Ejercicio 1

Considere las siguientes restricciones

a. −3 x1+x2≤7b. x1−2 x2≥5c. 2 x1−3x2≤8d. x1−x2≤0e. −x1+ x2≥0

Determine el espacio factible para cada restricción individual.

Para cada caso tenemos con ayuda del programa algebrator la grafica que muestra el espacio factible para cada restricción

a. −3 x1+x2≤7Haciendo −3 x1+x2=7 encontramos los puntos de corte con los ejes coordenados así si x1 = 0 entonces x2=7 y viceversa esto es -3x1=7 ósea que x1=-7/3. Luego los puntos con los ejes coordenados son (0,7) y (-7/3,0)Luego despejando x2 tendríamos la ecuación x2=7+3 x1

La región bajo la sombra rosada representa el espacio factible de solución para dicha restricción.

b. x1−2 x2≥5Hacemos x1−2 x2=5

Despejando x2 se tiene

−2 x2=5−x1

x2=5−x1−2

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-5/2Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=5Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-5/25) y (5,0)

c. 2 x1−3x2≤8

Hacemos 2 x1−3x2=8Despejando x2 se tiene

−3 x2=8−2x1

x2=8−2 x1−3

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-8/3Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=4Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-8/3) y (4,0)

d. x1−x2≤0

Hacemos x1−x2=0Despejando x2 se tiene

x2=x1

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=0Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=0Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,0)

e. −x1+ x2≥0

Hacemos −x1+ x2=0Despejando x2 se tiene

x2=x1

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=0Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=0Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,0)

Ejercicio 2

Identifique la dirección del incremento en z en cada uno de los siguientes casos:

a) maximice z=x1−x2b) maximice z=−5 x1−6 x2c) maximice z=−x1+2x2d) maximice z=−3 x1+ x2

Para esto simplemente daremos una serie de valores a Z mediante el cual genera una serie de rectas que determinaran la dirección de incremento en cada caso

Maximice z=x1−x2, tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser:Z=3,6, y 9Tenemos así las siguientes rectas: 3¿ x1−x2 6¿ x1−x2 9¿ x1−x2Despejando x2 en cada ecuación se tiene:

x2=x1−3(1)x2=x1−6(2) x2=x1−9(3)

Para (1) x2=x1−3Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-3Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=3Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-3) y (3,0)

Para (2) x2=x1−6Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-6Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=6Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-6) y (6,0)

Para (3) x2=x1−9Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-9Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=9Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-9) y (9,0)

Veamos la grafica de estas rectas

Incremento de Z

Como se observa en la grafica la línea de color café indica la dirección en la que incrementa Z a medida que tomamos valores arbitrarios.

b) Maximice z=−5 x1−6 x2, tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=2,5, y 8Tenemos así las siguientes rectas:2¿−5 x1−6 x25¿−5x1−6x28¿−5x1−6x2

Despejando x2 en cada ecuación se tiene:

x2=−5x1−2

6(1 )

x2=−5x1−5

6(2 )

x2=−5x1−8

6(3 )

Para (1) x2=−5x1−2

6

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-1/3Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2/5Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-1/3) y (-2/5,0)

Para (2) x2=−5x1−5

6

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-5/6Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-1Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-5/6) y (-1,0)

Para (3) x2=−5x1−8

6Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-4/3Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-8/5Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-4/3) y (-8/5,0)

Veamos la grafica de estas rectas

c) Maximice z=−x1+2x2, tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=1,4, y 7Tenemos así las siguientes rectas:1¿−x1+2x24¿−x1+2x27¿−x1+2 x2

Despejando x2 en cada ecuación se tiene:

x2=x1+12

(1 )

x2=x1+42

(2 )

x2=x1+72

(3 )

Para (1) x2=x1+12

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=1/2Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-1

Incremento de Z

Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,1/2) y (-1,0)

Para (2) x2=x1+42

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=2Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-4Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,2) y (-4,0)

Para (3) x2=x1+72

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=7/2Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-7Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,7/2) y (-7,0)

Veamos la grafica de estas rectas

Incremento de Z

d) Maximice z=−3 x1+ x2, tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=2,6, y 10Tenemos así las siguientes rectas:2¿−3 x1+x26¿−3 x1+x210¿−3x1+x2Despejando x2 en cada ecuación se tiene:x2=3 x1+2 (1 )x2=3 x1+6 (2 )x2=3 x1+10 (3 )

Para (1) x2=3 x1+2

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=2Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2/3Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,2) y (-2/3,0)

Para (2) x2=3 x1+6

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=6Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,6) y (-2,0)

Para (3) x2=3 x1+10

Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=10Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-10/3Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,10) y (-10/3,0)

Veamos la grafica de estas rectas

Ejercicio 3

Determine el espacio de solución y la solución óptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes. Para ello solo consideraremos los valores de la tabla inicial y hacemos los correspondientes cambios

a. La demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladasEl modelo de Reddy Mikks esta definido como:

Maximizar z=5 x1+4 x2 Sujeta a:6 x1+4 x2≤24x1+2x2≤6x1≤2.5

x1 , x2≥0

Incremento de Z

La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambioPrimero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.

Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano

6 x1+4 x2≤24 , si consideramos laecuación6 x1+4 x2=24encontram osque si x1=0 , entonces x2=6ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=4 Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)

x1+2x2≤6 , si consideramosla ecuación x1+2 x2=6encontramos que si x1=0 , entonces x2=3ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=6Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)

x1≤2.5→x1=2.5

Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:

6 x1+4 x2=24x1+2x2=6x1=2.5Sustituyendo x1 en la ecuación 2 se tiene:

x1+2x2=6→x2=6−2.52

=3.52

=1.75→x2=1.75

puntode corte entre las ecuaciones2 y 3es¿5,1.75)

Sustituyendo x1 en la ecuación 1 se tiene:

6 x1+4 x2=24→x2=24−154

=94=2.25→x2=2.25

puntode corte entre las ecuaciones1 y 3es¿5,2.25)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 26 x1+4 x2=24x1+2x2=6

Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=24−6 (x¿¿1+2 x2=6)=−6x1−12 x2=−36¿

Al sumar encontramos que −8 x2=−12→x2=128

=32

x2=32, sustituyendo en2 setiene que x1=3

puntode corte entre las ecuaciones1 y 2es¿,3/2)Veamos ahora la grafica

Los puntos que están dentro de la zona de factibilidad son los puntos de corte entre las rectas 2 y 3 y la recta 3 con el eje x y la recta 2 con el eje y dichos puntos son: ¿5,1.75), (2.5,0) y (0,3)Remplazamos estos valores en la función objetivo y escogemos como máximo al de mayor valor

Maximizar z=5 x1+4 x2 z (2.5,1 .75 )=5 (2.5 )+4 (1.75 )=12.5+7=19.5z (2.5,0 )=5 (2.5 )+4 (0 )=12.5+0=12.5z (0,3 )=5 (0 )+4 (3 )=0+12=12

Por tanto el máximo es 19.5 mil dólares cuando se usa 2.5 toneladas de pintura para exteriores y 1.75 toneladas de pintura para interiores.

b. La demanda diaria de pinturas para interiores es por lo menos de 2 toneladas

Maximizar z=5 x1+4 x2 Sujeta a:6 x1+4 x2≤24x1+2x2≤6x2≥2

x1 , x2≥0

La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.

Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano

6 x1+4 x2≤24 , si consideramos laecuación6 x1+4 x2=24encontramos que si x1=0 , entonces x2=6ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=4 Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)

x1+2x2≤6 , si consideramosla ecuación x1+2 x2=6encontramos que si x1=0 , entonces x2=3ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=6Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)

x2≥2→x2=2

Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:

6 x1+4 x2=24x1+2x2=6x2=2

Sustituyendo x2 en la ecuación 2 se tiene:

x1+2x2=6→x1=6−41

=21=2→x1=2

puntode corte entre las ecuaciones2 y 3es¿2,2)

Sustituyendo x2 en la ecuación 1 se tiene:

6 x1+4 x2=24→x1=24−86

=166

=2.6→x1=2.6

pun¿decorte entre las ecuaciones1 y 3es¿6,2)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 26 x1+4 x2=24x1+2x2=6

Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=24−6 (x¿¿1+2 x2=6)=−6x1−12 x2=−36¿

Al sumar encontramos que −8 x2=−12→x2=128

=32

x2=32, sustituyendo en2 setiene que x1=3

puntode corte entre las ecuaciones1 y 2es¿,3/2)Veamos ahora la grafica

La región en verde es la región factible y solo esta dentro de ella los puntos se corte de la recta 2 con el eje y, el corte entre la recta 2 y la recta 3 y el corte entre la recta 3 con el eje y, dichos puntos son:(0,2), (0,3) y (2,2)

Maximizar z=5 x1+4 x2 z (0,2 )=5 (0 )+4 (2 )=0+8=8z (0,3 )=5 (0 )+4 (3 )=0+12=12z (2,2 )=5 (2 )+4 (2 )=10+8=18

Por tanto el máximo es 18 mil dólares cuando se usa 2 toneladas de pintura para exteriores y 2 toneladas de pintura para interiores.

c. La demanda diaria de pinturas para interiores es exactamente de 1 tonelada mas que la de la pintura para exteriores

Maximizar z=5 x1+4 x2 Sujeta a:6 x1+4 x2≤24x1+2x2≤6−x1+ x2=2x1 , x2≥0

La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.

Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano

6 x1+4 x2≤24 , si consideramos laecuación6 x1+4 x2=24encontramos que si x1=0 , entonces x2=6ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=4 Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)

x1+2x2≤6 , si consideramosla ecuación x1+2 x2=6encontramos que si x1=0 , entonces x2=3ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=6Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)

−x1+ x2=1, si consideramosla ecuaciónencontramos que si x1=0 , entonces x2=1ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=−1

Por ello tenemos los puntos (0,1) y (-1,0) Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:

6 x1+4 x2=24x1+2x2=6−x1+ x2=1

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 26 x1+4 x2=24x1+2x2=6

Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=24−6 (x¿¿1+2 x2=6)=−6x1−12 x2=−36¿

Al sumar encontramos que −8 x2=−12→x2=128

=32

x2=32, sustituyendo en2 setiene que x1=3

puntode corte entre las ecuaciones1 y 2es¿,3/2)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 36 x1+4 x2=24−x1+ x2=1

Multiplicando 1 por 1 y 2 por 6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=246 (−x¿¿1+x2=1)=−6x1+6 x2=6¿

Al sumar encontramos que 10 x2=30→x2=3010

=3

x2=3 , sustituyendoen3 se tiene que x1=2puntode corte entre las ecuaciones1 y 3es¿,3)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 2 y 3x1+2x2≤6−x1+ x2=1

Al sumar encontramos que 3 x2=7→x2=73=2.3

x2=2.3 , sustituyendo en3 se tiene que x1=1.3puntode corte entre las ecuaciones2 y 3es¿.3)

Veamos ahora la grafica

La región amarilla es la región factible debido a que la línea azul solo hace parte de la soluciónLos puntos que hacen parte de la solución son: (4,0), (0,3), (1.3,2.3) y ¿,3/2) y (0,1)

Maximizar z=5 x1+4 x2 z (4,0 )=5 (4 )+4 (0 )=20+0=20z (0,3 )=5 (0 )+4 (3 )=0+12=12z (1.3,2 .3 )=5 (1.3 )+4 (2.3 )=6.5+9.2=15.7z (3,1.5 )=5 (3 )+4 (1.5 )=15+6=21z (0,1 )=5 (0 )+4 (1 )=0+4=4

Por tanto el máximo es 21 mil dólares cuando se usa 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores.

d. La disponibilidad diaria de materia prima, M1 es de por lo menos 24 toneladas

Maximizar z=5 x1+4 x2 Sujeta a:

6 x1+4 x2≥24x1+2x2≤6x1 , x2≥0

La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.

Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano

6 x1+4 x2≥24 , si consideramos laecuación6 x1+4 x2=24encontramos que si x1=0 , entonces x2=6ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=4 Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)

x1+2x2≤6 , si consideramosla ecuación x1+2 x2=6encontramos que si x1=0 , entonces x2=3ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=6Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 26 x1+4 x2=24x1+2x2=6

Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=24−6 (x¿¿1+2 x2=6)=−6x1−12 x2=−36¿

Al sumar encontramos que −8 x2=−12→x2=128

=32

x2=32, sustituyendo en2 setiene que x1=3

puntode corte entre las ecuaciones1 y 2es¿,3/2)

Veamos ahora la grafica

Los únicos puntos de la solución son los que están en la zona fuxia de modo que dichos puntos son: (4,0), (6,0) y (3,1.5)

Maximizar z=5 x1+4 x2 z (4,0 )=5 (4 )+4 (0 )=20+0=20z (6,0 )=5 (6 )+4 (0 )=30+0=30z (3,1.5 )=5 (3 )+4 (1.5 )=15+6=21

Por tanto el máximo es 30 mil dólares cuando se usa 6 toneladas de pintura para exteriores solamente.

e. La disponibilidad diaria de materia prima M1, es de 24 toneladas como mínimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de pintura para exteriores es por lo menos 1 tonelada.

Maximizar z=5 x1+4 x2 Sujeta a:6 x1+4 x2≥24x1+2x2≤6

−x1+ x2≥1x1 , x2≥0

Las ecuaciones en rojo son las que han determinado cambios:Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.

Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano

6 x1+4 x2≥24 , si consideramos laecuac ión6 x1+4 x2=24encontramos que si x1=0 , entonces x2=6ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=4 Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)

x1+2x2≤6 , si consideramosla ecuación x1+2 x2=6encontramos que si x1=0 , entonces x2=3ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=6Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)

−x1+ x2≥1, si consideramosla ecuación−x1+x2=1encontramos que si x1=0 , entonces x2=1ahora el procesocontrario , si x2=0 , entonces x1=−1Por ello tenemos los puntos (0,1) y (-1,0) Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:

6 x1+4 x2=24x1+2x2=6−x1+ x2=1

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 26 x1+4 x2=24x1+2x2=6

Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=24−6 (x¿¿1+2 x2=6)=−6x1−12 x2=−36¿

Al sumar encontramos que −8 x2=−12→x2=128

=32

x2=32, sustituyendo en2 setiene que x1=3

puntode corte entre las ecuaciones1 y 2es¿,3/2)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 36 x1+4 x2=24−x1+ x2=1

Multiplicando 1 por 1 y 2 por 6 se tiene:1*(6 x1+4 x2=24 ¿=6 x1+4 x2=246 (−x¿¿1+x2=1)=−6x1+6 x2=6¿

Al sumar encontramos que 10 x2=30→x2=3010

=3

x2=3 , sustituyendoen3 se tiene que x1=2puntode corte entre las ecuaciones1 y 3es¿,3)

Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 2 y 3x1+2x2≤6−x1+ x2=1

Al sumar encontramos que 3 x2=7→x2=73=2.3

x2=2.3 , sustituyendo en3 se tiene que x1=1.3puntode corte entre las ecuaciones2 y 3es¿.3)

Veamos ahora la grafica:

Con estas consideraciones vemos que no existe como tal una región de factibilidad por lo tanto el problema no tiene solución con estos cambios en las restricciones

Ejercicio 4

Para el modelo original de Reddy Mikks, identifique el (los) punto(s) de esquina que determina(n) la solución optima para cada una de las siguientes funciones del objetivo:

a. z=3 x1+ x2Del modelo original tenemos que los puntos que hacen parte de la región de factibilidad son: (0,1), (1,2), (2,2), (3,1.5) y (4,0)Por ello calculamos z (0,1 )=3 (0 )+(1 )=0+1=1z (1 ,2 )=3 (1 )+(2 )=3+2=5z (2 ,2 )=3 (2 )+(2 )=6+2=8z (3 ,1.5 )=3 (3 )+(1.5 )=9+1.5=10.5z (4,0 )=3 (4 )+(0 )=12+0=12

Por esta razón para esta función objetivo el máximo es 12 mil dólares cuando se utilizan 4 toneladas de pintura exterior solamente.

b. z=x1+3 x2

z (0,1 )=(0 )+3 (1 )=0+3=3z (1,2 )=(1 )+3 (2 )=1+6=7z (2,2 )=(2 )+3 (2 )=2+6=8

z (3,1.5 )=(3 )+3 (1.5 )=3+4 .5=7.5z (4,0 )= (4 )+3 (0 )=4+0=4

Para este caso el máximo es de 8 mil dólares cuando se utilizan 2 toneladas de cada tipo de pintura tanto interior como exterior.

c. z=6 x1+4 x2

z (0,1 )=6 (0 )+4 (1 )=0+4=4z (1,2 )=6 (1 )+4 (2 )=6+8=14z (2,2 )=6 (2 )+4 (2 )=12+8=20z (3,1.5 )=6 (3 )+4 (1.5 )=18+6=24z (4,0 )=6 (4 )+4 (0 )=24+0=2 4

En este caso se encuentra que hay dos máximos que son de 24 mil dólares para cuando se utilizan solo 4 toneladas de pintura para exteriores o también existe el caso cuando se tienes 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas para pintura de interiores.

En que difiere la solución (c) de las de (a) y (b)?Difieren en que en los casos de a y b solo se encontró un máximo en cambio aquí se tiene la posibilidad de tomar dos decisiones ambas genando el mismo valor de utilidad.