EJERCICIO GRUPAL:

Una empresa petrolera desea construir un oleoducto desde su plataforma en el océano, ubicado en el

punto A hasta una refinería localizada en el punto B. la plataforma está a 25 millas de la costa, y la

refinería 8 millas tierra adentro. Además A y B están a 150 millas de distancia uno al otro. El costo

de construcción del oleoducto es US $3,45 millones por milla en el mar, y US $5,68 millones por

milla en tierra. El costo del oleoducto depende de la ubicación del punto P en la orilla del ma.

RESOLUCIÓN:

1. Elabore un gráfico que presente la situación del problemática planteada.

2. Modele la función que permite determinar el costo total del oleoducto.

𝐶(𝑥, 𝑦) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦

La función restricción del problema:

𝑦2 = (146 − 𝑥)2 + 25

3. Determinar la ruta que cebe trazar para que el costo de construcción del oleoducto sea menor

posible. Justifique formalmente su respuesta haciendo uso del método del Hessiano o del

Hessiano Orlado, dependiendo del modelo de optimización obtenido.

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝛾) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦 − 𝛾((146 − 𝑥)2 − 𝑦2 + 25)

SOLUCION:

Derivadas parciales en función de “x”,”y” y “z” e igualamos a cero para hallar puntos críticos.

𝜕𝐹

𝜕𝑥=

3.45𝑥

√(25)2 + 𝑥2− 𝛾[2(146 − 𝑥)(−1)] = 0

𝜕𝐹

𝜕𝑦= 5.68 − 𝛾[−2𝑦)] = 0

𝜕𝐹

𝜕𝑦= −[(146 − 𝑥)2 − 𝑦2 + 25] = 0

ENTONCES TENEMOS:

3.45𝑥

[2(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2= −𝛾

→5.68

2𝑦= −𝛾

IGUALAMOS

3.45𝑥

[2(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2=

5.68

2𝑦

𝑦 =5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2

3.45𝑥

𝑦2 = [5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2

3.45𝑥]

2

REMPLAZAMOS EN:

𝑦2 = (146 − 𝑥)2 + 25

(146 − 𝑥)2 + 25 = [5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2

3.45𝑥]

2

1462 − 292𝑥 + 𝑥2 + 25 =5.682(1462 − 292𝑥 + 𝑥2)(252 + 𝑥2)

[3.45𝑥]2

(1462 + 25 − 292𝑥 + 𝑥2)[3.45𝑥]2 = 5.682(1462 − 292𝑥 + 𝑥2)(252 + 𝑥2)

[(1462 + 25)[3.45𝑥]2 − 292𝑥[3.45𝑥]2 + 𝑥2[3.45𝑥]2]

= [1462 × 252 − 292𝑥 × 252 + 252 × 𝑥2 + 1462 × 𝑥2 − 292𝑥 × 𝑥2 + 𝑥2

× 𝑥2][5.682]

[(1462 + 25)(3.452)𝑥2 − 292(3.452)𝑥3 + (3.452)𝑥4]

= [(1462)252 − (25)2292𝑥 + (252 + 1462)𝑥2 − 292𝑥3 + 𝑥4][5.682]

(3.452)𝑥4 − 292(3.452)𝑥3 + (1462 + 25)(3.452)𝑥2

= 5.682𝑥4 − (5.682)292𝑥3 + (252 + 1462)5.682𝑥2 − (25)2(5.682)292𝑥

+ 1462 × 252 × (5.682)

(5.682 − 3.452)𝑥4 + (−(5.682)292 + 292(3.452))𝑥3 + [(252 + 1462)5.682 − (1462 +

25)(3.452)]𝑥2 − (25)2(5.682)292𝑥+1462 × 252 × (5.682) =0

POR LO TANTO OBTENEMOS LOS SIGUIENTE PUNTOS CRITICOS:

𝑋1 = 164.77 𝑌1 = 19.42

𝑋2 = 127.44 𝑌2 = 19.22

PUNTOS CRITICOS

(164.77; 19.42) Y (127.44; 19.22)

REMPLAZAMOS EN EL COSTO GENERAL PARA HALLAR MAXIMO Y MINIMO

COSTO:

𝐶(𝑥, 𝑦) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦

𝐶(164.77; 19.42) = 3.45 (√(25)2 + (164.77)2) + 5.68(19.42) = 685.27

𝐶(127.44; 19.22) = 3.45 (√(25)2 + (127.44)2) + 5.68(19.22) = 557.22

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que el costo del oleoducto es lo menor posible en las

coordenadas (127.44; 19.22) con un costo en millones:

𝐶(127.44; 19.22) = 557.22 COSTO MINIMO