Ejercicios Resueltos de Derivadas

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1

2

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9

Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:

1

2

3

4

5

6

7

Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:

1

2

3

Tipo n 1

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Ejercicio n 1)

Sol: Ejercicio n 2)

Sol: Ejercicio n 3)

Sol: Ejercicio n 4)

Sol:

Ejercicio n 5)

Sol:

Ejercicio n 6)

Sol:

Ejercicio n 7)

Sol:

Ejercicio n

Sol:

Ejercicio n 9)

Sol:

Ejercicio n 10)

Sol:

Derivada de una funcin potencial: Forma simple Tipo n 2

LA DERIVADA DE UNA FUNCIN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejercicio n 11)

Sol:

Ejercicio n 12)

Sol:

Ejercicio n 13)

Sol:

Ejercicio n 14)

Sol:

Ejercicio n 15)

Sol: Ejercicio n 16)

Sol:

Ejercicio n 17)

Sol:

Ejercicio n 18)

Sol:

Ejercicio n 19)

Sol:

Ejercicio n 20)

Sol:

Ejercicio n 21)

Sol:

Ejercicio n 22)

Sol:

Ejercicio n 23)

Sol:

Ejercicio n 24)

Sol:

Ejercicio n 25)

Sol:

Ejercicio n 26)

Sol:

Ejercicio n 27)

Sol:

Ejercicio n 28)

Sol:

Ejercicio n 29)

Sol: Derivada de una funcin logartmica: Forma simple

Ejercicio n 30)

Sol: Derivada de una funcin exponencial con base e: Forma simple

Ejercicio n 31)

Sol: Derivada de una funcin exponencial con base distinta del nmero e: Forma simple

Ejercicio n 32)

Sol:

Ejercicio n 33)

Sol:

Ejercicio n 34)

Sol:

Ejercicio n 35)

Sol:

Ejercicio n 36)

Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo seno

Ejercicio n 37)

Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo coseno

Ejercicio n 38)

Derivada de una funcin trigonomtrica tipo tangente: Forma simple

Ejercicio n 39)

Derivada de una funcin trigonomtrica tipo arco seno: Forma simple

Ejercicio n 41)

Sol: Derivada de una funcin trigonomtrica tipo arco tangente: Forma simple

Ejercicio n 40)

Sol:

1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.

a).b).-

c).-

d).-

a). Solucin

como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los trminos de las funciones, es decir si entonces

por lo que para la funcin planteada en el ejercicio:

Recordando que la derivada de una funcin potencia en la derivada de una constante es cero tendremos

es

y que

es decir

b). Solucin

Para este caso Distribuyendo la derivada tenemos:

y utilizando directamente la frmula para observamos que al derivar, por ejemplo, obtenemos

la cual es

:

por lo que :

c). Solucin

De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:

como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene

por lo tanto:

d). Solucin

derivando cada trmino

Por lo que:

2.- Obtener los siguientes problemas.

a).-

b).-

c).-

d).-

Para la solucin de estos problemas utilizaremos, adems de las frmulas expuestas en el ejercicio anterior la frmula siguiente:

a).- Solucin

para obtener la solucin tenemos dos caminos.

1ero en este caso si comparamos con la frmula para derivar la divisin de dos funciones tendramos el anlogo f(x)=x y g(x)=x2+1 derivando cada funcin obtendramos:

f(x)=1 y g(x)=2x

sustituyendo en (A.1) tendramos:

simplificando:

2ada forma Como

ya que x2+1 nunca es cero, entonces:

podremos utilizar la frmula:

donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1 derivando cada funcin obtendramos:

f(x)=1 y

sustituyendo en A.2 obtenemos:

b).-Solucin

aplicando la frmula

tenemos:

del ejercicio anterior ya obtuvimos que:

y

entonces:

por lo tanto:

c).- Solucin

sustituyendo en la ecuacin (A.1)

por lo tanto:

d).- Solucin

aplicando la frmula

tenemos:

pero ya hemos calculado

del ejercicio a)

y la derivada de x3-x es:

de lo que:

1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

a).-

b).c).d).e).-

a) Solucin

para la solucin de estos problemas ocuparemos las siguientes frmulas

utilizando C.5 y haciendo

tenemos

pero por lo que

simplificando

b) Solucin

utilizando C.5 y haciendo

tenemos:

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)

sustituyendo en la frmula (B.2)

factorizando (2x+1)2 tendremos:

pero

por lo tanto:

finalmente al sustituir en b.1 tenemos:

c) Solucin

tomando, en la frmula C.3, u=x y v=sen x tenemos:

d) Solucin

aplicando directamente C.1 tenemos

e). solucin

aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

2.- Demuestre la frmula

como

pero de la propiedad:

entonces

derivando tenemos:

utilizando el hecho de que natural tenemos:

y la derivada de un logaritmo

simplificando, tenemos:

Derivadas trigonomtricas 1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

a).-

b).-

c).-

d).-

a) Solucin

aplicaremos la frmula para derivar un producto de funciones:

tenemos:

pero:

por lo tanto:

b) Solucin

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)

sustituyendo en la frmula (B.2)

factorizando (2x+1)2 tendremos:

pero

por lo tanto:

c) Solucin

haciendo u=csc 3x tenemos:

aplicando la regla de la cadena

tenemos

pero v= csc 3x

recordando que

tenemos

sustituyendo en y(x) tenemos:

d) Solucin

aplicando la frmula (B.1) tenemos:

simplificando tenemos: