INTRODUCCIN

La matemtica es una ciencia puramente constructiva, que se nutre de requerimientos y necesidades de orden prctico. Es as como a partir de la sistematizacin y coherencia de los contenidos de la teora de los conjuntos numricos (naturales, enteros, racionales, reales), las funciones reales, y las matrices se construye la base para el desarrollo del anlisis matemtico. La teora de los nmeros est relacionada primordialmente con las propiedades de los nmeros reales.

El estudio del lgebra nos proporciona una de las mejores oportunidades en Matemtica elemental para practicar el razonamiento lgico y riguroso, debe tratar de captar la importancia de las definiciones precisas y aplicarlas bajo los supuestos que se plantean. Se ha tratado de cubrir los temas necesarios para las carreras de Administracin de Empresas como tambin de Contabilidad y Auditoria, tratando de escoger los ejercicios que luego se piden resolver para desarrollar habilidades y destrezas con la finalidad de que trabaje en forma eficiente en este campo.

1

OBJETIVOS GENERALESFormar profesionales en el rea de Administracin de Empresas, y en Contabilidad y Auditoria, Manteniendo gran capacidad de direccin, comunicacin y toma de decisiones en un proceso tico y Moral, demostrando creatividad, independencia profesional, en las empresas pblicas y privadas. Reforzar los conocimientos adquiridos por los alumnos en el bachillerato, incorporando nuevas tendencias pedaggicas de un aprendizaje activo y participativo de modo que el trabajo en grupo y la utilizacin adecuada de la Gua de Matemtica permita al alumno estar en capacidad para: Aplicar conceptos matemticos en la resolucin de problemas del mundo de los negocios Desarrollar habilidades de pensamiento crtico empresarial, logrado al experimentar un auto aprendizaje

OBJETIVOS ESPECFICOSAl finalizar el estudio de los contenidos de matemtica bsica el alumno ser capaz de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Aplicar las propiedades de los nmeros reales en la solucin de ejercicios Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de expresiones algebraicas Factorizar expresiones algebraicas Resolver ejercicios de productos notables Utilizar correctamente las propiedades de los exponentes y los radicales Resolver ecuaciones de grado uno o dos en una variable

2

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

14.

y dos variables, por varios mtodos Resolver sistemas de ecuaciones de dos y tres variables y realizar ejercicios de aplicacin. Resolver inecuaciones lineales o de grado superior a uno. Diferenciar entre una relacin y una funcin Determinar el dominio y el condominio. Demostrar cuando una funcin es invectiva, sobreyectiva y biyectiva Utilizar las propiedades del lgebra de funciones Construir grficas de funciones, con las herramientas vistas anteriormente, especialmente de la teora de polinomios antes de trazar las grficas. Utilizar las propiedades tanto de la funcin logartmica como de las funciones exponenciales para resolver ejercicios como problemas que se presentan con este tipo de funciones.

3

GLOSARIOExponente.- Nmero que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad. N m e r o s r e al e s . - Es e l c o n j u n t o f o r ma d o p o r l o s n m e r o s r a c i o n al e s e i r r a c i o na l e s e s e l c o n j u nt o d e l o s n m er o s r e al e s , s e d es i g n a p o r Fracciones a l g eb r a i c a s . Una f r a c ci n a l g e b r a i c a e s e l c oc i e n t e d e d o s p o l i no m i o s E x p o n e n t e d e u n a p o t e n ci a . - E l e x po n e n t e d e u n a p o t e n c i a i nd i c a e l n m e r o d e ve c e s multiplicado por la base. F a c t o r i z a r o d e sc om p o n e r u n n m er o e n f a ct o r es p r i m o s e s e xp r e s a r e l n m er o c om o un p r o d u c t o d e n m er o s pr i m o s. E c u a c i o n e s . - U n a e c u a c i n e s u n a i gu a l d a d q u e s e c um p l e par a a lg un o s va l o r e s d e l a s l e t r a s. D e t e r mi n a n t e s. - A c a d a m a t r i z c u a d r ad a A s e l e a s o c i a u n n m er o d e n o m i n a d o d et e rm i n a nt e de A. E l d e t e r m i n a n t e d e A s e d e n ot a p o r |A | o p o r d e t e r m i n a n t e ( A) . Va l o r a b s ol u t o. - Va l o r a b s o l u t o d e un n m er o e n t e r o, e s e l n m e r o n at u r al q u e r e s u lt a al s u p r i mi r s u si g n o . Va l o r a b s o l u t o d e un n m er o r e a l , s e es c r i b e | a| , e s e l m i sm o n me r o a c u a n d o e s p o s i t i v o o c e r o , y o p u e st o d e a , s i a e s n e g a t i v o . C o o r d e n a d a s c a rt e s i a n a s . En un sistema de r ef er e n c i a o r t o n o r m a l , a c a d a p u n t o P d e l p l a n o l e c o r r e s po n d e u n ve c t o r P e n d i e n t e d e u n a r e c ta . - L a p e n d i e n t e e s l a i n c l i n a c i n d e l a r e c t a c o n r e s p e ct o a l ej e d e a b s c i s a s . S e d e n ot a c o n l a l et r a m .

4

TAB L A D E C O N T E N I D O S INTRODUCCIN OBJETIVOS GENERALES Y ESPECFICOS GLOSARIO TABLA DE CONTENIDOS UNIDAD 1 REPASO DE LGEBRA 1.1. Los nmeros reales 1.2. Fracciones 1.3. Exponentes 1.4. Expresiones algebraicas 1.5. Operaciones algebraicas 1.6. Fracciones algebraicas Ejercicios propuestos UNIDAD 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 2.1. Ecuaciones lineales en una variable 2.2. Ecuaciones cuadrticas en una variable 2.3. Aplicacin de ecuaciones Ejercicios propuestos UNIDAD 3 DESIGUALDADES 3.1. Desigualdades 3.2. Inecuaciones lineales 3.3. Inecuaciones cuadrticas de una variable 3.4. Inecuaciones con valor absoluto Ejercicios propuestos UNIDAD 4 ECUACIONES DE LA RECTA 4.1. Coordenadas cartesianas 4.2. Ecuaciones lineales 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales 4.4.Aplicacin al anlisis en la administracin Ejercicios propuestos

1 2-3 4 5-6 7-9 10-13 14-16 17 17-25 26-29 30-31 32-35 36-41 42-47 48-50 51-13 54-55 56-59 60-62 63-64 65-67 68-75 76-82 83-89 90-94 5

UNIDAD 5 FUNCIONES Y GRFICAS 5.1. Funciones 5.2. Grficas de funciones 5.3. Funciones cuadrticas y parbolas Ejercicios propuestos UNIDAD 6 FUNCIONES LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES 6.1. Funciones exponenciales 6.2. Logaritmos 6.3. Aplicacin de los logaritmos Ejercicios propuestos UNIDAD 7 LGEBRA DE MATRICES 7.1. Matrices 7.2. Operaciones con matrices 7.3. Solucin de sistemas lineales por reduccin de renglones (Mtodo de Gauss-Jordn) Ejercicios propuestos BIBLIOGRAFA

95-97 98-100 101-105 106-109

110-116 117-120 121-124 125-127 128-130 131-140 141-145 146-150 151

6

UNIDAD REPASO DE ALGEBRA

1AlgebraOperaciones

Esta unidad introduce conceptos aritmticos y algebraicos como un estudio organizado recordando y reforzando los temas estudiados en BachilleratoREPASO

AritmticaNmeros Reales Axiomas Expresiones algebraicas

Exponentes

Productos Notables Factoreo

Enteros

Fraccionarios

Operaciones

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1.1. LOS NMEROS REALES El sistema de los nmeros reales es un conjunto de elementos denominada nmeros reales y dos operaciones conocidas como adicin y multiplicacin. El conjunto de nmeros reales es representado por R. Un nmero real puede ser positivo, negativo, o cero y los nmeros reales se clasifican en racionales e irracionales. Un nmero racional es cualquier nmero que se pueda expresar como

p ; q

p

o , los

nmeros racionales son los enteros, fraccionarios, naturales, dgitos. Los nmeros irracionales son aquellos que no se puede escribir como

p ; q

p

o.

Si a y b son elementos del conjunto de R, a+b designa la suma de a y de b, ab o ab denota el producto. La operacin de la sustraccin se define con la ecuacin a b a ( b), donde b representa el negativo de b, tal que a ( b) 0 . La operacin de la divisin se define con la ecuacin a b

ab 1 , donde b 1 representa el recproco de b

tal que bb 1 1 . El sistema de nmeros reales se puede describir completamente por un conjunto de axiomas (La palabra axioma se emplea para indicar un enunciado formal que se da por cierto sin necesidad de demostrar). 1.1.1. AXIOMAS DE LOS NMEROS REALES AXIOMA DE CERRADURA.- Cuando dos nmeros reales se suman el resultado es otro nmero real, de manera similar, cundo dos nmeros reales se multiplican el resultado es otro numero real.

8

a, b R; a, b R;

a b c; c R ab c; c R

AXIOMA CONMUTATIVO.- Si a,b son dos nmeros reales entonces:

a b

b a

y

ab

ba

AXIOMA ASOCIATIVO.- Sea a,b,c tres nmeros reales cualesquiera entonces:

( a b) c

a (b c)

(ab)c

a (bc)

AXIOMA DISTRIBUTIVO.- Si a,b,c son nmeros reales cualesquiera entonces:

a(b c)

ab ac

(b c)aSi

bc caa es un nmero real

ELEMENTO IDENTIDAD.cualesquiera entonces:

a 0 a

a1 a

El 0 y el 1 son elementos identidad de la suma y de la multiplicacin respectivamente INVERSO.- Si a es un nmero real arbitrario, entonces existe un nico nmero real denominado el negativo de a (denotado por -a) tal que:

a ( a) 0El inverso aditivo de 3 es -3, el inverso aditivo de -3 es -(-3) y es igual a 3, para cualquier nmero real a se cumple:

( a) a9

Si a es diferente de cero, entonces tambin existe un nico nmero real denominado el recproco de a (denotado por a-1) tal que:

aa

1

1

El inverso multiplicativo de 3 es 3-1, el inverso multiplicativo de 3-1 es (3 1 ) 1 , Este resultado puede generalizar para cualquier real a distinto de cero:

(a 1 )

1

a

Ejemplo 1.1 Simplifique las expresiones siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h)

5 ( 3) 5 3 8 5( 3) (53) 15 ( 3)( 5) 15 ( 2)( x)( x 3) 2 x(`x 3) 2 x 2 6 x 4 x( x y) x 2 4 x 2 4 xy x 2 3x 2 4 xy 4 2 x 1 3 4 2 x 2 3 4 2 x 1 8x 4 x 3 4 5 3 x 12 15 3 x(0) 0 3x 1 1 3x 1 2 x 3x 1 2x 2x

1.2. FRACCIONES Una fraccin se representa como producto de a y el inverso de b

a y est definida como el b

a b

ab

1

(b 0)

10

1.2.1. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES El producto de las fracciones se obtiene multiplicando los numeradores y luego los denominadores

a bEjemplo 1.2

c d

ac bd

a) b) c)

2 3 2x 3 3x 5

5 9 4 y 2y z

25 39

10 27 8x 3y 6 xy 5z

2 x4 3 y 3 x2 y 5 z

1.2.2. DIVISIN DE FRACCIONES Para dividir una fraccin entre otra, la segunda fraccin se invierte y luego se multiplican las dos fracciones

a b

c d

ad b c

ad bc

11

Ejemplo 1.3

a) b) c)

2 3 3x 5 3 2x

3 5 5y 2 2y

2 3

5 3 3x 2 5 5y

10 9 6x 25 y 3 1 2x 2 y 3 4 xy

3 2x

2y 1

1.2.3. CANCELACIN DE FACTORES COMUNES El numerador y el denominador de una fraccin se puede multiplicar o dividir por un mismo nmero real diferente de cero sin que el valor de la fraccin se altere.

a b

ac bc

(c

0)

La cancelacin de fracciones se puede utilizar con el fin de reducirle la fraccin a su ms mnima expresin, Lo que significa dividir al numerador y al denominador por todos los factores comunes, este proceso se llama simplificacin de fracciones. Ejemplo 1.4

a)

15 55

35 3 511 11

a)

6x2 y 15 xy

23xx y 35x y

2x 5

12

c)

6x2 x 2 3xy ( x 2)

23xx x 2 3x y x 2

2x y

1.2.4. ADICIN SUSTRACCIN DE FRACCIONES Si las fracciones son homogneas es decir tienen igual denominador, se suman los numeradores y se conserva los denominadores.

a c

b c

a b c

a cEjemplo 1.5

b c

a b c

a)b)c)

7 1 7 1 8 9 9 9 9 2 4 2 4 6 2 3x 3x 3x 3x x 5 7 5 7 2 1 2y 2y 2y 2y y

Cuando las fracciones son heterognea, es decir tienen diferente denominador, primero se debe transformar a otras fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego resolver como en el caso anterior. Ejemplo 1.6

a)

5 6

1 3

5 6

12 32

5 6

2 6

5 2 6

7 6

13

b) c)

1 1 12 1 2 1 9 x 18 x 9 x2 18 x 18 x 18 x a c ad bc ad bc b d bd bd bd

2 1 1 18 x 18 x

1.3. EXPONENTES Los exponentes son los nmeros que nos indican las veces que la base se repite como factor. 1.3.1. EXPONENTES ENTEROS DEFINICIONES

1) a n 2) an

aaa...a 1 an (a (a

(n veces a) 0) 0)

3) a 0 1LEYES

1) a n a m 2) 3) 4) 5) an am anm n n

an anm

m

a nm a n b n an bn

ab a b

14

Ejemplo 1.7 Simplifique los exponentes siguientes, no utilice parntesis o exponentes negativos en la respuesta final.

a)

1 5

3

53

2

13 1 1 25 25 1 53 52 125 1 125 54

b)c)

x 2 yz xya2

x 6 y 3 z 3 x 4 y 4 x10 y 7 z 41 a2 1 b21

b

2

1

b2 a 2b 2 1 a2 b2 a 2b 2

a2 a 2b 2

1

a 2 b2 a 2b 2

1

a 2b 2 a2 b2

1.3.2. EXPENENTES FRACCIONARIOS DEFINICIONES

1) 2) 3)

a am n 1 n

1 n n

a am a

1 n n

a1 a

si n espar a 0

n

a

n

15

LEYES

1) 2)

a a a am n p q

m n

p q

a ap q m n

m n

p q

p q

3) 4) 5)

a

m n

am n m n

mp nq

ab a b

a b am n m

m n

m n

bnp q

1) 2)

a a a am n p q

m n

a ap q m n

m n

p q

p q

3) 4) 5)

a

m n

am n m n

mp nq

ab a b

a b am n m

m n

m n

bn16

Ejemplo 1.8 Simplifique las expresiones siguientes:

a)b)

x 4 x464 1 225

9

x

9

4

4

x

7

4

1

2

289 225

12

289 225

17 15

1

2 15

c)

27 75 2 12

93 253 2 43

3 3 5 3 22 3

8 3 4 3

2

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llaman expresiones algebraicas al conjunto de letras y nmeros, una expresin algebraica que contiene un solo trmino se llama monomio, las que contiene dos trminos se llama binomio, las de tres trminos se llama trinomio, en general se llaman polinomios a la expresin que contiene cualquier nmero de trminos. Ejemplo: Monomios: 3x2, -6y, 18xy, 7y/5x Binomios: 2x2-5x, -6x+2y, 3+y Trinomios: 5x2+2x-7, 2x3+5x2-6/x 1.5. OPERACIONES ALGEBRAICAS Estudiaremos la manera de realizar las operaciones fundamentales con expresiones algebraicas, Tratando la adicin algebraica como suma y resta de expresiones 1.5.1. ADICIN Y SUSTRACCIN EXPRESIONES Sumar o restar dos o ms expresiones algebraicas equivale a

17

reducir trminos semejantes, se llaman trminos semejantes aquellos que tiene la misma parte literal.

Ejemplo 1.9 Efectuar las operaciones indicadas:

a ) 4ab 3ab (4 3)ab 7 ab

b) 3a 2 2ab c

3c 4a 2 ab a 2 ab 4c

3a 2 2ab c 3c 4a 2 ab 3a 2 4a 2 2ab ab c 3cc) 4a 2 3b 2 7ab b 2

5a 2 6ab 10b 2

4a 2 3b 2 7ab b 2 5a 2 6ab 10b 2 a 2 14b 2 13ab1.5.2. MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES Para multiplicar dos expresiones algebraicas se utiliza el axioma distributivo, cada elemento del primer parntesis con cada elemento del segundo parntesis dando los trminos ordenados algebraicamente. Ejemplo 1.10

a)b)

2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 2 6 4 x y a x y a x y a x y 3 5 5 5 a 2 2b 3a 2 4b 1 aplicando axioma distributi vo

18

a 2 3a 2 3a 4

4b 1

2b 3a 2

4b 1 distributi vo 2b 2b

4a 2b a 2 6a 2b 8b 22

3a 4 10 a 2b a 2 8b 2

c)

x 2 x x5

5x x

2

1

x 3 5 x 2 2 x 2 10 x x 2 1

x 3 5 x 4 5 x 2 2 x 4 2 x 2 10 x 3 10 x

x 5 3 x 4 9 x 3 3 x 2 10 x1.5.2.1. PRODUCTOS NOTABLES Existen algunos productos cuyos resultados se pueden determinar fcilmente, siguiendo ciertas reglas, estudiaremos los siguientes. a) Cuadrado de la suma de dos trminos El cuadrado de la suma de dos trminos es igual al cuadrado del primero ms el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo, en smbolos:

a b a b

a b

2

a 2 2ab b 2

b) Cuadrado de la diferencia de dos trminos El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo termino, en smbolos:

a b a b

a b

2

a 2 2ab b 2

19

c) Cubo de la suma o diferencia de dos trminos El cubo de una suma (diferencia) de dos trminos es igual al cubo del primer trmino ms (menos) el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo trmino, ms (menos) el cubo del segundo trmino, en smbolos:

a b

3

a 3 3a 2b 3ab2 b3

d) Producto de una suma por una diferencia El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino, en smbolos:

a b a b

a 2 b2

e) Producto de la forma (x+a)(x+b) El producto de (x+a)(x+b) es igual al cuadrado del primer trmino, ms el primer trmino por la suma de los segundos trminos, mas el producto de los segundos trminos, en smbolos:

x a x b

x2

a b x ab

Ejemplo 1.11 Desarrollar los productos notables:

a) x n y nb) 2a 3b

22

xn2a

22

2xn y n yn

22

x 2n 2 x n y n y 2n4a 2 12ab 9b 220

22a3b 3b

c) 2 x 3 y 2 2 x 3 y 2d) x 2y3

2x

2

3y2

2

4x2 9 y42y3

x 3 3x 2 2 y 3x(2 y ) 2 x 3 6 x 2 y 12 xy 2 8 y 3

e) x 3 x 5 x2 3 5 x 35 x2 2x 15 f ) x2 3 x2 4 ( x2 )2 (3 4) x2 43 x4 7 x2 121.5.2.2. FACTORIZACIN Factorizar una expresin algebraica significa escribirle como un producto de factores. Trataremos ciertos mtodos de factorizacin elementales y directos, y algunos teoremas menos usuales. a) Factor Comn Cundo todos los trminos de una expresin algebraica tienen un factor comn aplicamos la ley distributiva hacia atrs, en smbolos:

ab acEjemplo 1.12

ab c

a) 2x3 6x 2 10 2 x3 3x 2 5

b) x 4 x 2 x 2 ( x 2 1)c) ac bc ad bd ca b d a b ac bc ad bd a b c d

b) Trinomio cuadrado perfecto Una expresin algebraica es un cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

21

x 2 2ax a 2 x2 x 2axEjemplo 1.12

x a

2

a2 a

a) x 2 8 x 16 x 4b) 4 x 4 12 x 2 y 9 y 2c) 9a 2 30 ab2 25b 4

2

2x2 3y3a 5b 2

22

c) Diferencia de dos cuadrados Es la operacin inversa del producto notable de una suma por una diferencia de dos factores, lo que permite escribir a simple vista.

x2 a2Ejemplo 1.13

x a x aa 4 a 4x2 4 y2 x2 4 y2 x2 4 y2 x 2 y x 2 y

a) a2 16b) x 4 16 y 4

c)

4x 3

2

2x 5

2

4x 3

2x 5 4x 3

2x 522

4x 3 2x 5 4x 3 2x 5 2 x 12 x 4 4 x 1 x 4

6 x 2 (2 x 8)

d) Completando cuadrado perfecto El trinomio de la forma a 4 a 2b 2 b4 no es un trinomio cuadrado perfecto, ya que aunque existe dos cuadrados perfectos, el tercer trmino no corresponde al doble producto de las races de los cuadrados, completamos con el trmino que hace falta de la siguiente manera:

a 4 a 2b 2 b 4 a 4 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 b 4 a 4 2a 2b 2 b 4 a 2b 2

La expresin que est dentro del parntesis es un trinomio cuadrado perfecto, por tanto:

a 4 a 2b 2 b 4

a 4 2a 2b 2 b 4 a2 b22

a 2b 2

a 2b 2

a 2 b 2 ab a 2 b 2 abEjemplo 1.14

a) 16 x8 25 x 4 y 2 9 y 4 16 x 8 25 x 4 y 2 x 4 y 2 9 y 4 x 4 y 2

16 x8 24 x4 y 2 9 y 4 x4 y 2

4x4 3 y 2 x4 y 2

4x4 3 y 2 x2 y 4x4 3 y 2 x2 y

23

e) Factorizacin de expresiones de la forma x 2

bx c

El trinomio de la forma x 2 bx c se factoriza abriendo dos parntesis en cada parntesis se pone la raz cuadrada del primer trmino, los signos se baja el primer signo directamente en el primer parntesis, se multiplica los signos del trinomio y se pone en el segundo parntesis, y luego se encuentra dos nmeros que multiplicados sea el trmino independiente de x, y que sumados o restados segn el caso sea el coeficiente de x. Ejemplo 1.15

a) x 2 7 x 12 b) x 2 3x 10 c) x 2 2 x 24

x2 x2 x2

4 3x 5 2x 6 4x

4 3 5 2 6 4

x 4 x 3 x 5 x 2 x 6 x 4

f) Suma o diferencia de cubos La suma (diferencia) de cubos es igual al factor de la suma (diferencia) de las bases, multiplicado por el factor formado por el cuadrado de la base del primer trmino ms (menos) la multiplicacin de las dos bases, ms el cuadrado de la segunda base. En smbolos:

a 3 b3 a 3 b3

a b a 2 ab b 2 a b a2 ab b 2

24

Ejemplo 1.16

a) x 3 8 x 2 x 2 2 x 4 b) 8x3 27 2 x 3 4 x 2 6 x 9

c)

2x y

3

8

2x y

2 2x y

2

2 2x y

4

1.5.3. DIVISIN DE EXPRESIONES Cuando se divide un polinomio por un binomio se puede utilizar la propiedad Ejemplo 1.17

a b c

a c

b c

c

0

2x2 4x 2x2 4x x 2 2x 2x 2x 2 x3 5x 2 y 7 x 3 2 x3 5x 2 y 7 x b) x2 x2 x2 x2 7 3 2x 5 y x x2 a)

3 x2

Cuando queremos dividir una expresin algebraica entre un divisor que contiene ms de un trmino, se debe utilizar la divisin extensa, en general tenemos:

Dividendo Divisor

cociente

Re siduo Divisor

Ejemplo 1.18 Dividir:

25

6 x 4 7 x 3 12 x 2 10 x 1entre 2 x 2 6 x 4 7 x 3 12 x 2 10 x 1 6 x 4 3x 3 12 x 2 4 x 3 0 x 2 10 x 1 4 x3 2 x 2 8x 2x2 2x 1 2x2 x 4 3x 5 2x2

x 4 x 4

3x 2 2 x 1

Se tiene como cociente 3x2+2x-1 y como resto 3x+5 1.6. FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fraccin algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas, ejemplos:

3 x 2 4a x 1

3

x3 1 x 7

1.6.1. SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES Existe un principio bsico que nos permite simplificar, este principio dice que si dividimos al numerador y al denominador por una misma cantidad diferente de cero, el resultado es igual a la fraccin dada.

26

Ejemplo 1.19

a)

b)c)

4x2 7x x 4x 7 4x 7 x2 x x x 2 x 5x 6 x 3 x 2 x 2 x2 4x 3 x 3 x 1 x 1

4 x 2 20 x 24 6 10 x 4 x 2

4 x 2 5x 6 2 2 x 2 5x 3 4x 3 x 2 2 2x 1 x 3

2x 2 2x 1

1.6.2. SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Dos o ms fracciones que tienen un comn denominador se puede sumar o restar simplemente sumando o restando los numeradores y conservando el denominador, dando la respuesta simplificada. Ejemplo 1.20

2x x 2x b) x a)

3 1 5 1

x 1 x 1 7 x 1

2 x 3 x 1 3x 2 x 1 x 1 2x 5 7 2x 2 2 x 1 x 1 x 1 ( x 1)

2

Cuando las fracciones que se suman o restan no tienen igual denominador, se procede a encontrar fracciones equivalentes, que tengan igual denominador y luego se procede como en el caso anterior, Para transformar a fracciones equivalentes se debe primero factorizar los denominadores, luego multiplicar todos los denominadores con el mayor exponente, es decir hallar el mnimo comn mltiplo de los denominadores (m.c.m).

27

Ejemplo 1.21a) 2x 1 x 3 x2 3x 1 2 x 1 3x 1 x 3 3x 1 x2 x 3 3x 1 x 3 3 3x 2

2 x 1 3x 1 x 2 x x 3 3x 1 6x2 x3 2 x 3x 1 x 3 x 3 3x 1

9 x 2 5x 1 x 3 3x 1

b)

3x 4 x 2 16

x 3 x 8 x 162

x 3 2 x 4 3x 4 x 4 x 3 x 4 2 x 4 x 4

3x 4 x 4 x 4

3 x 2 12 x 4 x 16 x 2 4 x 3x 12 2 x 4 x 4 4 x 2 9 x 28 2 x 4 x 41.6.3. MULTIPLICACIN DE FRACCIONES Para multiplicar dos o ms fracciones se multiplica los numeradores, y luego los denominadores obtenindose una fraccin la misma que hay que darle simplificada.

28

Ejemplo 1.21

a)

x2

y2 2 y 4y x y

x y x y 2y 4y x y x y x y 2y x y 4y x y 2

b)

x 2 5x 6 4 x 2 16 x 3 x 2 4x 2 x 2 2 2 6 x 18 x 12 2 x 5x 3 6 x 2 x 1 2 x 1 ( x 3)2x 2 x 2 3 x 1 2x 1 2x 2 3 x 1 2x 12

1.6.4. DIVISIN DE FRACCIONES Para dividir una fraccin a/b por otra fraccin c/d, invertimos c/d y la multiplicamos por la primera.

a b

c d

a b c d

a c b d

ac bd

Ejemplo 1.22

a)

b)

2x 3 x 3 2x 3 2 x2 1 x 1 2x2 2 x 1 x 3 2x 3 2 x 1 x 1 2 2x 3 x 1 x 1 x 3 x 3 3x 1 3x 1 3x 1 x 2 x 2 3x 1 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1

29

EJERCICIOS PROPUESTOS Autoevaluacin 11. Simplifique las expresiones siguientes: a)3 4

16 4 x27 x 3 64

2 3

b)

c) 2.

3

8a 3 27b 3

En los siguientes ejercicios efecte las operaciones indicadas y simplifique: a) 5 3 2 a 73 9 bb a b) 2 ba a 3 b 5 22 c) 5 15 t tt 3 4 6 t2 3 t

2 d) xxy2 2 y2 y x 25 2 3 yxy x e) a 3 4 2 a

f) g) h)

2 x 25 3 x x 7

a a b bx z y y x z

30

i)

2 3 x y

2

j)

2 3 x y

2

k) 2 a 23 a 1 1 a aa 2 3 a l)3 x 72 5 4 x x 2 x

x2 5x 6 m) x 2

31

UNIDAD ECUACIONES DE UNA VARIABLE

2Aplicaciones

Esta unidad refuerza los conocimientos de ecuaciones lineales y de ecuaciones cuadrticas y a la vez aplica en ejercicios relacionados con la administracin de empresas.

Ecuaciones

Lineales

Cuadrticas

Mtodos de solucin Factoreo

A la Administracin

Completando cuadrado Frmula

32

2. ECUACIONES Una ecuacin es una igualdad que contiene una o ms cantidades desconocidas llamadas incgnitas. Ejemplos de ecuaciones:

2 x 3 5x 1 y2 5y 6 4 y 2x y 7 a s 1 r2.1. ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Una ecuacin lineal de una variable tiene la forma ax b 0 , donde a,b son nmeros reales y a 0 . Se llaman lineales porque el exponente de x es uno. Para la resolucin de una ecuacin se debe aplicar una serie de propiedades que permitan transformar la ecuacin original en otra equivalente, estas propiedades son: 1) PROPIEDAD DE ADICIN Y SUSTRACCIN.- Se puede sumar o restar cualquier constante o expresin racional que contenga la variable a los dos lados de la ecuacin. 2) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIN O DIVISIN.- Se puede multiplicar o dividir a los dos lados de la ecuacin por una constante diferente de cero. Dos o ms ecuaciones son equivalentes si y solamente si tiene el mismo conjunto solucin.

33

Ejemplo 2.1 a) Resolver la ecuacin:

x 3 2Sumamos 3 a los dos lados de la ecuacin

x 3 3 2 3Despus de simplificar resulta

x 5b) Resolver la ecuacin:

5x 3 2 x 9Sumamos 3 a cada lado

5x 3 3 2 x 9 3Reducimos los trminos semejantes 5x=2x+12 Restamos 2x a cada lado

5x 2 x

2 x 2 x 12

Reducimos, simplificamos 3x=12 Dividimos para 3 los dos lados de la ecuacin

3x 3Reducimos

12 3

x 4Los ejemplos anteriores se resolvieron utilizando en forma rigurosa las propiedades, sin embargo estas dos propiedades dan cabida a ciertas reglas que son las que se utiliza en la prctica y que podemos resumir as: Si est sumando pasa a restar, si est restando pasa a sumar; si est multiplicando pasa a dividir, si esta dividiendo pasa a multiplicar.

34

Ejemplo 2.2 Resolver las ecuaciones siguientes:

a)

9 2 x 3 4x 5 3 9 2 x 4x 3 5 3 9 x 20 x 2 9 5 3 29x 7 5 3 29x3 75 87x 35 35 x 87

b)

5x x 2 9 1 2x x 3 4 4 2 3 5x x 2 9 x 2 x 1 3 4 4 2 6 5x x 2 9 12 12 12 3 4 4 4 5x 3 x 2 3 9 6x 20 x 3x 6 27 6 x 4 x 20 x 3x 6 x 4 x 27 2 19 x 19 x 1

1

x 2x 1 12 2 6 2 2x 1 2 6 12

35

2.2 ECUACIONES CUADRTICAS EN UNA VARIABLE Una ecuacin de segundo grado o cuadrtica es aquella que adopta la forma ax2 bx c 0 ; donde a,b,c son constantes. Ejemplo de ecuaciones cuadrticas:

x 2 5x 6 02x 12

x x

1 2

Para resolver ecuaciones cuadrticas se utilizan varios mtodos; aqu estudiaremos los siguientes: 2.2.1. Solucin ecuaciones cuadrticas por factoreo Este mtodo consiste en factorizar el trinomio de la ecuacin cuadrtica ax2 bx c 0 , es decir escribir el trinomio como el producto de dos factores lineales, dado que este producto est igualado a cero, cada factor, significa que es cero, se resuelve las ecuaciones lineales, obtenindose dos soluciones o races. Ejemplo 2.3 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas por factoreo: a) x 2 10x 16

x 8 x 2 x 8 0

0 0x 2 0 x 2

xb)

8

x 2 25 036

x 5 x 5 x 5 0

0

x 5 0 x 5

xc)

5x 1

3x 5

Elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuacin para poder eliminar el radical

3x 5

2

x 1

2

3x 5 x 2 2 x 1x 2 2 x 3x 5 1 0 x2 x 6 0 x2 x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 x 22.2.2. Solucin de completando el cuadrado ecuaciones cuadrticas

Para resolver por este mtodo la ecuacin cuadrtica, se debe primero dividir a toda la ecuacin entre el coeficiente de x2, pasamos el trmino independiente de x al segundo miembro, sumamos k2 a los dos miembros de la ecuacin, en donde k es la mitad del coeficiente de x, el lado izquierdo de la ecuacin se ha formado un trinomio cuadrado perfecto

x k , de modo que la solucin se obtiene extrayendo laraz cuadrada a ambos lados. Ejemplo 2.4

2

37

Resolver las ecuaciones siguientes completando el cuadrado:

a)

x2 6x 8 0 x2 6x 8

x2 6x 9 ( x 3) 2 1x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1

8 9

x x

3 1 4

xb) 2x2

22 0

x 1 x2 x 2 1 x2 x 2 2 1 x 4

1 0 1 1 1 16 16 17 1617 16

xxx

1 41 4 14

17 4 17

2.2.3. Solucin de ecuaciones cuadrticas utilizando la frmula

38

Dada la ecuacin cuadrtica ax2 mtodo anterior tendramos:

bx c 0 y aplicando el

x2x2

bx a bx ab 2a b 2a2

c ab 2a

02

c ac a

b 2a

2

x x

b2 4a 2

2

b 2 4ac 4a 2

xx x

b 2ab 2a b

b 2 4ac 4a 2b 2 4ac 2a b 2 4ac 2a

La expresin x

b

b 2 4ac se denomina frmula para 2a

la resolucin de ecuaciones cuadrticas, en las cuales los valores a, b, c, son los coeficientes de x2, de x, y el trmino independiente de x. Ejemplo 2.5 Resolver las siguientes ecuaciones utilizando la frmula:

a)

6x2 7 x 1 0sta ecuacin con la ecuacin general

Comparando

39

ax2 bx c 0 encontramos que a=6, b=7, c=1, entonces: b b 2 4ac x 2a 7 49 461 x 26 7 49 24 x 12 7 25 x 12 7 5 x 12 7 5 7 5 x x 12 12 2 12 x x 12 12 1 x x 1 6b) x 2 2 x 48 0

xx 2

( 2)

2 21

2

41

48

x

x

2 192 2 2 196 2 2 14 2

40

x

2 14 2 16 x 2 x 8

x

2 14 2 12 x 2 x 6

2.2.4. Casos especiales de ecuaciones cuadrticas No siempre las ecuaciones se presentan en su forma general, en algunas ocasiones contienen fracciones, radicales, las mismas que deben ser transformadas en otras equivalentes mediante las propiedades de ecuaciones. Ejemplo 2.6 Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier mtodo:

a)

x

4

x 2 x 1 x 1 4x 2 x 2 x 1 2 x x 4x 8 x 2 x 1x 2 3x 8

2 x 22 x 2

x 2 3x 8 x2 x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 xb) 2 x 4 x 1

2 x 2 2x 2 x 1 x 2 2x 2

2

2 x 4 1 x

41

2 x 44x 4

2

1 x

2

1 2x x2

4x 16 1 2x x 2 x 2 2x 15 0x 5 x 3 x 5 x 0 3

c)

x 13x 13 2

7 x

2

7 x

Para suprimir el radical elevamos ambos miembros al cuadrado

x 13ordenamos

2

2

7 x

2

x 13 4 4 7 x 7 x2x 2 4 7 xElevamos los dos lados de a ecuacin nuevamente al cuadrado.

2x 2

2

4 7 x

2

2 x 2 8x 4 16(7 x)

4 x 2 8x 4 112 16x x 2 6 x 27 0Luego factorizamos

x 3 x 9 x 3 x

0 9

2.3. APLICACIONES DE ECUACIONES Aprender a solucionar ecuaciones como las que hemos estudiado tiene sentido si aplicamos para la resolucin de problemas, no hay una regla general para la resolucin de

42

problemas pero mencionaremos algunos pasos que ayudarn en la resolucin. Paso 1. Leer detenidamente la situacin que plantea el problema hasta familiarizarse con ella. Paso 2. Hacer una lista de datos conocidos y otra de los datos que se quieren determinar Paso 3. Representar el trmino desconocido por medio de una variable, por ejemplo x, y expresar todas las dems cantidades en trminos de x si es posible. Paso 4. Expresar la situacin descrita en el problema en smbolos matemticos, es decir plantear la o las ecuaciones. Paso 5. Resolver las ecuaciones y comprobar si la situacin hallada se ajusta a la situacin descrita en el problema. 2.3.1. APLICACIN ADMINISTRACIN DE ECUACIONES EN LA

Para solucionar problemas en el campo empresarial se debe conocer algunas relaciones importantes, estas son: a) El ingreso I, obtenido al vender x artculos a p pesos es: I xp b) El costo total es igual al costo variable ms el costo fijo

CT

CV

CF

Donde, el costo variable depende del nmero de artculos que se produzcan (mano de obra, materia prima), mientras que los costos fijos permanecen constantes, independientemente de las unidades producidas (arriendo, salarios, etc.) c) La utilidad, es la diferencia entre los ingresos totales recibidos I y los costos totales causados C

43

U x

I x

C x

Ejemplo 2.7 Una vendedora gana un salario base de 600 $ por mes ms una comisin del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio le toma 1

1 horas realizar ventas por un valor de 2

$ 100. Cuntas horas deber trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $ 2 000? SOLUCIN: Supongamos que trabaja x horas por mes, cada 3/2 horas efecta ventas por $ 100 de modo que al aplicar una regla de tres tendramos:

3 horas vende100 dlares 2 1hora 100 $ 1 hora X 3 horas 2de 0,10

200 dlares en ventas po 3

r hora, como su comisin es del 10% de este valor tendramos

20 dlares de comisin por hora, Por lo tanto 3 20 x la comisin en un mes es de dlares , Agregando su 3salario base obtenemos un ingreso mensual total de

200 3

600

20 x 3

esto debe ser igual a 2000, de modo que

obtenemos la ecuacin.

600 20x 3

20 x 3

2000

2000 60044

20x 1400 3 31400 x 20 x 210La vendedora deber trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado. Ejemplo 2.8 El costo para producir un par de zapatos es de $ 5 700 y depende de la materia prima y de la mano de obra, Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra, Cul es el costo de la materia prima y de la mano de obra? SOLUCIN: Si el costo de la materia prima es: x Entonces el costo de la mano de obra es: 3x

x 3x 5700 4x 5700 5700 x 4 x 1425 costo de la mano de obra Costo de la materia prima es: 3x 3(1425) 4275Luego, Ejemplo 2.9 En un almacn de calzado hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes, cuyos precios son $ 8 000 y $ 13 500, la venta de los 500 pares produjo ingresos de $ 4 962 500, Cuntos pares de zapatos de cada marca se vendieron?

45

SOLUCIN: Valor de c/u 8 000 13 500 # de pares x 500-x Valor Total 8 000 x 13 500(500-x)

4962500 8000 x 13500 500 x 4962500 8000 x 6750000 13500 x 5500 x 1787500 1787500 x 5500 x 325Luego los pares de zapatos vendidos a $8000 son 325 y los vendidos a 13500 son 175 Ejemplo 2.10 Un fabricante produce lmparas, que vende a $ 8200 sus costos de produccin son los siguientes: $ 130000 en arriendo, y $ 3500 por el material y la mano de obra de cada lmpara producida. Cuntas lmparas debe producir para obtener utilidades de $ 246000. SOLUCIN: Nmero de lmparas: x Costo de produccin: CT 3500 x 130000 I 8200 x Ingreso por ventas Utilidad

U x

8200 x

3500 x 130000 U x 8200 x 3500 x 130000

46

Como su utilidad quiere que sea de 246000 dlares

246000 4700 x 130000 246000 130000 4700 xX=80 Luego debe producir 80 lmparas para obtener una utilidad de $ 246000

La tragedia y la comedia no son separables, all radica la forma exterior de vida.

47

EJERCICIOS PROPUESTOS Autoevaluacin 21. Resuelva las ecuaciones siguientes: a) 1x 3x b) 4 3 8 x x c) 3 x 7 2 5 3 1 x d) 3 4 5z z 1 1 12 2 z 2 e) 1 3 4 1 2x x 41 5 f)

3 7 1 x x 2 3 2 3 25 u u 3 u 4 3

g) 1

h)

1 1 2 21 y 1 y4 y 2 3 2 5

2. Reduzca las ecuaciones siguientes a ecuaciones lineales y resulvalas: a) b) c)

x4 x22

2

2

2 xx ( 1 3 1 2) xx

2 1 3x3 x 1 xx 2 x2 148

d)

3 x24 2 xx x x 1

3

3. Resuelva las siguientes ecuaciones por factorizacin: 2 a) x 5 6 0 x2 b) x 9 14 x 02 c) x 4 4 0 x

2 d) x 7 12 x 0 2 e) x 1 0 2 f) x 8 0 x

g) 6 2 x

5 1 x 0 2 4

2 h) 2 5 30 x x

4. Resuelva las siguientes ecuaciones por la frmula cuadrtica: 2 a) x 3 1 0 x2 b) 2 3 4 0 x x 2 c) x x 3 0 2 d) 4 20 0 x x25

e) 5 26 x x 3

49

f) x 1 2 1 x

2

2

5. Resuelva las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:2 a) x 6 1 0 x 2 b) x 3 1 0 x 2 c) 4 8 30 x x

d) 7 x x 25 3 3 x

50

UNIDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES

3Inecuaciones Inecuaciones Lineales Inecuaciones Cuadrticas

El estudio de las inecuaciones es importante para la decisin de produccin de un artculo, pudiendo ser inecuaciones lineales o de grado superior, con o sin intervalos

Desigualdades

Propiedades

Mtodos de Solucin

Mtodos de Solucin

Intervalos

Valor Absoluto

Valor absoluto

51

3.1. DESIGUALDADES Una desigualdad es la expresin que ndica, que una cantidad es mayor o menor que otra. Indicaremos el significado de los signos de las desigualdades a) a b significa que a es mayor que b, o bien que a b es un nmero positivo b) a b significa que a es menor que b, o que a b es un nmero negativo c) a b significa que a es mayor o igual que b d) a b significa que a es menor o igual que b e) a x b significa que x es mayor que a pero menor que b 3.1.1 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1) Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el sentido de la desigualdad se mantiene, en smbolos: Si a b entonces , a c b c Si a b entonces , a c b c Si 5 7 entonces , 5 3 7 3 2) Si se multiplican o dividen a los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, en smbolos: Si a b y c 0, entonces , ac bc

a b c c Si 2 5 y 4 0, entonces , 24 54Si a b y c 0, entonces ,

52

3) Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido, en smbolos:

b y c 0, entonces ac a Si a b y c 0, entonces c Si 8 10 y 2 0, entoncesSi a

bc b c 8 2 10

2

3.1.2. INTERVALOS

Notacin Grfica

Notacin conjuntos

de Notacin intervalos

de

a x ba a a a a b

a, b a, b a, b a, b

a xbb

a x bb

ab

xbxa xa

a, ,aa,

a

x aa

x aa

,a ,

x R todo x

53

3.2. INECUACIONES LINEALES Una inecuacin es una desigualdad que contiene cantidades desconocidas, llamadas incgnitas, y tienen la forma ax b c , y en general todas las desigualdades donde la variable es lineal se llaman inecuaciones lineales. Para resolver inecuaciones lineales utilizaremos las propiedades e las desigualdades.

Ejemplo 3.1 Resuelva la desigualdad 3 x 5 x 7

3x 5 x 7 3x x 7 5 2 x 12 12 x 2 x 6La solucin en forma de intervalos ser ] Ejemplo 3.2 Resuelva la desigualdad x 8

, 6[

5 x 12

x 8 5 x 12 x 5x 12 8 4x 20 (como 4 0 entonces) 20 (cambia de sentido) x 4 x 5 La solucin en forma de intervalos ser ] ,5]54

Ejemplo 3.3 Resuelva la inecuacin

3x 4 2 3x 12 10 1 4 x 2 5 5 3x 12 2 10 1 4 x 15 60 x 20 2 8 x 60 x 8 x 20 2 15 52x 3 3 x 52

2

1 4x 5

La solucin en forma de intervalos ser Ejemplo 3.4

3 , 52

El fabricante de cierto artculo puede vender todo lo que produce al precio de $ 60 cada artculo, gasta $ 40 en materia prima y mano de obra al producir cada artculo y tiene gastos adicionales (fijos) de $ 3000 a la semana en la operacin de la planta. Encuentre el nmero de unidades que debera producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 1000 a la semana. SOLUCIN: Nmero de artculos producidos y vendidos a la semana: x Costo de producir es = 40 x 3000 Ingresos obtenidos por vender = 60 x Por tanto; Utilidad = Ingresos - Costos

Utilidad 60 x 40 x 3000 ) 60 x 40 x 3000 1000

55

20x 3000 1000 20x 4000 x 2000Por lo tanto el fabricante deber producir y vender por lo menos 2000 artculos. 3.3. INECUACIONES CUADRTICAS DE UNA VARIABLE Las inecuaciones cuadrticas de una variable son de la forma ax2 bx c 0 (o bien ) , en donde a,b,c son constantes. Una inecuacin cuadrtica se puede resolver escribiendo como el producto de dos factores, utilizaremos los siguientes mtodos: a) Mtodo analtico Para resolver una desigualdad cuadrtica se utiliza la propiedad del producto diferente de cero de dos nmeros reales. Un producto es mayor que cero si y solo si ambos factores son mayores que cero, o ambos factores son menores que cero, en smbolos:

a 0 ab 0 si y solo si a 0 0

b 0 b 0

Un producto es menor que cero si y solo si el un factor es mayor que cero y el otro factor es menor que cero (viceversa), en smbolos:

a 0 ab 0 si y solo si a 0 o

b 0 b 056

Ejemplo 3.5 Resolver la inecuacin x 2

2 x 3 por el mtodo analtico

x 2x 3 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0Ambos menores que cero o ambos mayores que cero

2

x 3 0 y x 1 0 x 3 x 1

o bien

x 3 0 y x 1 0 x 3 x 1

Los nmeros que satisfacen ambas condiciones satisfacen la desigualdad son. -1 3 -1 3

x

1

x 3

]Ejemplo 3.6

, 1]

[3,

[

Resolver la inecuacin x 2

2 x 3 por el mtodo analtico

x 2x 3 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0El primero mayor que cero o el primero menor a cero y el segundo menor a cero y el segundo mayor cero

2

x 3 0 y x 1 0 x 3 x 1

o bien

x 3 0 y x 1 0 x 3 x 1

57

Los nmeros que satisfacen ambas condiciones satisfacen la desigualdad son: -1 3 -1 3

En este primer lado no Existe solucin porque No se cortan las dos rectas b) Mtodo por intervalos

1 x 3 [ 1,3]esta es la solucin

Utilizando este mtodo obtenemos aquellos valores donde cada uno de los factores que conforman la inecuacin es igual a cero, estos valores sern ordenados en la recta numrica, luego se toma arbitrariamente cualquier valor del intervalo que corresponde a los valores en la recta numrica y se reemplaza en la inecuacin, el signo obtenido se escribe en el intervalo seleccionado, y a partir de este se intercalan los signos, la solucin son los intervalos positivos si la inecuacin es mayor que cero, o son los intervalos negativos si la ecuacin es menor que cero. Ejemplo 3.7 Resolver la inecuacin x 2

2 x 3 por el mtodo de intervalos

x 2x 3 x 3 x 1

2

0

Los valores sern x = 3 y x = -1 en la recta tendramos: -1 3x 3 x 1

+

-

+

58

Utilicemos en el intervalo ] , 1] el nmero -3 y reemplacemos en x 3 x 1 obtenemos + 12 esto quiere decir que todo este intervalo es positivo y los otros intervalos estn alternados sus signos. Como queremos solucionar x 3 x 1 0 entonces la solucin es la unin de intervalos de signo positivo, luego el conjunto solucin es: ] , 1] [3, [

xEjemplo 3.8 Resolver la inecuacin intervalos

1

x 3

x 2 1 x 2x 5

0 por el mtodo de

Como las leyes de los signos son iguales tanto para e producto como para el cociente, el mtodo para resolver inecuaciones que involucren cocientes es exactamente igual al mtodo para resolver inecuaciones con productos, salvo que se debe tener cuidado de excluir de la respuesta los valores que hagan al denominador cero. Entonces:

x

2

x 1

x

5

2

Luego al reemplazar x por cero en el intervalo [-5/2, 1] obtenemos un nmero negativo y alternando los signos obtenemos:

5/ 2x 2 1 x 2x 5

1

2 + -

+

59

Por lo tanto la solucin es ] , 5 / 2[ [1,2] observe que se excluyo de la solucin el -5/2, porque este valor hace cero al denominado. 3.4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Si x es un nmero real, entonces el valor absoluto de x se denota por x y est definido por:

xPor ejemplo:

x2

x x

si x 0 si x 0

5

5

3

3

7

7

De la definicin se deduce que el valor absoluto de un nmero a es siempre un nmero real no negativo. a Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza la siguiente regla. Si a c, donde c 0, entonces a c o bien a c Ejemplo 3.9 Resolver 2x 3

5

De acuerdo con la definicin dada de valor absoluto, la ecuacin dada se satisface si:

2x 3 5 2x 2 x 1 Por lo tanto la solucin es x 4 y x 1Ejemplo 3.10 Resuelva 3x 2

2x 3 5 2x 8 x 4

o bien

2x 760

La ecuacin se satisface si:

o bien 3x 2 2x 7 3x 2 x 7 2 x 1 Por lo tanto la solucin es x 9 y x 13.4.1 TEOREMA DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La desigualdad x a indica que la distancia entre x y el origen es menor que a unidades, dado que x puede estar a la derecha como a la izquierda del origen, x est entre a y -a en smbolos tendramos:

3x 2 2 x 7 3x 2 x 7 2 x 9

x a si y solo si

a xa

De manera similar para x a significa que x est a ms de a unidades del origen a la derecha como a la izquierda, es decir x a o x a , en smbolos tendramos:

x a si y solo si x a o bien x aEjemplo: 3.11 Resuelva 2x 3 como

5 0 la desigualdad se puede escribir

2x 3 5 del teorema anterior se tiene: 5 2x 3 5 5 3 2x 5 3 2 8 x 2 2 1 x 4 esta es la solucin En intervalos tendramos [ 1,4]

Ejemplo 3.12 Resuelva 3x 13

6 0 la desigualdad se puede escribir61

3x 13 6 del teorema anterior se tiene: 3 x 13 6 o bien 3 x 13 6 3x 7 3x 18 x 7 x 6 3 En intervalos ] ,7 / 3] [6, [como

Solo aquellos que conocen el lado malo de las cosas pueden valorizar la bondad y ser buenos, en cambio en los casi buenos, sus maldades son imperdonables.

62

EJERCICIOS PROPUESTOS Autoevaluacin 31. Resuelva las desigualdades siguientes: a) 5 x11 3

u 5 u b) 211 6c) 31 5 2 x x 4 1 d)

1 x 1 2 1 x x 4 63

e)

y1 y 2 1 y 1 4 3 6

f) 1 3,t1 ,2 2 2 t 3 g) 5 x 7 2 13 h) 23 x x x5 1 2 i) 31 x x x3 7 2 2. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una, tiene costos fijos de $ 12000 al mes, y adems le cuesta $ 22 para producir cada artculo, Cuntas unidades debe producir y vender al mes la compaa para obtener utilidades? 3. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2,50 cada unidad, la fabricacin de las correas por la empresa

63

incrementar sus costos fijos en $ 1500 al mes, pero solo le costar fabricar $ 1,70 fabricar cada correa, Cuntas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricacin de sus propias correas? 4. Resuelva las desigualdades cuadrticas siguientes: a) x x 25 0 b) 25 30 x x2 c) x 7 12 x 0

d) x 1 2 x e) yy 21 6 f) x x 23 x 2 g) x2

4

2 h) x 6 9 0 x2 i) x 21 x 0

5. Al precio p por unidad, x unidades de cierto artculo pueden venderse al mes en el mercado con p 600 5 x Cuntas unidades deber venderse al mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos de $ 18000?

64

UNIDAD ECUACIONES DE LA RECTA

4La RectaEcuaciones de La recta

Estudiaremos en esta unidad la ecuacin de la lnea recta, sistemas de ecuaciones, encontrando el punto de equilibrio entre las ecuaciones de oferta y demanda aplicadas a la administracin.

Coordenadas Cartesianas

Sistemas de ecuaciones

Distancia entre puntos

Punto Pendiente

Oferta y demanda

Pendiente

Pendiente ordenada

Aplicacin a la administracin

Ecuacin general

65

4.1. COORDENADAS CARTESIANAS Las grficas se construyen utilizando las llamadas coordenadas cartesianas. Dibujaremos dos rectas perpendiculares denominados ejes de coordenadas, una horizontal y otra vertical, interceptndose en un punto O. La lnea horizontal se denomina abscisa o eje X, y la vertical se denomina ordenada o eje Y, y O es el origen. Un plano con tales ejes de coordenadas se denomina plano cartesiano o plano XY. Y

Segundo cuadrante (+,+)

Primer cuadrante (-,+)

X Tercer cuadrante (- , -) Cuarto cuadrante (+ , -)

4.1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si

P1 x1 , y1 y P2 x2 , y 2x2 x12

son dos puntos cualesquiera en el2

plano, entonces la distancia d entre P1 y P2 est dada por d

y2

y1

, demostracin

66

y2d

P2 x 2 , y 2y2 y1

y1 P1 x1 , y1 x1

x2

x1

x2

Utilizando el teorema de Pitgoras tendremos:

d2

x2 x1

2

y 2 y1

2

dEjemplo 4.1

x 2 x1

2

y 2 y1

2

Encuentre la distancia entre los puntos A

3,1 y B

2, 3

d

x2

x1

2

y2

y12

2

d

2 3

2

3 1

d dEjemplo 4.2

1 16 17

La abscisa de un punto es 2 y su distancia al punto 3, 7 es 5 , Determine la ordenada del punto

67

d52

x 2 x13 2

22

y27

y1y2

2

5

1 49 14 y

y2

2

5 50 14 y y 2 y 2 14 y 45 0 y 9 y 5 0 y 9 y 5La ordenada es -9 y -5 4.1.2. PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Una de las propiedades ms importantes de una lnea recta es que tan inclinada es la recta y si sube o baja, este grado de inclinacin se llama pendiente (m) y es el cociente entre la elevacin y el recorrido, en smbolos:

mm

elevacin recorridoy2 x2 y1 x1

y2 y1 x2 x1

4.2. ECUACIONES LINEALES Una ecuacin lineal con dos incgnitas representa en el plano cartesiano una recta, y est formada por todos aquellos puntos (X,Y) que satisfacen la ecuacin. 4.2.1. ECUACIN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA Al encontrar la pendiente de la recta que une los puntos

68

x, y se tiene que: y y1 m x x2 Y por tanto se tiene m x x1 y y1 Ordenando ser y y1 m( x x1 ) que es la ecuacin de larecta cuando conoce punto y pendiente. 4.2.2. ECUACIN PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN DE LA RECTA

x1 , y1

y

y y1 m( x x1 ) punto pendiente se transforma x1 , y1 en 0, b entonces la ecuacin se tiene que y b mx 0 , y b mx Ordenando y mx b y esta es la ecuacin de la rectaSi en la frmula cuando conoce pendiente y ordenada al origen

x, y

0, b

b

. .

Si la lnea es horizontal, entonces su pendiente es nula (m=0) y la ecuacin se reduce a:

y bSi la lnea es vertical entonces tendra la ecuacin

69

x aPendiente Indefinida Pendiente positiva

Pendiente nula

Pendiente negativa

La recta inclinada a la derecha tiene pendiente positiva y la que est inclinada a la izquierda tiene pendiente negativa 4.2.3. ECUACIN GENERAL DE LA RECTA Una ecuacin lineal general de la recta con dos variables x,y es de la forma

Ax By C 0En donde A,B,C son constantes y A,B no son cero a la vez 4.2.4. RECTAS PARALELAS PERPENDICULARES Dos rectas con pendientes m1 , m2 son paralelas si sus pendientes son iguales m1

m2

Dos rectas con pendientes m1 , m2 son perpendiculares si la multiplicacin de las pendientes son igual a

1

m1m2

170

Ejercicio 4.3 Determine la pendiente de la lnea que une los puntos

3,5

y

1,5

mm

y2 y1 x2 x1

5 5 3 1 0 m 4 m 0Ejercicio 4.4 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-2) con pendiente -3

y y y 3x

y1 m( x x1 ) 2 3( x 1) 2 3x 3 y 1 0 esta es la ecuacin general de la recta que

pasa por (1,-2) con pendiente -3

Ejercicio 4.5 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos:

2,1 y 3,4

71

Hallamos primero la pendiente

y2 y1 x2 x1 4 1 m 3 2 3 m 1 m 3 mLuego utilizamos cualquier punto y la pendiente para hallar la ecuacin.

m( x x1 ) 3x 3 3x 9 5 0 esta es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 2,1 y 3,4Ejemplo 4.6 Determinar la ecuacin de la recta que tiene pendiente -2 y ordenada al origen 5

y y y 3x

y1 4 4 y

y mx b y 2x 5 2x y 5 0Ejemplo 4.7 Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 1,3 y es paralela a la recta 2 x y 3 0

72

Primero encontramos la pendiente de la recta dada de la siguiente manera: 2x y 3 0

2x 3 y 2x 3 Al comparar con: y mx b la pendiente es m 2Como las rectas son paralelas las pendientes son iguales m2 m1 entonces

y

m2

2

por lo tanto la recta es:

y y y 2x

y1 3 3 y

m( x x1 ) 2( x 1) 2x 2 1 0

Ejemplo 4.8 1,2 y es Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por perpendicular a la recta de ecuacin 2 x 3 y 4 0 Primero hallamos la pendiente de la recta

2x 3 y 4 0 3y 2x 4 2x 4 y 3 2 4 y x 3 3Comparando y

mx b la pendiente es m11

2 3

Como son perpendiculares se cumple que:

m2 m1 2 m2 3

173

m2m( x x1 ) 3 y 2 x 1 2 2 y 4 3x 3 3x 2 y 1 0Ejemplo 4.9 Determine si

3 2

y

y1

las

rectas

de

ecuaciones

4x 2 y 1

y 2 2x son paralelas, perpendiculares o de

ninguno de estos tipos Se debe hallar las pendientes de las dos ecuaciones para luego analizarles que cumplen.

4x 2 y 1 2y 4x 1 4x 1 y 2 1 y 2x 2 m1 2Como m1 Ejemplo 4.10

y

2 2x y 2x 2

y ym2

2x 2 2x 22

m2 entonces las rectas son paralelas

La empresa FACA produce dos productos X, Y cada unidad de X requiere 3 horas trabajo y cada unidad de Y requiere 4 horas trabajo, hay 120 horas trabajo disponible cada da. a) Si x unidades de X, y unidades de Y se fabrican al

74

b) c) d)

da y se emplean todas las horas trabajo, encuentre la relacin entre x, y De la interpretacin fsica de la pendiente de la relacin lineal obtenida. Cuntas unidades de x puede fabricarse en un da si se produce 15 unidades de Y en el mismo da? Cuntas unidades de Y pueden producirse en un da si se fabrican 16 unidades de X en el mismo da?

SOLUCIN: a) Como x es el nmero de unidades y cada unidad de X requiere de 3 horas trabajo tendramos 3x Como y es el nmero de unidades de Y y cada unidad requiere 4 horas trabajo tendramos 4y La ecuacin sera 3x 4 y 120 La pendiente de la ecuacin

b)

3x 4 y 120 es

m

3 sta pendiente significa que por cada 4 4

unidades producidas de x se puede producir 3 unidades de y c) Como de y se produce 15 unidades al da de x se producir: reemplazamos en la ecuacin

3x 4 y 120 3x 415 120 3x 120 60 60 x 3 x 20Es decir que se puede producir 20 unidades de X d) Como se produce 16 unidades de x se tendra

3x 4 y 12075

316 4 y 120 4y 120 48 72 y 4 y 18Es decir que se puede producir 18 unidades de Y cuando se ha producido 16 unidades de x 4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de dos o ms ecuaciones es un conjunto con dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales puede presentar los siguientes casos. a) Tiene una solucin es simultnea y consistente b) No tiene solucin es incompatible o inconsistente c) Tiene infinitas soluciones es indeterminado. 4.3.1. ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS CON DOS INCGNITAS La expresin general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

a11x a12 y b1 a21x a22 y b2La solucin de este sistema es un par ordenado x, y que verifica ambas ecuaciones. Para resolver estas ecuaciones se utiliza los siguientes mtodos: 4.3.1.1. SOLUCIN POR ELIMINACIN (SUMA O RESTA)

76

Este mtodo consiste en multiplicar adecuadamente a una de las dos ecuaciones (o ambas) una cantidad de tal manera que las cantidades de una de las variables sean iguales pero de signo contrario, de modo que al sumar las dos ecuaciones se elimine dicha variable. Ejemplo 4.11 Resolver por eliminacin el siguiente sistema:

2 x 5 y 19

0

3x 4 y 6 0Para eliminar x multiplicamos por 3 a la primera ecuacin y a la segunda por -2; as obtendramos

6 x 15 y 57

0

6 x 8 y 12 0 23y 69 0 69 y 23 y 3Reemplazando en una de las ecuaciones tendramos

2x 5( 3) 19 0 2x 15 19 0 2x 4 x 2Luego la solucin es el par 2, 3 4.3.1.2. SOLUCIN POR SUSTITUCIN Se despeja una de las incgnitas de cualquiera de las ecuaciones, y se sustituye la variable por esta expresin en la otra ecuacin. La ecuacin obtenida por sustitucin contiene una sola variable y por consiguiente podemos resolver

77

fcilmente. Ejercicio 4.12 Resolver por sustitucin el sistema:

x 3y 4 3x 5 y 2 0Despejamos x de la primera ecuacin

x 4 3y Reemplazamos 3(4 3 y) 5 y 2 0 12 9 y 5 y 2 0 14y 14 14 y 14 y 1Ahora reemplazamos y en la ecuacin despejada inicialmente

x 4 3y x 4 31 x 1 Luego la solucin es 1,14.3.1.3. SOLUCIN POR IGUALACIN Este mtodo consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma variable, y luego igualarlas para obtener una ecuacin con una sola variable Ejemplo 4.13 Resolver por igualacin del sistema:

2x 5 y 8 0 x 4y 9 078

yDespejando y tendramos

yIgualando

2x 8 5 9 x 4

2x 8 9 x 5 4 4 2x 8 5 9 x 8 x 32 45 5 x 13x 13 x 1 y

Reemplazando en cualquier ecuacin

21 8 5 10 y 5 y 2 Luego la solucin es 1,24.3.2. ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS CON TRES O MS INCOGNITAS El procedimiento es transformar un sistema de tres incgnitas a un sistema de dos incgnitas. Y seguidamente transformar este sistema en una ecuacin lineal. Ejemplo 4.14 Resuelva el siguiente sistema:

2 x y 3z 9 0 x 3 y z 10 0 3x y z 8 079

Eliminaremos x entre la primera y la segunda ecuacin multiplicando a la segunda por -2

2 x y 3z 9 0 2 x 6 y 2 z 20 0 7 y 5z 29 0Ahora eliminando la misma variable x entre la segunda y la tercera, la segunda ecuacin multiplicamos por -3

3 x 9 y 3 z 30 3x y z 8 0 8 y 2 z 22 0

0

Las ecuaciones resultantes son:

7 y 5z 29 0 8 y 2 z 22 0A este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas eliminamos z multiplicando la primera por -2 y la segunda por

5

14 y 10 z 58 0 40 y 10 z 110 0 26y 52 0 52 y 26 y 2Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema de 2x2 tendramos

7 y 5z 29 0 7 2 5 z 29 0 14 5 z 29 0 5z 15 z 380

Reemplazado z.y en una ecuacin obtenemos:

y z 8 0 2 3 8 0 3 1 Luego la solucin es: 1,2, 3Ejemplo 4.15 La tienda el sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $ 0,70 la libra y almendras a $ 1,60 la libra, Al final de un mes, el propietario se entera que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que vender a $ 1,00 dlar la libra, Cuntas libras de cacahuates y de almendras deber mezclar para mantener los mismos ingresos? Las libras de cacahuates que la mezcla contiene es: x Las libras correspondientes de almendras es: y Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras

3x 3x 3x x

x y

45

El ingreso de x libras de cacahuates a $ 0,70 l la libra es de 0,70x dlares, el ingreso de y libras de almendras a $ 1,60 la libra es de 1,6y, el ingreso obtenido de la mezcla de 45 dlares a $ 1,00 por libra ser de 45 dlares. Ingreso cacahuates + ingreso almendras=ingreso mezcla

0,7 X 1,6Y 45 7 X 16Y 450Entonces el sistema es el siguiente:

81

x y 45 7 X 16Y 450Despejando x de la primera ecuacin tenemos x luego sustituimos este valor y obtenemos

45 y ,

7(45 y) 16 y 450 315 7 y 16 y 450 9y 450 315 y 15 Luego x 45 y x 45 15 x 30Por lo tanto 30 libras de cacahuates debe mezclarse con 15 libras de almendras para formar la mezcla. Ejemplo 4.16 Un pez de la especie 1 consume por da 10 gramos de la comida 1 y 5 gramos de la comida 2, Un pez de la especie 2 consume por da 6 gramos de la comida 1 y 4 gramos de la comida 2. Si un medio ambiente dado tiene 2,2, kilogramos de comida 1 y 1,3 kilogramos de comida 2 disponible diariamente, Qu tamao de poblacin de las dos especies consumir toda la comida disponible? Utilizando los datos tendramos Comida 1 10x 6y 2,2, Comida2 5x 4y 1,3

Especie 1: x Especie 2: y

82

Las ecuaciones son:

10x 6 y 2200 5x 4 y 1300Multiplicando por -2 a la segunda ecuacin tendramos:

10x 6 y 2200 10x 8 y 2600 2y 400 y 2005x 800 1300 5x 500 x 100Por lo tanto se necesita 100 peces se la especie 1 y 200 de especie 2 4.4. APLICACIONES AL ANLISIS DE LA ADMINISTRACIN Estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales y lneas rectas a problemas en la administracin y economa. 4.4.1. MODELOS DE COSTO LINEAL En la produccin de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos, y costos variables. Los costos fijos no dependen del nivel de produccin, como rentas, salarios de administracin, entre otros. Los costos variables dependen del nivel de produccin es decir de la cantidad de artculos producidos, materiales, mano de obra.

83

Costo Total = Costos variables + Costos fijos

yc

mx b

Costos fijos Costos variables

4.4.2. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO Si el costo total y c de produccin excede al de los ingresos yi obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una perdida. Si los ingresos sobrepasan a los costos, existe una utilidad, si el costo de produccin es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni perdida, de modo que el negocio esta en el punto de equilibrio. El nmero de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.

yc mx b

Ecuacin total de costo

yi

mx

Ecuacin de ingresos

Utilidad

yc mx b

Punto de equilibrio

Perdida

yi mx

84

Ejemplo 4.17 Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $ 15 dlares y los costos fijos son de $ 2000 al da. Si vende cada reloj a $ 20. Cuntos relojes deber producir y vender cada da con el objeto de garantizar que el negocio se mantiene en el punto de equilibrio? SOLUCIN: Sea x el nmero de artculos producidos y vendidos El costo de producir es:

yc costos var iables totales costos fijos yc 15x 2000Dado que cada reloj se vende a $20 el ingreso obtenido por vender x artculos es: yi 20 x El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, entonces:

20 x 15 x 2000 5x 2000 x 400De modo que deber producir y vender 400 relojes al da para garantizar que no haya utilidad ni perdida. Ejemplo 4.18 Los costos fijos por producir cierto artculo son de $ 5000 al mes y los costos variables son de $ 3,50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $ 6. a) Encuentre el punto de equilibrio b) Determine el nmero de unidades que debe producirse al mes para obtener una utilidad de $ 1000 mensuales.

85

c) Obtenga la perdida cuando slo 1500 unidades se produce y se vende al mes. SOLUCIN: Encontramos primero las ecuaciones de costo y las de ingresos

yc 3,50 x 5000 yi 6 x 6 x 3,50x 5000 2,50x 5000 x 2000a) Deber producir y vender al mes 2000 artculos para no tener ganancia ni perdida. b) Para hallar la utilidad

U yi ycU 6x (3,50x 5000) 1000 6x 3,50x 5000 6000 2,50x x 2400

Debe producir y vender al mes 2400 artculos para obtener una ganancia de $ 1000 mensuales c) Como solo se produce 1500 artculos entonces x tendramos

1500 y

U yi ycU 6x (3,50x 5000) U 6 x 3,50x 5000 U 6 1500 3,50 1500 U 9000 5200 5000 U 12005000

Si produce solo 1500 artculos tendra una perdida de $ 1200

86

4.4.3. OFERTA DEMANDA La ley de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier anlisis econmico. La cantidad x de cualquier artculo que ser adquirido por los consumidores depende del precio al cual el artculo est disponible en el mercado. Una relacin que especifica la cantidad de un artculo determinado y que los consumidores estn dispuestos a comprar a varios niveles de precios se denomina ley de la demanda, en smbolos es:

x a bpEn donde p es el precio por unidad del artculo x, es claro que a medida que aumenta el precio baja el nmero de artculos que se demanda. Una relacin que especifique la cantidad de cualquier artculo que los fabricantes puedan ponerle en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta.

x c dpEn donde x es el nmero de artculos y p es el recio de cada artculo, a medida que el precio aumenta el nmero de artculos que se oferta en el mercado tambin se aumenta POferta

Punto de equilibrio Demanda

x

87

Ejemplo 4.19 Dadas las ecuaciones de oferta p 2x 1, y demanda de p 28 x , determine el precio y la cantidad de equilibrio de dicho artculo. SOLUCIN: Aplicamos igualacin para resolver el sistema

2 x 1 28 x 2 x x 28 1 3x 27 x 9 Luego p 29 1 p 19Esto significa que el precio de equilibrio es de $ 19 y se debe producir 9 artculos

Ejemplo 4.20 Un comerciante puede vender 20 rasuradoras elctricas al da al precio de $ 25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $ 20 a cada rasuradora elctrica. Determine la ecuacin de la demanda suponiendo que es lineal. SOLUCIN: Como Entonces

x 20, p 25 y x 20,25 y 30,20

30, p

20

m

20 25 30 20

5 10

0,5

88

La ecuacin que pasa por el punto 20,25 y tiene pendiente m = -0,5 es

y

y1

m x x1

Dado que y = p tendremos

p 25 0,5( x 20) p 0,5x 35Esta es la ecuacin de la demanda requerida

La esclavitud es hija de las tinieblas; un pueblo ignorante es instrumento ciego de su propia destruccin

89

EJERCICIOS PROPUESTOS Autoevaluacin 41. Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos: a) (4,-1) (2,0) Resp: 5 b) (-3,1) c) (1/2,2) (-2,-3) (-2,1)

1 Resp: 29 2d) (a,2) (b,2)

2. La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto (-3,2) es 5. Determine la abscisa. Resp: 0; -6 3. La abscisa de un punto es 2 y su distancia al punto (3,-7) es 5 . Encuentre la ordenada del punto 4. Si P es el punto (1,a) y su distancia al punto (6,7) es 13, determine el valor de a Resp: 19; -5 5. Se nos da el punto P(x,2), la distancia de P al punto A(9,-6) es dos veces la distancia al punto B(-1,5) Encuentre el valor de x 6. Si P (-1,y) y su distancia al origen es la mitad de su distancia al punto (1,3) determine el valor de y Resp: y 3 1 ; 7. Dibuje la grfica de cada ecuacin a) 2x + 3y = 6 b) 3x 4y = 12

90

2 c) x y 6 02 d) x y 2

8. Dibuje la grfica de la relacin de demanda siguiente, donde p denota el precio por unidad y q es la cantidad demandada a) p = -2q + 5 b) 2p + 3q = 8 c) d)

p q2 142 p 25q

9. Determine las pendientes de las lneas que unen cada pareja de puntos a) (2,1) y (5,7) b) (5,-2) y (1,-6) c) (2,-1) y (4,-1) d) (3,5) y (-1,5) e) (-3,2) y (-3,4) f) (1,2) y (1,5) 10. Encuentre la ecuacin de las lneas rectas que satisfacen las condiciones de cada uno de los ejercicios siguientes: a) Pasa a travs del punto (2,1) y tiene Resp: no tiene pendiente Resp: 0 Resp: 2

91

pendiente 5

Resp: y 5 9 x

b) Pasa por (1,-2) con pendiente -3 c) Pasa a travs del punto (3,4) y tiene pendiente cero. Resp: y 4 d) Pasa por (2,-3) y no tiene pendiente e) Pasa a travs de los puntos (3,-1) y (4,5) Resp: y 6 19 x f) Pasa por (2,1) y (3,4) g) Pasa a travs de Resp; x 3 pendiente pendiente Resp: y -2 1/3 los puntos (3,-2) (3,7)

h) Tiene 5 i) Tiene -4

y y

ordenada ordenada

al al

origen origen

1 x 4 2

j) Tiene pendiente 3 y ordenada al origen 0 k) Pasa por (2,-1) y es paralela a la recta 3x+y-2=0 Resp: y 3 5 x l) Pasa por (1,3) y es paralelo a la recta m) Pasa por (2,1) y es perpendicular a la recta x+y=0 Resp: y x 1 n) Pasa por (-1,2) y es perpendicular a la recta 2x-3y+4=0 o) Pasa por (3,4) y es perpendicular x=2 2x-y+3=0

92

Resp: y 4

p) Pasa por (2,-3) y es paralela a la recta 3y+2=0 q) Pasa por ( 0,-1) y es paralela a la recta determinada por (2,2) y (3,1) Resp: y x 1 r) Pasa por (2,3) y es perpendicular a la recta determinada por (-1,-2) y ( 2,1) 11. Determine la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las relaciones lineales siguientes a) 3x 2y = 6 b) 4x +5y = 20 c) y 2x +3 = 0 d) x/3 +y/4 = 1 e) 2y -3 =0 f) 3x + 4 =0 12. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o de ninguno de estos tipos: a) 2x + 3y = 6 Resp: perpendiculares b) y = x 3x -2y = 6 Resp; 0; Resp: 2 ; Resp:

3 ; 2

3

3

3 2

x+y=1

93

c) y = 2x + 3 Resp: ninguno d) 4x + 2y = 1 e) x = -2 3y Resp: paralela f) 3x + 4y = 1

x = 2y + 3 y = 2 2x 2x + 6y = 5 3x 4y = 1

g) y -3 = 0 x +5 = 0 Resp: perpendicular h) 2x 5 = 0 3x=0

13. El gobierno de una ciudad tiene un presupuesto de 200 millones para gastos de transporte, e intenta utilizarlos para construir otras lneas de tren subterrneo o carreteras. Si cuesta 2,5 millones un kilmetro de carretera y 4 millones construir un kilmetro de lnea de tren subterrneo. Encuentre la relacin entre nmero de kilmetros de carretera y de lnea de tren subterrneo que puede construirse utilizando la totalidad de presupuesto, interprete la pendiente de la relacin lineal que se obtiene. Resp: y

5 x 50 8

94

UNIDAD FUNCIONES Y GRFICAS

5FUNCIONESDominio

El estudio de funciones es importante para la toma de decisiones, pudiendo maximizar sus ingresos y minimizar sus gastos.

Grficas

Cuadrticas y Parablicas

Variable dependiente

Condiciones

Vrtices de una parbola

Variableindependiente

Con radicales

Maximizar Minimizar

Condenominador

95

5. 1. FUNCIONES Sean X, Y dos conjuntos no vacos. Una funcin de X en Y es una regla que se asigna para que a cada elemento x X , una nica y Y . Si una funcin asigna y a un x X particular, decimos que y es el valor de la funcin en x; y f x , a las funciones asignamos por las letras f , g , h, F , G, entre otras. Si una funcin se expresa por la relacin del tipo y f x , entonces x se denomina la variable independiente o argumento de f, y y se conoce como la variable dependiente. El conjunto X, para el cual f asigna una nica y Y , se denomina el dominio de la funcin f, y se indica Df . El conjunto de valores y Y se le conoce como el rango de la funcin y se le denota como Rf Ejemplo 5.1 Dada

f x

2 x 2 5x 1 calcule2, x 1 4

el valor de es decir,

f

cuando evale

x

a, x 3, x

f a, f 3, fSOLUCIN:

2, f

1 4

Por lo tanto tendremos

f x f a

2 x 2 5x 1 2a 2 5x 1

96

f 3 232 53 1 18 15 1 4

f 2 2 2f 1 4 2

2

5 2 1 8 10 1 192

1 4

5

1 4

1

1 5 19 1 8 4 8

Ejemplo 5.2 Dada g x 3x 2 a) g 1 h b) g (1) g (h) c)

2 x 5 evale

g ( x h) g ( x ) h

SOLUCIN: a) Con el propsito de evaluar g 1 h , debemos sustituir x por 1+h

gxg1 h g1 hb)

3x 2 2 x 52

g 1 h 31 h

21 h 52 2h 5

3 1 2h h2 3h 2 4 63x 2 2 x 5

g x

g1 g1 g1c)

gh gh gh

312 21 5 3 h 2 3h 2 2h 11

2h

5

3 2 5 3h 2 2h 5

gx

3x 2 2 x 597

2 x h 5 3x 2 2 x 5 g ( x h) g ( x ) 3 x h h h 2 g ( x h) g ( x) 3x 2 x 5 h 3h 6 x 2 3x 2 2 x 5 h h g ( x h) g ( x ) 3h 6 x 2 h g ( x h) g ( x ) La cantidad para una funcin dada es de gran himportancia para el clculo 5.2. GRFICA DE FUNCIONES La grfica de una funcin f se obtiene dibujando todos los puntos

2

y

x, y , en donde x pertenece al dominio de f y f x recorrido, manejando x, y como coordenadas

cartesianas, en donde los dominios y rangos de las funciones son subconjuntos de los nmeros reales. Ejemplo 5.3 Dada la funcin f x funcin.

2 0,5x 2 hallar el dominio y graficar la

SOLUCIN: El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales dado que podemos evaluar f x para cualquier valor real de x. Podemos indicar algunos valores de x que es el dominio y tambin hallar los valores de y f x . Al representar los puntos en el plano cartesiano y unir los mismos obtenemos una curva en forma de U. x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 2,5 4 6,5 10 2,5 4 6,5 y f x

98

5.2.1. CRITERIO DE LA LNEA VERTICAL La curva representada en un plano cartesiano es una funcin si al trazar verticales, estas cortan nicamente en un punto con dicha curva. Ejemplo 5.4 Establezca si las grficas siguientes representan o no funciones

Las grficas anteriores si representan funciones, ya que al trazar verticales, estas se cortan nicamente en un punto con

99

la curva. Ejemplo 5.5 Establezca si las grficas siguientes representan o no funciones

Las grficas anteriores no representan funciones, ya que al trazar verticales, estas se cortan en dos punto con la curva. 5.2.2. DOMINIO DE UNA FUNCIN Grficamente el dominio de la funcin est definido por los valores del eje x en los cuales est definida la curva. En forma anloga los valores en el eje y para los cuales est definida la curva constituyen el rango de la funcin. Para determinar el dominio de una funcin expresada en forma de ecuacin se debe tener en cuenta las siguientes condiciones: a) Cualquier expresin que est dentro de una raz par no puede ser negativa, es decir su valor debe ser mayor que cero b) El denominador de cualquier fraccin que est representando una funcin no puede ser igual a cero, es decir debe ser diferente de cero.

Ejemplo 5.6

100

Determine el dominio de la funcin f x SOLUCIN:

x2 4 x 2

Para el nmero real al cual no est bien definida la funcin es x 2 , en los dems casos la funcin est bien definida, o sea el dominio es:

Df

todos los reales menos el nmero 2

Ejemplo 5.7 Encuentre el dominio de f si f ( x) SOLUCIN: El dominio de f es el conjunto de todos los valores para los cuales la expresin dentro del radical no es negativa, esto es:

x 4

Df

x 4 0 x 4 todos los reales mayores que 4

5.3. FUNCIONES CUADRTICAS Y PARBOLAS Una funcin de la forma f ( x) ax2 bx c , es una funcin cuadrtica en donde a,b,c son constantes, El dominio de f x es el conjunto de todos los nmeros reales. La grfica de una funcin cuadrtica es una curva denominada parbola La grfica de la funcin f ( x) ax2 bx c es una parbola que se abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0 , y es

101

el punto ms bajo si a 0 , y es el punto ms alto si a 0 , el vrtice tiene coordenadas

b 4ac b 2 ; 2a 4a

x

b 2a

y

4ac b 2 4a

y ax 2 a0

y ax 2 a0Ejemplo 5.8 Determine el valor mnimo o mximo en la funcin

f ( x) 3 x 2SOLUCIN:

x 1

Como a 0 entonces el valor ser un mnimo, para hallar x utilizamos: x

b 2a

x

x

1 23 1 6f ( x) 3 x 2 x 1

Para hallar f (x) reemplazamos el valor anterior en la funcin

102

1 1 f ( x) 3 1 6 6 1 1 f (x) 1 12 6 13 f (x ) 12Por lo tanto el vrtice es un mnimo y es: Ejemplo 5.9 La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto est dada por P( x) 60 x x 2 , Determine el nmero de unidades que debe producirse y venderse con el objeto de maximizar la utilidad, Cul es esta utilidad mxima? SOLUCIN: Para encontrar el nmero de unidades que se debe producir utilizamos

2

1 13 , 6 12

x

b 2a x 60 2 30

x

Para hallar la mxima utilidad reemplazamos x en la ecuacin

P( x) 60 x x 2 P(x) 6030 30 2 P (x) 900Por tanto se debe producir 30 artculos para obtener una mxima utilidad que es de 900 dlares.

103

Ejemplo 5.10 El Seor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones, l puede alquilar todas si fija un alquiler mensual de $ 200 por habitacin. Con un alquiler ms alto algunas habitaciones quedarn vacas sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relacin funcional entre el ingreso mensual tota y el nmero de habitaciones vacas. Qu alquiler mensual maximizar el ingreso total? Cul es este ingreso mximo? SOLUCIN: Sea x el nmero de habitaciones vacas. El nmero de departamentos alquilados es entonces 60 x , y el alquiler mensual por habitacin es 200 5 x dlares. Si R denota el ingreso mensual total en dlares se tiene que

renta por unidad nmero de unidades rentadas R 200 5 x 60 x R 5 x 2 100 x 12000Esta es la ecuacin en funcin del ingreso total mensual y el nmero de habitaciones vacas. Como a 0 entonces la grfica se abre hacia abajo y su vrtice es el punto mximo, el vrtice est dado por:

R

x

R

b 2a 100 x 10 2( 5) 5 x 2 100 x 12000

R

5 10

2

100 10

12000

R 12500104

En consecuencia si 10 habitaciones estn desocupadas, los ingresos son mximos. El alquiler por habitacin es entonces de (200+5x) dlares es decir 250 dlares con un ingreso total al mes de 12500 dlares.

El descubrir la esencia de las cosas es dar un paso enorme en la historia ya que la verdad no es solo hermosa, sino que tambin es autntica y mas anes: es revolucionaria

105

EJERCICIOS PROPUESTOS Autoevaluacin 5

1.

Dada f( ) 3 2 x x .2

Calcule:

f ), 2( ), h ( f ), fx ) 1( fx ( 2 x ; ( ) x Resp: 5; 3 23 h 22. Resp: 12; -8; 5c+7; 3.2

Dada f() 5 7 t t .Calcule: 12+5c; 19+5c Dada f (x )2 x .Calcule:

f f ),(),f (( f f c 1 ( 1( ( ), c 3 ), f 1) )c

f ),2 a( ), h ( f ),),x ( ) 3 ( f f ( f x

x( Resp: 9;4; a; ; x4.2

h2 )Calcule:

Dada f (x 3 ) . Resp: 3; 3; 3; 3

f x(), 2 x) ( ), f 1f x ( ), h x f (

) 5. Dada f (x

x. Calcule:2 2 a R

f4 (2 fa h (),x (2 2 f ), )

;; Resp: 2x6.

2 () r t .Calcule: Dada f t 3 5 7

f),), f), h ( f tf), f ) 0 ( ( ( ( 1 ch c

; t22c 2 5 ) ( 3 t/3 ) c 14 ); 2 Resp: 7 5 2t ( h ( h106

7. Dada

f( ) x

2 3 six x 5 6 3 xsix 5

Encuentre cada uno de los valores siguientes: a) f(0) b) f (7) c) f(-2) d) f(5+h) y f(5-h), con h >0 Resp: a) 6 b) 11 c) 12 d) f(5+h) = 7+2h; f(5-h) = 3h-9

4 3 si 2 x 0 x8. Dada gx ()2 1x

si 0 x 2 si x 2

7

Evale cada uno de los valores siguientes: a) g (1) b) g (3) c) g (-1)

8. Si F t( t y ( t ) 1)

G t( t Demuestre que: ( t ) 1)

F G 2t) ( t ( ) t ) G (2 x 10. Si f( ) x 1 y Resp 10

2

() g ) 2 1 Calcule: f g2 ( x x

11. Evale abajo

f( h f( ) x ) x en donde f (x) esta dada hResp: 2 Resp: 0

a) f( ) 2 5 x x b) f(x 7 )

107

c) f x x 3 5 () 2 x Resp: 2x-3+h 12. Determine el dominio de cada funcin a) f( ) 2 3 x x Resp Todos los nmeros reales b) h x ()

x 1 x 2

Resp: Todos los reales menos el 2

() c) gx1

x1 Resp: Todos los reales menos el 2 y el x 3 2 x2

() d) Fu

u 2 2 u 1Resp: Todos los reales

e) F ) Resp: Todos los ( y 3 2 y reales mayores o iguales a 2/3 f) Gu ()

2 3 2 u

Resp: Todos los reales

menores a 3/2

2 3 si x 5 x ) g) f (x 6 3 si x 5 xResp: Todos los reales menos el 5

108

ua

x a) f( )

1 si x 0 2 si x 0 1 si x 0 x si x 0 x si x 1 x si x 1 x 3 si x 3 2 1si x 3 xla funcin

x b) f( )

x c) f( )

d)

f( ) x14.Para

de costo Calcule el C 10( ) 36 ( x ) x 3 x x2000 costo 10 de producir a) 2000 unidades b) 500 unidades6 3 32

15. Una compaa ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana est dado () x 6 0 2 x , 002 por C 5000 x evalu el costo de producir: a) 100 unidades por semana b) 2500 unidades por semana c) ninguna unidad Resp: a) 13 000 b) 32 500 c) 5 000 16. Para una prueba de metabolismo de azcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azcar en la sangre era una funcin del ( , ,t , 2 t 9 2 1 ) t tiempo t medido en horas A 3 0 0 . Encuentre la cantidad de azcar en la sangre a) al principio de la prueba b) una hora despus c) 2,5 horas despus de iniciada Resp: a) 3,9 b) 4,0 c) 3,8

UNIDAD

6

109

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICASEn sta unidad trataremos como se debe resolver ecuaciones que contengan sus incgnitas en los exponentes o en algn logaritmo.

Funciones

Exponenciales

Logartmicas

Grficos

Propiedades

Aplicaciones

Aplicaciones

Ecuaciones

Ecuaciones

110

6.1. LA FUNCIN EXPONENCIAL Una funcin exponencial es de la forma y a x , en donde la base a es un nmero positivo, si a 1 , la funcin se conoce como funcin exponencial creciente, mientras si a 1 , se llama funcin exponencial decreciente.

Funcin decrecientex

Funciones crecientes

y

1 3

y 3x

y

2x

Con frecuencia se utiliza un nmero irracional e 2,71828 ... como base. La funcin exponencial correspondiente se denota

y e x , y se denomina funcin exponencial natural.Ejemplo 6.1 Empleando una calculadora encuentre los valores siguientes. a) SOLUCIN: a)

e2

b) e5,55

c) e 0,24

e2

2,71828 ...

2

7,389056111

b) c)

e 2,55e0 , 24

2,71828 ...2,71828 ...

2 , 550 , 24

12,80710,786627861

Ejemplo 6.2 El crecimiento de la poblacin de cierta ciudad al tiempo t medido en aos est dado por la frmula P 50000 e 0 , 05t , calcular la poblacin cuando t 10 aos. SOLUCIN: Reemplazamos t

10 en

P

50000 e 0 , 05t

P 50000 e 0, 05 10 P 50000 e 0,5P 82436 ,06La poblacin en 10 aos habr aumentado a 82436 habitantes 6.1.1. INTERS COMPUESTO Otro caso en que las funciones exponenciales aparecen se refieren a inters compuesto y sus operaciones financieras. Se tiene inters compuesto, cuando el inters generado en un perodo se adiciona al capital original formando un nuevo capital, capitalizacin que puede ser anual trimestral, semestral, entre otros. Se llama frecuencia de conversin o capitalizacin (f) al nmero de veces que el inters se convierte en capital en un ao .Periodos de capitalizacin (n) son mensuales, trimestrales, semestrales, entre otros, y se calcula como:

112

n

nmero de aos frecuencia

La tasa de inters (i) por periodo de capitalizacin significa la tasa diaria, mensual, trimestral, entre otras, la tasa debe estar en tanto por uno, es decir tasa dividida para 100 y se calcula como:

i

tasa anual frecuencia

El monto o valor futuro (F) de un capital o valor presente (P) esta dado por la frmula:

F

P(1 i) n

Las tasas de inters equivalentes son aquellas que producen un mismo monto en un ao, con periodos de capitalizacin deferentes, Las tasas nominales se capitalizan varias veces en el ao y se representa como (j). La tasa efectiva es la que acta en el capital una vez en el ao y se representa como (i). Su equivalencia es:

1 iEjemplo 6.3

j 1 f

f

Una suma de $ 200 se invierte a un inters compuesto anual del 5%, calcular el valor de la inversin despus de 10 aos. SOLUCIN: En ste caso la tasa anual es de 5% y el tanto por uno ser de 0,05 y como la frecuencia es uno porque solo se capitaliza una vez en el ao tendramos:

113

1 tasa anual 0,05 i 0,05 frecuencia 1 n nmero aos frecuencia 101 10 P 200Aplicando la frmula tendramos:

f

FF F

P(1 i) n200 1 0,05 325 ,7810

Luego de 10 aos por haber invertido $ 200 obtendr 325,78 dlares. Ejemplo 6.4 Una suma de $ 2000 se invierte a una tasa de inters nominal del 9% anual capitalizable mensualmente. Calcular el valor de la inversin despus de 3 aos. SOLUCIN: Como la inversin se capitaliza mensualmente se tiene que:

12 tasa anual 0,09 i 0,0075 frecuencia 12 n nmero aos frecuencia 312 36 P 2000Entonces como:

f

F P(1 i)nFF

2000 1 0,00752617 ,29 dlares

36

114

Ejemplo 6.5 Cierta mquina se deprecia de tal forma que su valor despus de t aos viene dada por V t 1400000 e 0,03t Cul es el valor de dicha mquina despus de 5 aos?

SOLUCIN: Para t=5

V t

1400000 e0, 03 5

0, 03t

V (5) 1400000 e

V (5) 1204991 ,2 es el valor despus de 5 aosEjemplo 6.6 La poblacin del planeta al inicio de 1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. Cul ser la poblacin al inicio del ao 2010, suponiendo que la tasa de crecimiento no se modifique? SOLUCIN: Como la tasa de crecimiento es 2% en tanto por uno tendramos 0,02 por lo tanto:

f 1 i 0,02 n 34 P 4 mil millones

F F

P(1 i) n 4000 millones (1 0,02)34115

F F

4000 (1,02)34 millones 7842 ,70 millones

Es decir la poblacin en el 2100 ser de 7,84 mil millones de habitantes. Ejemplo 6.7 La poblacin de cierta ciudad al instante t medido en aos est dada por F (t ) Cul es el porcentaje SOLUCIN: Despus de n aos la poblacin es:

Pe0,03tde

P 1,5millones ,en el ao?

crecimiento

F P(1 i)n

F (t )

Pe0,03t

P(1 i) n Pe0,03n (1 i) n e0,03n(1 i) e0,031 i 1,0305 i 0,0305Por lo tanto la poblacin crece al 3,05% Ejemplo 6.8 Encuentre la tasa de inters anual efectiva que es equivalente al 8% de la tasa nominal de capitalizacin trimestral. SOLUCIN:

f

4 porque existe 4 trimestres en el ao116

j 0,08 tasa nominal en tanto por uno

1 i1 i

j 1 f

f

0,08 1 4

4

1 i 1,082432 i 0,08243Por lo tanto la tasa efectiva es de 8,243 % 6.2. LOGARITMOS Dado como base un nmero a, real positivo y diferente de uno, se llama logaritmo de un nmero real y positivo N con respecto a dicha base, al exponente y al cual se debe elevar la base a para obtener el nmero N. Notacin exponencial Notacin logartmica

a 2x 3y bp

y

N 64 27 a

log a N y log 2 64 x log 3 27 y log b a p

* *

La funcin logartmica es y log a x Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales, vulgares o de briggs y se escribe como:

log10 N*

log N

Los logaritmos de base el nmero irracional e 2,71828 ... reciben el nombre de naturales, hiperblicos o neperianos y se escribe como:

117

log e N

ln N

6.2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARTMOS 1) El logaritmo de 1 de cualquier base es igual a cero

log a 1 02) El logaritmo de cualquier nmero positivo con la misma base es siempre 1

log a a 13) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos se sus factores

log a N M4)

log a N log a M

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

log a5)

N M

log a N log a M

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

log a N m6)

m log a N

El logaritmo de un radical es igual al logaritmo de la cantidad subradical sobre el ndice del radical.

log a

m

N

log a N mlog x log 5 log ycomo un solo

Ejemplo 6.9 Escriba la expresin

118

logaritmo:

log x log 5 log y

log( x 5) log y log ( x 5) y

Ejemplo 6.10 Encuentre el valor de x en la ecuacin SOLUCIN: La ecuacin

log x (6 x) 2

log x (6 x) 2

escribimos en forma de potencia

x

2

6 x x2 x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 x 2

Por lo tanto la solucin es -3 y 2 Ejemplo 6.11 Resuelva la ecuacin

log 3 3 log 3 ( x 1) log 3 (2 x 7) 4SOLUCIN:

log 3 3 log 3 ( x 1) log 3 (2x 7) 4

1 log 3 ( x 1) log 3 (2 x 7) 4log 3 ( x 1) log 3 (2 x 7) 3

119

log 3 ( x 1) log 3 (2x 7) log 3 27log 3 x 1 log 3 27 2x 7 x 1 27 2x 7 x 1 54 x 189 x 54x 189 1 53x 190 190 x 53

Ejemplo 6.12 Encuentre x en la ecuacin:

log( 4 x 3)

log( x 1) log 3

SOLUCIN:

log( 4 x 3) log( x 1) log 3 log( 4 x 3) log 3( x 1) (4 x 3) 3( x 1) 4 x 3 3x 3 4 x 3x 3 3 x 6Ejemplo 6.13 Una compaa encuentra que la cantidad de dlares y, que debe gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de su producto esta dado por:

y

200 ln

400 500 x120

Calcule el gasto publicitario que se deber hacer para vender

300 unidades. SOLUCIN: Como se necesita encontrar el gasto para vender 100 unidades se tiene que x=300, por tanto

400 500 x 400 y 200 ln 500 300 400 y 200 ln 200 y 138 ,63 y 200 lnLa inversin por vender 300 unidades es de 138,63 dlares 6.3 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos se aplica en la resolucin de ecuaciones que contiene la incgnita en el exponente. Ejemplo 6.14 Encuentre el valor de x en la ecuacin SOLUCIN: Para resolver una ecuacin de esta forma se aplica logaritmos a los dos lados de la ecuacin luego las propiedades

2x 25

2x 25 log 2 x log 25121

x log 2 log 25 log 25 x log 2 x 4,6439Ejemplo 6.15 Determine el valor de x en la ecuacin SOLUCIN:

3x

2

2 2x

3x32x

2

2 2x222xx 2

log 3

log 22

x 2

2 x log 3 log 22 x log 3

x log 2 2

x log 2 log 2 2 4 x log 3 x log 2 2 log 2 x 4 log 3 log 2 log 2 2 log 2 x 4 log 3 log 2 x 0,375

Ejemplo 6.16 Un comerciante de bienes inmuebles posee una propiedad que podra vender por $100000. Tambin podra conservar la

122

propiedad durante 5 aos, durante ese tiempo, gastara $ 100000 en mejorarla y la vendera entonces en $300000, Supngase que el costo de las mejoras sera gastado en una sola exhibicin al trmino de 3 aos y debera tomarse en prstamo del banco a un inters del 12% anual. Si se supone que la tasa de inters es del 10%. Calcule el valor presente de esta segunda alternativa y decida cual de las dos posibilidades representa la mejor estrategia para el comerciante. SOLUCIN: Consideremos el dinero que debe tomar a prstamo para mejorar la propiedad.

f

1

P 100000 i 0,12 n 2

F P1 i

n

F 100000 (1 0,12) 2 F 125440

Por lo tanto los ingresos netos de la venta despus de liquidad el prstamo sern de

300000 125440 174560Este ingreso lo recibir dentro de 5 aos, por lo tanto obtendremos el valor presente.

f

1

F 174560

F

P1 iP

n

i 0,10n 5

174560 (1 0,10)5

P 108388 ,03

Dado el valor presente de la segunda opcin con