Ejercicios de Repaso de Matemática Básica

EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMTICA BSICA CICLO 2011-2

1. Sean las funciones:

1

Determine la regla de correspondencia y el dominio de cada una de las siguientes funciones

; x

; x

4. Cierta planta industrial fabrica memorias porttiles cuyo costo en materiales por unidad es

de 4 dlares, adicionalmente la fbrica tiene gastos mensuales fijos para poder operar que

ascienden a 3 000 dlares. Si el precio unitario de venta de cada memoria porttil es de 20

dlares,

a) Encuentre una funcin lineal que exprese la ganancia mensual G en funcin del nmero

x de memorias porttiles producidas y vendidas en una mes.

G(x) = 16x 3000 ; x 0 x = nmero de memorias produc. y vendidas al mes

b) Usando la ecuacin encontrada en a) indique, cuntas unidades de memorias

porttiles se debe producir y vender en un mes para obtener una ganancia de 5 000

dlares? 5000 = 16x 3000 x = 500 memorias

5. Una empresa agrcola ha adquirido una maquinaria nueva en 20 000 dlares. Con el paso

del tiempo y el uso, la maquinaria va perdiendo valor (se va depreciando). Si asumimos

que la maquinaria pierde anualmente el 20% del valor del ao inmediato anterior,

a) Encuentre una funcin que exprese el valor de la mquina cuando tiene aos de

antigedad. V(t) = 20000(0,8)t ; t 0 t = tiempo de uso transcurrido en aos

b) Usando la ecuacin encontrada en (a), calcule el valor de la mquina cuando tiene 3

aos de antigedad. V(3) = 20000(0,8)3 = 10240 $

6. Dada la funcin ,

a) Grafquela e indique su dominio, rango y la ecuacin de su asntota

Dom = - ; 3 Ran = asntota vertical : x = 3

b) Encuentre la regla de correspondencia de su funcin inversa (si tiene) y presente el

dominio, rango y esboce un grfico de ella.

Dom = Ran = - ; 3


7. Una fbrica posee un conjunto de maquinarias cuyo costo de mantenimiento mensual (M)

por cada maquinaria es estimado mediante la ecuacin M = 0,3k+150, con M medido en

nuevos soles y k representa el nmero de horas de uso al mes. Si la administracin de la

fbrica desea que el costo M por cada maquinaria sea a lo ms S/.350. Cul es el mximo

valor que puede tomar k? 0,3k+150 350 k 666,7 horas

8. En la fabricacin y venta de un producto, el ingreso por vender x unidades de dicho

producto est dado por I = 105x y el costo de produccin de x unidades es: C = 95x + 750.

A partir de que valores de x se logra obtener beneficios?

I(x) > C(x) 105x > 95x + 750 x > 75 unidades x = 76 ; 77 ; 78 ; 79 ;

9. En los recuadros en blanco escriba ,, segn corresponda

10. Encuentre la forma general de la parbola de eje focal horizontal, cuyo vrtice pertenece a la recta L : 4x + 3y 1 = 0 , y adems su foco es el punto F(-1 ; 3). Bosqueje su grfica. V(h ; 3) 4h + 3(3) 1 = 0 h = -2 p = 1 (y 3)2 = 4(x + 2) y2 4x 6y + 1 = 0

11. Halle la longitud de una cuerda de la circunferencia x2 + y2 + 12x 12y + 36 = 0, si se sabe que el punto P(-4 ; 4) es el punto medio de dicha cuerda.

(x + 6)2 + (y - 6)2 = 36 L = 2n =

12. La recta L pasa por los puntos A y B siendo el primero el punto de mxima ordenada y el segundo el punto de de mxima abscisa, de la circunferencia cuya ecuacin ordinaria es (x 3)2 + (y 2)2 = 16 a) Halle la ecuacin de la recta L L: x + y 9 = 0 b) Calcule la distancia del origen de coordenadas a la recta L

NZ

4

3;2 Q IZ Q

121

3

QN

3 8


13. Responda cada una de las siguientes preguntas. Justifique brevemente su respuesta.

a) Determine la ecuacin de la circunferencia de radio igual a 2 unidades y que sea

tangente a los semiejes positivos del sistema coordenado

(x 2)2 + (y 2)2 = 4

b) Por el punto medio del segmento AB de extremos A(2 ; 3) y B(6 ; 1) se traza una

recta perpendicular al segmento. Encuentre la ec. de dicha recta en su forma general.

L: 2x y 6 = 0

c) Si la funcin f es impar puede existir f 1?

Si, siempre y cuando sea una funcin inyectiva.

14. Responda cada una de las siguientes preguntas. Justifique brevemente su respuesta.

a) Cul es el rea de un cuadrado, si se sabe que dos de sus vrtices opuestos son los

puntos P(2 ; 2) y Q(2 ; 1)? 12,5 u2

b) Halle la ecuacin de la circunferencia, en su forma general, que pasa por los puntos

M(0 ; 4) , N(4 ; 0) y P(2 ; 0) x2 + y2 2x 2y 8 = 0

c) Determine la ecuacin cannica de una hiprbola con eje focal en el eje X, si se sabe

que es tangente a la recta de ecuacin x 2 = 0 siendo c = 4 unidades.

d) La grfica de la ecuacin x2 + y2 4x + 6y + 14 = 0 es una circunferencia con centro

en el punto (2 ; -3) y radio igual a 1.

(x 2)2 + (y + 3)2 = 1 no es una circunferencia

e)

f) Si A(3 ; 1) y B(6 ; 7) , la longitud de la proyeccin del segmento AB sobre el eje de

ordenadas es 3 unidades.

Puntos proyectados : (0 ; 7) y (0 ; 1) entonces, distancia = 6 unid.

g) Al efectuar y simplificar :

se obtiene un nmero racional no

entero. Resulta igual a

Racionales no enteros

15. Dadas las siguientes funciones:

f(x) = 2x + 1 , x [3 ; 7 g(x) = x2 6x + 2 , x 1 ; 5] Hallar la funcin f + g indicando su dominio y rango. Luego, realizar la grfica correspondiente.

Rpta : (f + g)(x) = x2 4x + 3 Dom (f+g) = [3 ; 5]


16. Hallar el dominio de

si se sabe que f(x) = 2x 3, x [1 ; + y

Dom g =

Dom

= (Dom f Dom g) g(x) 0

[1 ; + = [1 ; + g(x) 0 x 3

Dom

= [1 ; + - {3}

17. Hallar la funcin indicando el respectivo dominio para cada caso:

a) f(x) = x2 + 4, g(x) = 5x

En primer lugar encontramos los dominios de f y g :

Df = , Dg : x 5 0 Dg: [ 5 ; + Hallamos el Dominio de gof para determinar el intervalo en el cual la funcin gof existe.

Dom (gof)(x) : x Df f(x) Dg x x2 + 4 [ 5 ; +

x x2 + 4 5

x x2 1 0

x (x 1)(x + 1) 0

x x - ; -1] [1 ; +

Dom (gof)(x) = - ; -1] [1 ; +

(gof)(x) = g(f(x)) =

b) f(x) = 3x 2, x 5 ; 10] g(x) = 5 7x, x 3 ; 12

Rpta: Dom (gof)(x) =

(gof)(x) = 19 21x

18. Si f(x) = 2x 5 , x . Resolver la ecuacin : f(x2) = 2x2 5 (fof)(x) = f(f(x)) = 2f(x) 5 = 2(2x 5) 5 = 4x 15

2x2 5 = 4x 15 2x2 4x + 10 = 0 x2 2x + 5 = 0

Discriminante : = b2 4ac = 0 Entonces, no existe algn nmero real que cumpla con la ecuacin :

19. El costo para eliminar cierto contaminante est dado por la siguientes funcin:

C(x) = x100

x5

, donde C(x) es el costo en miles de dlares necesarios para eliminar x

porcentaje del contaminante. a) Cul es el dominio adecuado de dicha funcin?


de acuerdo al contexto: x [ 0 ; 100 por ciento b) Cul es el costo de eliminar 50% del contaminante?

C(50) = 5 mil dlares c) Si se tiene un costo total de $ 15 000 qu porcentaje del contaminante se

elimin?

= x = 75%

20. La recta : 5x + ky + 20 = 0 pasa por el punto (2, 5/2). Hallar el valor del rea del

tringulo cuyos vrtices son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados y el origen de coordenadas.

Rpta : rea = 10 unid2

21. Hallar el intervalo correspondiente a A B, si A = {x R / x (3; 0 0; 2)} y

B = {x R /

2

32x [3; 2}

A : si x (3; 0 0; 2 x - ; 3] {0} [2 ; + B: resolvemos como si perteneciera y luego hallamos el complemento

4

luego B =

; +

A B = 3 ]

; +

22. Halle el conjunto solucin de la siguiente inecuacin

x2 + 3 + x2 x + 2 x + 12

(x2 + 3) + x2 x + 2 x + 12 porque x2 + 3 es un nmero positivo, entonces quitamos el valor absoluto de x2 + 3

x2 3 + x2 x + 2 x + 12 1 x x + 12 x + 1 x + 12

Aplicamos la propiedad de ( ( ( ( ( ( (

CS =

23. A continuacin se expone los casos que un vendedor de zapatillas tiene en cuanto a la

venta de sus productos - Si la compra es hasta 10 pares, vender cada par a 25 dlares. - Se la compra vara desde 11 a 40 pares, vender cada par a 20 dlares, pero

los primeros diez pares sern vendidos al precio original de 25 dlares cada uno.


- Finalmente, si la compra es mayor a 40 pares, vender los primeros 40 pares a 20 dlares cada uno, y el resto a 15 dlares por par.

Determine la regla de correspondencia para la funcin ingresos del vendedor.

X = cantidad de pares de zapatillas que vende

24. Dadas las funciones f y g, tales que: f(x) = 2 3x, x > 1 g(x) = x + 2, x < 4 Determine:

a) f1 o g1

f1 : Dom f = -1 ; + Ran f = - ; 5 y = 2 3x =

=

=

Dom f-1 = Rang f = - ; 5

g -1 : Dom g : - ; 4 Rang g = - ; 6 y = x + 2 x = y 2

Dom g-1 = Rang g = - ; 6

(f1 o g1)(x) x Dom g1 Dom f1

- ; 6 ( ) - ; 5 - ; 6 5 - ; 6 7

Dom(f1 o g1)(x) = - ; 6

(f1 o g1)(x) = f1 ( g1(x)) =

=

=

b) (g o f)1

(gof)(x) = 4 3x Dom (gof) = -2/3 ; + Ran (gof) = - ; 6

(gof)-1(x) =

Dom (gof) -1 = - ; 6 Ran (gof) -1 = -2/3 ; +

25. El segmento AB es una cuerda focal de la parbola y2 = 4px. Si adems, A(10; 10), determine:

i. La longitud del lado recto de la parbola.

102 = 4p(10) 4p = 10 unidades ii. La ecuacin de la recta que contiene a la cuerda AB.

V(0 ; 0) p = 10/4 = 5/2 Foco (5/2 ; 0)

mFA =

LAB = LFA : y =

iii. Las coordenadas del punto B.

y2 = 10x y =

B(5/8 ; -5/2)

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