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El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz: 1.- Determinar de forma analítica: a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensiones b) Los valores de las tres tensiones principales c) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales d) La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado [] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 0 0 20 20 0 20 50 T 600 20 20 50 70 20 50 2 2 1 = − ⋅ = = + = I I a) b) Una de las tensiones principales (σ z ) es nula. Las otras dos las calcularemos resolviendo: 10 60 0 20 20 20 50 0 2 1 = = ⇒ = − − − − = − σ σ σ σ σI T Por tanto, las tensiones principales son: 0 10 60 3 2 1 = = = σ σ σ y c) Como el eje z es una dirección principal ( ), las otras dos las calcularemos resolviendo: k u r r = 3 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 0 20 20 20 50 2 1 u u σ σ Dirección principal 1: j i u a a r r r 4473 0 8943 0 0 0 40 20 20 10 1 2 1 , , − = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − Dirección principal 2: j i u a a r r r 8943 0 4473 0 0 0 10 20 20 40 2 2 1 , , + = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − d) La tensión tangencial máxima será: ( ) 30 5 30 25 2 10 2 60 2 10 60 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = , , max , , max max τ Ejercicio 1.5
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El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:
1.- Determinar de forma analítica:a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensionesb) Los valores de las tres tensiones principalesc) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principalesd) La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
0000202002050
T
600202050
7020502
2
1
=−⋅=
=+=
I
Ia) b) Una de las tensiones principales (σz) es nula. Las otras dos las calcularemos resolviendo:
106002020
20500 21 ==⇒=
−−−−
=− σσσ
σσIT
Por tanto, las tensiones principales son: 01060 321 === σσσ y
c) Como el eje z es una dirección principal ( ), las otras dos las calcularemos resolviendo:kurr
=3 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−00
20202050
2
1
uu
σσ
Dirección principal 1: jiuaa rrr 4473089430
00
40202010
12
1 ,, −=⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
Dirección principal 2: jiuaa rrr 8943044730
00
10202040
22
1 ,, +=⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
d) La tensión tangencial máxima será:( ) 3053025
210
260
21060
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= ,,max,,maxmaxτ
Ejercicio 1.5
USUARIO
Resaltado
USUARIO
Resaltado
2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar gráficamente: e) El círculo de Mohr f) Las coordenadas (σ,τ) del polo de dicho círculo g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho círculo h) Los dos planos sobre los que actúa la tensión tangencial máxima i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensión forma el mayor ángulo posible con la normal a dichos planos. j) El plano al que representa el polo del círculo de Mohr
USUARIO
Resaltado
σ
τ
Plano Y
Plano X 50
20
20
x
y
POLO
σ
τ
Plano Y
Plano X 50
20
20
x
y
POLO
Planoprincipal IPlano
principal II
σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
60
10
x
y
POLO
Planoprincipal IPlano
principal II
Plano demáxima tensión tangencial
Plano demáxima tensión tangencial
σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
35
25
x
y
35
POLO
Plano en el queel vector tensión formael mayor ángulo posiblecon la normal
Plano en el queel vector tensión formael mayor ángulo posiblecon la normal
σ
τ
POLO
Plano correspondienteal polo del círculo de Mohr
σ
τ
