Ejercicios Resueltos Dinámica-Singer

7/26/2019 Ejercicios Resueltos Dinmica-Singer

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1. PROBLEMA N-01

1.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo

El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ra-nurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleraci on de25cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleracion de 12.5cm/s2, ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante.

Figura 1: Problema 01

SOLUCION:

Figura 2: Solucion del problema 01

Tenemos:

VA = 30icm/saA = 25icm/s

2

VB = 40jcm/saB = 12,5jcm/s

2


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La velocidad y aceleracion de P:V =

VA +

VB = 30i 40jcm/s

a = aA +aB = 25i 12,5jcm/s

2

La aceleracion normal esta definida por:

an= |V a||V|

=V2

V3

|V

a|

Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura:

= V3

|Va|

= 503

625= 200cm


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2. PROBLEMA N-02


La posicion del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura esta controlada por la gua inclinadaque se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento.calcular la velocidad y la aceleracion de P en la posicion dada.

Sugerencia:trazando la posicion de la gua un corto tiempo t despues de la posicion dada, obtener las

coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la gua) en terminos de tiempo. El movimiento absolutode P en la ranura circular es igual a la suma Geom etrica del movimiento de la gua mas el de P a lo largo de lamisma.


SOLUCION:


De la figura se obtiene:x=Rcos ,y =Rsin

x= 12,5

35

x= 7,5cmy= 12,5

45

y= 10cm x= 7,5cm ;y = 10cm

De la grafica se obtienes la ecuacion de la circunferencia:

x2 + y2 = 12,52


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Derivamos la ecuacion para obtener la velocidad en y:

2xx + 2yy= 0si x= 6,4 cm/sy= xxyy= 7,5(6,4)10y= 4,8 m/s2

Volvemos a derivar para obtener la aceleracion en y:

2xx + 2yy= 02xx + 2yy+ 2 (x)2 + 2 (y)2 = 0xx + yy+ (x)2 + (y)2 = 0x= 0

y= (x)2+(y)2

y

y= 6,42+(4,8)2

10

y= 6,4 cm/s2


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3. PROBLEMA N-03


Una varilla telescopica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fijadado por y = 122,5 x

2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleracion de P son respectivamente

v= 30i+ 40jcm/sy a= 25i+ 50jcm/s2

Cual es entonces la aceleracion angular de la varilla?


SOLUCION:


y= 1

22,5x2v=(x, y)v=

x,

2

22,5xx

=(30, 40)

Comprobamos que:

x= 3a= (x, 2

22,5x2 +

2

22,5xx)x= 25tg =

x30 y

Derivando la ecuacion

tg = x

30 ysec2=

(30 y)x x(y)

(30 y)2 ......(1)

Hallamos : y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 = 2,4567 Derivando una vez mas la ecuacion 1:


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2sen2

cos3 + sec2=

(30 y)2(30x (yx +xy) +xy+yx) 2(30 y)(y)(30x yx + xy)

(30 y)2

Para:

x= 30

y= 40

x= 25

y= 50

Obtenemos:= 3,30rad/s2

La aceleracion angular es:= 3,30rad/s2


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4. PROBLEMA N-04

4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo

La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso rapido que se ve en la figura ,giracon una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s.Calcular la aceleracionangular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura


SOLUCION:

Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde

Hallamos la velocidad y la aceleracion para la manivela AB:

Datos: = 11,2rad/s, = 0rAB= 25cm , rAB= 0 ,rAB= 0

Ademas:vr=r rAB= 0 =vrv=r v= 2511,2 = 280

Luego:

v=

v2r+ v2= 280cm/s

Hallamos la aceleracion radial:

ar= r r2 ar= 0 2511,2

2 = 3136a=r + 2r a= 0 + 0 = 0

Luego:

a=

a2r+ a2= 3136cm/s2

Hallamos la velocidad y la aceleracion de para el brazo rasurado De grafico se tiene:


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a=arCosvr= vbCos

v=vbSen

De donde se obtiene la velocidad angular:

vr= r rCB = 280Cos 250,4v=r r= 280Sen = 2,24rad/s

Hallamos la aceleracion angular:arCos= 2 rCB + rCB

= arrCos2rCBrCB= 3136Cos+2(250,4)(2,24)55,4= 30,09rad/s2

Esto indica que la aceleracion angular es de 30.09 rad/s2 girando en sentido de las manecillas del reloj.


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5. PROBLEMA N-05

5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvilneo

En la posicion mostrada en la figura, el extremo de 60cm/s A de la varilla tiene una componente develocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleracion, hacia arriba, de . determine la aceleracionangular de la varilla en esta posicion.


SOLUCION:


De la figura obtenemos:Vr=Vcos , V= Vsin

Vr= 60

45

Vr= 48 cm/s

V= 60

35

V= 36rad/s

Segun las siguientes ecuaciones :

Vr=r ; V=r

Vr=r= 48cm/sV= 36V=r , r= 25= 3625= 1,44rad/s


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De la grafica se obtiene lo siguientes:

Vr=Vcos , V= Vsin

Vr= 60

45

Vr= 48 cm/s

V= 60

35V= 36rad/s

Vr= r ; V=rVr= r= 48cm/sV= 36V=r , r= 25= 3625= 1,44rad/s


Vr=Vcos , V

= Vsin

Vr= 60 45 Vr= 48 cm/s

V= 60

35

V= 36rad/s

Por formula se tienes :Vr=r ; V=rVr=r= 48cm/sV

= 36

V=r , r= 25= 3625

= 1,44rad/s


a=a cos , ar=a sin

a= 120

45

a= 95rad/s

2

a=r + 2r= 95= 952r

r

= 952(48)(1,44)25

= 9,3696rad/s2


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6. PROBLEMA N-06

6.1. Cinematica de cuerpo rgido

El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si laaceleracion lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleracion lineal del cuerpo A. Suponga que lacuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.


SOLUCION:

Determinamos: rB/O

rB/O = 0,9Sen37i 0,9Cos37jrB/O = 0,54i 0,72jaB= 0,6m/s

2

rB/O = 0,54i 0,72j

aB= 0,6m/s

2


Hallamos aB :


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Si:aB

aB =aO +

rB/O +OB

OB

rB/O

aB =k 0,54i 0,72j

+ k

k

0,54i 0,72j

aB = 0,72i 0,54j+ 0,72

2j 0,542 iaB =

0,72 0,542

i+

0,54 + 0,722

j

Pero: aB = 0,64

5i+ 0,6

3

5j

Entonces:

Figura 13: Solucion final del problema 06

0,72 0,542 = 0,6 45 .......(1)0,54 + 0,722 = 0,6 35 .......(2)

De (1) y (2):= 0,667rad/s2 y 2 = 0,00025rad/s2

Hallamos aA :

aA

= aO

+ rA/O

+OA

OAr

A/O aA =k 0,9i + k k 0,9iaA = 0,9j+ 0,9

2 iaA = 0,6j+ 0,0025iaA = 0,6m/s

2


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7. PROBLEMA N-07


Las varillas AB y CD estan articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano verticalcon las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.


SOLUCION:



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De la figura tenemos:

AB= 4rad/sAB = 4krad/s

CD = 3rad/sCD = 3krad/s

AB = 15icmBC = 10jcmBD = 15jcm

De AB:VB=

AB AB

VB= 4k 15iVB= 60jcm/s

De BC:VC = VC+

CD BC

VC = 60j+ 3k 10jVC = 60j 30iV

C= 30i+ 60jcm/sVC = 75cm/s


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8. PROBLEMA N-08


Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas horizontales e inclinadas mostradas en la

figura. En la posicion dada= 4krad/sy = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.


SOLUCION:


Por cinematica de cuerpos rgidos:

= 4krad/s

= 5krad/s2El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la aceleracion:


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aB=aA+ xAB+ x(xAB)

aB=aA+5kx(1,5cos37oi 1,5sen37oj) +4kx(4kx(1,5cos37oi 1,5sen37oj))aB(cos53

o

i sen53o

j) = aA

i+ 5,9898

j 4,5136

i+ 19,1673

i+ 14,4436

j

aB(sen53oj) = 20,4334j

aB= 25,5854m/s2

aB=aB(cos53o i sen53oj)

aB= (15,3977i 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(cos53oi) = aAi+ 14,6537iaA= 0,7440m/s

2

aA= 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:

aA=aC+ xCA+ x(xCA )

0,7440

i=aC+ 5

kx(1,8

j) +4

kx(4

kx(1,8

j))

0,7440i=aC+ 9i 28,8jaCi= 9,7440i

aCj= 28,8jaC= 30,4037m/s

2

aC= (9,7440i 28,8j)m/s2


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9. PROBLEMA N-09


Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posicion dada,la velocidad y acele-racion en C sonvc= 4,8m/s ,ar= 0,84m/s

2, ambas vertical hacia abajo. cual es la aceleracion angular en la manivela AB ?


En la posicion mostrada:vc= 4,8m/s ,ar= 0,84m/s

2 ,aAB=?

De manera vectorial:vc = 4,8jac = 0,84j

SOLUCION:



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Hallamos la velocidad de B:VB=VA+ VB/AVB=VA+

ABk

0,5i 0,4j

VB= 0,5AB j 0,4AB i

Hallamos la velocidad de C:

VC=VB+ VC/ B

VC=VB+ BC k 1,19i 0,9jVC= 0,4AB i 0,5AB j+

BC k

1,19i 0,9j

VC= 0,4AB i 0,5AB j 1,19BCj+ 0,9BC iVC= 0i 4,8j

Por lo tanto:0,4AB= 0,9BC BC =

0,40,9 AB

0,5AB 1,19BC = 4,8BC = 2,07rad/sAB= 4,665rad/s

Finalmente hallamos las aceleraciones:

aB =aA +

aAB rB/A +

AB AB

rB/A

aB =aABk 0,5i 0,4j

+4,665k

2,33j 1,87i

aB =(0,4aAB 10,87) i+ (0,5aAB+ 807)jaC =

aB +aBC

rC/ B +BC

BC

rC/ B

aC =aB + aBC k

1,19i 0,9j

+2,207k

2,47j+ 1,86i

aB =

aB + 1,19aBCj+ 0,9aBC i+ 5,11i+ 1,86j

aC =(0,4aAB

10,87)

i+ (0,5aAB+ 807)

j+ 1,19aBC

j+ 0,9aBC

i+ 5,11

i+ 1,86

jaC =(0,4aAB+ 0,9aBC 5,76) i+ (0,5aAB 1,19aBC+ 12,55)j

0,476aAB 6,85 = 00,5aAB+ 10,54 = 0

aAB= 3,98rad/s2

La aceleracion gira en sentido horario de las manecillas del reloj.


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10. PROBLEMA N-10

En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2 rad/salrededor dela arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierdade 2,4m/sy una aceleracion de 3m/s2 .Calcule la velocidad y la aceleracion absoluta en C .


Se tiene como datos:

vA= 2,4m/s, aA= 3m/s2

, = 2rad/s ,rC/ A = 2,4j

SOLUCION:


VC =

VA +

AC rC/ A

AC = 2krC/ A = 2,4j


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Ademas se tiene que:AC =

AB = 2i

VC =

VA +

AC rC/ A = 2,4i+ 2i

2,4j

VC = 2,4i+ 4,8kVC = 5,37m/s

Hallando la aceleracion: aC = aA +aAC rB/A +AC AC rC/ A aC = 3i+ 2i

2i 2,4j

aC = 3i+ 2i

4,8k

aC = 3i 9,6jaC = 10,058m/s

2


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11. PROBLEMA N-11


La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular.Mostrar que :

vA=rw y aAt =r


SOLUCION:



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Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra larueda de lo cual se tiene l siguiente :

wo= wA= wo=wA= =w

De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :

vA=rw

sabemos que :v=wr

v=atv= ddt (wr)v=rw +rwde donde r=constante r= 0v=rw

w=at=r

De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA=rwyat=r


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12. PROBLEMA N-12


Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas horizontales e inclinadas mostradas en la

figura. En la posicion dada= 4krad/sy = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y C.


SOLUCION:


Por cinematica de cuerpos rgidos:

= 4krad/s

= 5krad/s2El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la aceleracion:


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aB=aA+ xAB+ x(xAB)

aB=aA+5kx(1,5cos37oi 1,5sen37oj) +4kx(4kx(1,5cos37oi 1,5sen37oj))aB(cos53

o

i sen53o

j) = aA

i+ 5,9898

j 4,5136

i+ 19,1673

i+ 14,4436

j

aB(sen53oj) = 20,4334j

aB= 25,5854m/s2

aB=aB(cos53o i sen53oj)

aB= (15,3977i 20,4334j)m/s2

Hallando aceleracion de A:

aB(cos53oi) = aAi+ 14,6537iaA= 0,7440m/s

2

aA= 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:

aA=aC+ xCA+ x(xCA )

0,7440

i=aC+ 5

kx(1,8

j) +4

kx(4

kx(1,8

j))

0,7440i=aC+ 9i 28,8jaCi= 9,7440i

aCj= 28,8jaC= 30,4037m/s

2

aC= (9,7440i 28,8j)m/s2

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