CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

Números reales

Los números reales son todos aquellos que se pueden representar en la “Recta numérica

o Recta real”, los cuales dependiendo de su origen se pueden clasificar de la siguiente

manera:

Números racionales e Irracionales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números

racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal

como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números

racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es

eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal

aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer

número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6

(repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

π = 3.14157 irracional

Números Enteros

Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los

enteros positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero. El conjunto

de los números enteros incluye a los naturales, (los naturales son un subconjunto de los

enteros).

Obsérvese que los números enteros positivos entre más lejos estén del cero más mayores

son en tanto que los enteros negativos entre más cercanos estén del cero más mayores son.

Entre los números enteros están los números pares, los impares y los primos.

Z- Números pares: son de la forma 2K, K

Z- Números impares: son de la forma 2K ± 1, K

- Números primos: son aquellos números naturales que tiene dos únicos divisores: el

mismo número y la unidad. El número 1 no es primo. Los números que no son primos

se denominan números compuestos.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES.

Para todo número real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a (de la suma).

a • b = b • a (de la multiplicación)

Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5

2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c (de la suma)

a • (b • c) = (a • b) • c (de la multiplicación)

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Propiedad modulativa o neutra de la suma: a + 0 = a

Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Propiedad modulativa o neutra de la multiplicación: a • 1 = a

Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

Propiedad del Inverso Aditivo (simétrica) : a + (-a) = 0

Ejemplo: 6 + (-6) = 0

Propiedad Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c (del producto con respecto a la suma

y/o Resta).

Ejemplo: 5 • (3 + 4) = 5 • 3 + 5 • 4

INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES.

Sean “a” y “b” dos números reales, tales que a ‹ b, entonces se define lo siguiente:

Intervalo cerrado[ a, b ]

Sí incluye los extremos.

Que se indica: Notación conjuntista o en términos de desigualdades

Es el conjunto de números reales mayores o iguales que “a” y menores e iguales que “b”,

es decir, es el conjunto de números que van desde “a” hasta “b” incluyéndolos a ambos.

Simbólicamente: [ a, b ] : = { x | a ≤ x ≤ b }

Gráficamente:

a b

Intervalo abierto ( a, b )

No incluye los extremos.

o bien Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

En la topología usual de la recta ( oℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].

Es el conjunto de números reales mayores que “a” y menores que “b”, es decir, es el

conjunto de números que van desde “a” hasta “b” sin incluirlos.

Simbólicamente: ( a, b ) : = { x | a < x < b }

Intervalo semi-abierto por la derecha [ a, b )

Es el conjunto de números reales mayores o iguales que “a” y menores que “b”, es decir,

es el conjunto de números que van desde “a” hasta “b” incluyendo a “a” pero no a “b”.

Simbólicamente: ( a, b ] : = { x | a ≤ x < b }

Gráficamente:

Y con la notación o bien , En notación conjuntista:

Intervalo semi-abierto por la izquierda ( a, b ]

Es el conjunto de números reales mayores que “a” y menores o iguales que “b”, es decir,

es el conjunto de números que van desde “a” hasta “b” incluyendo a “b” pero no a “a”.

Simbólicamente: ( a, b ] : = { x | a ≤ x < b }

Gráficamente:

Con la notación o bien indicamos. En notación conjuntista:

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE 1ER Y 2DO GRADO CON UNA INCÓGNITA.

DEFINICIÓN:

Una desigualdad, es una expresión matemática en la que aparecen dos ó más

ecuaciones, con la característica que existe al menos una expresión de orden (<, >, ≥ ó ≤),

la cual permite establecer de manera clara la solución al ejercicio planteado.

Por ejemplo:

2x < 5

3x - 10 ≥ 3 - 2x

Dado que en las desigualdades están presentes ecuaciones, la clasificación debe ser del

mismo tipo, es decir que podemos encontrar:

Lineales:

Cuadráticas:

Orden superior:

Desigualdades algebraicas: Con radicales:

Con cocientes:

Con valor absoluto:

Trigonométricas:

Desigualdades trascendentes: Logarítmicas:

Exponenciales:

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

a. Los miembros de las desigualdades pueden permutar sus lugares, cambiando el

sentido del orden. Ejemplos:

Sí 8 > 5, entonces 5 < 8

Sí -10 < - 6, entonces - 6 > -10

Sí A > B, entonces B < A

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

a. Los miembros de las desigualdades pueden permutar sus lugares, cambiando el

sentido del orden. Ejemplos:

Sí 8 > 5, entonces 5 < 8

Sí -10 < - 6, entonces - 6 > -10

Sí A > B, entonces B < A

Sí A < B, entonces B > A

Esto señala que la desigualdad es una relación no simétrica.

b. Si una primera cantidad es mayor (ó menor) que una segunda cantidad, y esta es mayor

(ó menor) que una tercera, entonces la primera es mayor (ó menor) que la tercera.

Ejemplos:

Sí 8 > 5 y 5 > 3, entonces 8 > 3

Sí 10 < 25 y 25 < 30, entonces 10 < 30

Si A < B y B < C, entonces A < C

Si A > B y B > C, entonces A > C

La desigualdad es una relación que posee la propiedad transitiva.

c. Sí a los dos miembros de una desigualdad se les suma una misma cantidad, el signo de

la desigualdad no varía. Ejemplos:

Para a >b se tiene

a + c > b + c

a – c > b – c

Por lo anterior se cumple que un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar

de un miembro al otro cambiándole el signo, ya que esto equivale a sumar ó restar en

ambos lados el mismo término.

d. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican ó dividen por una misma

cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Ejemplo:

Para a > b y siendo c una cantidad positiva:

ac>bc

a/c> b/c

Esto señala que se pueden suprimir denominadores, sin que varíe el signo de la

desigualdad, ya que se multiplica por el mínimo común múltiplo a todos los miembros.

e. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican ó dividen por una misma

cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Ejemplo:

Para a > b y siendo c una cantidad negativa:

- ac< - bc

- a/c < - b/c

Lo anterior obedece a que los miembros de la desigualdad se multiplican por -1.

f. Cuando se invierten los miembros, la desigualdad cambia de sentido en el orden.

Ejemplo:

Para a > b

1/a < 1/b

g. Si los miembros son positivos y se elevan a una misma potencia, el signo de la

desigualdad no cambia. Ejemplo:

Para a > b

h. Si los miembros ó uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el

orden de la desigualdad no cambia. Ejemplo:

Para - a > - b, entonces

Para a > - b, entonces

i. Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el

signo de la desigualdad puede cambiar. Ejemplos:

Para 2 > - 6, se tiene que

Para 8 > -3, se tiene que

Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz

positiva, el signo de la desigualdad no cambia. Ejemplo:

Si a > b, entonces

Métodos de resolución

Para resolver las desigualdades es necesario señalar todos los valores que hacen válida

la expresión, por lo que entonces la notación de intervalos resulta la más viable.

La forma de resolver a las desigualdades está directamente relacionada con el tipo de

ecuaciones que estén involucradas en la expresión, por lo que entonces existen diferentes

criterios que deben ser considerados, aunque es claro que el principio de resolución es el

mismo: encontrar todos los valores que permiten que se cumpla toda la desigualdad, sin

importar el número ó tipo de ecuaciones que tenga.

Se consideran entonces dos tipos de resolución: el numérico y el método gráfico, cada

uno con características particulares que plantean la solución del ejercicio desde dos puntos

de vista diferentes. Es importante mencionar que no se pretende descalificar a uno u otro,

sino más bien al contrario, se trata de mostrar la estrecha relación que existe entre el

aprendizaje del alumno y el enfoque diferente para la resolución de un problema, por lo que

entonces se establece una interrelación directa entre ambos métodos de resolución.

La resolución numérica también es conocida como algebraica ó algorítmica, y consiste

en realizar procedimientos algebraicos que nos permiten resolver la desigualdad

planteada.Dadas las diferentes formas de expresar una desigualdad (por el tipo de ecuación

que involucran), es necesario utilizar diferentes técnicas (ó algoritmos) que permitan

alcanzar el objetivo de resolución.

RESOLUCIÓN ALGORÍTMICA DE DESIGUALDADES ALGEBRAICAS

Para las desigualdades que se han clasificado como algebraicas, la resolución de tipo

algorítmica corresponde también al arquetipo que les incumbe, es decir, se tienen

algoritmos lineales, cuadráticos, de orden superior, con cocientes, con radicales, con valor

absoluto, etc.

Tipo lineal: el procedimiento consiste en despejar a la variable x, lo cual nos conduce

directamente a la interpretación del resultado.

Ejemplos:

Resuelva las siguientes desigualdades:

1.- 2x-3 < x + 2

Despejando a x:

2x – x < 2 + 3

x< 5

En intervalos la solución es:

2.-

Despejando a x:

En intervalos se deduce que la solución es:

3.-

Despejando a x:

Tipo cuadrático: de las diferentes técnicas que se emplean en la resolución, se opta por

la llamada ”puntos de separación”, la cual permite ubicar la solución en intervalos dentro

de la recta numérica, además de que hace uso de un procedimiento gráfico que se suma al

procedimiento algorítmico.

Esta resolución se basa en localizar las raíces de la expresión, para de allí ubicarlas en

la recta numérica, marcándose así intervalos para posteriormente utilizar puntos que estén

dentro de los intervalos obtenidos.

El despeje de la variable x conduce a una interpretación que puede resultar confusa:

Si se plantea ahora que los dos puntos encontrados “separan” a la recta numérica en

intervalos, entonces la solución puede hallarse rápidamente mediante el empleo de puntos

de prueba.

En la recta numérica los puntos que se han hallado muestran lo siguiente:

De tal manera que los segmentos que se tienen para analizar son:

y

Tomando ahora puntos al azar que estén dentro de los intervalos señalados, es posible

mostrar si dicho intervalo es ó no solución del ejercicio.

En el primer intervalo tomando por ejemplo el punto x= –3, al ser sustituido en

la desigualdad nos indica lo siguiente:

Lo que muestra entonces que dicho intervalo es solución.

En el siguiente intervalo tomando por ejemplo el punto x= 0, al ser sustituido en

la desigualdad nos indica lo siguiente:

Lo que muestra entonces que dicho intervalo no es solución.

En el último intervalo tomando por ejemplo el punto x= 3, al ser sustituido en la

desigualdad nos indica lo siguiente:

Lo que muestra entonces que dicho intervalo es solución.

La solución para esta desigualdad está dada por los intervalos:

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES.

El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta

su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y

de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en

diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real

puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuerpos o espacios

vectoriales.

Note que, por definición, el valor absoluto de “a” siempre será mayor o igual que cero y

nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real “a” es siempre

positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos

números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o

métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la

diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.

Propiedades generales:

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular

Otras Propiedades:

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de desigualdades, como por ejemplo:

* *

*

Exponentes y radicales

Exponente o POTENCIACION

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

5 · 5 · 5 · 5 = 54

Base

La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.

Exponente

El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

1.a0 = 1 ·

2.a1 = a

3.Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am · a n = am+n

(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

4.División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = -8

5.Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n=am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

6.Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

an · b n = (a · b) n

(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216

7.Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : b n = (a : b) n

(−6)3: 33 = (−2)3 = −8

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, multiplicado por si mismo las veces que indica el índice, sea igual al radicando.

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud

de la circunferencia y su diámetro. = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo (FI), , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los

números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un

número real.

Representación de los números Irracionales

Los números irracionales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Radicación

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que

cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

n es el índice

es el símbolo radical a es el radicando

b es la raíz

La -64 no pertenece a los números reales, por que el radicando es negativo i el índice es un numero par o sea 2

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es

equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número

natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del

radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Para extraer factores de una raíz, existen tres casos

Se descompone el radicando en factores. Si:

1 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el

radicando.

2Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

3Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el

mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo

índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el

mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

acionalización de radicales

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia

de cuadrados".

Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las

letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las

expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje

habitual.

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.

Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios

sumandos).

Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos).

Dos expresiones algebraicas separadas por un signo “=” se llama ecuación.

Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son

equivalentes.

Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x2 y3 z

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn+ an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0 Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. an es el coeficiente principal. ao es el término independiente.

Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2

Segundo grado

P(x) = 2x2 + 3x + 2

Tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado. P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo Es aquel polinomio en el que sus términos no son del mismo grado. P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: 1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x −3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Expresiones fraccionarias Expresión algebraica no entera o fraccionaria o racional es la expresión que es cociente de polinomios

Q(x) P(x)

siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio constante (ni nulo) o aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente negativo. Ya que el denominador no puede ser cero las variables de los polinomios denominadores no pueden tomar los valores que son raíces. Como una expresión racional es un cociente entre números reales, las propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de las expresiones racionales. Decimos que una expresión racional está en su forma mínima si el numerador y el denominador no tienen factor común diferente de 1 y –1. Si una expresión racional determinadano está en su forma mínima puede sustituirse por un equivalente Factorizando el numerador y el denominador, y luego dividiendo ambos entre los factores comunes. Esto podemos justificarlo mediante la propiedad de las fracciones que establece que

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la cual participan algunas cantidades desconocidas, en

general designadas por letras.

Las cantidades desconocidas se denominan incógnitas.

La palabra ecuación proviene de “aequare” que en latín significa igualar.

Las ecuaciones reciben distinto nombre según las operaciones que afectan a las

incógnitas.

Tipos de ecuaciones

Algebracias

Trascendentes

La incógnita está afectada por relaciones trigonométricas, logarítmicas,etc

Ecuaciones Algebraicas Si tiene una sola cantidad desconocida diremos que es una ecuación con una incógnita.

Si la incógnita está afectada por las operaciones de suma, resta, producto, potencia o

cociente se llama ecuación algebraica racional

Ecuación algebraica racional Una ecuación algebraica racional es entera si la incógnita no está en ningún denominador

Ejemplos

Una ecuación algebraica racional es fraccionaria si la incógnita está en algún

denominador.

Ejemplo

Si la incógnita aparece en un radicando se dice que es una ecuación algebraica irracional

Ejemplo

Volviendo a la ecuación de la edad de Mariana

2(X-1) = X+1

vemos que reemplazando X por 3 se obtiene la igualdad 4 = 4

En este caso se dice que 3 es solución de la ecuación

Solución de una ecuación Una solución de una ecuación algebraica con una incógnita x es un número x0 tal que, al

reemplazar x por x0 en la ecuación, ésta se transforma en una identidad numérica.

Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución y en tal caso hallar todas las

soluciones.

Factorización Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios 1. Diferencia de cuadrados 2. Suma o diferencia de cubos 3. Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios 1. Trinomio cuadrado perfecto 2. Trinomio de la forma x²+bx+c 3. Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios 1. Factor común 2. Triángulo de Pascal como guía para factorizar

31

132

x

x

51 x

Caso I - Factor común Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

y si solo

si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar): Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término (4x2):

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

: Queda así terminada la factorización:

:

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

Caso X - Divisores binómicos Su proceso consiste en los siguientes pasos.

Posibles ceros

Artículo principal: Divisores binómicos

En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal y se dividen uno por uno. Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo. Si el enunciado es este:

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

Donde se puede notar que como se mencionó anteriormente cada divisor de arriba fue divido por

el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.

Regla de Ruffini (división algebraica) Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 .eso quiere decir que nuestro primer término es x+2 Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a.

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3. Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.

Resultado final El resultado final es el siguiente:

Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.

Caso XI Triángulo de Pascal y factorización Conociendo el desarrollo del Triángulo de Pascal, podemos obtener factorizaciones muy sencillas.

Así por ejemplo, tenemos: Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

El principio es muy similar al que genera la primera fórmula notable, o trinomio cuadrado perfecto.

Ecuaciones cuadráticas Una ecuación con una incógnita se dice cuadrática si es de la forma:

a x2 + b x + c = 0

donde

a 0

b y c son números dados llamados coeficientes de la ecuación.

o cualquier otra equivalente a ella.

El número 365 tiene la característica de ser la suma de los cuadrados de tres números

naturales consecutivos. Indique cuáles son.

x2 x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = 365

x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 365

3 x2 + 6x -360 = 0

Una ecuación con una incógnita se dice cuadrática si es de la forma:

a x2 + b x + c = 0

donde

a 0

b y c son números dados llamados coeficientes de la ecuación.

o cualquier otra equivalente a ella.

Resolución de la ecuación cuadrática

Características de las soluciones de la ecuación cuadrática

Al número b2 – 4ac se lo llama discriminante justamente por el rol que juega

Números complejos Los números complejos aparecen como solución de algunas ecuaciones cuadráticas. En general,

cualquier ecuación de grado mayor que 1 puede tener como solución un número complejo.

Los números complejos están relacionados con la extracción de raíces pares de números

negativos.

Definiremos un número complejo como un par ordenado de números reales

(a; b)

Ejemplos: (3; 5) (-1.922; 0.003) (17.28892; -5.8276)

Igualdad Dos números complejos (a; b) y (c; d) son iguales si y solo si a = c y b = d.

De acuerdo con esto:

(2; √12) = ( ½ √7 + 4√3) + ½ √7 – 4√3 ); 2 √ 3)

Ya que

2 = ½ √7 + 4√3 + ½ √7 – 4√3 ?

√12 = 2 √ 3

Por el contrario

(–1; 1) (1; –1)

Suma y producto

Definimos la suma de complejos como:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

Ejemplos: (2; –4) + (5; 6) = (7; 2)

(–3; 8) + (–1; –4) = (–4; 4)

Definimos la multiplicación de complejos como:

(a; b) · (c; d) = (ac – bd; ad + bc)

Ejemplos: (2; – 4) · (5; 6) = (2·5–(–4)·6; 2·6+5(–4)) = (10+24; 12–20) = (34; –8))

(–3; 8) · (–1; –4) = ((–3)(–1) – 8(–4); (–3)(–4)+8(–1)) = (3+32;12–8 ) = (35; 4)

Propiedades de la suma y la multiplicación Las propiedades fundamentales de los reales se extienden fácilmente a los números complejos.

1. Conmutatividad para la suma:

(a; b) + (c; d) = (c; d) +(a; b)

2. Asociatividad para la suma:

((a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f))

3. Conmutatividad para la multiplicación:

(a; b) · (c; d) = (c; d) · (a; b)

4. Asociatividad para la multiplicación:

((a; b) · (c; d)) · (e; f) = (a; b) · ((c; d) · (e; f))

5. Distributividad:

(a; b) · ((c; d)+ (e; f) )= (a; b) · (c; d) + (a; b) · (e; f)

Sustracción La resta de un complejo (c; d) de otro (a; b) es un complejo (x; y) tal que

(c; d) + (x; y) = (a; b)

Esto implica que

c + x = a y d + y = b

De aquí que

x = a – c y y = b – d

Por lo tanto

(a; b) – (c; d) = (a – c; b – d)

Propiedades de la sustracción Se cumple lo siguiente:

(a; b) – (a; b) = (0; 0)

(a; b) + (0; 0) = (a; b)

Ejemplos:

(3; –5) – (8; 3) = (– 5; – 8)

(10; 14) – (7; 10) = (3; 4)

División

La división de un complejo (a; b) entre otro (c; d) es un complejo (x; y) tal que

(c; d) · (x; y) = (a; b)

Esto implica que

c x – dy = a (1) y dx + cy = b (2)

De (1), x = (a + dy)/c, sustituyendo en (2)

d(a+ dy)/c +cy = b.

d2y + c2y = bc – ad .

Por lo tanto y = (bc – ad )/(d2 + c2) y x = (a + d (bc – ad )/(d2 + c2))/c = (ad2+ac2+dbc-ad2)/((d2 + c2)c)

= (ac+db)/(d2 + c2)

(a; b) / (c; d) = ((ac+db)/(d2 + c2); (bc – ad )/(d2 + c2))

Forma binómica Todo número complejo se puede escribir en la forma

(a; b) = a + bi

Donde i representa (0; 1) y a y b son números complejos (a; 0) y (0; b).

Aplicando la regla de la multiplicación

(0; 1)2 = (–1; 0)

Así que

i2 = –1

Parte real e imaginaria Un número complejo a + bi se compone de dos partes, la parte real a y la imaginaria b. Ambas

partes son números reales.

Se denota la parte real por:

a = R(a + bi)

Y la imaginaria por

b = I(a + bi)

Dos números complejos a + bi y a – bi se llaman complejos conjugados.

El complejo conjugado de un número se designa por A0 o A.

El producto

AA0 = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2

Es un número real y se le conoce como norma de A.

La raíz cuadrada de la norma de A es el valor absoluto o módulo de A y se designa por | A | o

mod(A).

| a + bi | = √(a2 + b2)

O

mod(a + bi) = √(a2 + b2)

Propiedades del conjugado Se cumplen las siguientes proposiciones:

Si C = A + B, entonces C0 = A0 + B0

Si C = AB, entonces C0 = A0B0

Si C = A – B, entonces C0 = A0 – B0

Si C = A/B, entonces C0 = A0/B0

Propiedades del módulo Teorema. El módulo de un producto es igual al producto de los módulos de sus factores.

| ABC…L | = | A||B||C|…|L |

Demostración. Sea X = AB,

XX0 = (AB) (AB)0 = (AB) (A0B0) = (AA0) (BB0)

Sacando raíz cuadrada

√(XX0) = | X | = √(AA0) √(BB0) = |A||B|

Es fácil generalizar para n factores.

Raíz cuadrada de un complejo Sea X2 = A con X = x + iy, A = a + bi. Entonces

(x + iy)2 = a + bi

x2 + 2ixy – y2 = a + bi

O x2 – y2 = a, 2xy = b (1)

pero (x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + 4x2y2

Junto con (1) nos da

√(x2 + y2)2 = x2 + y2 = √( a2 +b2)

De (1) y2 = x2 – a

x2 + x2 – a = √(a2 +b2) o

x2 = (√(a2 +b2) + a)/2 y y2 = (√(a2 +b2) – a)/2

Representación gráfica

Los números complejos son pares ordenados de números reales, por lo tanto podemos

representarlos como puntos en el plano xy.

Forma trigonométrica

Convertir a representación trigonométrica

3 + 2i

–√6 + 4i

–4 – √3i

4 – 3i

Convertir a representación rectangular

8(cos 34º + i sen 34º)

5(cos 142º + i sen 142º)

3.5(cos 245º + i sen 245º)

6(cos 310º + i sen 310º)

Operaciones en forma trigonométrica Sean los complejos

A = r1(cos q1 + isen q1) y B = r2(cos q2 + isen q2)

El producto A · B es:

A·B = r1r2 (cos q1 + isen q1)(cos q2 + isen q2)

= r1r2 (cosq1cosq2+isenq1cosq2+icosq1senq2–senq2senq1 )

= r1r2 (cosq1cosq2–senq2senq1+i(senq1cosq2+cosq1senq2 ))

De cosa cosb–sena senb=cos(a+b) y sena cosb+cosa senb = sen(a+b) obtenemos

A·B = r1r2 (cos(q1+q2) +i(sen(q1+q2))

El módulo del producto es igual al producto de los módulos y el argumento del producto es la suma

de los argumentos.

División en forma trigonométrica Sean los complejos

A = r1(cos q1 + isen q1) y B = r2(cos q2 + isen q2)

El cociente A/B es:

A/B = r1/r2 (cos q1 + isen q1)(cos q2 + isen q2)–1

= r1/r2 (cos q1 + isen q1)(cos (–q2)+ isen (–q2))

Por la regla de la multiplicación

A/B = r1/r2 (cos(q1–q2) +i(sen(q1–q2))

El módulo del cociente es igual al cociente de los módulos y el argumento del cociente es la resta

de los argumentos del dividendo y el divisor.

Soluciones trigonométricas

Desigualdades No debe confundirse con inecuación.

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: ≠no es igual < menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a<b significa a es menor que b; La notación a>b significa a es mayor que b;

Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben

el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a≪b significa a es mucho menor que b; La notación a≫b significa a es mucho mayor que b;

Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. no sabemos

Cuerpo ordenado

Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:

a ≤ b implica a + c ≤ b + c; 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado. Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto. Propiedades de las desigualdades Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados) a ± c < b ± c Ejemplo 2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados) 2 + x − 2 > 16 − 2 x > 14 Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero) a • c < b • c

a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero) a • c > b • c Ejemplo 3 ≤ 5 • x / :5 3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5 Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo: a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a • c > b • c a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a • c < b • c Ejemplo 15 – 3 • x ≥ 39 / −15 − 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3 x ≤ 24: (−3) x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8. De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa. Desigualdades no Lineales Nos referimos a las no lineales como las desigualdades que contienen factores cuadráticos y racionales las cuales resolvemos con la información aprendida en las secciones anteriores (factorización, suma, resta, multiplicación, división y otras). Se utilizan los pasos dados en clase para resolver las desigualdades no lineales. Ejemplo:

Resuelva la siguiente desigualdad: Solución

Para resolver la desigualdad lo primero que debemos hacer es arreglarla de forma tal que el cero quede al lado derecho de la expresión. Luego, factorizamos y buscamos los ceros e investigamos los intervalos para obtener la solución. Es importante verificar la solución o soluciones en la expresión original. Para que la desigualdad se satisfaga existen varias posibilidades: que cualquiera de los factores sea cero o que los factores tengan signos opuestos (uno negativo y otro positivo) para que cuando ocurra la multiplicación el resultado sea menor que cero. Intervalo.

FUNCIONES Y GRÁFICAS

Sistemas de coordenadas rectangulares Es un sistema de referencias respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos

ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y

espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las

coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada,

respectivamente.

SISTEMA DE COORDENADAS LINEAL Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si

está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda

Sistema de coordenadas plano Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en

el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son

las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las

distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas espacial Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X,

Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse

mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las

distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes

YZ, XZ e YX, respectivamente.

Gráficas de ecuaciones El plano cartesiano provee para más que marcar puntos aislados. Se pueden trazar conjuntos de

puntos.

Gráfica: dibujo de los valores de la relación entre variables.

El plano cartesiano provee para más que marcar puntos aislados. Se pueden trazar conjuntos de

puntos.

Gráfica: dibujo de los valores de la relación entre variables.

La relación de variables se presenta con una regla, fórmula o como se le conoce comúnmente,

ecuación

Rectas Ésta es la gráfica de una ecuación de primer grado. Por ésto, a las mencionadas ecuaciones se les

dice “lineales”.

Ejemplo: y = 2x – 5

Observa que y se relaciona con x de forma particular; es decir, según cambia x cambiará la

y.

x es la variable independiente por que se le asignará cualquier valor.

y es la variable dependiente por que tomará valores según indica la regla o ecuación.

Ecuaciones de la recta en el plano Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuación general de la recta es de la forma:

Cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas. Rectas horizontales. Rectas verticales.

Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se

denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto . La ecuación de dichas rectas es:

Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho

eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el

punto . La ecuación de dichas rectas es:

Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de

corte con el eje de abscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que él se denomina ordenada en el origen.

Distancia entre dos puntos Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) . Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1) Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d = esta dada por:

(1) En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de

recta

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero: ;

y

Luego,

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo. El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.

Punto medio Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Construcción geométrica

La manera de obtener geométricamente el punto medio de una parte, mediante regla y compás, se trata en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio, con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta mediatriz.|. Esta «corta» al segmento en su punto medio.

El punto medio de un segmento definido por las coordenadas de sus extremos: (x1, y1) y (x2, y2).

Coordenadas cartesianas

Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas:

el punto medio tendrá por coordenadas:

.

Circunferencia La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador1 La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia

con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida por 2π.;

Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida por π;

Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.;

Secante, es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos; Tangente, es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la

circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Diámetros conjugados

Par de diámetros conjugados en una elipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Punto interior Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, nítidamente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia.

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la recta Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente

Dos circunferencias Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Ángulos en una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del

ángulo exterior que limita dicha base.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que

abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

Longitud de la circunferencia

La longitud de una circunferencia es:

Donde es la longitud del radio. Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria. De la ecuación general de una circunferencia,

Se deduce:

Resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:

. Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar

que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre. Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un punto cualquiera de ℝ2, la ecuación |P - C|= r es la ecuación vectorial de la circunferencia de centro C y radio r .

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas

polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

,

donde t recorre todos los valores reales y se llama parámetro

Circunferencia en topología

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado. Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera. Los topólogos se refieren a ella como 2-

esfera y la indican como . La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado- y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.También el caso de una poligonal cerrada.

Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales

Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría. Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.

Trazado de la recta: método de la tabla de valores Para dibujar la recta basta con tener los pares ordenados para marcar en el plano. Éstos los

obtendremos de la ecuación. Sustituyendo cualquier valor en x obtendremos su pareja y. Cuando

lo hacemos así, estamos construyendo una “tabla de valores”.

Aunque para este ejemplo utilizamos tres valores de x, en realidad con dos es suficiente. De

acuerdo con la Geometría necesitamos solamente dos puntos para dibujar una recta. Así que con

dos valores de x determinamos sus respectivos de y , de manera que tenemos las coordenadas de

dos puntos.

Para nuestro ejemplo obtuvimos tres pares ordenados buenos para tres puntos. Entonces

podemos dibujar la recta.

Trazado de la recta: la forma pendiente – intercepto

Recalcamos que solamente se necesitan dos puntos para dibujar una recta. Es lógico que los más

indicados son los que sus valores de x son 0 y 1. Para nuestro ejemplo serían: (0, – 5) y (1, – 3). En

otras palabras, en la tabla de valores solo escribimos 0 y 1 bajo la x y sustituimos en la ecuación

para obtener los correspondientes valores de y.

La pendiente es la inclinación de la recta:

m = ∆y (desplazamiento vertical, “arriba” o “abajo”)

∆x (adelanto horizontal)

Si la pendiente en la ecuación es negativa, la recta será descendente (hacia abajo) y si es

positiva en la ecuación, la recta será ascendente (hacia arriba). Hay que reconocer que la

pendiente es una razón. Se refiere a desplazamientos arriba o abajo en y contra avance o adelanto

en x.

El intercepto es el punto en el eje de y donde la recta lo interseca (cruza). En forma correcta se le

debe llamar “intercepto en y”, por su significado.

En nuestro ejemplo y = 2x – 5. Entonces, m = 2

y b = – 5; es decir la pendiente es 2, el intercepto es – 5.

Ahora podemos dibujar la recta así:

1. Marcar el intercepto – en nuestro ejemplo, éste es – 5. Marcamos – 5 en el eje de y.

2. Determinar la pendiente – en nuestro caso, es 2 es decir, 2/1. Por lo tanto, a partir del

intercepto, – 5, “subimos” (es positiva) dos unidades y adelantamos una.

Determinación de la ecuación de la recta Por otro lado podemos determinar la ecuación de una recta. Para ésto, basta con observar la

recta, además de recordar la forma pendiente – intercepto. Entonces, procedemos al inverso de

lo que hemos hecho, para formar la ecuación.

Ecuación de la recta Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano. La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su existencia. Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. Ecuación general de la recta Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen

a los números reales ( ); y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

Ecuación principal de la recta Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada. (x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma y − y1 = m(x − x1)

y – b = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. La ecuación que se pide es y = 3x + 10. Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como – y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar 3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – 5x + b Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = – 5 (1) + b 2 = – 5 + b 2 + 5 = b b = 7 Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7 La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7. La cual también podemos expresar en su forma general: y = – 5x + 7 y + 5x – 7 = 0 la cual ordenamos y queda 5x + y – 7 = 0

Pendiente de una Recta Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5. Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1. Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n, 5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula: y – y1 = m(x – x1)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y – y1 = m(x – x1)

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y1 = m(x – x1) y – (–4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = –1(x – 2) 3y + 12 = –x + 2 3y +12 + x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo 1: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y – 2 = x – 1 y – x + 1 = 0

Definición de función

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A

cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en

los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. En álgebra abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,

+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función. Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos:

Tiempo t (s) Distancia d (m)

0,0 0,0

0,5 0,1

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión:

d = 0,33 × t2,

Donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes. Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

Definición

La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto. Dominio de una función El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

Conjunto inicial Conjunto final Dominio Conjunto imagen o recorrido

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera El dominio es R, cualquier número real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la función racional El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones pares

Gráfica de una función par.

Una función par es cualquier función que satisface la relación y si x es del dominio de f entonces -x también. Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y. Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).

Definición formal El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una

función es una función par si para se cumple la siguiente relación:

La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda función:

que cumpla:

La definición de función par presupone que si entonces necesariamente , de

no ser así no se podría definir .

Ejemplo La función:

es par ya que para cualquier valor de x se cumple:

Demostrando que la función es par. Si x=2, entonces:

Funciones impares

Gráfica de una función impar

Una función impar es cualquier función que satisface la relación:

para todo x en el dominio de f. Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen. Ejemplos de funciones impares son x, x3, seno(x), sinh(x), y la erf (x).

Ejemplo La función:

También es impar, ya que:

en este caso la función no está definida en el punto . Si vemos la función:

Podemos ver que:

Y esta función si pasa por el punto (0,0).

Características

La paridad de una función no implica que sea diferenciable o continua.

Propiedades La única función que es tanto par e impar es la función constante que es idénticamente

cero (o sea f(x) = 0 para todo x). La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que una de las

funciones sea el cero. La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es

una función par. La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una

función impar es una función impar. El producto de dos funciones pares es una función par. El producto de dos funciones impares es una función par. El producto de una función par y una función impar es una función impar. El cociente de dos funciones pares es una función par. El cociente de dos funciones impares es una función par. El cociente de una función par y una función impar es una función impar. La derivada de una función par es una función impar. La derivada de una función impar es una función par. La composición de dos funciones pares es una función par, y la composición de dos

funciones impares es una función impar. La composición de una función par y una función impar es una función par. la composición de toda función con una función par es par (pero no vice versa).

Toda función definida sobre toda la línea real puede descomponerse en la suma de una función par y una impar:

La integral de una función impar entre -A y +A es cero (donde A es finito, y la función no

posee ninguna asíntota vertical entre -A y A). La integral de una función par entre -A y +A es el doble de la integral entre 0 y +A (donde A

es finito, y la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A). Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas: f(x) = x2 f(x) = -x2 Primer forma para sacar la raíz: 1) se iguala la ecuación a cero. 2) se factoriza la ecuación. 3) cada factor se iguala a cero. Para graficar la función: 1)se determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 2) obtener los puntos de intersección en el eje x, es decir obtener las raíces de la ecuación. 3) obtener el vértice de la función ya sea por medio de punto medio o utilizando la formula -b/2a. 4) graficar los puntos obtenidos en los puntos 1 y 2 graficar la curva.

Caso especial: si la función es x2 siempre pasa por el origen f(x)=x2-4 f(x)=(x+2)(x-2) x+2=0 x-2=0 x=-2 x=2 Punto medio (-2+2)/2=0 Sustituye valores f(0)=(o*o)-4=-4 en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Raíces

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los

cuales . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como

.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

.

Una solución real doble si el discriminante es cero:

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

Representación analítica

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

Con .

Forma factorizada Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Representación gráfica

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función. A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos

Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

se tiene que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremos Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del

vértice será simplemente: . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: , las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k). ⇔== Determinar la ecuación conocidos tres puntos ==

Partiendo de la forma de la ecuación:

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

se cumplirá que:

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero. Representando el sistema ordenado de forma convencional:

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

Algebra de funciones y combinación de funciones

Algebra de funciones Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x). Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente. Ejemplos para discusión: 1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas. 2) Sea:

Composición de funciones Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:

Donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:

Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.

Notas:

1. El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.

2. Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.

Función uno a uno

Ya sabes que la definición de una función exige que a cada elemento del dominio le corresponda

un solo elemento del recorrido. En caso de que también a cada elemento del recorrido le

corresponda un solo elemento del dominio, se tiene una función uno a uno.

Ilustración de función 1 - 1

Aquí los pares ordenados son: ( -1, -26 ), ( 10, a ) , ( 0, 0 ); para cada valor del recorrido existe un

solo valor en el dominio.

Una función f se dice que es uno si para cada pareja de elementos diferentes en el dominio de f, x1

x2 ,se tiene también elementos diferentes en el recorrido de f, f(x1) f(x2).

La siguiente ilustración muestra una función que no es uno – uno

Aquí los pares ordenados son: (-1, -26), (10, -26), (0, 0). Observa que dos valores del dominio, -1 y

10 corresponden a un mismo valor en el recorrido, -26. Esto es, hay dos pares ordenados que

tienen la misma segunda componente, pero diferentes primera componente.

Cómo determinar que una función es uno – uno cuando dan la ecuación:

Escoge valores arbitrarios; al igualar valores del recorrido se debe obtener los correspondientes

valores iguales para el dominio.

Si f(x1) = f(x2) entonces ver que x1 = x2

Ejemplo1

Ver si F(x) = 2x es una función 1-1.

Considera dos variables dependientes arbitrarios.

F(x1) = F(x2) IGUALES valores del recorrido

2x1 = 2 x2(sustituye la regla)

x1 = x2(al dividir por 2 ambos lados ) IGUALES valores del dominio

F(x) = 2x es una función 1-1.

Para demostrar que una función no es uno-uno basta con ilustrar con un ejemplo para un caso

particular.

Ejemplo 2

Una función creciente o decreciente en todo su dominio es una función uno-uno.

Cómo determinar que una función es uno – uno cuando dan la gráfica:

Usa la Prueba de la línea horizontal: si cualquier línea horizontal toca la gráfica de una función en

más de un punto, entonces NO es la gráfica de una función 1-1.

Ejemplos de gráficas de funciones 1 –1.

Ejemplos de gráficas de funciones que NO son uno-uno.

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que: El dominio de f−1 es el recorrido de f. El recorrido de f−1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. (f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = x Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa 1. Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2. Se despeja la variable x en función de la variable y. 3. Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica. El número a se llama parte real del número complejo. El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos. Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. Representación gráfica de números complejos Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:

1. Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

2. Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Funciones inversas

Funciones exponenciales Definición.

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la

potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6 .

Cuando a>1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función

exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 <a < 1, si x < y ,entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a <1 es estrictamente decreciente en

su dominio.

.

10. Si 0<a<b ,se tiene:

.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando

las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza

la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración

utiliza elementos del análisis real.

Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos

comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de

base a> 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial (fig.1) no está acotada

superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene

al cero como extremo inferior. Esto es, tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero

negativos.

Igualmente, cuando la base a< 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada

superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es

diferente.

Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la

variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a> 1, estrictamente creciente (estrictamente

decreciente cuando 0 <a< 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este

hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia

de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y,

en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Observación.

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras

decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial , se llama: función exponencial de

basee y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = .

Las Funciones Hiperbólicas

En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las

funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con

algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:

,

La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:

,

A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:

A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio

para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6. senh2x =2senhxcoshx

8.

9.

10.

11.

12.

Funciones logarítmicas Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

La igualdad N ,donde N es un número real y , es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:

Dada la base a y el exponente x , encontrar N. Dados N y a, encontrar x. El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos, aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que

N , cuando N y a son reales positivos y . Lo anterior da lugar a la siguiente definición:

Definición.

Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base , denotada

por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a. La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. Teorema ( Propiedades de los logaritmos ) Si a> 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

.

.

Cuando a>1 , si 0 <x <y ,entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a> 1 es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 <a< 1, si 0 <x <y , entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva.

.

Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza) Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. A manera de ilustración, se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.

Sea .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se

tiene: .

Esto es , ( 1 )

En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0

Es decir , ( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .

Sea y , entonces :

( 1 ).

( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : .

Es decir , .

7.Se supone que a > 1 y 0<x<y. Sean : y .Se prueba que

.

En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir

, en contradicción con la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 <a < 1.

Gráfica de La Función Logarítmica

En las figuras 3 y 4, aparecen las gráficas de las funciones e , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

Logaritmo decimal

Gráfica del logaritmo decimal o común.

En matemáticas, se denomina logaritmo decimal, logaritmo común o logaritmo

vulgar al logaritmo cuya base es 10, por lo tanto, es el exponente al cual hay que elevar 10 para

obtener dicho número. Se suele denotar como log10(x), o a veces como log(x), aunque esta última

notación causa ambigüedades, ya que los matemáticos usan ese término para referirse

al logaritmo complejo. El logaritmo decimal fue desarrollado por Henry Briggs.

Propiedades características

Observando la siguiente progresión

se puede deducir fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10:

Los únicos números de este sistema cuyos logaritmos son enteros son las potencias de 10.

Así:

El logaritmo de todo número que no es potencia de 10 no es un entero, sino una

fracción propia o un entero más una fracción propia.

Como y , los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán

un logaritmo mayor a 0 y menor que 1; su logaritmo será un fracción propia.

Como y , los números comprendidos entre 10 y 100

tendrán un logaritmo mayor a 1 y menor que 2; su logaritmo será 1 más una fracción

propia.

Como y , los números comprendidos entre 100 y

1000 tendrán un logaritmo mayor a 2 y menor que 3; su logaritmo será 2 más una fracción

propia.

Logaritmo natural

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque

esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo

neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es

2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a

veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el

número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El

logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real

positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que

justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición

puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales

positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica

de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:

La función logaritmo natural ln:R+→R se define como:

Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad

fundamental de todo logaritmo:

,

Demostración

El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es el

logaritmo con base e, o sea, la función inversa de ex.

Propiedades

Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica

de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:

La función logaritmo natural ln:R+→R se define como:

Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad

fundamental de todo logaritmo:

,

Demostración

El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es el

logaritmo con base e, o sea, la función inversa de ex.

Propiedades

El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así como

las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así como

las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en

el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1

2

3 Las propiedades de las potencias .

a0 = 1 ·

a1 = a

am · a n = am +n

am : a n = am - n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

Resolver las ecuaciones exponenciales:

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman

logaritmos cuya base es la base de la potencia.

Sistemas de ecuaciones exponenciales

Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que

las incógnitas aparecen en los exponentes.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales

1. Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base.

Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:

2. Realizar un cambio de variable .

Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:

Ecuaciones logarítmicasLas ecuaciones logarítmicas

Son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

2

3

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no

tenemos logaritmos nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a

como lo hicimos con las ecuaciones logarítmicas .

Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:

Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.

Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos

Funciones trigonométricas de ángulos

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de

extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia

en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos

periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en

relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de

un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos

valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado

en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como

series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a

valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos

primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se

utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sin (sen)

Coseno cos

Tangente tan

Cotangente ctg (cot)

Secante sec

Cosecante csc (cosec)

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo

rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo

rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo

rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus

ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo

los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a

continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese

rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la

hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre

que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la

hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del

opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto

adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del

cateto opuesto:

Funciones trigonométricas de ángulos notables

0° 30° 45° 60° 90°

sen 0

1

cos 1

0

tan 0

1

Definición para un número real cualquiera

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de para valores

de menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un

triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. Para definir los valores de estas

funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia

unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones

trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P

perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo, medido en radianes, entre el semieje

positivo x y el segmento que une el origen con P.

Teorema o ley del seno, coseno y tangente

Teorema o ley del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes

elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =

72° y a=20m.

Teorema o ley del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados

de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno

del ángulo que forman .

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que

forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las

tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de

longitud 36 m.

Teorema o ley de la tangente

Si A y B son ángulos de un triángulo y sus lados correspondientes son a y

b, se cumple que: