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I.T.I. GESTION CALCULO NUMERICOBOLETIN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS CURSO 2004-05

3. Interpolacion polinomial

1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funcion f de la que conocemos que: f(-1)=1; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2.

Solucion.

En primer lugar los polinomios de Lagrange:

P0(x) =(x− 0)(x− 2)(x− 3)

(−1− 0)(−1− 2)(−1− 3)=

(x)(x− 2)(x− 3)−12

P1(x) =(x + 1)(x− 2)(x− 3)(0 + 1)(0− 2)(0− 3)

=(x + 1)(x− 2)(x− 3)

6

P2(x) =(x + 1)(x− 0)(x− 3)(2 + 1)(2− 0)(2− 3)

=(x + 1)(x)(x− 3)

−6

P3(x) =(x + 1)(x− 0)(x− 2)(3− 0)(3 + 1)(3− 2)

=(x + 1)(x)(x− 2)

12Ahora el polinomio interpolador:

P (x) = 1(x)(x− 2)(x− 3)

−12− 1

(x + 1)(x− 2)(x− 3)6

+ 2(x + 1)(x)(x− 3)

−6+ 2

(x + 1)(x)(x− 2)12

P (x) =−112

(5x3 − 19x2 + 12).

2. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funcion f(x) = log(x) con el soporte s ={1, 2, 4, 6, 8}. Determinar la funcion del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximarel valor de log(3).

Solucion.

Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0.633147; log(4) = 2 log(2) = 1.386294; log(6) = 1.791759 y quelog(8) = 3 log(2) = 2.079441, el polinomio interpolador es:

P (x) = −0.001768x4 + 0.038892x3 − 0.325901x2 + 1.425121x− 1.136444.

Para acotar la funcion error necesitamos la derivada cuarta de la funcion: f4(x) = 24x5 .

En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una funcion decreciente en el, ofrecera su valor maximo en x=1 luego: M= 24.

Por tanto la funcion del error sera:

ε ≤ 244!|(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 6)| = |(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 6)|.

Para aproximar log(3) uso:

P (3) = −0.00176834 + 0.03889233 − 0.32590132 + 1.4251213− 1.136444 = 1.112814.

con lo que el error:ε ≤ |(3− 1)(3− 2)(3− 4)(3− 6)| = 6.

Realmente la acotacion resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1.098612 y el “errorexacto:” 0.014202.

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3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funcion f(x) de la que conocemos: f(-2)=0;f(0)=1; f(1)=-1. Idem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a0 + a1x + a2x

2

para comprobar que son identicos.

Solucion.

Por Lagrange:

P0(x) =(x)(x− 1)

6

P1(x) =(x + 2)(x− 1)

−2

P2(x) =(x)(x + 2)

3Por lo tanto:

P (x) =−16

(5x2 + 7x− 6) = −0.833333x2 − 1.166666x + 1.

Por Newton:

xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]−2 0 0.5 −0.8333330 1 −21 −1

Con ello:

P (x) = 0 + 0.5(x + 2)− 0.833333(x + 2)x = −0.833333x2 − 1.166666x + 1.

4. Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g ≤ 5. ¿Podrıamos averiguarde que grado es?

xi -2 -1 0 1 2 3yi -5 1 1 1 7 25

Solucion.

Lo resolveremos por Diferencias Divididas.

xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4] f [xi, · · · , xi+5]−2 −5 6 −3 1 0 0−1 1 0 0 1 00 1 0 3 11 1 6 62 7 183 25

Con estos datos:

P (x) = −5 + 6(x + 2)− 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x + 0(x + 2)(x + 1)x(x− 1) = x3 − x + 1.

Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,comofinalmente obtenemos.

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5. Sabemos que P4(x) = −524 x4 + 14

24x3 + 2924x2 − 62

24x es el polinomio interpolador de cierta funcion paralos datos:

xi -1 0 1 2 3yi 3 0 -1 1 2

Lo hemos calculado por Diferencias Divididas, compruebalo y determina el polinomio interpoladorresultante si ampliamos los datos con el punto A = (4, 3).

Solucion.

Comenzaremos por las Diferencias Divididas para el soporte inicial:

xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4]−1 3 −3 1 0.166666 −0.2083330 0 −1 1.5 0.6666661 −1 2 −0.52 1 13 2

Y de aquı, el polinomio interpolador es:

P4(x) =−524

x4 +1424

x3 +2924

x2 − 6224

x = −0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x.

Ahora ampliamos la tabla de Diferencias Divididas:

xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4] f [xi, · · · , xi+5]−1 3 −3 1 0.166666 −0.208333 0.8333330 0 −1 1.5 0.666666 0.2083331 −1 2 −0.5 0.1666662 1 13 2

Obtenemos el termino que hay que anadir: 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) y que sumaremosal polinomio anterior:

P5(x) = −0.2083333x4 +0.583333x3 +1.208333x2−2.583333x+0.833333(x+1)x(x−1)(x−2)(x−3)

P5(x) = 0.833333x5 − 0.625x4 + x3 + 1.625x2 − 3.083333x.

3. Integracion numerica

6. Calcular el valor de∫ π

0

√1 + cos2(x)dx usando la formula de Newton-Cotes con el soporte S =

{0, π2 , π}.

Solucion.

El soporte es equiespaciado de paso h = π2 , los coeficientes seran:A0 = A2 = π

6 y A1 = 2π3 y con ello,∫ π

0

√1 + cos2(x)dx ' π

6f(x0) +

2π

3f(x1) +

π

6f(x2) =

=π

6

√2 +

2π

3+

π

6

√2 = (2 +

√2)

π

3= 1.138711π

y si tomamos π = 3.141592;∫ π

0

√1 + cos2(x)dx ' 3.575355

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7. La funcion f(x) = e2x+1 es continua en [−1.1]. Hallar el valor exacto de∫ 1

−1f(x)dx y comparar el

resultado con el obtenido al usar la formula de Newton-Cotes en el soporte S = {−1, 0, 1}. Determinauna cota del error cometido.

Solucion.

Integrando directamente tenemos∫ 1

−1

e2x+1dx =12

∫ 1

−1

e2x+12dx =e3 − e−1

2= 9.858829

Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h = 1, los coeficientes seran:A0 = A2 = 13 y

A1 = 43 y con ello, ∫ 1

−1

e2x+1dx ' 10.442181

Comparando, el error es ε = |10.442181− 9.858829| = 0.583352

Newton-Cotes con el soporte dado n = 2 ⇒ es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente∫ 1

−1

e2x+1dx ' 13e−1 +

43e0 +

13e1 = 10.442181

Como es la formula de Simpson, acotamos el error, previa acotacion de la derivada cuarta de la funcionf4(x) = 16e2x+1 como se aprecia en la evolucion de las derivadas la siguiente serıa positiva en sudominio lo que hace que podamos asegurar que la f4 es creciente en [−1, 1] y M = 16e3 < 16(33) = 432

ε <(1 + 1)5

2880432 = 4.8

que como se aprecia es una cota muy mala.

8. Calcular el valor exacto de∫ π

0sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la formula

compuesta de los Trapecios para n=8. Determina una cota del error cometido.

Solucion.

Integrando directamente tenemos∫ π

0

sen(x)dx = −cos(π) + cos(0) = −1 + 1 = 2

Para aplicar la formula del trapecio para n = 8 el soporte es

S = {0,π

8,2π

8,3π

8,4π

8,5π

8,6π

8,7π

8, π}

por lo tanto:∫ π

0sen(x)dx ' π−0

2(8) [sen(0) + 2{sen(π8 ) + sen( 2π

8 ) + sen( 3π8 ) + sen( 4π

8 ) + sen( 5π8 ) +

sen(6π8 )}+ sen(π)] = π

8 [sen( 2π8 )+ sen( 3π

8 )+ sen( 4π8 )+ sen( 5π

8 )+ sen(6π8 )] = π

8 [2sen(π8 )+2sen(π

4 )+2sen( 3π

8 ) + sen(π2 ] = 1.974232

Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente:

sen( 7π8 ) = sen(π

8 ) = sen(π42 ) =

√1−

√2

22

sen( 6π8 ) = sen(π

4 ) =√

22

sen( 5π8 ) = sen( 3π

8 ) = cos(π8 ) =

√1+

√2

22

Cota del error, ε < (π−0)3

12(82)M2la derivada segunda de la funcion es f2 = −sen(x) por lo tanto M2 = 1

y consecuentemente,

ε <π3

12(82)1<

3.23

768=

32.77768

= 0.0426..

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9. Determinar el numero mınimo de partes necesarias para calcular∫ 1

0ex2

dx por la formula compuestade los Trapecios con 4 cifras decimales exactas. Calcular el valor de dicha integral en el caso quenecesitemos que el error sea menor que una centesima.

Solucion.

Sabemos que ε < (1−0)3

12(n2)M2la derivada segunda de la funcion es f2 = (4x2 + 2)ex2

funcion crecienteen el intervalo de integracion, por lo tanto M2 = 6e < 18 y consecuentemente,

0.0001 > 1812(n2) ⇒ n2 > 18

12(0.0001) = 15000 ⇒ n > 122.47..

Luego tendremos que tomar n = 123; si apuramos mas en las cotas, por ejemplo tomando e = 2.8,mejoramos algo la particion.

Ahora hacemos, 0.01 > 6(2.8)12(n2) ⇒ n2 > 6(2.8

0.02 = 140 ⇒ n > 11.8.. tenemos que tomar n = 12

S = {0,112

,212

,312

,412

,512

,612

,712

,812

,912

,1012

,1112

, 1}

por lo tanto:∫ 1

0ex2

dx ' 1−02(12) [e

0 +2[e112 +e

212 +e

312 +e

412 +e

512 +e

612 +e

712 +e

812 +e

912 +e

1012 +]+e1] =

1.465794..

El valor ”exacto” es 1.462652 y el ”error exacto” 0.003...

10. Usar el metodo de Simpson para calcular el valor de∫ 1

0x5dx con error menor que una milesima.

Solucion.

Lo primero es averiguar la particion que necesitamos para cumplir el enunciado. f4 = 120x por lotanto es facil deducir que M4 = 120 0.001 > 120

180(n4) ⇒ n4 > 120180(0.001) = 666.6... ⇒ n > 5.08...

Bastara tomar n como el primer numero natural par posterior a 5.08.. es decir n = 6.

Aplicando Simpson con la particion obtenida:

∫ 1

0

x5dx ' 1− 03(6)

[E + 4I + 2P ]

Particion = {0, 16 , 2

6 , 36 , 4

6 , 56 , 1}

E = 0 + 1 = 1; I = ( 16 )5 + ( 3

6 )5 + ( 56 )5 = 0.433256..; P = (2

6 )5 + ( 46 )5 = 0.135802..

∫ 1

0

x5dx ' 118

[1 + 4(0.433256) + 2(0.135802)] = 0.1669238..

11. Calcular el valor de∫ 2

1x8log(x)dx con error menor que 5(10−2).

Solucion.

Las derivadas de la funcion son continuas en todo su dominio, la segunda es f2 = x6(15 + 56log(x))y la cuarta, f4 = x4(1066 + 1680log(x)); ambas crecientes en [1, 2].

Si usamos el metodo de los Trapecios:

M2 = f2(2) = 26(15 + 56log(2) = 3444.24 ; 0.05 > 3444.2412(n2) ⇒ n2 > 3444.24

12(0.05) ⇒ n > 75.7... debo tomarn = 76.

Si usamos el metodo de Simpson:

M4 = f4(2) = 24(1066 + 1680log(2)) = 35687.8.. ; 0.05 > 35687.8180(n4) ⇒ n4 > 35687.8

180(0.05) ⇒ n > 7.93... debotomar n = 8.

A la vista del resultado, lo haremos por Simpson.

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xi 1 1.125 1.250 1.375 12.5 1.625 1.750 1.875 2yi 0 0.302206 1.330039 4.068815 10.391627 23.606041 49.225977 96.026375 177.445668

∫ 2

1

x8 log(x)dx ' 124

[E + I + 2P ] = 33.13978

12. Sabemos que∫∞2

e−3xdx = 0.0008 con todas sus cifras decimales exactas, ¿podemos afirmar que∫∞0

e−3xdx =∫ 2

0e−3xdx con error menor que una milesima?

Con los datos conocidos y aplicando Simpson, calcular∫∞0

e−3xdx con una cifra decimal exacta,determinando previamente la particion del intervalo de integracion que lo garantiza.

Solucion.

En primer lugar,∫∞0

e−3xdx =∫ 2

0e−3xdx +

∫∞2

e−3xdx ⇒∫∞0

e−3xdx−∫ 2

0e−3xdx =

∫∞2

e−3xdx = 0.0008 < 0.001

luego como el error es menor que una milesima, podemos usar∫ 2

0e−3xdx para aproximar el valor de∫∞

0e−3xdx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε < 0.001.

Ahora calcularemos∫∞0

e−3xdx en las condiciones solicitadas,aproximada por∫ 2

0e−3xdx

f4 = 81e3x por lo que su valor maximo, en el intervalo de integracion, lo dara en el extremo inferior,

M4 = 81.

Con este dato averiguaremos la particion necesaria,

0.1 > 25

180n4 81 ⇒ n4 > 25

1800.181 = 2432 ⇒n2 > 223 ⇒ n > 3.4 debemos tomar n = 4.

xi 0 0.5 1 1.5 2yi 1 e

−32 e−3 e

−92 e−6

y con estos datos:

∫ 2

0

e−3xdx ' 212

[E + I + 2P ] = 0.339835

Podemos concluir que∫ 2

0e−3xdx = 0.3 con todas sus cifras exactas.