Ejercicios de Vectores Resueltos

7/29/2019 Ejercicios de Vectores Resueltos

1/17

1

Vectores

.vuyvu,vuvu

++2

12dibujavectores,siguienteslossonySia)

Ejercicio n 1.-

( ) :descoordenadalasObtn2,21y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .

ba

++

bababa3

1;

2

1;23

:figuralamuestraquelosysiendo,32y2

1vectoreslosDibujaa)

++ vuvuvu,vu

Ejercicio n 2.-

( ) :descoordenadalasobtn,23,y1,3

2vectoreslosDadosb)

ba

+ ba;ba;ba3

1223


2/17

2

:

++ vuvu,vuvu3

1y

3

22dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)

Ejercicio n 3.-

( )

++

ba;ba;ba

ba

2

12

5

15

:vectoreslosdescoordenadalasobtn,31,y3,5

2

sonydescoordenadalasSib)

:3

2y2,

dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)

++ vuvuvu

vu

Ejercicio n 4.-

( )

+++

ba;ba;ba

ba

22

143

:descoordenada

lasobtn,

4

11,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)


3/17

3

++ vu;vu;vu 22

12

Ejercicio n 5.-

a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:


3vectoreslosDadosb)

ba

++ ba;ba;ba 422

1

:vuz,y,x

ydelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)

Ejercicio n 6.-

( ) ( ). 21,y3,5

1delinealncombinacicom170,vectorelEscribeb)

cba

:

vucb,a yvectoreslosdelinealncombinacicomoyvectoreslosExpresaa)

Ejercicio n 7.-

( ) ( ) .

2,21y21,delinealncombinacicomo25,vectorelExpresab) zyx


4/17

4

:

yxcyb,a edelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)

Ejercicio n 8.-

( )

( )23,y1,2

1

porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)

vu

w

( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) u

Ejercicio n 9.-

( )11,y3

12,

wv

:yvectoreslosdelinealncombinacicomo,,vectoreslosExpresab) bazyx

( ) ( ) .1,2

1y32,vectoreslosdelinealncombinacicomo14,vectorelExpresaa)

zyx

Ejercicio n 10.-


5/17

5

( ) ( ) ( ) :1,y23,,45,Dados kzyx

Ejercicio n 11.-

.x

zxk

quesentidomismoelydireccinmismalaconunitariovectorunHallab)

.90ngulounformenyqueparadevalorelHallaa)

( ) ( ) :2,y31,Si mba

Ejercicio n 12.-

( ). 24,siendoyporformadonguloelCalculab)

lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)

cca

bam

( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados

wmvu

Ejercicio n 13.-

.

wu

um

yformanquenguloelHallab)

lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)

( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera

yxbabyax

Ejercicio n 14.-

5.xqueylaresperpendicusean =

( )11,y5

4,5

3

ba

Ejercicio n 15.-

a) Halla el ngulo que forman los vectores

( ) ?5

4,5

3alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelseraCulb)

ax,ux


6/17

6

Soluciones ejercicios de Vectores

.vuyvu,vuvu

++2

12dibujavectores,siguienteslossonySia)

Ejercicio n 1.-

( ) :descoordenadalasObtn2,21y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .

ba

++

bababa3

1;

2

1;23

Solucin:

a)

( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,21

23,2323b)=+=

+=+

ba

( ) ( )

=

+=

+=+

4,4

91,

4

13,22,

2

1

2

13,2

2

1ba

( )

=

=

=

3

5,

6

55,

2

5

3

12,

2

13,2

3

1

3

1ba

:figuralamuestraquelosysiendo,32y2

1vectoreslosDibujaa)

++ vuvuvu,vu

Ejercicio n 2.-


7/17

7


2vectoreslosDadosb)

ba

+ ba;ba;ba3

1223

Solucin:

a)

( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,3

2323b) =+=+

=+

ba

( ) ( )

=

=

=

0,3

52,32,

3

42,31,

3

222 ba

( )

=

=

=

3

1,

3

1

3

2,11,

3

22,3

3

11,

3

2

3

1ba

:

++ vuvu,vuvu3

1y

3

22dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)

Ejercicio n 3.-


8/17

8

( )

++

ba;ba;ba

ba

2

12

5

15

:vectoreslosdescoordenadalasobtn,31,y3,5

2sonydescoordenadalasSib)

Solucin:

a)

( ) ( )

=

+=+

=+

572,

59

53,

5115,23,1

513,

525

515b) ba

( ) ( )

=+

=+

=+

9,5

126,23,

5

23,123,

5

22ba

( ) ( )

=

=

=

2

9,5

63,1

2

3,5

13,13,

5

2

2

1

2

1ba

:3

2

y2,

dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)

++ vuvuvu

vu

Ejercicio n 4.-

( )

+++

ba;ba;ba

ba

22

143

:descoordenada

lasobtn,4

11,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)


9/17

9

Solucin:

a)

( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,64

1,141,2343b) =+=

+=+

ba

( ) ( )

=

+=

+=+

4

5,3

4

1,11,2

4

1,11,2ba

( ) ( )0,121

,22

1,14

1,121,22

122

1

=

+

=

+=+

ba

++ vu;vu;vu 22

12

Ejercicio n 5.-

a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:


3vectoreslosDadosb)

ba

++ ba;ba;ba 4221


10/17

10

Solucin:

a)

( ) ( )

=

=

=

3,4

71,12,

4

32,2

2

12,

4

3

2

1b) ba

( ) ( )

=+

=+

=+

6,2

72,24,

2

32,22,

4

322 ba

( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,

4

344 =+=+

=+

ba

:vuz,y,x

ydelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)

Ejercicio n 6.-

( ) ( ). 21,y3,5

1delinealncombinacicom170,vectorelEscribeb)

cba

Solucin:

a)

b) Tenemos que encontrar dos nmeros, m y n, tales que:

:decires,

+= cnbma


11/17

11

( ) ( )

( ) ( )

( )

+=

+

=

+

=

nmnm

nnmm

nm

23,5

17,0

2,3,5

17,0

2,13,5

117,0

1171721517

5

231750

2317

50

==+=

=

+==

+=

=

nnnn

mn

nm

nm

nm

nm

55 == nm

Por tanto:

:decires,15

+= cba

( ) ( )2,13,5

1517,0 +

=

:

vucb,a yvectoreslosdelinealncombinacicomoyvectoreslosExpresaa)

Ejercicio n 7.-

( ) ( ) .

2,2

1y21,delinealncombinacicomo25,vectorelExpresab) zyx

Solucin:

a)

b) Hemos de encontrar dos nmeros, m y n, tales que:

:decires,

+= znymx


12/17

12

( ) ( )

( ) ( )

( )

++=

+=

+=

nmn

m

nn

mm

nm

22,2

2,5

2,2

2,2,5

2,2

12,12,5

+==

+==

+=+=

+=

+=mn

mn

nm

mn

nm

nm

nm

nm

1210

1210

222210

222

25

3

8

3

1111;

3

1111310121210 =+=+====+= mnmmmmmm

Por tanto:

:decires,3

8

3

11 += zyx

( ) ( )

+= 2,

2

1

3

82,1

3

112,5

:

yxcyb,a edelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)

Ejercicio n 8.-

( )

( )23,y1,2

1

porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)

vu

w

Solucin:

a)

b) Tenemos que hallar dos nmeros, m y n, tales que::decires, += vnumw


13/17

13

( ) ( )

( ) ( )

( )

+=

+

=

+

=

nm,nm

,

n,nm,m

,

,n,m,

232

01

232

01

2312

101

214242

622

2

62

20

3

2

1

===

=

=

=

+=

=

nn

nn

mn

nm

nm

nm

m = -2n = 1

Por tanto:

:decires,2

11

+= vuw

( ) ( )232

11

2

101 ,,,

=

2

1,1:sonyporformadabaselaarespectodescoordenadaLas vuw

( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) u

Ejercicio n 9.-

( )11,y3

12,

wv

:yvectoreslosdelinealncombinacicomo,,vectoreslosExpresab) bazyx

Solucin:

a) Hemos de hallar dos nmeros, m y n, tales que:

:decires,

+= wnvmu

( ) ( )

( ) ( )

( )

+=

+

=

+

=

nm

nm

nnm

m

nm

3,23,2

,3

,23,2

1,13

1,23,2

( )

==

=+=

=

+=

mm

nm

nm

nm

nm

nm

223922

3922

3

3

22

46222

3515669669

=+==

==+=++=

mn

mmmmmm


14/17

14

Por tanto:

:decires,43

+= wvu

( ) ( )1,143

1,233,2 +

=

( )43sonyporformadabaselaarespectocondescoordenadaLas ,wvu

.

b)

( ) ( ) .1,2

1y32,vectoreslosdelinealncombinacicomo14,vectorelExpresaa)

zyx

Ejercicio n 10.-

Solucin:

a) Tenemos que hallar dos nmeros, m y n, tales que:

:decires,

+= znymx

( ) ( )

( ) ( )

( )

++=

+=

+=

nmn

m

nn

mm

nm

3,2

21,4

,2

3,21,4

1,2

13,21,4

+=+=

=+=

+=+=

+=

+=

mm

mm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

43183148

3148

3148

31

224


15/17

15

43131

177

=+=+=

==

mn

mm

Por tanto:

:decires;41

+= zyx

( ) ( )

+= 1

2

143214 ,,,

b)

( ) ( ) ( ) :1,y23,,45,Dados kzyx

Ejercicio n 11.-

.x

zxk

quesentidomismoelydireccinmismalaconunitariovectorunHallab)

.90ngulounformenyqueparadevalorelHallaa)

Solucin:

dehaescalarproductosulares),perpendicu(sean90dengulounformenyqueParaa)

zx

:ceroaigualser

( ) ( )4

5045,14,5 ====

kkkzx

xdemduloelHallamosb)

( ) 41162545 22 =+=+=

x

:serquesentidoydireccinmismalaconunitariovectorEl

x

41

4,

41

5

( ) ( ) :2,y31,Si mba

Ejercicio n 12.-

( ). 24,siendoyporformadonguloelCalculab)

lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)

cca

bam


16/17

16

Solucin:

:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa) ba

( ) ( ) 6062,3,1 ====

mmmba

( ) ( )

( )=

=

=

++

=

=

200

2

2010

64

2431

2,43,1

,b) 2222ca

ca

cacos

''48'798,14,0 =

=

ca

( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados

wmvu

Ejercicio n 13.-

.

wuum

yformanquenguloelHallab)lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)

Solucin:

:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa)

vu

( ) ( )4

3043341 ==+==

mmm,,vu

( ) ( )94,0221

14

1317

14

3241

122,b) 2222 =

=

=

++

=

=

wu

wuwucos

'.'46'20160,As, =

wu

( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera

yxbabyax

Ejercicio n 14.-

5.xqueylaresperpendicusean =

Solucin:

:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanequePara)1.

yx

( ) ( )3

0313a

bbab,,ayx ==+==

:5aigualamosedemduloelHallamos)2.

x

259593

2222

=+=+=+= aaax


17/17

17

==

=====

3

44

3

44

16169252

ba

baaa

Por tanto, hay dos posibilidades:

3

4,4;

3

4,4 2211 ==== baba

( )11,y5

4,5

3

ba

Ejercicio n 15.-

a) Halla el ngulo que forman los vectores

( ) ?5

4,5

3alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelseraCulb)

ax,ux

Solucin:

=

=

=

++

=

=

14,025

1

2

51

1125

16

25

9

54

53

,a)

ba

bacacos

''48'798, =

ca

:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParab)

au

( )4

30430

5

4

5

3

5

4,5

3,1 ====

=

xxx

xau

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