Ejercicios Resueltos de Vectores Cesar Caceres

8/15/2019 Ejercicios Resueltos de Vectores Cesar Caceres

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EJERCICIOS RESUELTOS DE VECTORES

1. Dado e l vector = (2, - 1) , determinar dos vectores

equipolentes a , , sab iendo que A(1, -3) y D(2, 0) .

oluc i!n"

2. #alcu la e l va lor de $ sab iendo que e l m!dulo de l vector = ($,

3) es %.

&'#&*

3. i e s u n v ec to r d e c om po ne nt es ( 3, +) , a ll ar u n v ec to r

uni tar io de su misma d i recc i!n y sent ido.

&'#&*


2/24

4. Dados los vrt i ces de un t r in/ulo A(1, 2) , (-3, +) y #(-1, 3) ,

a l lar las coordenadas de l bar i centro.

&'#&*

5. a l l a r l as coordenadas de l punto # , sab iendo que (2, - 2) es e l

punto med io de A#, A(- 3, 1) .

&'#&*

6

6. Ave r i /ua r s i e s t n a l i neados l o s pun tos " A ( -2 , - 3 ) , (1 , 0 ) y

#(, %) .

&'#&*

7. #alcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i l tero de vrt i ces"

A(-1, -2) , (+, -1) , #(%, 2) y D sea un para le lo/ramo.

&'#&*


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8. 'as coordenadas de los e4tremos de l se/mento A son" A (2, - 1)

y (5 , - + ) . a l la r l as c oo rd enad as d el p un to # q ue d iv id e a l

se/mento A en dos partes ta les que A# es la mi tad de #.

&'#&*

9. i e l s e/men to A de e4 t r emos A (1 ,3 ) , (6 , % ) , s e d i v i d e en

c ua tr o p ar te s i /ua le s, 7 cul es s on l as c oo rd enad as d e l os

puntos de d iv is i!n8

&'#&*


4/24

10. al lar e l s imtr i co de l punto A(+, -2) respecto de 9(2, ) .

&'#&*

11. n ve ct or t ie ne n de c om po ne nt es ( %, : 2) . a ll ar l as

coordenadas de A s i se conoce e l e4tremo (12, :3).

&'#&*


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12. D ad o e l v ec to r = ( 2, - 1 ), d et er mi na r d os v ec to re s

equipolentes a , , sab iendo que A(1, -3) y D(2, 0) .

&'#&*

13. #alcu lar la d is tanc ia entre los puntos"

&'#&*

14. i e s un v ec to r d e c omp onen te s ( 3, + ) , a ll ar u n v e c to r

uni tar io de su misma d i recc i!n y sent ido.


6/24

&'#&*

15. al lar un vector un i tar io de la misma d i recc i!n que e l vector

=(5, -) .

&'#&*

16. #a lcu la l a s c oo rdenadas de D pa ra que e l c uad r il te ro de

vrt i ces" A(-1, -2) , (+, -1) , #(%, 2) y D sea un para le lo/ramo.

&'#&*

17. a l l ar l as coordenadas de l punto med io de l se/mento A , de

e4tremos A(3, ;) y (-1, %) .

&'#&*


7/24

18. al lar las coordenadas de l punto #, sab iendo que (2, - 2)

es e l punto med io de A#, A(- 3, 1) .

&'#&*

19. Aver i/uar s i e s tn a l ineados l os puntos " A ( - 2 , - 3) , (1 ,

0) y #(, %) .

&'#&*

20. #alcu lar e l va lor de a para que los puntos es tn a l ineados.

&'#&*

21. D ad os l o s p un t o s A ( 3 , 2 ) y ( % , + ) a l l a un p un t o # ,

a l ineado con A y , de manera que se obten/a

&'#&*


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22. Dados los vrt i ces de un t r in/ulo A(1, 2) , (-3, +) y #(-1,

3) , a l lar las coordenadas de l bar i centro.

&'#&*

23. D ad os d o s v r ti ce s d e un t ri n/u lo A (2 , 1 ), (1 , 0 ) y e l

bar i centro


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25. al lar e l s imtr i co de l punto A(3, -2) respecto de 9(-2, % ) .

&'#&*

26. 7>u puntos ? y > d iv iden a l se/mento de e4tremos A(-1, -3)

y (%, ) en t res partes i/ua les8

&'#&*


10/24

27. i e l se/mento A de e4t remos A(1,3) , (6 , %) , se d i v ide

en cuat ro par tes i /ua les , 7cu les son l as coordenadas de l os

puntos de d iv is i!n8

&'#&*

28. Dados los siguientes vectores: k j i a ˆˆˆ ++−= 32 ;k j i b ˆˆˆ 334 +−= y k j c ˆˆ 4+−= .

Determinar:

a. ba− b. c ba 23 +− c. c ba 32 •− )( d. bc b 234 ×−− )(

e. El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejescoordenados.


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f. El ángulo entre los vectores: b3 y c 2−

Solucin:

a) [ ] k j i k j i ba ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)( 266313342 −+−=−+−−+−−=−

7876266 222 !)()( ==−++−=− ba

b)i k j k j i k j i c ba (ˆ)()ˆˆ(ˆˆˆ()ˆˆˆ( 931224233433223 −++−−=+−++−−++−=+−

j i c ba ˆˆ 101423 +−=+−

c) )ˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆˆˆˆ()( k j i k j k j i k j i c ba 59101236683232 −+−=+−•−+−++−=•− 8712539010 −=−+−+−= ))(())(())((

d) )( c b 34 − " j i c b j i k j k j i ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆ()ˆˆˆ( 91634916433344 +−=−−⇒−=+−−+−

k j i b ˆˆˆ 6682 +−=

k j i k j i

bc b ˆˆˆ

ˆˆˆ

)( 249654

668

0916234 ++=−

−=×−−

e) #ngulos que forma a con los ejes coordenados

$on el eje % : &!cos 312214

2=⇒

−== α α

a

a x

$on el eje ' : &!cos 736143 =⇒== β β

aay

$on el eje ( : &!cos 57414

1=⇒== γ γ

a

az

f) ngulo entre los vectores c y b 23 −

&!coscos.)( 612868306902323 =⇒=−⇒−=−• ϕ ϕ ϕ c bc b


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29. *allar las com+onentes rectangulares del vector a " ,u! en la direccin

-/ res+ecto al semieje +ositivo de las 0.

Solucin:

1igamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo +royectamos encada uno de los semieje

a

a x =030cos de donde 00 30530 coscos == aa x 334.=⇒ x a

aasen

y =030 de donde 5230530 !. =⇒°=°= y y asenasena

30. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solucin:

Se a+lica el teorema de 2itágoras

2552543 22 =⇒==+= S S

31. 3res +ersonas tiran de un cuer+o al mismo tiem+o a+licando lassiguientes fuer4as: 56 " ,7 al Sur. 58 " 67 -& al Sur9Este y 5- " 7 ,& al7or9Este. $alcular +or medio de com+onentes rectangulares! la fuer4a

resultante y la direccin a donde se mueve.


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Solucin:

>>.

!

!tan 86211739

99

18 011 =⇒

−=⇒

= −− α α α tg

F

F g

x

y


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32. Dados los vectores

( )

( )

( )5,4,2,6

1,2,2,4

2,1,0,1

3

2

1

−=−=

−=

v

v

v

,

Halar el v3 en función d e los otros dos.

Solución:

podemos observar que el vector 3v se obtiene a partir de los otros

dos de la siguiente forma: 3212 vvv =+⋅ o equivalentemente,

02 321 =−+ vvv , por tanto, los vectores { }321 ,, vvv son linealmente

dependientes.

33. Siendo )1,2,3(23 −−=−+−= k jiu , Hallar el producto de u por 3:

Solución:

)3,6,9(369)23.(33 −−=−+−=−+−= k jik jiu

34. Si )5,3,2(532 −=−+= k jiu )6,4,1(64 −−=−+−= k jiv , Hallar :u.!

"ol#ucion

40)6)$(5(4$3)1$(2 =−−++−=• vu

35. %alcula el producto !ectorial de lo" !ectore" )3,7,1( −=u )4,0,5(−=v

Solución.

%on!iene colocar el pri&er !ector de'a(o de e"te el "eundo:

)3,7,1( −=u)4,0,5(−=v


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35)11,28,(

0 5*

7 1,

5*4

13* ,

4 0

3*7 ==× vu

36. +ado" lo" !ectore" )6,1,4()5,2,3( == v yu , alla el -rea del paralelora&o ue deter&inan.

Solución:

/eniendo en cuenta ue el -rea del paralelora&o ue deter&inan e" el &ódulo del

producto !ectorial:

5)*2,7,(1 4

2 3

,4 6

3 5

,6 1

5 2

=

=× vu


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rea 78)5(27 222 =−++=× vu por lo ue rea 2u78

37. Dados los puntos A(1,1,1, !(",3,# $ %(&,',, )alla el *rea deltri*ngulo que determinan.

Solución:

+l *rea del tri*ngulo determinado por los tres puntos viene dada por lafórmula siguiente:

2

1 AC AB Área ×=

or lo tanto, )allemos AC v y ABu ==

Dic)os vectores ser*n: )5,2,3(=u $ )6,1,4(=v $ su producto vectorial:

5)*2,7,(

1 4

2 3 ,

4 6

3 5 ,

6 1

5 2 =

=× vu

78)5(27 222 =−+−=× vu $ por tanto 22

78

2

1uvu Área =×=

38. +ado" lo" !ectore" )6,1,4()5,2,3( == v yu , alla un !ector

perpendicular a a&'o"

u

!


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"olución

n !ector perpendicular a a&'o" e" el producto !ectorial:

5)*2,7,(1 4

2 3

,4 6

3 5

,6 1

5 2

=

=×vu

o ta&'in, &ediante la rela &ne&otcnica:

)5,2,7(527185832012

614

523 −=−+=−−−++==× k ji jik k jik ji

vu

39. Dados los vectores ),1,0,1( −=a )1,2,0( −=b $ ).0,0,2(=c ,)alla el producto mi-to 5,,6 cba :

solucion

4

0 02

120

101

).(,, =−−

=×= cbacba

40. Dados los vectores ),1,0,1( −=a )1,2,0( −=b $ ).0,0,2(=c ,)alla el volumen del paraleleppedo que determinan.

solucion

40 02

120

101

).(,, =−−

=×== cbacbaVolumen

41. Dados los vectores ),5,2,3(u −= )6,1,4(! −= $ ),1,0,2( −= )alla el volumen del tetraedro que determinan.

solucion


18/24

29810243

10 2

6 1 4

523

).( −=+−−−=−

−−

=×wvu

2)( u6

2929

6

1=−=tetraedroVolumen

42.* 89uede a'er do" !ectore" u ! tale" ue ,3!.u −= 1u = 2! =

Solución:

Si α es el *ngulo que forman, de la de/nición de producto escalar, seobtiene:

α= co".!.u!.u

0 entonces, 5,1co"co".2.13 −=α⇒α=−

Dic)a relación es imposible porque 1co"1 ≤α≤−

"3. Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u −= $ )6,2,a(! = ,sean perpendiculares.

Solución:

ara que sean perpendiculares, el producto escalar )a de ser nulo,por tanto,

0)6,2,a).(5,1,2( =− ⇒ 0302a2 =++− $ de aqu se obtiene a 2 1#

"". Halla un vector cu$o módulo sea " $ adem*s perpendicular a)1,0,2(u = $ )2,1,3(! −=

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vectorperpendicular a cada uno de ellos,


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or tanto, )2,1,1(

1*3

0 2,

3 2

2 1,

2 1*

1 0 !u −−==×

4o dividimos por su módulo para obtener un vector de módulo unidad:

)2,1,1(!u −−=× es perpendicular a u $ a v.

6)2()1(1!u 222 =−+−+=× 5

−−=−−=

××

62,

61,

61)2,1,1(

6

1

!u

!u

+l vector unitario obtenido lo multiplicamos por " $ obtenemos elvector buscado:

−−=

−−=

3

64,

3

62,

3

62

6

2,

6

1,

6

14

"&. Dados los vectores )5,2,3(u = $ )6,1,4(! = )alla el *rea del tri*nguloque determinan.

Solución:

+l *rea del tri*ngulo determinado por dos vectores viene dada por lafórmula siguiente:

Hemos de )allar, por tanto, el producto vectorial de los dos vectores dados:

u

!

!u2

1rea ×=


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)5,2,7(; 5 2i7

614

523

; i

!u −=−+==×

78)5(27!u 222 =−+−=×

2

78!u

2

1rea =×=

"#. Dados los vectores ),5,2,3(u −= )6,1,4(! −= $ ),1,0,2( −= )alla elvolumen del tetraedro que determinan.

Solución:

+l volumen del tetraedro es6

1

del producto mi-to tomado en

en valor absoluto.

29810243

10 2

6 1 4

523

)!.(u −=+−−−=−

−−

=×

2

tetraedro( u6

2929

6

1)


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6ódulo de u:

6)2(11u 222 =−++=

or tanto,

−=−

6

2,

6

1,

6

1)2,1,1(

6

1 ser* unitario (modulo1 $ de la

misma dirección que u.

"7 rueba que el producto escalar de dos vectores u $ v, es igual almódulo de uno de ellos por la pro$ección del otro sobre el.

Solución:

α= co".!.u!.u

u"o're!de. proco".!=> =α=

luego =>.u!.u =

+n el caso de que el *ngulo sea obtuso se obtiene :

4os *ngulos α $ β son suplementarios

por tanto, β−=α co"co"

α= co".!.u!.u

=>co"!co".! −=β−=α

donde => es la pro$ección de v sobre u

es decir, =>.u!.u −=

Observación importante:

%uando el producto escalar es positivo, el *ngulo es agudo

%uando el producto es negativo, el *ngulo es obtuso.

v

u p r o . d e ! " o ' r e u

αO A

v

u

α

OA

β


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"8. 9os dan los vectores ),1,0,1(a −= )1,2,0( ' −= $ ).0,0,2(c = Halla:

a alor absoluto del producto mi-to de a, b $ c $ da su signi/cadogeom;trico.

b


23/24

→→→→

+=⋅= k iuv2

23

2

233

51. +ado" lo" !ectore":→→→→

−+= k jia 23 →→→

+−= k ib 2 , deter&inar:

a) Su producto e"calar →→⋅= ba p . ') nulo ue ?or&an

→a

→b .

c) Su producto !ectorial→→→

×= ba p .

d) Su !ector "u&a,→c .

e) @l producto &iAto

×⋅

→→→bac .

"olucion

a 52032)1(02)1(3 −=−+−=⋅−+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅=⋅= →→

z z y y x x babababa p

b α co"⋅⋅=⋅= →→

baba p

14)1(23 222222 =−++=++= z y x aaaa

520)1( 222222 =++−=++= z y x bbbb

9or tanto:

B7,12670

5arcco"

70

5co"

co"5145

=−=⇒−=

⋅⋅=−

α α

α

c)

( ) ( ) ( )

→→→

→→→→→→

→→→

→→→

+−=

=+⋅+−⋅−−⋅=−

⋅+−

−⋅−

−⋅=

−−=×=

k ji

k jik ji

k ji

ba p

254

20160401

23

21

13

20

12

201

123

d →→→→→→→→→

++=⋅+−+⋅++⋅−=+= k jik jibac 22)21()02()13(

e) 0210821524225422 =+−=⋅+⋅−⋅=

+−⋅

++=

×⋅

→→→→→→→→→

k jik jibac

52. %alcular el &ódulo del !ector:→→→→

++= k jiv 22 . >de&-" e"cri'e el !ector unitario

de la &i"&a dirección ue→v .

"olucion


24/24

Módulo:

39122 222222 ==++=++= z y x vvvv

Vector unitario:

→→→→

→

++== k jiv

vu

3

1

3

2

3

2

53. +ado" lo" !ectore"→→→→

+−= k jia 23 C→→→→

−+= k jib 3 C→→→→

−+= k jic 2 , allar:

a) @l &ódulo de→→→

++ cba .

') @l !ector→→→

+− cba 323 .

c) @l !ector unitario →u en la dirección del !ector anterior.

"olucion

a) →→→→→→→→→

−=⋅−−+⋅++−+⋅++=++= k ik jicba s 36)131()112()213(

5345)3(06 222222 ==−++=++= z y x s s s s

') @l !ector →→→ +− cba 323 .

→→→→→→

→→→→→→→→→→→→→

+−=⋅−++⋅+−−+⋅+−=

=

−++

+−−+

+−=+−=

k jik ji

k jik jik jicbav

6513)363()326()629(

336622369323

c) @l !ector unitario→u en la dirección del !ector anterior.

v

vu

→→

=

2306)5(13 222222 =+−+=++= z y x vvvv

→→→→

→

+−== k jiv

vu

230

6

230

5

230

13

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Ejercicios Resueltos de Vectores Cesar Caceres

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