Programación lineal ejercicios

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1

PROGRAMACI ÓN LI NEAL

GRÁFICA DE DESIGUALDADES

EJERCICIO N° 1

2X1 + 4X2 ≤ 12

1) Convertir la desigualdad en igualdad 2X1 + 4X2 = 12

2) Graficar una recta Recta.- representa una ecuación de 1° Curva.- representa una ecuación de 2°

X1

X2

0 6

3 0

3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad




EJERCICIO N°2 3x1 + 6x2 ≥ 17

3X1 + 6X2 = 17

X1

X2

0 5

2.8 0

P (0,0) 3(0)+6(0) ≥17

0 ≥ 17 FALSO




RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO N° 3

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.

LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:

X1 X2 HORAS DE TRABAJO 8 40 800 HORAS DE REVISIÓN 5 10 320

UTILIDAD 100 300

FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR: Z=100X1+300X2

S.a.

8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60 Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0 8X1+40X2 = 800

X1

X2

0

100

20 0

8(0)+40(0) ≤ 800




0 ≤ 800 VERDADERO 5X1+10X2 = 320

X1

X2

0 64

32 0

5(0)+10(0) ≤ 320 0 ≤ 320 VERDADERO X1 = 60

PUNTO X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000




Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación 8X1+40X2 = 800 5X1+10X2 = 320 (-4) 8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12 X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600

Restricciones Activas (RA): 1,2

Restricciones Inactivas: (RI): 3

Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12




COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800 8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800

h1 = 0

2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

3) X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60

40 + h3 = 60 h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600. Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes. CONCEPTOS: Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las

ecuaciones. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la

igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución. HOLGURA Y EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su

cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo

requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad.




Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.

EJERCICIO N°4

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?

FUNCIÓN OBJETIVO MAX: Z= 200X1 + 250X2 VARIABLES:

X1= número de mecánicos X2= número de electricistas

X1≥ X2 X1≤ 2X2

Lim. X2≤ 30

X1≤ 20

C.T X1, X2 ≥ 0 X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero

X1

X2

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

X1

X2

0 10 20 30 40

0 5 10 15 20




PUNTOS X1 X2 Z

B 20 10 6500 C 20 20 9000

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 9000

V.O.

X1= 20

X2=20

RA=1, 4

RI= 2, 3

COMPROBACIÓN

1. X1≥ X2

20≥20 Hay equilibrio

2. X1≤ 2X2

20 ≤ 2(20)

20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20)

20 + H1 = 40

H1 = 40-20

H1 = 20




3. X2≤ 30

20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10

4. X1≤20

20 ≤ 20 Hay equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20

ELECTRICISTAS 30 10

EJERCICIO N°5

TIPOS DE SOLUCIONES

Solución única

Función objetivo:

MIN: Z = 2X + 3Y

S.a. -3x+2y ≤ 6

x +y ≤ 10.5

-x+2y ≥ 4

C.T. X, Y ≥ 0




1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4

verdadero verdadero falso

PUNTOS X Y Z

A 0 2 6

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=6

V.O.

X =0

Y= 2

RA=3

RI=1, 2

X1

X2

0 -4

2 0

X1

X2

0 -2

3 0

X1

X2

0

10.5

10.5 0




COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6

-3(0)+2(2) ≤ 6

4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6

4+H1=6

H1=3

2) x +y ≤ 10.5

0+2 ≤ 10.5

2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5

H2=8.5

3) -x+2y ≥ 4

-0+2(2) ≥ 4

4 ≥4

EJERCICIO N°5

Solución múltiple

Función objetivo:

MAX: Z = 5/2X1 + X2

S.a.

3x1 + 5x2 ≤ 15

5x1 + 2x2 ≤ 10

C.T. x1; x2 ≥ 0

1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10




0 ≤ 15 0 ≤ 10

verdadero verdadero

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=5

V.O

X1 =20/19

X2= 45/19

RA=1; 2

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 Desde 20/19 Hasta 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

Donde

Z = 5

Para calcular el Punto C

X1

X2

0 5

3 0

X1

X2

0 2

5 0




3x1+5x2 =15 (-2)

5X1 +2x2=10(5)

-6x1 - 10x2 =-30

25x1 +10x2 =50

19x1 0 =20

x1=20/19

3(20/19)+5x2 =15

60/19+5x2 =15

x2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)

COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤ 15

3(20/19)+5(45/19) ≤ 15

15 ≤ 15

2) 5X1 +2x2 ≤ 10

5(20/19)+2(45/19) ≤ 10

10 ≤10

EJEMPLO N°7

NO ACOTADO

Una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.

Función objetivo:

MAX: Z= 5000A + 4000B




S.a.

A+B≥5

A-3B≤0

30A+10B≥135

C.T. A; B ≥ 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A=3B

0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135

Falso Verdad Falso

No acotada no hay solución

EJERCICIO N° 8

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos

mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo

venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada

contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista

B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de

A

B

0 5

5 0

A

B

0 5

5 0




manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y

el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá

que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero,

reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A + 300B

RESTRICCIONES

S.a.

8A + 2B ≥ 16

A + B ≥ 5

2A + 7B ≥ 20

C.T. A, B ≥ 0

1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20

0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20

Falso Falso Falso

PUNTOS X1 X2 Z

B 1 4 1350 C 3 2 1050

A

B

0 2

8 0

A

B

0 5

5 0

A

B

10 0

0 2.86=3




SOLUCIÓN OBJETIVO

Z= 1050

V.O.

A= 3

B= 2

RA= 2,3

RI= 1

COMPROBACIÓN

1. 8A +2B ≥ 16

8(3)+2(2) ≥ 16

24+4 ≥ 16

28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16

8(3)+2(2) - H1= 16

28 – H1 = 16

H1 = 12

2. A + B ≥ 5

3 + 2 ≥ 5

5 ≥ 5

3. 2A+7B ≥ 20

2(3)+7(2) ≥ 20

6+14 ≥ 20

20 ≥ 20

Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.




EJERCICIO N°9

PROBLEMAS NO FACTIBLES

Tienen un conjunto factible vacío

FUNCIÓN OBJETIVO

MAX: Z= 3000E + 4000F

S.a.

E +F ≤ 5

E -3F ≤ 0

10E + 15F ≤ 150

20E + 10F ≤ 160

30E +10F ≥ 150

C.T. E,F ≥0

1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150

0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150

verdadero verdadero verdadero

4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150

0 ≤ 160 0 ≥ 150

verdadero falso

E F

3 6

1 2

E F

0 5

5 0

E F

15 0

0 10

E

F

0 8

16 0

E F

0 5

15 0




No tienen solución

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