

y= -x2 + 4x -5 y= -x

2 + 4x -5

y=-(0)2 +4(0) -5 -x

2 + 4x -5 = 0 x2 -4x+5=0 (x2-4x)= -5 (x2-4x+4)= -5+4 =-1

y=-5 (x-2)2 =-1

Como no hay raz cuadrada de nmeros negativos no interseccin de la parbola con el eje x

(0,-5)



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57. y= -x

2 -6x -5.

Solucin


a =-1, b= -6, c= -5.


x= -b/2a x = -(-6)/2(-1) = 6/-2 x= -3.

El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x= -3, se determina el valor de la

ordenada en: y = -x2 -6x -5 y = -(-3)2 -6(-3) -5 y = -9 +18 -5 y = 4. Por lo que el vrtice se encuentra localizado

en (-3,4).


x = 0 y=0

y= -x2 -6x -5 y= -x

2 -6x -5

y= -(0)2 -6(0) -5 -x

2 -6x -5 =0 x2+6x +5 =0 x2+6x= -5 x2+6x +9 = -5 +9 =4

y=-5 (x+3)2=4 (x+3) = 2 x= 2 -3 x= -1 o x= -5

(0,-5) (-1,0) ; (-5,0)


Eje de la parbola x= 2

y = -x2 +4x -5

(0,-5)

(2,-1)


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58. y = 2x2 x +3.

Solucin


a = 2, b= -1, c= 3.

Como a > 0 la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical

x= -b/2a x = -(-1)/2(2) = 1/4 x= 1/4.

El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=1/4, se determina el valor de la

ordenada en: y = 2x2 x +3 y=2 (1/4)2 (1/4) +3 y=(2/16) (1/4) + 3 y = (1/8)-(1/4)+3 y = (1-2+24)/8 y=

23/8. Por lo que el vrtice se encuentra localizado en (1/4,23/8).


x = 0 y=0

y = 2x2 x +3 y = 2x

2 x +3

Eje de la parbola x= -3

y = -x2 -6x -5

(-3,4)

(-5,0) (-1,0)

(0,-5)


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y=2(0)2 (0) +3 2x

2 x +3=0 2x2 -x =-3 x2 (x/2) =(-3/2) (x2 (x/2) + 1/16) =(-3/2)+(1/16)

y=3 (x 1/4)2 = -23/16

(0,3) Como existe raz cuadrada de un nmero negativo, no existe, deducimos que la

parbola no corta el eje x.


59. y= (1/2) x2 + x +4.

Solucin


a = 1/2, b= 1, c= 4.

Como a > 0 la parbola abre hacia arriba. Por la ecuacin (2) el eje de la parbola es la lnea vertical

Eje de la parbola x= 1/4

y = 2x2 -x +3

(1/4 , 23/8) (0,3)


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x= -b/2a x=-(1)/[(2)(1/2)] x= -1/1 x= -1.

El vrtice es el punto en el que la parbola corta el eje de parbola, es decir cuando x=-1, se determina el valor de la

ordenada en: y= (1/2) x2 + x +4 y=(1/2)(-1)2 +(-1) +4 y=(1/2) -1 +4 y=(-1/2)+3 y=7/2. Por lo que el vrtice se

encuentra localizado en (-1,7/2).


x = 0 y=0

y= (1/2) x2 + x +4 y= (1/2) x

2 + x +4

y=(1/2) (0)2 +(0) +4 (1/2) x

2 + x +4 = 0 x2 +(x/2) = -2 (x2 +(x/2) +1/16) = -2 +(1/16)

y=4 (x+1/4)2 = -31/16 .

(0,4) Como existe raz cuadrada de un nmero negativo, no existe, deducimos que la

parbola no corta el eje x.


CAPTULO 1 EJERCICIOS CLCULO GEORGE B. TH

Capítulo 1 Ejercicios Cálculo

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