EJERCICIOS DE TEORIA DE CONTROL AUTOMATICO DISEÑO DE CONTROLADORES EN DOMINIO FRECUENCIAL

M. Vargas 2005

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P5. Dado el sistema:

Diseñar un PI para conseguir: - Sobreoscilación menor o igual al 10% - Error en régimen permanente ante entrada en rampa nulo - Error en régimen permanente ante entrada en parábola menor o igual al 10% También se desea tener una estimación del tiempo de subida del sistema en bucle cerrado resultante.

Solución:

La función de transferencia del sistema se puede reescribir como: Por otro lado, la forma del controlador será: Por tanto, el sistema en bucle abierto es: A partir de la especificación de error en régimen permanente: resulta un valor requerido para Ka=10 y, por tanto: El margen de fase requerido es: Dibujamos el diagrama de Bode del sistema sin compensar incluyendo la ganancia total: 10. Colocamos la frecuencia de “esquina” del PI en torno a 1.5 décadas antes de la frecuencia de corte que resulta del gráfico anterior: 100≈cω . Lo tomamos un poco más a la izquierda, para trabajar con números redondos: Si no queremos modificar el error en régimen permanente ya ajustado, debemos dibujar estrictamente lo que falta del PI, esto es: Puesto que el factor de escala Kc/Ti ya se ha incluido en el primer paso. Esto significa que el PI que dibujamos no estará asentado en 0dB a frecuencias intermedias y altas, es decir, que el tramo horizontal del PI estará sobre un valor distinto a 0dB. En concreto, puede verificarse muy fácilmente que este valor es, en decibelios:

)1()101()(

ssssG

++=

aparabola K

Erp 1=

sTsTK

sCi

ic )1()(

+=

º54)60(6.1% ≈⇒−≈ desMfMfSO

)1()1.0(10

)(+

+=

sss

sG

)1()1)(101(

)( 2 ssTsTsK

sGi

icba +

++=

10=i

c

TK

sradT

cc

i

/33.330

101 5.1 =≈≈ − ωω

ssTi )1( +

dBTi

54.91log20 10 −=−

sradTi

/31 =

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En consecuencia, al sumar ambas gráficas, la cω cambiará (quedando en sradc /33≈ω ). Si me especificaran también, aparte del error en régimen permanente ante parábola, una frecuencia de corte concreta, podría ocurrir que únicamente con el PI no pudiera conseguir ambas cosas. El margen de fase que resulta tras dibujar el sistema compensado es de unos 85º, muy superior al mímimo requerido. Ahora podemos determinar el valor de Kc, puesto que sabíamos que el cociente Kc/Ti debía de ser 10: El controlador resultante es: Finalmente, podemos estimar que el tiempo de subida del sistema en bucle cerrado resultante será: CONSIDERACIONES ADICIONALES Existencia de incertidumbres: Podríamos preguntarnos si la frecuencia de corte que resulta al final ( sradc /33≈ω ) es aceptable o no. Si el modelo que tenemos del sistema es exacto, no parece que haya ningún problema en que la frecuencia de corte (y, en consecuencia la velocidad de la respuesta en BC) sean tan elevadas, en relación con el sistema original. Sin embargo, las cosas serían distintas si el modelo que tuviéramos del sistema fuera aproximado y no exacto: Se observa que la dinámica más rápida que tengo identificada del sistema se encuentra a 1 rad/s, pero que puede haber otras dinámicas, poco significativas respecto a las dominantes, que no han sido contempladas en el modelo dado. En este caso, no podríamos mantener la frecuencia de corte tan a la derecha, puesto que estaríamos hablando de una década y media más a la derecha de la dinámica más rápida conocida del sistema. Según se explicó en teoría, en estos casos, lo razonable es no especificar una frecuencia de corte más allá de 3, 4 ó 5 veces la frecuencia más alta que tengo bien modelada del sistema (puesto que más allá de eso, las incertidumbres son tales que no puedo garantizar que las medidas de márgenes de estabilidad que se estimen en base al modelo sean en absoluto fiables). En nuestro caso, esto se traduciría en fijar una frecuencia de corte, como máximo de 5 rad/s (5 veces superior al 1 rad/s). Ante esta situación, podría decidir añadir una red de retardo (RR) al controlador PI ya diseñado para desplazar la frecuencia de corte a la izquierda, sin perjudicar lo ya conseguido a bajas frecuencias. Reajuste del PI: Volviendo a la situación de partida, en la que se asume que el modelo dado del sistema es exacto, y que, por tanto, la frecuencia de corte que nos quedaba es aceptable, nos planteamos ahora si se puede mejorar de alguna forma el diseño preliminar del PI. Observamos que el margen de fase resultante es bastante superior al mínimo especificado (unos 85º, frente a los 54º especificados). Esto quiere decir que la forma en la que se ha diseñado el PI, siguiendo la regla de la década y media antes, es bastante conservativa, puesto que podríamos permitirnos perder algo de fase, desplazando la frecuencia de esquina del PI más a la derecha. La ventaja de este reajuste es que estaríamos reduciendo el tiempo integral y, en consecuencia, haciendo que el sistema resultante en BC tenga un menor tiempo de establecimiento. Si ensayamos, por ejemplo, recolocando la frecuencia de esquina del PI en 10 rad/s:

stc

s 04.02

=≈ωπ

ss

sTsTK

sCi

ic )33.01(10)1()(

+=

+=

3.3=cK

)1()1.0(10

)(+

+≈

sss

sG

sradTi

/10'

1 =

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comprobaríamos que a la frecuencia de corte de 33 rad/s perderíamos unos 17º, lo cual nos dejaría aún un margen de fase de unos 68º. Para hacer este reajuste del PI, lo más sencillo es directamente desplazar la frecuencia de esquina del PI, manteniendo su altura en la escala vertical de dB. De esta forma, la frecuencia de corte del sistema compensado no se moverá respecto a donde la teníamos. Veamos qué implica esto analíticamente. De acuerdo con el diseño inicial del PI, resultaba: A continuación, habíamos dibujado en el diagrama de Bode: Dado que esto se puede reescribir como: El desplazamiento de la frecuencia de esquina del PI, sin modificación de la altura a la que lo teníamos, lo podemos ver como el desplazamiento en frecuencia del segundo factor de la expresión anterior (que sabemos que a frecuencias más a la derecha de 1/Ti estará asentado en 0dB), quedando: Con esto, en conclusión, el controlador que resulta es: Fijémonos que, con la operación realizada, el error en régimen permanente ante parábola habrá mejorado, puesto que hemos pasado de 10=aK , a un valor 33=aK . Por tanto, dicho error habrá quedado reducido aproximadamente a la tercera parte de lo que teníamos con el primer diseño.

10=i

c

TK

ssTi )1( + srad

Ti

/31:con =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sT

sTT

i

ii

)1(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +sT

sTT

i

ii '

)'1(

ss

sTsTK

sTsT

TTK

sCi

ic

i

ii

i

c )1.01(33'

)'1('

)'1()('

+=

+=

+=