Ejercicios Resueltos Singer Grupo 07

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CINEMATICA

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

SOLUCION DE MECANICA VECTORIAL (DINAMICA)Ferdinand L.Singer

Asignatura:DINAMICA (IC - 244)

Docente:Ing. CASTRO PEREZ,Cristian

Alumnos:CARBAJAL SULCA, Wilber 16105591GOMEZ HUAZACCA, Katerin Roxana 16105633JAHUIN BONIFACIO, Daysy 16105092YUCRA AGUILAR, Samuel 16110667

Semestre Academico2012 II

AYACUCHO PERU2013

UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL

DINAMICAIC-244

Indice

1. PROBLEMA N-01 51.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5



4. PROBLEMA N-04 114.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. PROBLEMA N-05 135.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. PROBLEMA N-06 156.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15




10. PROBLEMA N-10 23



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Indice de figuras

1. Problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Solucion del problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Solucion del problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Problema 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. Solucion del problema 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Solucion del problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. Problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310. Solucion del problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311. Problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512. Solucion del problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513. Solucion final del problema 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614. Problema 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715. Solucion del problema 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716. Problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917. Solucion del problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918. Problema 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119. Solucion del problema 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321. Solucion del problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322. Problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523. Solucion del problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524. Problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725. Solucion del problema 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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1. PROBLEMA N-01

1.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo

El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ra-nurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleracion de25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleracion de 12.5cm/s2, ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante.

Figura 1: Problema 01

SOLUCION:

Figura 2: Solucion del problema 01

Tenemos:

VA = 30icm/saA = 25icm/s2VB = 40jcm/saB = 12,5jcm/s2

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La velocidad y aceleracion de P: V =

VA +

VB = 30i 40jcm/sa = aA + aB = 25i 12,5jcm/s2

La aceleracion normal esta definida por:

an =|V a||V | =

V 2

V

3

|V a|Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura:

= V3

|Va| = 50

3

625 = 200cm

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2. PROBLEMA N-02


La posicion del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura esta controlada por la gua inclinadaque se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento.calcular la velocidad y la aceleracion de P en la posicion dada.

Sugerencia: trazando la posicion de la gua un corto tiempo t despues de la posicion dada, obtener lascoordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la gua) en terminos de tiempo. El movimiento absolutode P en la ranura circular es igual a la suma Geometrica del movimiento de la gua mas el de P a lo largo de lamisma.


SOLUCION:


De la figura se obtiene:x = Rcos ,y = Rs inx = 12,5

(35

)x = 7,5cmy = 12,5

(45

)y = 10cm x = 7,5cm ; y = 10cm

De la grafica se obtienes la ecuacion de la circunferencia:

x2 + y2 = 12,52

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Derivamos la ecuacion para obtener la velocidad en y:

2xx+ 2yy = 0si x = 6,4cm/sy = xxyy = 7,5(6,4)10y = 4,8m/s2

Volvemos a derivar para obtener la aceleracion en y:

2xx+ 2yy = 02xx+ 2yy + 2(x)2 + 2(y)2 = 0xx+ yy + (x)2 + (y)2 = 0x = 0

y = (x)2+(y)2yy = 6,42+(4,8)210y = 6,4cm/s2

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3. PROBLEMA N-03


Una varilla telescopica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fijadado por y = 122,5x

2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleracion de P son respectivamentev = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2

Cual es entonces la aceleracion angular de la varilla?


SOLUCION:


y =1

22,5x2v = (x, y) v =

(x,

222,5

xx)

= (30,40)

Comprobamos que:

x = 3a = (x,2

22,5x2 +

222,5

xx)x = 25tg =x

30 yDerivando la ecuacion

tg =x

30 y sec2 =

(30 y)x x(y)(30 y)2 ......(1)

Hallamos : y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 = 2,4567 Derivando una vez mas la ecuacion 1:

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2sen2

cos3+ sec2 =

(30 y)2(30x (yx+ xy) + xy + yx) 2(30 y)(y)(30x yx+ xy)(30 y)2

Para:

x = 30

y = 40

x = 25

y = 50

Obtenemos: = 3,30rad/s2

La aceleracion angular es: = 3,30rad/s2

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4. PROBLEMA N-04

4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo

La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso rapido que se ve en la figura ,giracon una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s .Calcular la aceleracionangular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura


SOLUCION:

Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde

Hallamos la velocidad y la aceleracion para la manivela AB:Datos:

= 11,2rad/s, = 0rAB = 25cm , rAB = 0 , rAB = 0

Ademas:vr = r rAB = 0 = vrv = r v = 25 11,2 = 280

Luego:

v =v2r + v2 = 280cm/s

Hallamos la aceleracion radial:

ar = r r2 ar = 0 25 11,22 = 3136a = r + 2r a = 0 + 0 = 0

Luego:

a =a2r + a2 = 3136cm/s

2

Hallamos la velocidad y la aceleracion de para el brazo rasurado De grafico se tiene:

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a = arCosvr = vbCosv = vbSen

De donde se obtiene la velocidad angular:

vr = r rCB = 280Cos 250,4v = r r = 280Sen = 2,24rad/s

Hallamos la aceleracion angular:arCos = 2rCB + rCB = ar rCos2rCBrCB = 3136Cos+2(250,4)(2,24)55,4 = 30,09rad/s2

Esto indica que la aceleracion angular es de 30.09 rad/s2 girando en sentido de las manecillas del reloj.

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5. PROBLEMA N-05

5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo

En la posicion mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente develocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleracion, hacia arriba, de . determine la aceleracionangular de la varilla en esta posicion.


SOLUCION:


De la figura obtenemos:Vr = V cos , V = V sinVr = 60

(45

)Vr = 48cm/s

V = 60(

35

)V = 36rad/s

Segun las siguientes ecuaciones :Vr = r ; V = r

Vr = r = 48cm/sV = 36V = r , r = 25 = 3625 = 1,44rad/s

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DINAMICAIC-244

De la grafica se obtiene lo siguientes:

Vr = V cos , V = V sinVr = 60

(45

)Vr = 48cm/s

V = 60(

35

)V = 36rad/sVr = r ; V = rVr = r = 48cm/sV = 36V = r , r = 25 = 3625 = 1,44rad/s


Vr = V cos , V = V sinVr = 60

(45

)Vr = 48cm/s

V = 60(

35

)V = 36rad/s

Por formula se tienes :Vr = r ; V = rVr = r = 48cm/sV = 36V = r , r = 25 = 3625 = 1,44rad/s


a = acos ,ar = asina = 120

(45

)a = 95rad/s2

a = r + 2r = 95 = 952rr = 952(48)(1,44)25

= 9,3696rad/s2

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6. PROBLEMA N-06

6.1. Cinematica de cuerpo rgido

El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si laaceleracion lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleracion lineal del cuerpo A. Suponga que lacuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.


SOLUCION:

Determinamos: rB/OrB/O = 0,9Sen37i 0,9Cos37jrB/O = 0,54i 0,72jaB = 0,6m/s2rB/O = 0,54i 0,72jaB = 0,6m/s2


Hallamos aB :

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Si:aBaB = aO + rB/O + OB

(OB rB/O )aB = k (0,54i 0,72j)+k (k (0,54i 0,72j))aB = 0,72i 0,54j + 0,722j 0,542 iaB = (0,72 0,542) i + (0,54 + 0,722) jPero:

aB = 0,6 45 i + 0,635j

Entonces:

Figura 13: Solucion final del problema 06

0,72 0,542 = 0,6 45 ....... (1)0,54 + 0,722 = 0,6 35 ....... (2)

De (1) y (2): = 0,667rad/s2 y2 = 0,00025rad/s2

Hallamos aA :aA = aO + rA/O + OA

(OA rA/O )aA = k (0,9i)+k (k (0,9i))aA = 0,9j + 0,92 iaA = 0,6j + 0,0025iaA = 0,6m/s2

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7. PROBLEMA N-07


Las varillas AB y CD estan articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano verticalcon las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.


SOLUCION:


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De la figura tenemos:AB = 4rad/s AB = 4krad/sCD = 3rad/s CD = 3krad/sAB = 15icmBC = 10jcmBD = 15jcm

De AB:

~VB =AB AB

~VB = 4k 15i~VB = 60jcm/s

De BC:~VC = ~VC +

CD BC~VC = 60j + 3k 10j~VC = 60j 30i~VC = 30i + 60jcm/s~VC = 75cm/s

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8. PROBLEMA N-08


Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion dada = 4krad/s y = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.


SOLUCION:


Por cinematica de cuerpos rgidos:

= 4krad/s = 5krad/s2

El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

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aB = aA + xAB +x(xAB)

aB = aA +5kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j) +4kx(4kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j))

aB(cos53oi sen53o j) = aAi + 5,9898j 4,5136i + 19,1673i + 14,4436j

aB(sen53o j) = 20,4334j

aB = 25,5854m/s2

aB = aB(cos53o i sen53o j)aB = (15,3977i 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(cos53oi) = aAi + 14,6537iaA = 0,7440m/s

2

aA = 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:

aA = aC + xCA +x(xCA)

0,7440i = aC +5kx(1,8j) +4kx(4kx(1,8j))0,7440i = aC + 9i 28,8j

aC i = 9,7440i

aC j = 28,8jaC = 30,4037m/s

2

aC = (9,7440i 28,8j)m/s2

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9. PROBLEMA N-09


Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posicion dada,la velocidad y acele-racion en C son vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s2, ambas vertical hacia abajo. cual es la aceleracion angular en la manivela AB ?


En la posicion mostrada:vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s

2 , aAB =?De manera vectorial: vc = 4,8jac = 0,84jSOLUCION:


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Hallamos la velocidad de B:VB = VA +VB/AVB = VA +

[ABk

(0,5i 0,4j

)]VB = 0,5ABj 0,4AB i

Hallamos la velocidad de C:

VC = VB +VC/BVC = VB +

[BC k

(1,19i 0,9j

)]VC = 0,4AB i 0,5ABj +

[BC k

(1,19i 0,9j

)]VC = 0,4AB i 0,5ABj 1,19BC j + 0,9BC iVC = 0i 4,8j

Por lo tanto:0,4AB = 0,9BC BC = 0,40,9AB0,5AB 1,19BC = 4,8BC = 2,07rad/sAB = 4,665rad/s

Finalmente hallamos las aceleraciones:

aB = aA + aAB rB/A + AB (AB rB/A )aB = aABk (0,5i 0,4j)+ (4,665k) (2,33j 1,87i)aB = (0,4aAB 10,87) i + (0,5aAB + 807) jaC = aB + aBC rC/B + BC (BC rC/B )aC = aB + aBC k (1,19i 0,9j)+ (2,207k) (2,47j + 1,86i)aB = aB + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86jaC = (0,4aAB 10,87) i + (0,5aAB + 807) j + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86jaC = (0,4aAB + 0,9aBC 5,76) i + (0,5aAB 1,19aBC + 12,55) j

0,476aAB 6,85 = 00,5aAB + 10,54 = 0

aAB = 3,98rad/s2

La aceleracion gira en sentido horario de las manecillas del reloj.

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10. PROBLEMA N-10

En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor dela arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierdade 2,4m/s y una aceleracion de 3m/s2 .Calcule la velocidad y la aceleracion absoluta en C .


Se tiene como datos:

vA = 2,4m/s, aA = 3m/s2, = 2rad/s , rC/A = 2,4jSOLUCION:


VC =

VA +

AC rC/AAC = 2krC/A = 2,4j

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Ademas se tiene que: AC = AB = 2iVC =

VA +

AC rC/A = 2,4i + 2i (2,4j

)VC = 2,4i + 4,8kVC = 5,37m/s

Hallando la aceleracion: aC = aA + aAC rB/A + AC (AC rC/A )aC = 3i + 2i (2i 2,4j)aC = 3i + 2i (4,8k)aC = 3i 9,6j

aC = 10,058m/s2

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11. PROBLEMA N-11


La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular.Mostrar que :

vA = rw y aAt = r


SOLUCION:


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Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra larueda de lo cual se tiene l siguiente :

wo = wA = wo = wA = = w

De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :

vA = rw

sabemos que :v = wr

v = atv = ddt (wr)v = rw+ rwde donde r = constante r = 0v = rww = at = r

De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA = rw y at = r

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12. PROBLEMA N-12


Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion dada = 4krad/s y = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.


SOLUCION:


Por cinematica de cuerpos rgidos:

= 4krad/s = 5krad/s2

El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la aceleracion:

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aB = aA + xAB +x(xAB)

aB = aA +5kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j) +4kx(4kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j))

aB(cos53oi sen53o j) = aAi + 5,9898j 4,5136i + 19,1673i + 14,4436j

aB(sen53o j) = 20,4334j

aB = 25,5854m/s2

aB = aB(cos53o i sen53o j)aB = (15,3977i 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(cos53oi) = aAi + 14,6537iaA = 0,7440m/s

2

aA = 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:

aA = aC + xCA +x(xCA)

0,7440i = aC +5kx(1,8j) +4kx(4kx(1,8j))0,7440i = aC + 9i 28,8j

aC i = 9,7440i

aC j = 28,8jaC = 30,4037m/s

2

aC = (9,7440i 28,8j)m/s2

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Ejercicios Resueltos Singer Grupo 07

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