Ejercicios - Tema 1 y 2 - Soluciones - 2015

7/26/2019 Ejercicios - Tema 1 y 2 - Soluciones - 2015

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TEMA 1 Programacin matemtica en el campo econmico.

Convexidad de conjuntos y funciones

Representacin grfica y Teorema de Weierstrass1. Estudiar analticamente si verifican el Teorema de Weierstrass y resolver grficamente

los siguientes programas:

1a)2 2

3

. . 5

1

0

optimizar x y

s a x y

x y

x

+

+

Teorema de Weierstrass:

1) ( , ) 3f x y x y= + es una funcin continua por ser un polinomio2)

El conjunto de soluciones factibles F es compacto, es decir, cerrado y acotado, porque:

2.1) 2 21 2 3( , ) , ( , ) , ( , )g x y x y g x y x y g x y x= + = = son funciones continuas, entonces los

conjuntos ( ]{ } ( ){ }1 2 2 21 ,5 , : 5g x y x y = + y ,

( ]{ } ( ){ }1 22 ,1 , : 1g x y x y = y y [ ){ } ( ){ }1 23 0, , : 0g x y x

+ = y son

cerrados. Por tanto, F es cerrado por ser interseccin de cerrados.

2.2) F es acotado porque dado 5r= se verifica que ( ),x y F : ( ) ( )( ), , 0,0 5d x y

pues2 2 5x y+ , esto es, ( )(0,0), 5F B

Existen mximo y mnimo globales de ( , ) 3f x y x y= + en F.

Resolucion grfica:


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1b)

2 2( 1) ( 1)

. . 2 2

2

5

55

optimizar x y

s a x y

x y

x y

xy

+

+

+


1)

2 2( , ) ( 1) ( 1)f x y x y= + es una funcin continua por ser un polinomio2) El conjunto de soluciones factibles F es compacto, es decir, cerrado y acotado, porque:

2.1)1 2 3 4 5( , ) 2 , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )g x y x y g x y x y g x y x y g x y x g x y y= + = = + = = son

funciones continuas, entonces los conjuntos ( ]{ } ( ){ }1 21 , 2 , : 2 2g x y x y = + y ,

( ]{ } ( ){ }1 22 , 2 , : 2g x y x y = y , [ ){ } ( ){ }1 23 5, , : 5g x y x y

+ = + y ,

( ]{ } ( ){ }1 24 ,5 , : 5g x y x = y y ( ]{ } ( ){ }1 25 ,5 , : 5g x y y = y son cerrados.Por tanto, F es cerrado por ser interseccin de cerrados.

2.2) F es acotado porque ( ),x y F se verifica que:

( ) ( )( ) 2 2 2 2, , 0,0 5 5 50d x y x y= + + = pues 5, 5x y , esto es,

( )(0,0), 50F B Existen mximo y mnimo globales de

2 2( , ) ( 1) ( 1)f x y x y= + en F.

Resolucion grfica:


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1c) 2 2. . 4 8

1x y

optimizar x y

s a x y

e

+

+


3) ( , )f x y x y= + es una funcin continua por ser un polinomio4) El conjunto de soluciones factibles F es compacto, es decir, cerrado y acotado, porque:

2.1)2 2

1 2( , ) 4 , ( , ) x y

g x y x y g x y e = + = son funciones continuas, entonces los conjuntos

( ]{ } ( ){ }1 2 2 21 ,8 , : 4 8g x y x y = + y y ( ]{ } ( ){ }1 22 ,1 , : 1

x yg x y e = y son

cerrados. Por tanto, F es cerrado por ser interseccin de cerrados.

2.2) F es acotado porque ( ),x y F se tiene que 2 24 8x y+ por tanto 2 2x y

8 8y , por lo que ( ) ( )( ) 2 2

, , 0,0 2 8 10d x y x y= + + = , esto es,

( )(0,0), 10F B Existen mximo y mnimo globales de ( , )f x y x y= + en F.

Resolucion grfica:


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1d)

3

3

2

. . 0

( 3) 0

2 2

optimizar x y

s a y x

y x

y

+


5) ( , ) 2f x y x y= + es una funcin continua por ser un polinomio

6)

El conjunto de soluciones factibles F es compacto, es decir, cerrado y acotado, porque:

2.1)3 3

1 2 3( , ) , ( , ) ( 3) , ( , )g x y y x g x y y x g x y y= = = son funciones continuas,

entonces los conjuntos ( ]{ } ( ){ }1 2 31 ,0 , : 0g x y y x = y ,

[ ){ } ( ){ }1 2 32 0, , : ( 3) 0g x y y x + = y , [ ){ } ( ){ }1 23 2, , : 2g x y y

+ = y y

( ]{ } ( ){ }1 23 , 2 , : 2g x y y = y son cerrados. Por tanto, F es cerrado por ser

interseccin de cerrados.

2.2) F es acotado porque ( ),x y F se tiene que 2 2y 2 4y y adems3 3 3 3( 3) 2 ( 3) 2 3 2 3 5y x x x x + < por lo que

( ) ( )( ) 2 2 2, , 0,0 5 4 29d x y x y= + + = , esto es, ( )(0,0), 29F B Existen mximo y mnimo globales de ( , ) 2f x y x y= + en F.

Resolucion grfica:


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2. Se considera el programa matemtico:

min ( )

. . ( ) 0

30

2

f x

s a y sen x

x

Resolverlo grficamente, calculando los mnimos locales y globales, siendo:

a) ( )f x x y= +

Mnimo en3

, 12

, no existe Mximo

b)1

( )2

f x x y= +

Mnimo en ( )0,0 , no existe Mximo


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3. Dada la funcin2 2( , ) ( 3) ( 5)f x y x y= + , calcular los puntos en los queftiene mximos y mnimos locales

y globales sobre los siguientes conjuntos factibles:

a)2

1B = y

Minimo global en el (3, 5) porque ( )2 2 2

( , ) ( 3) ( 5) (3,5) 0 ,f x y x y f x y= + = y

b) { }22 ( , ) : 10B x y x y= + =y

c) { }23 ( , ) : 10, 0, 0B x y x y x y= + = y


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d) { }24 ( , ) : 10, 0, 0B x y x y x y= + y

4. Encontrar la distancia mnima del origen al conjunto determinado por:4

2 5

x y

x y

+

+

Habr que resolver el programa:2 2min

. . 4

2 5

x y

s a x y

x y

+

+

+

El mnimo es el punto (2,2) y se puede hallar teniendo en cuenta que se encuentra en la recta 4x y+ = , por tanto

4y x= . Sustituyendo en la funcin2 2

( , )f x y x y= + podemos hallar el punto mnimo derivando:

( )22 2

2

( ) 4 2 8 16

4 8( ) 0 2 2

2 2 8 16

f x x x x x

xf x x y

x x

= + = +

= = = =

+

5. Un fabricante produce dos artculos, cuyos beneficios por unidad vendida de cada uno de ellos son 10 y 15

unidades monetarias respectivamente. Cada unidad del articulo 1 utiliza en su produccin 4horas/hombre y 3

horas/maquina y cada unidad del articulo 2 utiliza 7 horas/hombre y 6 horas/maquina. El total disponible de

horas/hombre es de 300 y el de horas/maquina es de 500. Calcular las cantidades a producir de cada artculo

para que el beneficio sea mximo, suponiendo que se venden todas las unidades producidas.x= Cantidad a producir del artculo 1

y= Cantidad a producir del artculo 2


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max . ( , ) 10 15

. . 4 7 300

3 6 500

, 0

B x y x y

s a x y

x y

x y

= +

+

+

Se puede comprobar que este programa cumple el Teorema de Weierstrass, por tanto, si existe un punto

mximo, entonces ste ser un mximo global

El punto (75,0) es mximo global de la funcin de Beneficios dentro de nuestra regin factible, por tanto, el

Mximo Beneficio que podremos obtener ser de 750 u.m. que se obtiene produciendo y vendiendo 75

unidades del artculo 1 y ninguna del artculo 2.

6. Una empresa fabrica dos tipos de cinturones A y B. El tipo A es de mejor calidad que el tipo B. El beneficio

neto es de 2 u.m. por cada cinturn del tipo A y de 1,50 u.m. por cada uno del tipo B. El tiempo empleado en

la fabricacin de A es el doble que el empleado para B y, si todos los cinturones fuesen del tipo B, la empresapodra fabricar 1000 diarios. El abastecimiento de cuero es suficiente para fabricar 800 cinturones al da, sean

del tipo A o B. Por ltimo, se puede disponer diariamente de 400 hebillas del tipo A y 700 del tipo B. Se pide:

a) Plantear el problema que maximice el beneficio

b) Resolverlo grficamente.

x= Cantidad de cinturones del tipo A producidos y vendidos

y= Cantidad de cinturones del tipo B producidos y vendidos

max. ( , ) 2 1,5

. . 2 1000

800

0 400

0 700

B x y x y

s a x y

x y

x

y

= +

+ +


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Convexidad de conjuntos y funciones7. Estudiar cul de los siguientes subconjuntos es convexo:

a) { }2( , ) :S x y y x= y (Lo comprobamos por definicin de conjunto convexo)Sean ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y S 1 1 2 2,y x y x . Hay que probar que [ ]0,1 se cumple que

( ) ( )( )1 1 2 2, 1 ,x y x y S + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 2

, 1 , 1 , 1, porque , 0

1 11 1 , porque , 0,1

x y x y x x y yy x y x

y y x xy x y x

+ = + +

+ +

( ) ( )( )1 1 2 2, 1 ,x y x y S + Ses convexo

b) { }2 2( , ) :S x y y x= y 1 forma: Por definicin de conjunto convexo:

Sean ( ) ( )

( ) ( )

221 11 1

1 1 2 2 222 22 2

, , ,

1 1

y xy xx y x y S

y xy x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2, 1 , 1 , 1x y x y x x y y S + = + + ?

( ) ( )2 21 2 1 21 1y y x x + +

Ya que se cumple que: ( ) ( ) ( )( )2 22 2

1 2 1 2 1 21 1 1 0x x x x x x + + =

Tenemos que ( ) ( ) ( ) 22 2

1 2 1 2 1 21 1 1y y x x x x + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2, 1 , 1 , 1x y x y x x y y S + = + +

2 forma: { } { }2 2 2 2( , ) : ( , ) : 0S x y y x x y x y= = y y

2( , )f x y x y= es una funcin de tipo 2C y su Hessiana 2 0( , )0 0

Hf x y =

es Definida Positiva

2( , )x y y f es una funcin convexa El conjunto S es un conjunto convexo

c) { }2( , ) : ,S x y y a bx a b= = + y y S es un conjunto convexo por ser un hiperplano (demostracin hecha en clase)

d) { }2 2 2( , ) : 4S x y x y= +


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f) { }3( , , ) : 2 3 5 7S x y z x y z= + y S es un conjunto convexo por ser un semiespacio cerrado (demostracin hecha en clase)

8. Sea Sun conjunto convexo den

y y : n mf y y una aplicacin lineal. Probar que el conjunto imagen ( )f S

es convexo.

Sean dos puntos ,x y S ( ), ( ) ( )f x f y f S Hay que probar que ( )( ) 1 ( ) ( )f x f y f S + :

Por ser f lineal se cumple que: ( ) ( )( )( ) 1 ( ) 1f x f y f x y + = + Por ser Sconvexo, se cumple que: ( ), 1x y S x y S +

( )( )1 ( )f x y f S + ( )( ) 1 ( ) ( )f x f y f S + ( )f S es convexo

9. Sea { }/iA i I una familia de conjuntos convexos den

y . Probar que:

a)

La unin de conjuntos convexosi

i I

A

, en general, no es un conjunto convexo.

{ } ( ) ( ){ }2 22 2 2 21 2( , ) : 4 , ( , ) : 3 3 4A x y x y A x y x y= + = + + + y y son convexos pero

( ) ( ){ }2 22 2 2

1 2 ( , ) : 4 / 3 3 4A A x y x y y o x y= + + + + y no es convexo ya que

( )

( ) ( ) ( )

1

2

0,2 1 1 30,2 3,2 , 2

2 2 23,2

A

A

+ =

1 2A A porque no satisface ninguna de las ecuaciones

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

22 2 2

3 252 4

2 4

3 853 3 3 2 3 4

2 4

x y

x y

+ = + = >

+ = + = >

1 2A A no es convexo ii I

A

no es convexo

b) El conjunto interseccini

i I

A

es convexo

Sean ,A B conjuntos convexos

Sean dos puntos ,a b A B ,

,

a b A

a b B

Por ser ,A B conjuntos convexos se cumple que

( )

( )

1

1

a b A

a b B

+

+ Por tanto: ( )1a b A B + A B es convexo.

c)

NO ENTRA PARA EXAMEN: El conjunto producto cartesiano { }1 2( , ,...) : ,i i ii I

A x a a a A i I

= = es

convexo

Sea { }/iA i I conjuntos convexos:

Sean ( ) ( )1 2 1 2, ,... , , , ... ii I

x x x y y y A

= = ( ) ( ) ( )( )1 1 2 21 1 , 1 ,....x y x y x y + = + + con

( )1i i ix y A +

Por tanto ( ) ( )( )1 1 2 21 , 1 ,.... ii I

x y x y A

+ + ii I

A

es convexo

d) NO ENTRA PARA EXAMEN: El conjunto suma1 1

: , 1,...,m m

i i i i

i i

A x a a A i m= =

= = =

es convexo


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Sean dos puntos1

,m

i

i

x y A=

Se pueden escribir como suma de elementos de los conjuntos convexos iA :

1

m

i

i

x a=

= con i ia A e1

m

i

i

y b=

= con i ib A 1,...,i m =

( )1

1m

i

i

x y A =

+ ?

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1

1 1 1m m m m

i i i i i

i i i i

x y a b a b A = = = =

+ = + = + porque

( )( )1i i ia b A + 1,...,i m =1

m

i

i

A=

es convexo

e) Sin

X y es un conjunto convexo y y entonces el conjunto { }/ ,nX y y x x X = = y esconvexo.

Sean dos puntos1 2,y y X , entonces cumplen que

1 1 1

2 2 2

,

,

y x con x X

y x con x X

=

=

( ) [ ]1 21 0,1y y X + ?

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1y y x x x x + = + = + y por sernX y es un conjunto convexo se cumple

que ( )1 21x x X + , por tanto, ( )( )1 21x x X + X es convexo.

10.NO ENTRA PARA EXAMEN: En2

y consideramos el subconjunto { }(0,2), (1,1), (1,3)M x y z= = = = . Escribirel conjunto de combinaciones convexas de elementos de My representarlo grficamente.

El conjunto de combinaciones convexas de los puntos de M es el conjunto de puntos

[ ]{ }2 1 2 3 1 2 3 1 2 3: (0, 2) (1,1) (1,3) 1 , , 0,1x x con y = + + + + = y O dicho de otra forma, considerando que 3 1 21 = :

( ){ }2 1 1 2 1 2: 1 ,3 2 0 , 1x x con = y Grficamente es el tringulo que une a los tres puntos de M (incluyendo todos los puntos de los lados y delinterior)

11.Determinar, aplicando la definicin, la convexidad, concavidad, convexidad estricta o concavidad estricta de

las siguientes funciones:

f es convexa si ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y + + ,x y

f es cncava si ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )f x y f x f y + + ,x y

a)

( ) ( )y f x sen x= = en [ ]0,2M = no es cncava ni convexa ya que:

Si1 2

10, ,

2 2x x

= = =

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 1 1 1

1 1 (0)4 2 2 2 2 2

f x x f f x f x sen sen

+ = = + = + =

Pero si 1 23 1

, ,2 2

x x

= = = :

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 25 2 1 1 3 1

1 1 ( )4 2 2 2 2 2

f x x f f x f x sen sen

+ = = < + = + =

( ) ( )y f x sen x= = en3

,2

M

=

Sean1 2,x x M


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( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 cos 1 cos 1f x x sen x x sen x x x sen x + = + = +

( ) ( )( )1 21sen x sen x + (porque cos( ) 1z )

( ) ( ) ( )1 21sen x sen x + (porque 1 23

, ,2

x x

)

= ( ) ( ) ( )1 21f x f x + f es convexa en3

,2

M

=

b) y x= en +y

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 ( ) 1 ( )f x x x x x x f x f x + = + + = + ya que

( ) 2

1 21 0x x f es cncava

c) ( )y f x a bx= = + en y con ,a b y

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 1

f x x a b x x

f x f x a bx a bx

+ = + + =

+ = + + +

f es cncava y convexa al mismo tiempo

d)3( )y f x x= = en y y en +y

( )( ) ( )( )3

1 2 1 21 1f x x x x + = + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 23 2

1 2 1 2 1 21 3 1 3 1x x x x x x = + + +

Si 0ix : ( )( )

3

1 21x x + ( ) ( ) ( )1 21f x f x + convexa

Si ( )( )3

1 20 1ix x x + ( ) ( ) ( )1 21f x f x + cncava

Entonces:

En y :3( )y f x x= = no es cncava ni convexa

En+

y :3( )y f x x= = es convexa

e)2 2

1 2 1 2( , ) 2 3y f x x x x= = + en2

y

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( , ) 1 ( , ) 1 , 1

2 1 3 1

2 3 1 2 3 ( , ) 1 ( , )

f x x y y f x y x y

x y x y

x x y y f x x f y y

+ = + + =

= + + +

< + + + = +

Ya que ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 21 2 3 0y x y x + > f es estrictamente convexa

f) 1 2 3 1 2 3( , , )y f x x x x x x= = en3

y no es ni cncava ni convexa porque

Sean ( ) ( ) 1

1, 2, 3 , 1, 2, 3 ,2

x y = = = :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

1 0,0,6 0 1 6 6 62 2

f x y f f x f y + = = < + = + = convexa

Sean ( ) ( ) 1

1, 2, 3 , 1, 2, 3 ,2

x y = = = :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1,0,0 0 1 6 6 62 2

f x y f f x f y + = = > + = + = cncava


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12.Sean

My un subconjunto convexo. Demostrar que:a) Si fes una funcin convexa (cncava) en M, entonces fes una funcin cncava (convexa).

Si la funcin f es convexa cumple que ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1f x y f x f y + + ( ),x y M y simultiplicamos por (-1) tenemos que:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1f x y f x f y f x f y + + = + f es cncava

b) Si fes una funcin estrictamente convexa (estrictamente cncava) en M, entonces fes una funcin

estrictamente cncava (estrictamente convexa).(igual que el anterior pero con desigualdades estrictas)

c) Si fes una funcin convexa (cncava) en My 0 , entonces f es una funcin convexa (cncava).

Si la funcin f es convexa cumple que ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1f x y f x f y + + ( ),x y M . Simultiplicamos por 0 :

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1f x y f x f y f x f y + + = + f es convexad) Si fes una funcin convexa (cncava) en My 0 , entonces f es una funcin cncava (convexa).

Si la funcin f es convexa cumple que ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1f x y f x f y + + ( ),x y M . Simultiplicamos por 0 : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1f x y f x f y f x f y + + = + f es cncava

e)

Si { }/ 1, ...,if i m= es una familia de funciones convexas (cncavas) en M, entonces la funcin1

m

i i

i

f f=

=

con 0i es una funcin convexa (cncava) en M.

Si la funcinif es convexa cumple que ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1i i if x y f x f y i + + ( ),x y M .

Entonces:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1

1 1

m m

i i i i i

i i

m m

i i i i

i i

f x y f x y f x f y

f x f y f x f y

= =

= =

+ = + +

= + = +

f es convexa

13.NO ENTRA PARA EXAMEN: Estudiar la concavidad o convexidad de las siguientes funciones diferenciables:

Si1

f C es convexa entonces se cumple que

( )( )( ) ( ) 0f y f x y x

Si1

f C es cncava entonces se cumple que

( )( )( ) ( ) 0f y f x y x

a) ( )f x a bx= + con x y

( ) ( )f x f x b = = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0f y f x y x b b y x = = f es convexa y cncava

b)2( )f x x= con x y

( ) ( ) 2f x f x x = = ( )( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) 2 2 2 0f y f x y x y x y x y x = = f es convexa

c) ( )f x x= con 0x>

( )( ) ( ) ( )( )

1

( ) ( ) 2

1 1( ) ( ) 0

2 2 2

f x f x x

x y y xf y f x y x y x

y x xy

= =

= =


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Porque el denominador es positivo siempre ya que , 0x y> y el numerador siempre es negativo o cero porque

si 0x y x y< < y 0y x > y viceversa. f es cncava

d) ( ) xf x e= con x y

( ) ( ) xf x f x e = = ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0y xf y f x y x e e y x = Porque

( )( )

( )( )

0 0 0

0 0 0

y x y x

y x y x

y x e e y x e e y x

y x e e y x e e y x

f es convexa

e) ( ) ln( )f x x= con 0x>

( )( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1 1( ) ( ) 0 , 0

f x f xx

x y y xf y f x y x y x x y

y x xy

= =

= = >

f es cncava

f) 1 2 1 2( , )f x x ax bx c= + + con2

1 2( , )x x y y , ,a b c y

( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) , ( )

( ) ( ) , , 0 ,

f x a b f y

f y f x y x a b a b y x x y

= =

= = f es convexa y cncava

g) 1 2 1 2( , ) ln( )f x x x x= + con 1 2( , )x x + + y y

( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1( , ) ,

1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,

f x xx x x x

f y y f x x y y x x y x y xy y x x y y x x

= + +

=

+ + + +

=( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 1 21 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0x x y yx x y y

y x y xy y x x y y x x

+ + + + + = + + + +

f es cncava

h) 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x x x x= + + con { }1 2 3( , , ) 0x x x + + + y y y

( )( ) ( )

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1( , , ) , ,

2 2 2

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

2 2

f x x xx x x x x x x x x

f y y y f x x x y y y x x x y x y x y xy y y x x x

= + + + + + +

= + +

+ + + +

( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

02

x x x y y y y y y x x x

y y y x x x

+ + + + + + + +=

+ + + + f es cncava

i) 1 2 31 2 3( , , ) x x x

f x x x e += con 31 2 3( , , )x x x y no es cncava ni convexa ya que:


15/43

( )( )( )

( )( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 1 1 1 1 2 2 3 3

( , , ) , ,

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

, , , ,

x x x x x x x x x

y y y x x x y y y x x x y y y x x x

f x x x x e x e e

f y y y f x x x y y y x x x

y e x e y e x e e e y x y x y x

+ + +

+ + + + + +

=

=

1)

Sean ( )1 2 3( , , ) 0,3,2x x x = , ( )1 2 3( , , ) 1,1,1y y y =

( )( ) ( )( )2 2 2( ) ( ) 2 , ,0 1, 2, 1 4 0f y f x y x e e e = = <

2)

Si ( ) ( )1 2 3 1 2 3( , , ) 1,1,1 , ( , , ) 0,0,2x x x y y y= = tenemos que

( ) ( ) ( )( )2 2 2( ) ( ) , ,0 1, 1,1 2 0f y f x y x e e e = = >

j)2 2 2

1 2 3 1 2 3( , , )f x x x ax bx cx d= + + + con3

1 2 3( , , )x x x y , , ,a b c d y

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 1 2 2 3 3

( , , ) 2 , 2 , 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 , ,

2 2 2

f x x x ax bx cx

f y y y f x x x y y y x x x

ay by cy ax bx cx y x y x y x

a y x b y x c y x

=

=

=

= + +

Si , , 0a b c f es convexa

Si , , 0a b c f es cncava

En general depender del valor de , ,a b c

14.Estudiar la concavidad / convexidad de las siguientes funciones, teniendo en cuenta que son funciones de tipo2

C :2

f C es convexa ( )Hf x es Definida o Semidefinida Positiva2

f C es cncava ( )Hf x es Definida o Semidefinida Negativa

a)

2 2

1 2 1 2( , )f x x ax bx= + con2

1 2( , )x x y ,a b y

2 0( )

0 2

aHf x

b

=

, 0 ( ) .

, 0 ( ) . .

, 0 ( ) .

, 0 ( ) . .

Si a b Hf x es D P f estrictamente convexa

Si a b Hf x es S D P f convexa

Si a b Hf x es D N f estrictamente concava

Si a b Hf x es S D N f concava

En otro caso Ni cncava ni convexa

>

<

b)

2 21 2 1 2( , )f x x x x= + con

21 2( , )x x y

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2 1 21

2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 2 1 2 1 2 1 21 2

22 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

2 1 2

22 2 2 21 2 11 2 1 2

( )

1( )

x x xxf

x x x x x x x x xx xHf x

xf x x x

x x x x x x x x x x x

x x xHf x

x x xx x x x

= + + + ++

= =

+ + + + +

=

+ +

Por menores principales:

( )

2

2 0. .

det ( ) 0

xS D P f convexa

Hf x

=


16/43

c) 1 21 2( , ) ax bx

f x x e += con 21 2( , )x x y ,a b y

1 2

1 2

1 2

21

2

2

( )

ax bx

ax bx

ax bx

fae

x a ab

Hf x ef ab bbe

x

+

+

+

=

= =

( ) . .Hf x es S D P f convexa

d) 1 2 1 2( , ) ln( )f x x x x= con 1 2( , )x x + + y y

2

1 1 1

2

2 2 2

1 10

( )1 1

0

f

x x xHf x

f

x x x

= =

=

( ) .Hf x es D N f estrictamente concava

e)

2

1 2 3 1 3( , , ) 2 3x

f x x x x e x= + + con 31 2 3( , , )x x x y

2 2

1

2

3

2

0 0 0

( ) 0 0 ( ) . .

0 0 0

3

x x

f

x

fe Hf x e Hf x es S D P f convexa

x

f

x

=

= =

=

f)2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3( , , ) 4 2f x x x ax bx x x x x x= + + + + con3

1 2 3( , , )x x x y

1 2 3

1

2 1

2

3 13

2 4 2

2 4 2

2 4 ( ) 4 2 0

2 0 2

2 2

fax x x

xa

fbx x Hf x b

x

fx x

x

= + +

= + =

= +

Menores Principales: ( )

( )

1

2

3

2

4 16 4 4

8 8 32 8 4

A a

A ab ab

A ab b ab b

=

= =

= =

1)

Si 0, 4 0, 4 0a ab ab b f > > > es estrictamente convexa

2)

Si 0, 4 0, 4 0a ab ab b f > > = es convexa

3) f ser cncava si ( )0, 4 0, 4 0 0, 4, 1 4a ab ab b a ab b a< > < > pero no existen valores de,a b que satisfagan esto.

f es convexa


17/43

TEMA 2 Programacin sin restricciones, con restricciones de igualdad y con

restricciones de desigualdad

Programacin sin restricciones1. Comprobar que el punto ( 2,3) es un mnimo local de la funcin 2 21 2 1 2 1 2( , ) 2 8 6 20f x x x x x x= + + +

Puede asegurarse quefno tiene mximos?

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

( 2,3) 3( , ) 2 8 6 20 2( 4 ) ( 6 ) 20

2( 2) 8 ( 3) 9 20 2( 2) ( 3) 3 3 ( 2,3)

ff x x x x x x x x x x

x x x x f

== + + + = + + +

= + + + = + + + > =

( 2,3) Es un mnimo global def,en particular, es un mnimo local

No hay mximos porque ( )1 2 1 3( , ) 4 8,2 6f x x x x = + slo se anula en el punto ( 2,3)

2. Utilizando la funcin2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 3f x x x x x x= + , probar que se cumple la condicin necesaria de primer

orden de extremo relativo, pero que dicha condicin no es suficiente para la existencia de ptimos.2 2

1 2 1 1 2 2

1 2

1

1 2

1 2

2

( , ) 3

2 3 0

( , ) (0, 0)

3 2 0

(0,0) 0

f x x x x x x

fx x

xx x punto crtico

fx x

x

f

= +

= + =

= = =

=

Hay que determinar ahora si (0,0) es mximo o mnimo:

Sea ( )1 2( , ) (0,0),x x B r para algn 0r> , por ejemplo:

(1) ( )1 1( , ) (0,0),x x B r 2

1 1 1( , ) 3 0 (0,0)f x x x f = = (0,0) sera mximo

(2) ( ) 21 1 1 1 1( , ) (0,0), ( , ) 3 0 (0,0)x x B r f x x x f = = (0,0) sera mnimo

(0,0) no es ni mximo ni mnimo se cumple la condicin necesaria de optimalidad pero no la condicin

suficiente.

3. Determinar los puntos crticos de las siguientes funciones y clasificarlos:

a)2 2

1 2 1 1 2 2 1( , ) 2 2 2 3f x x x x x x x= + + +

1 2

11 2

1 2

2

4 2 2 0

( , ) ( 1,1)

2 2 0

fx x

xx x punto crtico

fx x

x

= + + =

= = + =

2 2

2

1 1 2

1 2 1 22 2

2

1 2 2

1 2

4 2

( , ) ( , )

2 2

( , ) ( 1,1)

f f

x x xHf x x es Definida Positiva x x f es convexa

f f

x x x

x x es mnimo global

= =

=

= =

=


18/43

b)4 2 2

1 2 1 1 2 2( , ) 8 4f x x x x x x= + + 2 2

3 2

1 1 12

1 1 1 2

1 2 1 2 2 2

2 22 1 2 2

1 2 1 2

4 16 0 12 16 0

( , ) (0,2) ( , )

2 4 0 0 2

( , ) ( , ) (0, 2)

f f fx x x

x x x xx x punto crtico y Hf x x es

f f fx

x x x x

Definida Positiva x x f es convexa x x es mnimo global

= + = = + = = = = = = =

=

c) 1 2 1 2( , )f x x x x=

1 2 2 1 2 1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

(0,0) ( , ) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

, 0( , ) 0

, 0(0,0) 0

, 0( , ) 0

, 0

es punto silla porque f x x x x x x

si x xf x x

si x xpero f

si x xf x x

si x x

= = =

> >

<

d)2 2

1 2 1 2 1 2( , ) ln( )f x x x x x x= +

2 2 12 1 2 1 2 2 2

1 1 2

2 2 21 1 2 1 2 2 2

2 1 2

2ln( ) 0

2ln( ) 0

xfx x x x x

x x x

xfx x x x x

x x x

= + + = +

= + + =

+

Los puntos crticos son:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1

1,0 , 1,0 , 0,1 , 0, 1 , , , , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2e e e e e e e e

e)2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 8 3 10 2 13f x x x x x x x x x= + +

1

1

2 1 2 3

2

3

3

2 8 0

110 10 0 ( , , ) 4, 1,

3

6 2 0

fx

x

fx x x x

x

fx

x

= + =

= = =

= + =

2 2 2

2

1 1 2 1 3

2 2 2

1 2 3 1 2 32

2 1 2 2 3

2 2 2

2

3 1 3 2 3

2 0 0

( , , ) 0 10 0 ( , , )

0 0 6

f f f

x x x x x

f f fHf x x x es Definida Negativa x x x

x x x x x

f f f

x x x x x

= = =

= = = =

= = =

1 2 3

1( , , ) 4, 1,

3f es cncava x x x es mximo global

=


19/43

f)2 2

1 2 1 1 2( , ) 3 2f x x x x x= +

( )

( )

1

1

1 2

2

2

2 2

2

1 1 2

1 2 1 22 2

2

1 2 2

1 2

2 2 0

( , ) 1,0

2 0

2 0

( , ) ( , )

0 2

( , ) 1,0

fx

xx x es punto crtico

fx

x

f f

x x xHf x x es Definida Negativa x x f es cncava

f f

x x x

x x es mximo global

= =

= = =

= = =

= =

=

g)2 2

1 2 1 1 2( , ) 3 2f x x x x x= +

( )

1

2 21 1 1 2

1 2

2

2 22 1 1 2

1 03 2

( , ) 1,0

03 2

xfx x x x

x x es punto crticoxf

x x x x

= = + =

= = +

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 2( , ) 3 2 ( 1) 7 7 4 2 (1,0)f x x x x x x x f= + = + < = =

( )1 2( , ) 1,0x x es mximo global =

Adems, dado que1 2 1 2( , ) 0 ( , ) ( ) :f x x x x Dom f Todos los puntos del conjunto

{ } { }2 21 2 1 2 1 1 2( , ) : ( , ) 0 3 2 0M x x f x x x x x son mnimos de f= = = + =

h) 1 2 1 2 1( , ) ( 1)f x x x x x=

( ) ( )1 2 2

1

1 2

2

1 1

2

2 0

( , ) 0, 0 , 1, 0

0

fx x x

xx x

fx x

x

= =

= = =

son puntos crticos

2 2

2 12

1 1 2

1 22 2

1 2

1 2 2

2 2 1

( , )

2 1 0

f fx x

x x xHf x x

f fxx x x

= =

=

= =

( )

( )

1 2

1 2

0 1(0,0) ( , ) 0,0

1 0

0 1(1,0) ( , ) 1,0

1 0

Hf es Indefinida x x es punto silla


= =

= =

i)2 2

1 2

1 2( , ) x x

f x x e =


20/43

( )

2 21 2

2 21 2

1

1

1 2

2

2

2 0

( , ) 0,0

2 0

x x

x x

fx e

xx x es punto crtico

fx e

x

= =

= = =

( )

( )

2 2 2 21 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

2 22

1 1 22

1 1 2

1 2 2 22

1 2 22

1 2 2

2 2 2 2

( , )2 2 2 2

x x x x

x x x x

f fx e x x e

x x x

Hf x x f fx x e x e

x x x

= + =

= = = +

( )1 22 0

(0,0) ( , ) 0,00 2

Hf es Definida Negativa x x es mximo local

= =

Pero, adems se cumple que:

( )

2 21 2

2 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

( , ) (0,0)

( , ) 00 ( , ) 1 (0,0) ( , ) ( , ) 0,0

lim 1

x x

x x

x x

f x x ef x x f x x x x es mximo global de f

e

= = =

=

j)

1 22

1 2 1 2( , ) x x

f x x x x e +=

( )

( )

( )

( )

( )1 2

1 2

2

1 2 1 21 21

2 2 1 1 22 1

2

1 0 ( , ) 0,01 0

cos11 2 0 ( , ) 1,

1 2 0 2

x x

x x

fx x e x x

x xxson puntos crti

f x x x xx x e

x

+

+

= + = = + =

+ = = = + =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

2 22 2

1 2 2 12

1 1 2

1 2 2 22 2

2 1 2 12

1 2 2

2 1 2 1

( , )

1 2 1 1 4

x x x x

x x x x

f fx x e x x e

x x xHf x x

f fx x e x x ex x x

+ +

+ +

= + = + +

=

= + + = +

( )1 20 1

(0,0) ( , ) 0,01 0


= =

2

1 2

2

1 0 11, ( , ) 1,2

2 20 2

e


e

= =

1 2

1( , ) 1,

2x x

=

es mximo local, pero no global, porque ( )

2311, 0.07 1,1 20.01

2 2

ef f e

= < =

. .

k)

2 3

1 2 1 2( , ) x

f x x x x=

( )

2

2

2 2

2 2

1 31 42 1 2

1 21

23 2 1 2 2 1 1

1 1 2 1 2

2

00

( ) 3 0( ) 3 0

xx

x xx x

fx x x

x xx

f x x x Ln x xx Ln x x x x

x

= = =

+ = = + =

De la primera ecuacin se deduce que 2 0x = , ya que segn la segunda ecuacin 1 0x (porque no existe el

logaritmo de un nmero negativo o cero). Entonces el conjunto de puntos crticos es:

{ }1 1( ,0) : 0x x > donde

1( ,0) (0,0)f x =


21/43

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 1 14 3 4

2 2 1 2 1 2 1 12

1 1 2

1 2 2 221 1 13 4 2

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 12

1 2 2

1 4 ( )

( , )

4 ( ) 6 6 ( ) ( )

x x x

x x x

f fx x x x x x x Ln x

x x xHf x x

f fx x x x Ln x x x x Ln x x Ln x

x x x

= = +

=

= + = + +

1

0 0( , 0)

0 0Hf x

=

Las condiciones de segundo orden no dan informacin sobre los puntos crticos def. Pero,

como en toda bola abierta B centrada en un punto crtico

1 1( ,0) 0x con x > existen puntos tales que

1 2 2 1 2 1

1 2 2 1 2 1

( , ) 0 ( , ) 0 ( ,0)

( , ) 0 ( , ) 0 ( ,0)

x x B con x f x x f x

x x B con x f x x f x

> > =

< < =

Entonces los puntos { }1 1( ,0) : 0x x > son puntos de silla

l) 11 2 2 21 2

4( , )

1

xf x x

x x

=

+ +

( )( )

( )

( )

( )

2 21 2

22 2 2 2

1 1 21 2 1 2

1 2 1 21 2

22 2

2 1 2

4 10

( , ) 1,01 1 0cos

0 ( , ) 1,080

1

x xf

x x xx x x xson puntos crti

x x x xx xf

x x x

= =

= + + =

= = = = + +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3 2 2 22 21 1 2 1 2 2 1

3 32 2 2 2 21 1 21 2 1 2

1 2 2 2 2 22 22 2 1 1 1 2

3 322 2 2 21 2 21 2 1 2

8 3 3 8 1 3

1 1( , )

8 1 3 8 3 1

1 1

x x x x x x xf f

x x xx x x xHf x x

x x x x x xf f

x x xx x x x

+ = =

+ + + + = + +

= = + + + +

( )

( )

1 2

1 2

2 0(1,0) ( , ) 1,0

0 2

2 0( 1,0) ( , ) 1,0

0 2

Hf es Definida Positiva x x es mnimo local


= =

= =

m)

2 2 2

1 2 3 1 2 1 1 3 3( , , ) 3 3 3f x x x x x x x x x= + +

( )

1 3

1

2 1 2 3

2

1 3

1

2 3 3 0

2 0 ( , , ) 6,0,3

3 6 0

fx x

x

fx x x x es punto crtico

x

fx x

x

= =

= = =

= + =


22/43

( )

2 2 2

2

1 1 2 1 3

2 2 23

1 2 3 1 2 32

1 2 2 1 2

2 2 2

2

1 3 1 2 3

1 2 3

2 0 3

( , , ) 0 2 0 ( , , )

3 0 6

( , , ) 6,0,3

f f f

x x x x x

f f fHf x x x es Definida Positiva x x x

x x x x x

f f f

x x x x x

f es convexa x x x es mnimo glob

= = =

= = = =

= = =

=

y

al

n)2 2 2 2 2 2( , ) ( ) 2 ( )f x y x y a x y= + con { }0a

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 ( ) 4 4 ( ) 0

4 ( ) 4 4 ( ) 0

fx x y a x x x y a

x

fy x y a y y x y a

y

= + = + =

= + + = + + =

0 0

0

0

x y

x

y x a

x a

= =

=

= = =

( ) ( ) ( ){ }cos 0,0 , ,0 , ,0puntos crti a a= 2 2

2 2 2

2

2 22 2 2

2

12 4 4 8

( , )

8 4 12 4

f fx y a xy

x x yHf x y

f fxy x y a

x y y

= + =

=

= = + +

( )2

1 22

4 0(0,0) ( , ) 0,0

0 4

aHf es Indefinida x x es punto silla

a

= =

( )

2

1 22

8 0

( ,0) ( , ) ,00 8

a

Hf a es definida positiva x x a es mnimo locala

= =

( )2

1 22

8 0( ,0) ( , ) ,0

0 8

aHf a es definida positiva x x a es mnimo local

a

= =

4. Para las funciones y subconjuntos de2 que se indican a continuacin estudiar en qu casos son aplicables

las condiciones enunciadas en la Proposicin sobre la condicin suficiente de extremo relativo:

a)2 2

1 2 1 2 1 2( , ) (1 )f x x x x x x= definida en [ ] [ ] 20,1 0,1A=

Segn el Teorema de Weierstrass, la funcinf (continua) alcanza un mximo y mnimo globales en el conjunto

A(compacto).

Los puntos que buscamos estarn situados en el interior del cuadradoAo en su borde. Calculemos los puntosque anulan el gradiente:

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 1 2

2

(1 ) ( 2 ) (1 3 ) 0

(1 ) ( 2 ) (1 3 ) 0

fx x x x x x x x x

x

fx x x x x x x x x

x

= + + = =

= + + = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 1 1 1 1

, 0,0 , 0,1 , 0, 1 , 1,0 , 1,0 , , , , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

x x

=

Los puntos crticos que pertenecen aAson:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1, 0,0 , 0,1 , 1,0 , ,2 2

x x =

La Hessiana defen cualquier punto es:


23/43

2 22 2

1 2 1 22

1 1 2

1 2 2 22 2

1 2 1 22

1 2 2

6 1 3 3

( , )

1 3 3 6

f fx x x x

x x xHf x x

f fx x x x

x x x

= =

=

= =

Observamos que el punto (0,0) no es un punto interior deAy, si aplicamos las condiciones de suficiencia

obtendramos:

0 1(0,0)1 0

Hf =

que, por ser indefinida, indica que (0,0) es punto de silla.

Sin embargo, si analizamos los valores defen las proximidades del punto (0,0) en el conjuntoA, observamos que la

funcin es siempre no negativa y por tanto en (0, 0) la funcinftiene un mnimo local. Esto se debe a que las

condiciones de segundo orden no son aplicables al conjuntoAporque no es abierto y el punto (0,0) no es interior.

En los puntos (1,0) y (0,1) tampoco es posible aplicar las condiciones de segundo orden. Sin embargo, en estos

puntos la Hessiana es indefinido y realmente son puntos de silla de la funcinf.

El punto1 1

,2 2

es un punto interior deA, por tanto, s es posible aplicar las condiciones suficientes de segundo

orden:

3 / 2 1/ 21 1,1/ 2 3 / 22 2

Hf = es definida negativaEl punto 1 1,

2 2

es un mximo local.

En las rectas 1 0x = y 2 0x = la funcinfse anula. Para la recta 1 1x = ,3

1 2 2( , )f x x x= es negativa (para 2 0x > )

y, cuando2 1x = ,

3

1 2 1( , )f x x x= tambin es negativa. Entonces, los puntos del conjunto:

( ){ } ( ){ }2 21 2 1 2 1 2 2 1, : 0,0 1 , : 0,0 1x x x x x x x x = < =


24/43

La distancia entre estos puntos es igual a la siguiente funcin:

( ) ( )( )22 2

1 2 1 2( , ) 5d A B x x x x= +

Calcular el mnimo de esta funcin es lo mismo que calcular el mnimo de:

( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 2

1 2 1 2 1 2( , ) 5 ,d A B x x x x h x x= + =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 3

1 2 1 1 2 1 1 2 1 2

1

2 2

1 2 1 2 1 1 2

2

2 4 5 4 4 18 2 0

2 5 2 3 10 0

hx x x x x x x x x x

x

hx x x x x x x

x

= + = =

= = + + =

( )1 21 21 1 21

, ,2 2

x x + +

=

6. Una compaa fabrica un producto en dos factoras. El coste de produccin de cada factora es

respectivamente:2 2

1 1 1 2 2 20,2 40 5000, 0, 25 40 1375c x x c x x= + + = + +

Siendo 1x y 2x las unidades de producto elaboradas en cada factora respectivamente. Si el producto se

vende a 150 u.m. la unidad, hallar la cantidad que debe producirse en cada factora para que el beneficio seamximo.

La funcin de coste total es ( ) 2 21 2 1 2 1 1 2 2, 0, 2 40 0,25 40 6375C x x c c x x x x= + = + + + +

La funcin de ingresos ( )1 2 1 2, 150( )I x x x x= +

Entonces la funcin de beneficio es: ( ) 2 21 2 1 2 1 2, 110 110 0,2 0,25 6375B x x I C x x x x= = +

( )1

1

1 2

2

2

110 0,4 0

, (275, 220)

110 0,5 0

Bx

xx x

B

xx

= =

=

= =

2 2

2

1 1 2

2 2

2

1 2 2

0,4 0

(275,220)

0 0,5

f f

x x xHB

f f

x x x

= =

=

= =

es definida negativa ( )1 2, (275, 220)x x = es el punto en el que

obtenemos los mximos beneficios.

7. La funcin de coste total de una empresa monopolista que produce dos bienes es

2

1 2 1 2

1

( , ) 10 906C q q q q= +

Siendo 1q y 2q las cantidades producidas de dichos bienes. Si las funciones de demanda a las que se

enfrenta la empresa son:

1 1 2

2 1 2

680 5 3

430 3 2

q p p

q p p

=

=

Donde 1p y 2p son los precios de mercado de cada una de los bienes. Calcular los niveles de produccin

que proporcionan al empresario el mximo beneficio.

1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2

680 5 3 70 2 3

430 3 2 110 3 5

q p p p q q

q p p p q q

= = +

= = +

La funcin de ingresos ser: ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2, 70 2 3 110 3 5I q q p q p q q q q q q q= + = + + +

Los beneficios sern: ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 1 2 2 1 21

, 70 2 3 110 3 5 10 906

B x x I C q q q q q q q q

= = + + + +


25/43

( ) 2 21 2 1 1 1 2 2 213

, 70 6 120 5 906

B x x q q q q q q= + +

( )1 2

1

1 2

1 2

2

1370 6 0

3 2130 1410, ( , )

11 116 120 10 0

Bq q

qq q

Bq q

x

= + =

= = + =

2 2

2

1 1 2

2 2

2

1 2 2

13 632130 1410

( , )11 11

6 10

f fq q q

HBf f

q q q

= = =

= =

es definida negativa

el punto ( )1 22130 1410

, ( , )11 11

q q = es mximoel mximo beneficio que podemos alcanzar es

2130 1410 158.160,

11 11 11B

=

8.

Una monopolista vende su producto en dos mercados, vendiendo todo lo que produce, siendo su funcin decostes totales

2( ) 2 10 120C q q q= + + , donde qes la cantidad total producida.Las demandas a las que se enfrenta la empresa en cada uno de los mercados vienen dadas por las funciones

1 1

110

5q p= y 2 2

115

2q p= , donde 1q y 2q son las cantidades vendidas en cada uno de los mercados, 1p

y 2p son los precios en cada mercado.

Calcular las cantidades que han de venderse en cada mercado para obtener el mximo beneficio, as como los

precios de venta de cada bien.

1 11 1

2 22 2

110

50 55

30 2115

2

q pp q

p qq p

= =

= =

Funcin de costes:2( ) 2 10 120C q q q= + + ( ) ( )

2

1 2 1 2 1 2( , ) 2 10 120C q q q q q q = + + + +

Funcin de ingresos: ( ) ( ) 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 250 5 30 2 ( , ) 5 2 50 30I q p q p q q q q I q q q q q q= + = + = + + Funcin de beneficios = Ingresos Costes:

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) 7 4 4 40 20 120B q q q q q q q q= + +

( )

1 2

1

1 2

2 1

2

14 4 40 05 5

, ,2 48 4 20 0

Bq q

qq q

Bq q

x

= + =

= = + =

2 2

2

1 1 2

2 2

2

1 2 2

14 45 5

,2 4

4 8

f f

q q qHB

f f

q q q

= =

= = =

es definida negativa . El mximo beneficio lo obtendremos vendiendo

2,5 unidades en el mercado 1 y 1,25 unidades en el mercado 2 a precio 15

50 5 37.52

p = = u.m. y

2 530 2 27.54

p = = u.m. respectivamente.


26/43

9. La funcin de produccin de una empresa que produce un bien en competencia perfecta es1 4 1 2( , ) 8Q K L K L= y su precio de venta es 4p= . Los precios de los factores capital (K) y trabajo (L) son,

respectivamente, 8Kp = y 4Lp = . Calcular los niveles de capital y trabajo, as como la cantidad producida

del bien, que maximiza los beneficios de la empresa.

Funcin de costes: ( , ) 8 4C K L K L= +

Funcin de ingresos:1 4 1 2( , ) 32I K L pQ K L= =

Funcin de beneficios = Ingresos Costes:1 4 1 2( , ) 32 8 4B K L K L K L=

( ) ( )

3 4 1 2

1 4 1 2

8 8 0

, 16,64

16 4 0

BK L

KK L

BK L

L

= =

= = =

( )

2 2

2

2 2

2

138 16

16,641 1

16 2

f f

K K LHB

f f

K L L

= = =

= =

es definida negativa

El mximo beneficio lo obtendremos utilizando 16 unidades de capital, 64 unidades de trabajo y produciendo(16,64) 128Q = unidades

Programacin con restricciones de igualdad.

10.La funcin de coste de una empresa viene dada por:2

221

2

121 624),( qqqqqqC += donde q1 y q2 son las

cantidades de factores productivos utilizados para llevar a cabo la produccin. La empresa desea conocer

cules son las cantidades de factores productivos que debe emplear en la fabricacin de forma tal que

minimice el coste y teniendo en cuenta que el presupuesto mximo del que dispone para gastar entre ambos

factores productivos es de 72 u.m.2 21 2 1 1 2 2

1 2

min ( , ) 4 2 6

. . 72

C q q q q q q

s a q q

= +

+ =

2 2

1 2 1 1 2 2 1 2( , , ) 4 2 6 ( 72)L q q q q q q q q = + + +

1 2

1

1 2

2

1 2

8 2 0

2 12 0

72 0

Lq q

q

Lq q

q

L

q q

= + =

= + + =

= + =

1

2

42

30

276

q

q

=

= =

8 2(42,30)

2 12HL es Definida Positiva

=

fes convexa

1 2( , ) (42,30)q q = minimiza el coste 1 2min ( , ) 9936 . .C q q u m=

11.Una empresa produce un bien utilizando tres factores productivos x, y, z. Su funcin de produccin es

( ) zyzxyxzyxQ ++=,, y su funcin de costes es ( ) zyxzyxC ++=,, . Se pide:

a) Cul sera la produccin ptima de la empresa si sus costes alcanzan a 600 unidades monetarias?

( )( )

max , ,

. . , , 600

Q x y z x y x z y z

s a C x y z x y z

= + += + + =

( , , , ) ( 600)L x y z x y x z y z x y z = + + + + +


27/43

Condicin necesaria

0

2000

200

2000

400

600 0

Ly z

xxL

x zyy

zLx y

z

Lx y z

= + + =

= = + + = =

= = + + = =

= + + =

Condicin suficiente2 2 2

2 2 2

2 2

0 0 1 1

(200,200,200) 1 0 1

1 1 01

L L L

x y zHL es Indefinida

L L

x y y z

= = = = = =

1) Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana: 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 2Q h h h h h h h h h= + +

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin en el punto: (200,200,200) (1,1,1)C = 3)

Hallamos las direcciones ortogonales al gradiente:

1 2 3 1 2 3 3 1 2( , , )(1,1,1) 0 0h h h h h h h h h= + + = =

4)

Restringimos la forma cuadrtica a dichas direcciones y la clasificamos:2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( , ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2

2 1( , , ) (200,200,200) max

1 2

Q h h h h h h h h h h h h h h

es Definida Negativa x y z imiza la produccin

= + + =

=

Pr (200,200,200) 120.000oduccin mxima Q =

b)

Cmo varia la funcin objetivo si la empresa pudiera soportar una unidad monetaria ms en sus costes?Estimar la variacin de la funcin objetivo, sin tener que resolver nuevamente el programa.

Precio sombra = = 400 Si aumentamos una unidad los costes, entonces la produccin aumentar aproximadamente en 400

unidades

12.La funcin de utilidad de dos bienes A y B viene dada por: )1()2(),( ++= yxyxU siendo x e y las cantidades

respectivas de cada uno de los bienes, y con un precio unitario de 4 u.m. y 6 u.m., respectivamente. Si la renta

disponible es de 130 u.m. y se gasta totalmente, cmo debemos distribuir la compra de los bienes A y B para

maximizar la utilidad? (Resolver Mediante el Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange).

max ( , ) ( 2)( 1). . 4 6 130

U x y x ys a x y

= + ++ =

( , , ) ( 2)( 1) (4 6 130)L x y x y x y = + + + + Condicin necesaria

1 4 0

16

2 6 0 11

3

4 6 130 0

Ly

x xL

x yy

L x y

= + + = =

= + + = =

=

= + =


28/43

Condicin suficiente

2 2

2 2

2

00 1

(16,11)1 0

1

L L

x yHL es Indefinida

L

x y

= =

= =

1) Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana: 1 2 1 2( , ) 2Q h h h h=

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin en el punto: (16,11) (4,6)g = 3)


1 2 1 2 2 1

2( , )(4,6) 0 4 6 0

3h h h h h h= + = =

4) Restringimos la forma cuadrtica a dichas direcciones y la clasificamos:

2

1 1 1 1

2 4( ) 2 ( ) 0 ( , ) (16,11) max

3 3Q h h h h es Definida Negativa x y imiza la utilidad = = < =

(16,11) 216Utilidad mxima U =

13.La funcin de utilidad de un consumidor viene dada por ( ) ( )32,, zyxLzyxU = conx >0, y >0, z >0. Si los preciosunitarios de los bienes x, y, z, son px= 1, py=2, y pz= 3unidades monetarias, y la renta de que dispone el

consumidor de 600 u.m. cul sera la utilidad mxima que podra obtener el consumidor? (Mtodo de los

Multiplicadores de Lagrange).

( ) ( )2 3, ,max. . 2 3 600

U x y z L x y z

s a x y z

=

+ + =

( )2 3( , , ) ( 2 3 600)L x y zL x y x y z = + + + Condicin necesaria

10

10022 0

100

10033 0

0.01

2 3 600 0

L

x xxL

yy y

zL

z z

Lx y z

= + =

= = + = =

= = + = =

= + + =

Condicin suficiente2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

1

10 02 10.000

2(100,100,100) 0 0

10.0003

30 0

10.0000

( , , ) (100,100,100) max

L

x x

L

y yHL es Definida Negativa

L

z z

L L L

x y x z y z

f es cncava x y z imiza la uti

=

= = =

= = =

= lidad

(100,100,100) 27,63Utilidad mxima U =

Interpretar econmicamente el valor del multiplicador.

Precio sombra = = 0.01 Si la renta disponible aumenta en 1ud, entonces la utilidad aumentaraproximadamente en 0.01 unidades


29/43

14.

La funcin de produccin de una empresa manufacturera viene dada por xyyxQ =),( , donde x e y son las

cantidades de factor trabajo y de factor capital respectivamente, que utiliza en la produccin. La empresa

dispone de un total de 24 u.m. para la adquisicin de los factores productivos, siendo 2 u.m. y 3 u.m.,

respectivamente, el coste unitario de dichos factores.

a) Encontrar las cantidades de cada uno de los factores con los que logra maximizar la produccin. (Resolver por

el Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange).

( )max , ,

. . 2 3 24

( , , , ) (2 3 24)

Q x y z x y

s a x y

L x y z x y x y

=

+ =

= + +

Condicin necesaria

2 0

6

3 0 4

2

2 3 24 0

Ly

x xL

x yy

Lx y

= + = =

= + = =

= = + =

Condicin suficiente2 2

2 2

2

00 1

(6,4)1 0

1

L L

x yHL es Indefinida

L

x y

= =

= =

1) Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana:1 2 1 2( , ) 2Q h h h h=

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin en el punto: (6,4) (2,3)g =

3) Hallamos las direcciones ortogonales al gradiente:

1 2 1 2 2 12( , )(2,3) 0 2 3 03

h h h h h h= + = =


2

1 1 1 1

2 4( ) 2 0 ( , ) (6,4) max

3 3Q h h h h es Definida Negativa x y es imo

= = < =

Pr (6,4) 24oduccin mxima Q =

b) Si dispusiera de 25 u.m. para la adquisicin de los factores, aumentara o disminuira su produccin?

Interpretacin econmica de los Multiplicadores de Lagrange.

Precio sombra = = 2

Si disponemos de una unidad ms para gastar en factores productivos entonces la produccin aumentaraproximadamente en 2 unidades

Si disponemos de 25 unidades ms para gastar en factores productivos entonces la produccin aumentar

aproximadamente en 50 unidades

15.Una empresa destinada a la produccin de raquetas de tenis tiene por funcin de produccin 2121 6),( qqqqQ = ,

donde q1y q2, son las cantidades de factores productivos que utiliza. Los precios unitarios de dichos factores

sonp1= 20y p2= 20unidades monetarias, respectivamente. La empresa cuenta en el presente ejercicio con

un capital de 700 unidades monetarias para hacer frente a la produccin. Adems, debe soportar unos costes

fijos de 100 unidades monetarias.

a) Cul serla la produccin mxima que podra obtener? (Plantear y resolver utilizando el Mtodo de los

Multiplicadores de Lagrange).


30/43

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

max ( , ) 6

. . 20 20 700

( , , ) 6 (20 20 700)

Q q q q q

s a q q

L q q q q q q

=

+ =

= + +

Condicin necesaria

2

11

1 2

2

1 2

6 20 0

17.5

6 20 0 17.5

5.25

20 20 700 0

Lq

qq

L q qq

Lq q

= + =

=

= + = = =

= + =


2 2

1 2

2

1 2

00 6

(17.5,17.5)6 0

6

L L

q qHL es Indefinida

L

q q

= =

= =

1) Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana: 1 2 1 2( , ) 12Q h h h h=

2) Hallamos el gradiente de la restriccin en el punto: (17.5,17.5) (20,20)g = 3)


1 2 1 2 2 1( , )(20, 20) 0 20 20 0h h h h h h= + = =

4) Restringimos la forma cuadrtica a dichas direcciones y la clasificamos:2

1 1 1 1( ) 12 ( ) 12 0 ( , ) (17.5,17.5) maxQ h h h h es Definida Negativa x y imiza la produccin= = < =

Pr (17.5,17.5) 1837.5oduccin mxima Q =

b) Interpretar econmicamente el valor del multiplicador obtenido e indicar si sera conveniente disponer de

una unidad de capital adicional.Precio sombra = = 5.25

Si dispusiramos de una unidad ms de capital para gastar, nuestra produccin aumentara

aproximadamente en 5.25 unidades

16.

Una empresa produce un bien utilizando dos factores productivos x e y. Su funcin de costes es

( ), 4 5C x y x y= + y la funcin de produccin es Q(x, y) = xy. Se pide:

a) Minimizar los costes de produccin si se desean producir 20 unidades del bien.

( )min , 4 5

. . 20

( , , ) 4 5 ( 20)

C x y x y

s a xy

L x y x y xy

= +

=

= + +

Condicin necesaria

4 0

5

5 0 4

1

20 0

Ly

x xL

x yy

Lxy

= + = =

= + = =

= = =

Condicin suficiente:

2 2

2 2

2

0 0 1(5,4)

1 01

L L

x yHL es Indefinida

L

x y

= = = = =


31/43

1)

Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana: 1 2 1 2( , ) 2Q h h h h=

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin en el punto: ( , ) ( , ) (5,4) (4,5)g x y y x g = =

3) Hallamos las direcciones ortogonales al gradiente:

1 2 1 2 2 1

4( , )(4,5) 0 4 5 0

5h h h h h h

= + = =


2

1 1 1 1

4 8

( ) 2 ( ) 0 ( , ) (5,4)5 5Q h h h h es Definida Positiva x y es mnimo local

= = > =

(5,4) 40 . .El mnimo Coste es C u m=

b) Cmo variara el coste si se la produccin aumentase una unidad?

Precio sombra = = 1Si produjramos una unidad ms, nuestro coste aumentara aproximadamente 1 unidad

17.Una empresa produce dos artculos, A y B, siendo su funcin de costes conjuntos: ( ) 22, yxyxC += , dondex ey son las unidades producidas de A y de B, respectivamente. Los precios unitarios de venta respectivos son 6

u.m. y 3 u.m. La poltica de produccin presenta una restriccin del tipo 3032),( =+= yxyxQ .

a)

Hallar las cantidades de produccin de cada artculo con las que optimizara el beneficio. Determinar lanaturaleza del ptimo obtenido.

( )2 22 26 3

( , ) 6 3( , )

Beneficio Ingresos Costes

Ingresos p q x yB x y x y x y

Costes C x y x y

=

= = + = + +

= = +

( )

( )

2 2

2 2

max ( , ) 6 3

. . 2 3 30

( , , ) 6 3 (2 3 30)

B x y x y x y

s a x y

L x y x y x y x y

= + +

+ =

= + + + +

Condicin necesaria

6 2 2 0

6

3 2 3 0 6

3

2 3 30 0

Lx

x xL

y yy

Lx y

= + = =

= + = =

== + =


2 2

2

22 0

( , )0 2

0

( , ) (6,6)

L L

x yHL x y es Definida Negativa

L

x y

B x y es estrictamente cncava mximo global

= =

= =

(6, 6) 18 . .El mximo Beneficio es B u m Siempre hay prdidas=

b) Cul sera la variacin del valor ptimo del beneficio si se incrementase en una unidad la restriccin impuesta

por la poltica de produccin?Precio sombra = = - 3

Si produjramos una unidad ms, nuestro beneficio ptimo disminuira aproximadamente 3 unidades


32/43

18.Una empresa dedicada a la fabricacin de ratones para ordenador, se especializa en dos modelos,xe y. Su

funcin de beneficios viene dada por: ( ) 22 3, yxyxyxB ++= . Teniendo en cuenta que la empresa desea

maximizar su beneficio y que tiene que producir exactamente 100 unidades entre ambos modelos, se pide:

a) Qu cantidad debe producir de cada modelo de ratn para que el beneficio sea mximo?

( ) 2 2max , 3

. . 100

B x y x xy y

s a x y

= + +

+ =

2 2( , , ) 3 ( 100)L x y x xy y x y = + + + +

Condicin necesaria:

2 3 0

50

3 2 0 50

250

100 0

Lx y

x xL

x y yy

Lx y

= + + = =

= + + = =

= = + =


2 2

2 2

2

22 3

(50,50)

3 23

L L

x yHL es Indefinida

Lx y

= =

= =

1)

Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana:2 2

1 2 1 2 1 2( , ) 2 2 6Q h h h h h h= + +

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin ( , ) 100g x y x y= + en el punto (50,50) :

( , ) (1,1) (50,50)g x y g = =

3) Hallamos las direcciones ortogonales a ese gradiente:

1 2 1 2 2 1( , )(1,1) 0 0h h h h h h= + = =


( )22 2

1 1 1 1 1 1( ) 2 2 6 ( ) 2 0 ( , ) (50,50)Q h h h h h h es Definida Negativa x y es mximo local= + + = < =

50Tendr que producir unidades de cada tipo de ratn

b) A cunto asciende el beneficio mximo? Si la empresa pudiera aumentar la produccin entre ambos modelos

en 5 unidades, cmo se vera afectada la funcin objetivo? le convendra disponer de esa produccin

adicional?

(50,50) 12500 . .El mximo Beneficio es B u m=

Precio sombra = = 250Si la empresa pudiese aumentar la produccin en 5 unidades, el beneficio mximoaumentara aproximadamente 5 250 1250 = u.m. Por lo que si le interesara aumentar la produccin

19.Una empresa fabrica un producto combinando dos factores productivos siendo su funcin de

produccin ( , ) 5Q x y xy= , dondexe yson las unidades empleadas de cada factor. Los precios de los factores

son 20xp = u.m.y 10yp = u.m.Los costes fijos ascienden a 100 u.m.

a) Hallar el coste mnimo de producir la cantidad Q= 9 000

Coste Total Costes Variables Costes Fijos= + 20 10 100x y= + +

min ( , ) 20 10 100

. . ( , ) 5 9000

C x y x y

s a Q x y xy

= + +

= =

( , , ) 20 10 100 (5 9000)L x y x y xy = + + +

Condicin necesaria:

20 5 0

30

10 5 0 601

5 9000 0 15

Ly

x xL

x yy

Lxy

= + = =

= + = =

=

= =


33/43


2 2

2 2

2

10 03

(50,50)11

0533

L L

x yHL es Indefinida

L

x y

= = =

= =

1) Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana: 1 2 1 22

( , )3

Q h h h h

=

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin ( , ) 5 9000Q x y xy= en el punto (30,60) :( )( , ) (5 , 5 ) (30, 60) 300,150g x y y x g = =


1 2 1 2 2 1( , )(300,150) 0 300 150 0 2h h h h h h= + = =


( ) 21 1 1 12 4

( ) 2 0 ( , ) (50,50)3 3

Q h h h h es Definida Positiva x y es mnimo local

= = > =

(30,60) 1300 . .El mnimo Coste es C u m=

b)

Hallar la mxima produccin que puede obtenerse con un coste total de 900 u.m.max ( , ) 5

. . ( , ) 20 10 100 900

Q x y xy

s a C x y x y

=

= + + =

( , , ) 5 (20 10 800)L x y xy x y = + +

Condicin necesaria

5 20 0

20

5 10 0 40

1020 10 800 0

Ly

x xL

x yy

Lx y

= + = =

= + = =

=

= + =


2 2

2

00 5

( , )5 01

53

L L

x yHL x y es Indefinida

L

x y

= =

= = =

1)

Hallamos la forma cuadrtica asociada a la matriz Hessiana:1 2 1 2( , ) 10Q h h h h=

2)

Hallamos el gradiente de la restriccin ( , ) 20 10 800C x y x y= + en el punto (20,40) :( , ) (20,10) (20,40)C x y C = =


1 2 1 2 2 1( , )(20,10) 0 20 10 0 2h h h h h h= + = =


( ) 21 1 1 1( ) 10 2 20 0 ( , ) (20,40)Q h h h h es Definida Negativa x y es mximo local= = < =

(20,40) 4000 . .El mximo Beneficio es B u m=


34/43

Programacin con restricciones de desigualdad20.Analizar si se verifican las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker en los puntos que se indican para los

siguientes programas:

Hay que ver si se cumple:

( ) ( ) 0

( ) 0

0

i i

i i

i

f a g a

g a i

i

+ =

=

a)

Punto ( )3,1a= 1 2

2 2

1 2

2

1 2

1

2

min 2

. . 4 0

2 0

0

0

x x

s a x x

x x

x

x

+

1 2

2 2

1 2

2

1 2

1

2

min 2

. . 4 0

2 0

0

0

x x

s a x x

x x

x

x

+

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4

1 1 2

2

3,1 1 2 3,1 0 3,1 0

3,1 2, 1

3,1 2 3,2 2, 1 2 3,2 2 3, 1 0,0

3,1 2 3, 1

a Satura la y la restriccin g g

f

g

g

= = = = = =

= + + = =

1 2

1 3 2 3

3 3 3 3

+ = =

El punto ( )3,1a= verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, pero, como son slo condiciones necesarias, no puedeafirmarse que el punto sea mnimo del problema (aunque en realidad se puede probar grficamente que si es

mnimo global)

b) Puntos ( )2,1a= y9 6

,5 5

b =

( ) ( )2 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1

2

min 3 2

. . 5

3

0

0

x x

s a x x

x x

x

x

+

+

+

( ) ( )2 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1

2

min 3 2

. . 5 0

3 0

0

0

x x

s a x x

x x

x

x

+

+

+

( ) ( ) ( )

( )1 1

1 2 1 2 1 2 3 4

2 2

2 3 2 1 1 0 0, , 0

2 2 2 1 0 1 0i i

x xf x x g x x

x x

+ = + + + + =

( ) ( ) ( )1 2 3 42,1 1 2 2,1 0 2,1 0a Satura la y la restriccin g g = = = = =

Sustituyendo en la ecuacin anterior ( )1 2, (2,1)x x = y 3 40 = = tenemos que:

1 2

1 2

1 2

2 4 00, 2

2 2 0

+ + = = =

+ + =

El punto ( )2,1a= verifica las condiciones de Kuhn-Tucker con multiplicadores 1 2 3 40, 2, 0, 0 = = = =

( )2 1 3 49 6

, 2 2,1 0 05 5

b Satura slo la restriccin g

= = = = =


35/43

As, sustituyendo en la ecuacin vectorial ( )1 29 6

, ,5 5

x x =

y 1 3 4 0 = = = tenemos:

2

2

120

5

80

5

No tiene solucin

+ =

+ =

El punto 9 6,5 5

b =

no verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto, no es mnimo, no es solucin a

nuestro problema

c) Puntos ( )1 5, 2a = y ( )2 0,3a =

1 2

1 2

1 2

1

2

min 2

. . 3

3

2

2

x x

s a x x

x x

x

x

+

+

+

1 2

1 2

1 2

1

2

min 2

. . 3 0

3 0

2 0

2 0

x x

s a x x

x x

x

x

+

+

+

( ) ( )1 2 1 2 1 2 3 42 1 1 1 0 0

, , 01 1 1 0 1 0

i if x x g x x

+ = + + + + =

( ) ( ) ( )1 2 4 1 35, 2 2 4 5, 2 5, 2 0 0a Satura la y la restriccin g g = = = = =

As, sustituyendo en la ecuacin vectorial ( ) ( )1 2, 5, 2x x = y 1 3 0 = = tenemos:

2

2 4

2 4

2 02, 3

1 0

= = =

+ + =

El punto ( )1 5, 2a = verifica las condiciones de Kuhn-Tucker con multiplicadores 1 2 3 40, 2, 0, 3 = = = =

( ) ( ) ( )2 1 2 3 40,3 1 2 5, 2 5, 2 0 0a Satura la y la restriccin g g = = = = =

As, sustituyendo en la ecuacin vectorial ( ) ( )1 2, 0,3x x = y 3 4 0 = = tenemos:

1 2

1 2 1 1

2

2 03 1, 0

2 21 0no cumple la condin

+ = = = + + =

El punto ( )2 0,3a = no verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, por lo que no es solucin ptima de nuestroproblema.

21.Resolver grficamente los siguientes programas, comprobar si se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en

las soluciones ptimas obtenidas y si se cumplen en estos puntos la condicin de regularidad:

a) ( )2 2

1 2min 3x x+ +

3

2 1

3

2 1

. . 0

0

s a x x

x x

Grficamente vemos que la solucin del problema se encuentra en el punto ( ) ( )1 2, 0,0x x = . Veamos si cumple lascondiciones de Kuhn-Tucker:

( ) ( )

( ) 2 21 1 11 2 1 2 1 2

2

02 3 3 3

, , 0 02 1 1i i

x x x

f x x g x x x

+ + = + + =

( ) ( ) 1 21 2

6 06 0 0 00,0 0,0 0

0 1 1 0i i

No tiene sentidof g

= + = + + = =


36/43

El punto ( ) ( )1 2, 0,0x x = , a pesar de ser solucin del programa, no cumple las condiciones de Kuhn-Tucker. Estose debe a que en este punto los gradientes de las restricciones saturadas son linealmente dependientes, por lo que

no cumple la condicin de regularidad y por tanto no tiene por qu cumplirse Kuhn-Tucker

b)2

2 1min x x 2 2

1 2

2

2 21

. . 1 0

1 04

s a x x

xx

+

Grficamente vemos que la solucin del problema se encuentra en el punto ( ) ( )1 2, 1,0x x = . Veamos si cumple lascondiciones de Kuhn-Tucker:

( ) ( )1

1

1 2 1 2 1 2 22 2

21 02

, , 02 02

2

i i

xx

f x x g x x xx x

+ = + + =

( ) ( ) 1 2 1 21 2 2 0 1

1,0 1,0 00 0 0 0 2

i if g

+ = + + = + =

Se verifican las condiciones para todo 1 2, 0 que cumpla que 1 212

+ = , en particular para 1 210,2

= =

El punto ( ) ( )1 2, 1,0x x = es solucin del programa y cumple las condiciones de Kuhn-Tucker, aunque no cumplela condicin de regularidad, ya que en este punto los gradientes de las restricciones saturadas son linealmente

dependientes.

22.Determinar los puntos que verifican las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker en el programa:

1 2

1 2

1 2

1

2

max 4 2

. . 2

1 00

0

x x

s a x x

x xx

x

+

+

+ =

1 2

1 2

1 2

1

2

max 4 2

. . 2 0

1 00

0

x x

s a x x

x xx

x

+

+

+ =

1 Condicin: ( ) ( )1 2 1 2, , 0i if x x g x x + = 1 2 3

1 2 4

4 0

2 0

+ + =

+ =

2 Condicin: ( )1 2, 0i ig x x =

( )

( )( )

( )

1 1 2

2 1 2

3 1

4 2

2 0

1 0

0

0

x x

x x

x

x

+ =

+ =

=

=

3 Condicin: ( )1 2, 0, 0i ig x x i

1 2

1 2

1

2

2 0

1 0

0

0

x x

x x

x

x

+

+ =

1

2

3

4

0

0

0

0

Obsrvese que 2 puede tomar cualquier valor porque asociado a una restriccin de igualdad. Las hiptesis que

podemos hacer sobre los valores que toman los otros 3 multiplicadores son las siguientes:

I) 1 3 4 0 = = = En este caso no se cumplira la 1 condicin


37/43

II) 1 3 0 = =

Sustituyendo en la primera condicin tenemos que:

2

2 4

2 4

4 04, 6

2 0

+ = = =

= No se cumple la 3 condicin

III) 1 4 0 = =


2 3

2 3

2

4 0 2, 62 0

+ = = = =

No se cumple la 3 condicin

IV) 3 4 0 = =


1 2

1 2

1 2

4 03, 1

2 0

+ + = = =

+ =

Satura la primera restriccin y ha de cumplirse la segunda:

( )1 2 1 21 2

2 0 1 3, ,

2 31 0

x xx x

x x

+ = =

+ =

El punto ( )1 21 3

, ,2 3

x x =

cumple las condiciones de Kuhn-Tucker

V) 1 0 =


2 3

2 4

4 0

2 0

+ =

=

1 0 = Satura la 3 y la 4 restriccin, y ha de cumplirse la segunda:

1 2

1

2

1 0

0

0

x x

x No es posible

x

+ =

= =

VI) 3 0 =


1 2

1 2 4

4 0

2 0

+ + =

+ =

3 0 = Satura la 1 y la 4 restriccin, y ha de cumplirse la segunda:

1 2

1 2

2

2 0

1 00

x x

x x No es posible

x

+ =

+ = =

VII) 4 0 =

Satura la 1 y la 3 restriccin, y ha de cumplirse la segunda:

1 2

1 2

1

2 0

1 0

0

x x

x x No es posible

x

+ =

+ = =

VIII) 1 3 40, 0, 0 < < <

Se saturan todas las restricciones:


38/43

1 2

1 2

1

2

2 0

1 0

0

0

x x

x xNo es posible

x

x

+ =

+ =

= =

Por tanto el nico punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker es ( )1 21 3

, ,2 3

x x =

y por ello, podra ser

un mximo del problema, de hecho, grficamente se puede comprobar que es un mximo global.

23.Una empresa monopolista desea maximizar sus ingresos de manera que los beneficios que obtiene no sean

menores que un valor prefijado 0R> . Si el precio de venta viene determinado por p a bq= y la funcin de

costes es 0 1( )C q c c q= + siendo 0 1, , , 0a b c c > . Se pide:

a) Resolver el problema para 0 1100, 4, 50, 20 340a b c c y R= = = = =

( ) ( ) 2( ) 100 4 100 4I q pq a bq q q q q q= = = =

0 1( ) 50 20C q c c q q= + = +

( ) ( )2 2( ) ( ) 100 4 50 20 ( ) 4 80 50Beneficios I q C q q q q B q q q= = + = +

2

2

( ) 100 4

. . ( ) 4 80 50 340

0

mx I q q q

s a B q q q R

q

=

= + =

2

2

( ) 100 4

. . ( ) 4 80 390 0

0

mx I q q q

s a B q q q

q

=

= +

Este programa es convexo, pues la funcin objetivo es cncava ( ( ) 8 0I q q = < ) y el conjunto factible esconvexo. Entonces todo punto que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker ser mximo global del problema:

1 Condicin: ( ) ( ) 0i if q g q + = 1 2100 8 (8 80) ( 1) 0q q + + =

2 Condicin: ( ) 0i ig q =

( )

( )

2

1

2

4 80 390 0

0

q q

q

+ =

=

3 Condicin: ( ) 0, 0i ig q i 2

1

2

4 80 390 0

0

0

0

q q

q

+

( )

( )

1 2

2

1

2

1 100 8 (8 80) ( 1) 0

2 4 80 390 0

0

condicin q q

condicin q q

q

+ + =

+ =

=

1 2 2

1 2 1

1 2

1 2

0, 0, 100 3 0

10 1010, 1, 0 3 0

2 2

10 1010, 1, 0

2 225 25

, 0, 0 3 02 2

q No cumple la condicin porque

q No cumple la condicin porque

q

q No cumple la condicin porque B

= = = >

= + = + = >

= + = + =

= = =


39/43

Por tanto, el punto 1 210 10

10 11.58, 1 0.582, 02 2

q

= + = = + = = es un mximo global del problema y el

ingreso mximo ser:10

10 621.622

I

+ =

u.m.

b) Cmo variaran los ingresos ptimos ante una variacin de los beneficios prefijados?

Si los beneficios ( )B q prefijados R los aumentsemos en una unidad entonces los ingresos mximos aumentaranaproximadamente en 0.582 u.m

24.Una empresa dedicada a la fabricacin de frigorficos, ha establecido un contrato para suministrar 50

frigorficos al final del primer mes, 50 frigorficos al final del segundo mes y 50 al final del tercero. El coste de

producirx frigorficos es2

x en cualquier mes. La empresa puede producir ms frigorficos de los que necesitaen cualquier mes y guardarlos para el siguiente, pero el coste de almacenaje es de 2000 u.m. por unidad/mes.

Suponiendo que no hay inventario inicial, determinar el nmero de frigorficos que deben producirse cada

mes para minimizar el coste total.

Seaix = Nmero de frigorficos que produce en el mes i-simo, con i = 1, 2, 3

Coste Total Coste de produccin Coste de almacenamiento= + 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2

1

1 2

1 2 3

2

3

min ( , , ) 2000( 50) 2000( 100)

. . 50

100

150

0

0

C x x x x x x x x x

s a x

x x

x x x

x

x

= + + + + +

+

+ +

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2

1

1 2

1 2 3

2

3

min ( , , ) 2000( 50) 2000( 100)

. . 50 0

100 0

150 0

0

0

C x x x x x x x x x

s a x

x x

x x x

x

x

= + + + + +

Este programa es convexo, pues la funcin objetivo es convexa (la matriz Hessiana 1 2 3( , , )HC x x x es Definida

Positiva1 2 3, ,x x x ) y el conjunto factible es convexo. Entonces todo punto que verifique las condiciones de Kuhn-

Tucker ser mnimo global del problema:

1 Condicin: ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , 0i if x x x g x x x + = 1

2 1 2 3 4 5

3

2

Ejercicios - Tema 1 y 2 - Soluciones - 2015

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