EJERCICIOS MÓDULO 5

Seminario Universitario – Matemática

35

EJERCICIOS – MÓDULO 5

1) Dadas las siguientes rectas, determinar su pendiente y ordenada al origen y graficar:

) 2 ) 2 ) 2 3

1 2) 2 ) 2 ) 3

2 3

a y x b y x c y x

d y x e y x f y x

2) Si ( ) 3 2s t t describe el espacio recorrido por un móvil que se desplaza con M.R.U, (t

en segundos y s en metros) determinar:

a) El espacio recorrido a los 5 segundos, a los 10 segundos y a los 25 segundos.

b) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza a igual

velocidad y que está 2 metros adelantado con respecto al primero.

c) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza al doble de

velocidad y en el instante t = 0 se encuentra en el mismo punto que el primero.

3) Las ganancias f(x) obtenidas por la venta de x tn de un cereal están dadas por la

ecuación f(x) = 250 x + 150. Obtener:

a) Las ganancias al vender 15 tn, 50 tn y 2000 tn.

b) ¿Cuántas toneladas es necesario vender para obtener una ganancia de $500.000?

4) Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m si:

) 1; 2 1 ) 0; 3 3

1) 4; 5 2 ) 2; 2

4

a P m b P m

c P m d P m

5) Dibujar la recta cuya ecuación es:

) 3 4 0 ) 2 5 2 ) 2 3 0

) 4 3 1 0 )

a y b y x c x

d x y e x y

6) Indicar si los siguientes puntos están alineados:

) ( 1; 1) ( 2; 3) (1; 3)

) ( 3; 0) ( 1; 1) (2; 3)

a A B C

b A B C

7) a) Determinar la ecuación del haz de rectas que pasan por (2; –5).

b) Determinar las ecuaciones explícitas de las rectas, del punto anterior, cuyas pendientes

son respectivamente: m1 = –3/2; m2 = 4/5 y m3 = 5.

8) Dada la ecuación: 1

12

y x . Escribir la ecuación de una recta paralela, que pase por

el punto (0; –3).

Módulo 5

36

9) Dada la ecuación 3 1

4 02 2

x y , hallar la ecuación de una recta perpendicular.

10) Observando las siguientes ecuaciones, y sin graficar determinar para cada una en que

cuadrantes se ubica:

3 3. 7 . 2 . .

14 2

4 15 9 10. . . .

15 2 10 9

. 0 7 .

I y x I I y x I I I y x IV y x

V y x VI y x VI I y x VI I I y x

IX y , x X y x

a) ¿Cuál es la más próxima al eje x? b) ¿Cuál es la más próxima al eje y?

11) Escribir la ecuación de una recta paralela y otra perpendicular a y = –1/5 x

+ 1 que pase por el punto:

a) (–1; 2) b) (–2; 1) c) (0; 3)

12) ¿Qué clase de cuadrilátero es el determinado por los puntos: A = (6; 0), B = (4; 4),

C = (6; 6) y D = (8; 2)?

13) ¿Podrías afirmar que el triángulo determinado por los puntos M = (1; –2), N = (7; –2)

y P = (1; 3) es rectángulo? ¿Por qué?

14) Hallar la perpendicular a la recta determinada por los puntos (–2; –1) y (5; 1) y que

pase por el punto (1; –3).

15) En el triángulo determinado por los puntos (–2; 2), (3; 0) y (–3; –2) hallar:

a) la ecuación de las rectas que incluyen a cada uno de los lados.

b) la ecuación de las mediatrices de cada lado.

c) las coordenadas del baricentro.

16) Dado el triángulo ABC cuyos lados están incluidos en las siguientes rectas:

4 1

3 1 2 15 3

y x y x y x

a) Calcular las coordenadas de sus vértices.

b) ¿Qué clase de triángulo es? ¿Por qué?

c) Graficar.

17) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B si:

) 0; 0 ; 3;1 ) 1; 3 ; 1; 5a A B b A B

18) Dados los puntos 5; 1 ; 2; 4 y 1; 5A B C :

a) Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo que determinan

b) Calcular abscisa y ordenada al origen de cada recta.


37

c) Escribir la ecuación de la paralela al lado AB que pasa por el punto C.

d) Escribir la ecuación de la perpendicular al lado AB que pasa por el punto C. (recta que

contiene a la altura correspondiente a la base AB ).

e) Escribir la ecuación de la mediana correspondiente al lado AB .

Aclaración: la recta que contiene a la mediana es la que pasa por el punto medio del lado

AB y por el vértice opuesto. Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen

haciendo la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento.

19) Hallar el valor de k para que las rectas 21 3 0k x k y y 3 2 11 0x y

sean:

a) paralelas

b) perpendiculares.

20) Encontrar la ecuación de la recta que se muestra

en el gráfico de la derecha. Determinar su pendiente

y ordenada al origen.

21) Resolver los siguientes sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas:

25 3 19 4 2 33 4) ) )2 7 25 3 2

74 2

1 1 5

2 9 5 2 16) ) )

1 1 4 3 6 27 10 4 3

5

x y

x y x ya b c

x y xx y

x y x yx yd e f

x y x y

x y

22) La mitad de un número es igual a la tercera parte de otro. ¿Cuáles son dichos números

si su suma es igual a 10?

23) En una juguetería donde se venden bicicletas y triciclos se cuentan 60 ruedas. Sabiendo

que hay 5 bicicletas más que triciclos, hallar cuántos de cada uno hay.

Módulo 5

38

24) Los precios de un viaje aéreo, incluido el alojamiento a las Cataratas son $ 400 para una

sola persona y $ 700 para una pareja en habitación doble. En uno de los vuelos se

recaudaron $ 22.400 y viajaron 62 personas en total. ¿Cuántas parejas y cuántas personas

solas viajaron?

25) Dos ángulos suplementarios son tales que la medida de uno de ellos tiene 12° más que

el doble de la medida del otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

26) El numerador de una fracción supera en 1 al triple del denominador. Si se sustraen 4

unidades de ambos términos de la fracción, se obtiene otra equivalente a 6. Determinar la

fracción dada.

27) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 5, y si se hace la diferencia entre

el número que resulta de invertir las cifras menos nueve, se obtiene el número dado.

Averiguarlo.

28) Obtener las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes

parábolas y hacer una gráfica aproximada de las mismas:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1) ) 2 ) 1

2

) 2 ) 3 )

3) 4 5 ) 2 6 1 )

4

a y x b y x c y x

d y x e y x x f y x x

g y x x h y x x i y x x

29) Dar el dominio y recorrido de cada una de las funciones cuadráticas del ejercicio 28.

30) El rendimiento de nafta r en (km/litro) de un automóvil está relacionado con la

velocidad v (en km/h) por la función 21 2( )

400 5r v v v (0 160v )

a) Hallar la velocidad para la cual el rendimiento es máximo y calcular dicho rendimiento.

b) ¿Para qué valores de v aumenta el rendimiento? ¿Para cuáles disminuye?

c) Graficar.

31) En una laguna se introdujeron 100 truchas. Al principio el cardumen empezó a crecer

rápidamente, pero después de un tiempo, los recursos de la laguna empezaron a escasear y

la población decreció. Si el número de truchas N(t) a los t años está dado por

2( ) 21 100N t t t (t >0)

Calcular cuántos años transcurrieron para que la población alcance su número máximo.

¿Cuál es la máxima población?

¿Se extingue la población? Si es así, ¿cuándo ocurre esto?


39

32) Escribir la forma polinómica de la ecuación de

la parábola que se muestra en la figura, sabiendo

que su coeficiente principal es igual a 2.

33) Describir sin graficarlas las características de

cada una de las siguientes funciones tomando como referencia la parábola matriz:

22 2

22

) 2 5 1 ) 2 3 ) 3 1

) 6 9 ) 2 1 2

a y x x b y x x c y x

d y x x e y x

34) Escribir las funciones que correspondan a las siguientes gráficas:

a) de y = x2 trasladada 3 unidades a la izquierda y 1/3 unidad hacia abajo.

b) de y = 1/4 x2 desplazada 2 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia arriba.

c) de y = (x – 3)2 desplazada 1 unidades a la izquierda.

d) de y = 1/2 x2 – 1 trasladada 1,2 unidades hacia abajo.

e) de y = 2 (x – 1)2 + 5/2 desplazada 5 unidades a la izquierda.

35) Expresar en forma polinómica o canónica según corresponda las parábolas del punto

anterior.

36) Determinar la ecuación del eje de simetría, las raíces y las coordenadas del vértice de

cada una de las funciones del punto anterior, especificando si hay un máximo o un mínimo.

37) Dadas las raíces reconstruir la ecuación de segundo grado:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

3 1) 3; 2 ) 2; 1 ) ;

5 2

5) ; 2 ) 0, 2; 1

2

a x x b x x c x x

d x x e x x

38) Dada la parábola y = –1/2 (x + 2)2 – 4. Encontrar las ecuaciones de las siguientes

parábolas:

a) la opuesta por el vértice. b) la simétrica respecto del eje x.

c) la simétrica respecto del eje y.

Módulo 5

40

d) la simétrica respecto del origen de coordenadas.

e) la simétrica respecto de la recta x = 3.

f ) la simétrica respecto de la recta y = –1.

g) la simétrica respecto del punto (3; –1).

h) Dibujar en una sola gráfica la parábola original y las obtenidas en los puntos (c), (e) y

(g).

39) Resolver los siguientes sistemas mixtos:

2 2 22 7 0 5 3) ) )

3 1 0 8 1

x x y y x y x xa b c

x y y x y x

40) El número Q de miligramos de una sustancia radiactiva que restan después de t años

está dado por: 0,035

100t

Q e

.

a) Calcular cuántos miligramos hay después de 10 años.

b) ¿Después de cuántos años habrá 20 mg? Proporcionar la respuesta al año más cercano.

41) La población de una ciudad está dada por la ecuación: 0,032

( ) 10.000t

P t e , donde t

es el número de años transcurridos desde 1980.

a) ¿Cuántos habitantes tenía en 1996?

b) ¿En qué año, su población será el triple que en 1980?

42) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

3 2 3

22 2 2

2 2

) 2 16 ) 5 5 3126 ) 4 2 20

1) 2 0 ) log 5 ) log 12 2 log 2

2

) log 2 log 6 log 3 2 ) log log

x x x x x

x x

x x

x x x

a b c

d e e e x f

g h x x

43) Graficar las siguientes funciones y dar sus características:

2 3

1a) 2 2 b) 2

4

c) log 1 d) log 2

xxy y

y x y x

44) En cada una de las siguientes funciones determinar dominio, codominio, recorrido,

ecuación de la asíntota, intersección con los ejes coordenados, y los conjuntos de: ceros,

positividad, negatividad, crecimiento y decrecimiento:

112

4

1) 2 3 ) 4 ) 2 log 1 ) 1 log

4 2

xx x

a f x b f x c f x x d f x

45) Determinar el valor de k en la función 3

2

( ) 2f x log kx , para que (2) 1f .


41

46) Dadas las siguientes funciones, esquematizar y dar sus características:

2

2

2 2

2 2 2) ) )

12

4 45) ) 4 )

3 10 1

x x xa y b y c y

x xx x

xxd y e y d y

x x x

47) Resolver las siguientes ecuaciones:

x 3 x 1

2 1 2

1

2

32 1 23x 1

14 1 2

a) 3.2 12 0 b) -4 8 0

3c) 121 11 3 11 22 d) 7 .7 196

7

1

2e) 5.2 128 f) 9 3 90

2

1) 2 4 0 ) 3 2 0

4

) 27 9 ) 8 2

) 25 .625 5 ) lo

x x x

x

x

x x x

x x x x

x xx

x x

. .

g h e e

i j

k l

2 2

182 3 43 3 2 2 2

41 4 4

3

2 2

g 2 2 log 2 2

) log 1 log 1 6 ) log log log 2

) log 2 log log 9 0 ) 3 log 4 log 4 2

) log log 1 1

x x

m x x n x x

ñ x x o x x

p x

48) En un país, la inflación es del 8% anual. ¿Cuánto costará dentro de 6 años, en ese país,

un automóvil que hoy cuesta $11.000?

49) Se llama devaluación a la pérdida de valor del dinero. Si en un país la devaluación es del

10% anual. Escribir la función que mide la devaluación D de una suma de dinero S en

función del tiempo (medido en años).

50) Un equipo de fútbol ha jugado 15 partidos de los cuales ha perdido 3. Totaliza 28

puntos. ¿Cuántos partidos ganó y cuántos empató?

51) Dividir el número 24 en dos sumandos positivos tales que la razón de sus cuadrados sea

igual a 1/4.

52) Un ciclista que circula por una senda rectilínea a una velocidad constante de 4 m/s pasa,

en un cierto momento, por un punto de control. Otro ciclista que circula por la misma

senda, pero en sentido contrario a una velocidad constante de 3 m/s, pasa por el mismo

puesto 20 segundos después.

(i) Dar las ecuaciones de movimiento de cada ciclista.

(ii) Determinar el instante en que se encuentran y a qué distancia del puesto lo hacen.

(iii) Verificar gráficamente los resultados obtenidos.

Módulo 5

42

53) Dos automóviles circulan en el mismo sentido por la ruta 30. Cuando pasan por el

puesto policial, se registran los siguientes datos:

Auto A Auto B

Velocidad : 120 km/h Velocidad : 80 km/h

Aceleración: –40 km/h2 Aceleración: 0 km/h2

(i) ¿Vuelven a encontrarse los automóviles?

(ii) Si se encuentran, determinar en qué momento lo hacen y a qué distancia del

puesto policial.

54) Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de

10 m/s. Su altura en metros, sobre el suelo, t segundos después de haber sido lanzada está

dada por la función h(t) = 1,05 + 10 t – 5 t2

(i) ¿Desde qué altura fue lanzada?

(ii) Indicar en qué instante alcanza la altura máxima y calcular dicha altura.

(iii) ¿Para qué valores de t asciende y para cuáles desciende?

(iv) Hallar el tiempo que demora en llegar al suelo.

55) Se dispara desde la superficie una bala de cañón que sigue una trayectoria parabólica

con un alcance de 100 metros y una altura máxima de 15 metros. Hallar la expresión

cuadrática que define su trayectoria.

56) Una ecuación de la recta r es –3 y + 6 = x. Escribir la expresión de una función lineal

cuya representación gráfica sea:

(i) Una recta paralela a r que pase por (3; –2).

(ii) Una recta que no sea paralela a r pero que tenga la misma ordenada al origen.

(iii) Una recta paralela a r que pase por el origen.

(iv) Una recta paralela al eje x con la mima ordenada al origen que r.

57) Una ecuación de la recta r es 6 – 3 y = 4 x. Escribir la ecuación de una recta tal que:

(i) Sea perpendicular a r y pase por (4; 2).

(ii) Sea paralela a la anterior y corte al eje x en 5.

(iii) No sea paralela ni perpendicular a r pero tenga la misma ordenada al origen.


43

58) Hallar el valor de x que verifica:

a) 2log 1 log 2 log 5x x x b) 2ln 2 1 ln ln 2 3x x x

c) 4 ln 3 ln 5 ln ln 273 3

x xx d) 4 log 3 log 5 log log

2 3

x xx x

e) log 3 2 log 3 5x f ) 2 2log logx x

g)

4

1

10

10

x

x

y

y

h) 2 2

2 4

x y

x y

i) 310 100

4 16

x y x

x y

j) 2

5 25

3 27

x y

x y

k) 25 10

7 10

x y

x y

59) Verificar que:

a) 3 3 3

3 3log log 3 3 b) 2 2log log 2 4

60) Probar que:

a) 6 64 4

23 7 . 23 7 5 2 7 . 5 2 7 1 b) 6 21

11 4 1

11

12

x

x

x

c)

2 2

2 2

2 3 2

2 2

1

6 2

x x y y x y

x yx y

x y x y

x y

d) 2 2 1 5 7

. 12 2 1 2

x x a

a x x a x a

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Los gráficos a cargo del alumno.

a) m = 1; b = 2 b) m = -1; b = -2 c) m = 2; b = -3

d) m = -2; b = 0 e) m = ½; b = –2 f ) m = –2/3; b = 3

2) 1 2

) (5) 17 , (10) 32 , (25) 77 ) ( ) 3 4 ) ( ) 6 2a s m s m s m b s t t c s t t

3) ) (15) $ 3.900 (50) $12.650 (2.000) $500.150a f f f

b) Es necesario vender 1.999,40 tn.

4) 1 3

) 1 ) 3 3 ) 2 3 )4 2

a y x b y x c y x d y x

5) A cargo del alumno.

6) a) Sí b) No.

Módulo 5

44

7) a) 2 5y m x – – b) 3 4 33

2 5 152 5 5

y x y x y x – – – –

8) 1

32

y x – –

9) y = –3

8 x +

1

3 , o en general: y = –

3

8 x + b, b .

10) I. 1 y 3 II. 2 y 4 III. 2 y 4 IV. 1 y 3 V. 1 y 3

VI. 2 y 4 VII. 1 y 3 VIII. 1 y 3 IX. 2 y 4 X. 1 y 3

a) La V) b) La VI)

11) a) 1 9

5 75 5

y x y x– b) 1 7

5 95 5

y x y x– –

c) 1

3 5 35

y x y x– +

12) Paralelogramo.

13) Sí. Un par de las correspondientes rectas que contienen a sus lados son perpendiculares entre sí.

14) 7 1

2 2y x –

15) a) 2 6 1

1 4 105 5 3

y x y x y x – –

b) 1 5 5 1

3 14 8 2 4

y x y x y x – – – – c) 2

– ; 03

.

16) a) 15 26 45 22

0; – 1 ; ; ; ; –19 19 7 7

b) Triángulo rectángulo

c) A cargo del alumno.

17) 1

) ) 43

a y x b y x

18) 5 18 1 14 3 13

) : : :7 7 3 3 2 2

a AB y x BC y x AC y x

b)

recta abscisa al origen ordenada al origen

AB 18

5

18

7

BC 14 14

3

AC 13

3

13

2

5 40 7 18

) ) ) 7 127 7 5 5

c y x d y x e y x

19) a) Las rectas dadas nunca pueden ser paralelas (k es un número complejo).

b)1 7

3k

20) y = 2 x + 2


45

2 1

21) ) 2; 3 ) 12; 8 ) ;3 6

60) 60; ) compat ible indeterminado ) incompat ib le

49

a S b S c

d S e f

22) 4 y 6. 23) 15 bicicletas y 10 triciclos.

24) 14 personas solas y 24 parejas. 25) 124° y 56°.

26) 22

7 27) 23

28) a) 0; 0 0x b) 0; 0 0x c) 0; 1 0x

d) 0; 2 0x e) 3 9 3

– ; – –2 4 2

x

f )

1 1 1;

2 4 2x

g) 2; –9 2x h)

3 11 3; –

2 2 2x i)

1 1– ; –1 –

2 2x

29) a) = = [0; +) b) = = (–; 0]

c) = = [1; +) d) = = (–; 2]

e) = = [–9/4; +) f ) = = (–; 1/4]

g) = = [–9; +) h) = = [–11/2; +)

i) = = (–; –1]

30) a) v = 80 km/h; r = 16 km/litro.

b) Aumenta para: 0 < v < 80; y disminuye para: 80 < v < 160.

c) A cargo del alumno.

31) a) 10 años y medio; 210 truchas b) a los 25 años.

32) 22 4 5y x x


2 2 2

22

1 134) ) 3 ) 2 1 ) 2

3 4

1 5) 2, 2 ) 2 4

2 2

a y x b y x c y x

d y x e y x

2 2 2

2 2

26 135) ) 6 ) 2 ) 4 4

3 4

1 69) 2, 2 ) 2 16

2 2

a y x x b y x x c y x x

d y x e y x x

36) a) 1

–3; – 3

V

mínimo en x = –3 raíces: 1

33

b) V = (–2; 1) mínimo en x = –2 raíces: { –2 2 i}

c) V = (2; 0) mínimo en x = 2 raíces: {2}

d) V = (0; 2,2) mínimo en x = 0 raíces: 4, 4

e) 5

–4;2

V

mínimo en x = –4 raíces: 4 5 i

Módulo 5

46

2 2 2

2 2

11 337) ) 5 6 ) 2 )

10 10

1) 5 ) 0, 8 0, 2

2

a y x x b y x x c y x x

d y x x e y x x

38) a) y = 1

2 (x + 2)2 – 4 b) y =

1

2 (x + 2)2 + 4 c) y =

1

2 (x – 2)2 – 4

d) y = 1

2 (x – 2)2 + 4 e) y = –

1

2 (x – 8)2 – 4 f ) y =

1

2 (x + 2)2 + 2

g) y = 1

2 (x – 8)2 + 2 h) A cargo del alumno.

39) ) 2; 7 ; 3; 8 ) ) 1; 2a S b S c S

40) a) 70,47 mg b) 46 años

41) a) 16.686 habitantes b) 34 años (en el 2014)

42) ) 1 ) 2 ) 2 ) 0

) 32 ) 3 ) 2 ) 1; 100

a x b x c x d x

e x f x g x h x x


44)

a) = ; = (-3;+); astt: y = –3; corta al eje y en –5/2; al eje x en 2,5849.

b) = ; = (–; 4); astt: y = 4; corta al eje y en 3; corta al eje x en –1.

c) = (1; +); = ; astt: x = 1; no corta al eje y; corta al eje x en 2.

d) = (0; +); = ; astt: x = 0; no corta al eje y; corta al eje x en ½.

45) k = 4/3

46) a) D = – {0; 2} b) D = – {–1} c) D = – {0}

d) D = – {2; –5} e) D = . d) D = – {–1; 1}

147) ) 1 ) ) 1 ) 2 ) 5

2

) 2 )

a x b x c x d x e x

f x g

2 ) 0 ln 2 )

7

13 28) ) 0 ) 1 ) 10

16 27

) 4 ) 10 ) 0 ) 5

solucion h x x i x

j x k x l x m x x

n x ñ x o x p x

48) $ 17.456

49) ( ) 0,9t

D t S

50) ganó 8 y empató 4

51) 8 y 16

52) (i) y = 4 t ; y = –3 t + 60 (ii) t = 8,57 seg ; y = 34,286 m (iii) A cargo del alumno.

53) (i) yA = 120 t – 40 t 2 ; yB = 80 t ; (ii) t = 1 h ; y = 80 km

54) (i) 1,05 (ii) t = 1 seg h = 6,05 m (iii) Asciende durante el primer segundo, y desciende el siguiente 1,1 segundo; (iv) Llega al suelo a los 2,1 segundos.

55) 3

( ) 100500

e t x x


47

56) (i) x + 3 y + 3 = 0 (ii) 2 y + 6 = x (iii) –3 y = x (iv) y = 6

57) (i) 3

14

y x (ii) 3 15

4 4y x (iii) y = 2 x + 2, o en general: y

= m x + 2 m –4

3 ; m

3

4

58) a) x = 1 b) x = 3 c) x = 9 d) 36 2x

e) x = 11 – 6 5 f ) x = 100 x = 1

g) (x = 2 ; y = 100) (x = –2 ; y = 1

100)

h) x = 1,5 ; y = –0,5 i) x = 3 ; y = 1 j) x = y = 1

k)

2 log5 log7 log5 log7

; log5. log7 log5. log7

x y



EJERCICIOS MÓDULO 5

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