1

EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

PUNTOS

Ejercicio nº 1.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1)

Ejercicio nº 2.-

Representa los puntos siguientes:

A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0)

Ejercicio nº 3.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)

Ejercicio nº 4.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4)

Ejercicio nº 5.-

Representa los puntos siguientes:

A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4)

Ejercicio nº 6.-

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales.

Ejercicio nº 7.-

Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1).

2

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:

A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)

Ejercicio nº 9.-

Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). Halla los otros dos vértices.

Ejercicio nº 10.-

Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo.

RECTAS

Ejercicio nº 11.-

a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:

b) Halla si es posible, el punto de intersección.

Ejercicio nº 12.-

Consideramos las dos rectas:

Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido.

nto.procedimie el Explica 072

01132.

=−−=+−

zyyx

=−−−=+++

0103

zyxzyx

r :

21

21

−+

=+=+ dzyxs :

3

Ejercicio nº 13.-

a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas

anteriores.

Ejercicio nº 14.-

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:

Ejercicio nº 15.-

Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:

Razona la respuesta.

PLANOS

Ejercicio nº 16.-

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:

y es paralelo al plano que contiene a los puntos:

A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3)

Ejercicio nº 17.-

Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:

6101

22y

22242

−=

−+

=−

=+−=−+ zyxs

zyxzyx

r ::

323y

543

21 kzyxszyxr −

==−

=−

=− ::

λ−=λ+=

λ−=

=−+−=+−+

331

3

012012

21

zyx

rzyxzyx

r ::

=+=−=+−

153202

yxzxzyx

( )( ) ( )

=++−=+−+−+−

−=−+−

azayxazayaax

zyxa212

12

4

Ejercicio nº 18.-

Dados los planos:

π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 estudia su posición relativa según los valores de m.

Ejercicio nº 19.-

a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:

π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1).

Ejercicio nº 20.-

Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:

π2: 4x + ay − 2z = 5

RECTAS Y PLANOS

Ejercicio nº 21.-

Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros. Los planos son:

Ejercicio nº 22.-

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:

y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento.

µ+=µ−λ=

µ+λ−=π

21

23

1

zyx

:

=++=++=++

114103322

zymxzyxzyx

=+−+=−+−

043022

zyxzyx

r :

5

Ejercicio nº 23.-

Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el

origen de coordenadas. b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r.

Ejercicio nº 24.-

Se consideran las rectas:

y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). a) Da la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. c) Comprueba que la otra recta es paralela a π.

Ejercicio nº 25.-

Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo:

=−−=−−

=−+=−

0202

01201

zyzx

szyx

r :,:

1120

110

8342 zyxs

zxzy

r =−−

=−

−=−=

::

6

SOLUCIONES PUNTOS

Ejercicio nº 1.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 5, 2), B(1, 3, 0) y C(2, −3, 1) Solución:

Ejercicio nº 2.-

Representa los puntos siguientes:

A(4, −1, 2), B(2, 3, 1) y C(0, 4, 0) Solución:

Ejercicio nº 3.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 0, 2), B(3, 2, 4) y C(4, −1, 3)

7

Solución:

Ejercicio nº 4.-

Representa los puntos siguientes:

A(0, 3, 1), B(0, 3, 0) y C(1, −2, 4) Solución:

Ejercicio nº 5.-

Representa los puntos siguientes:

A(2, 3, −4), B(5, 3, 0) y C(0, 0, 4) Solución:

8

Ejercicio nº 6.-

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(3, −1, 2) y B(−2, 2, 4) en tres partes iguales. Solución:

Ejercicio nº 7.-

Halla el simétrico, P ', del punto P(2, 1, −3) respecto de Q(3, 5, 1). Solución:

Llamamos P '(α, β, γ), de manera que:

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos están alineados:

A(2, a, 0), B(6, 5, 2), C(8, 7, 3)

=

++−−

= 2,31,

31

342,

321,

323P

( ) ( ) ( )

=

++−−

= 4,32,

32

3422,

3212,

3232Q

( )5,9,4'

512

3

952

1

432

2

P

=γ→=γ+−

=β→=β+

=α→=α+

9

Solución:

misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:

Ejercicio nº 9.-

Dos de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, −1) y B(2, −2, 3). El centro del paralelogramo está en el punto M(1, 2, −1). Halla los otros dos vértices. Solución:

Llamemos C = (x1, y1, z1) y D = (x2, y2, z2). C es el simétrico de A respecto de M, por tanto:

Por otro lado, D es el simétrico de B respecto de M. Así:

Los puntos , y están alineados siempre que los vectores y tengan laA B C AB BC

2302

575

6826

−−

=−−

=−− a

14522

5=→=−→=

− aaa

( )1,4,1

112

1

422

0

112

3

11

11

11

−−=

−=→−=+−

=→=+

−=→=+

C

zz

yy

xx

( )5,6,0

512

3

622

2

012

2

22

22

22

−=

−=→−=+

=→=+−

=→=+

D

zz

yy

xx

10

Ejercicio nº 10.-

Los puntos A(3, 0, 2), B(5, −1, 1) y C(−2, 3, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Obten el cuarto vértice y el centro del paralelogramo. Solución:

(2, −1, −1) = (−2 − x, 3 − y, 1 − z) de donde: x = −4, y = 4, z = 2 → D(−4, 4, 2) El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, así:

RECTAS

Ejercicio nº 11.-

a) Investiga la posición relativa de las dos rectas siguientes en el espacio: La primera está dada por x − 5 = y − 7 = z, y la segunda, por los planos:

b) Halla si es posible, el punto de intersección. Solución:

( ):,, Si . que tiene se amo,paralelogr un de trata se Como zyxDDCAB ==

=

23,

23,

21M

nto.procedimie el Explica 072

01132.

=−−=+−

zyyx

( )( )

=•

1,1,1d :dirección Vector0,7,5 :Punto

: recta, Primeraa)r

Rr

( )( ) ( ) ( )

=−×−=−−→−=−==

•2,4,62,1,00,3,2d :dirección Vector

3,1,43,4,1 :Punto: recta, Segunda

s

Szxys

cruzan. se o cortan se y tanto, Por paralelos. son no d y d dirección vectores Los sr sr

11

se cortan.

Sustituimos en uno de los planos que definen a la segunda recta: 2(5 + λ) − 3(7 + λ) + 11 = 0 → λ = 0 Sustituimos este valor de λ y obtenemos P(5, 7, 0).

Ejercicio nº 12.-

Consideramos las dos rectas:

Halla el valor de d para que las rectas se corten. Halla el punto de intersección para el valor de d obtenido. Solución:

• Veamos cuáles son las ecuaciones paramétricas de r :

Un punto de r: y = 0 → x = 1, z = −2 → R(−1, 0, −2) Vector dirección: (1, 1, 1) × (1, −1, −1) = (0, 2, −2) // (0, 1, −1)

• Ecuaciones paramétricas de s:

mismo el en no o está , vector el si vemos otro, lo o uno lo ocurre si averiguar Para RS

las por formada matriz la de tedeterminan el osestudiarem ello Para .d y d que plano sr

. y d ,d de scoordenada sr RS

( )3,6,9 −−−=RS

0123123111

6369

246111

=−=−−−

srsrRS y rectas las que implica que lo , y que plano mismo el en está tanto, Por

λ=λ+=λ+=

z7y5x

:asparamétric en recta primera la Expresamosb)

=−−−=+++

0103

zyxzyx

r :

21

21

−+

=+=+ dzyxs :

λ−−=λ=−=

2

1 : de asparamétric Ecuaciones

zyx

r

12

Un punto: (−1, −1, −d) Vector dirección: (2, 1, −2)

Para que r y s se corten, el siguiente sistema ha de tener solución:

Si d = 1, las rectas se cortan en el punto (−1, −1, −1), (se obtiene al sustituir λ en las ecuaciones de r, o bien µ y d en las ecuaciones de s).

Ejercicio nº 13.-

a) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

b) Comprueba si los puntos A(1, 0, −2) y B(2, −10,−6) pertenecen a alguna de las rectas

anteriores. Solución:

nos informa sobre la posicioón relativa de r y s.

b) Ni A ni B pertenecen a las rectas r y s.

µ−−=µ+−=

µ+−=

21

21 : de asparamétric Ecuaciones

dzyx

s

111

0

221

211

=→−=−−=λ

=µ

µ−−=λ−−µ+−=λ

µ+−=−

ddd

6101

22y

22242

−=

−+

=−

=+−=−+ zyxs

zyxzyx

r ::

( ) ( ) ( )( )

1Vector dirección: d 2, 1, 1 1, 2, 2 0, 5, 5a) :

Un punto: si 0 0, 2 2, 0, 0r

z y x P = − × − = − −

= → = = →

( )( )

−−−=

0,1,2 :punto Un6,10,2d :dirección Vector: 2

Qs

( )0,1,0 −=PQ

PQyd,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 21

0106250

10106102550

≠=−−

⋅=−

−−−−

( ) cruzan. se rectas las tanto, Por tres. es ,d,d de rango El 21 PQ

13

Ejercicio nº 14.-

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas según los valores de k:

Solución:

Ejercicio nº 15.-

Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2:

Razona la respuesta. Solución:

323y

543

21 kzyxszyxr −

==−

=−

=− ::

( ) ( )

( ) ( )( )kRS

kSs

Rr

s

r,3,2

,0,33,1,2d:

0,3,15,4,2d:−=

=→=

=→=

: y d,d de scoordenada las por formada matriz la de rango el osEstudiarem RSsr

31026;26

32312542

=→=+−+−=−

kkkk

se rectas las tanto por es,dependient elinealment son y d ,d vectores los 31 Si RSk sr

=

cruzan. se rectas las ,31 Si cortan. ≠k

λ−=λ+=

λ−=

=−+−=+−+

331

3

012012

21

zyx

rzyxzyx

r ::

( ) ( ) ( )( )

−→−==→=−−−=−×−=

0,1,01,00 si :punto Un3,5,11,1,22,1,1d :dirección de Vector:

1

11 Ryxz

r

14

sobre la posición relativa de r1 y r2:

PLANOS

Ejercicio nº 16.-

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de:

y es paralelo al plano que contiene a los puntos:

A(1, 0, −3), B(2, 1, 4) y C(0, 2, 3) Solución:

El sistema:

Obtenemos el plano que contiene a A, B y C:

−8(x − 1) − 13(y − 0) + 3 (z + 1) = 0 → −8x − 13y + 3z + 11 = 0

( )( )

−−=

0,1,0 :punto Un3,3,3d :dirección Vector:

2

22 R

r

( )0,2,021 =RR

informa nos y d,d vectores los de scoordenada las por formada matriz la de rango El 2121 RR

( ) 012623331

·2020333351

≠=−⋅−=−−−−

−=−−−−−

cruzan. se rectas las tanto, Por 3. es ),d,d( de rango El 2121 RR

=+=−=+−

153202

yxzxzyx

( )1,0,1:punto el solución como tiene

153202

−

=+=−=+−

Pyxzxzyx

( )( )

( )3,13,8n6,2,1

7,1,1 −−=×=

−== ACAB

ACAB

( ) ( ) así: ,1,0,1 por pasa y 3,13,8n normal vector como tiene buscado plano El −−−= P

15

Ejercicio nº 17.-

Determina, en función de a, la posición relativa de los siguientes planos:

Solución:

Estudiamos la posición relativa a partir de los determinantes:

• a = 1

• a = −1

Los tres planos se cortan en una recta.

• a ≠ 1 y a ≠ −1, los tres planos se cortan en un punto.

Ejercicio nº 18.-

Dados los planos:

π: 4x + my + mz = 6 y σ: mx + y + z + 3 = 0 estudia su posición relativa según los valores de m. Solución:

Las ecuaciones de los planos son:

• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si m = 2.

( )( ) ( )

=++−=+−+−+−

−=−+−

azayxazayaax

zyxa212

12

( ) ( )1·1111

212112

223 +−=+−−=−

+−−−−−

aaaaaa

aaaa

corta. los )(1 otro ely )3 y (2 escoincident planos dos Tenemos

111

o

oo

=++−=++−=−+−

zyxzyxzyx

−−−−−

→

−−−−−−−

→

−−−−−−−−

+

⋅+

000010021113

200440081113

111113311113

)1()3(

)1(3)2(aa

aa

−=++=++

364

zymxmzmyx

16

En tal caso, las ecuaciones son:

Los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.

• Si m ≠ 2, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de

rango 2.

Ejercicio nº 19.-

a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos:

π1: 2x − y + z − 5 = 0 y π2: mx + ny + 2z + 3 = 0 b) Obtén la ecuación de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, −2, 1). Solución:

a) Si π1 y π2 han de ser paralelos, se tiene que:

b) El plano buscado ha de ser de la forma: 2x − y + z + D = 0 Si contiene al punto A, debe verificarse: 2 · 3 − 1(−2) + 1 + D = 0 → D = −9 El plano será: 2x − y + z −9 = 0

Ejercicio nº 20.-

Halla la posición relativa de los siguientes planos según el valor del parámetro a:

π2: 4x + ay − 2z = 5

−=++=++

326224

zyxzyx

2,412

12−==→=

−= nmnm

µ+=µ−λ=

µ+λ−=π

21

23

1

zyx

:

17

Solución: π1, expresado de forma implícita, es: 2x + 2y − z = 5 Así, tenemos el sistema:

• Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales si a = 4. En tal caso, los planos son paralelos, pues sus términos independientes no siguen la misma relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incógnitas.

• Si a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el sistema es compatible indeterminado de rango 2.

RECTAS Y PLANOS

Ejercicio nº 21.-

Explica cuál ha de ser el valor de m que hace que el tercer plano de la siguiente familia contenga a la recta definida por los dos primeros. Los planos son:

Solución:

Se trata de hallar el valor de m para que el sistema sea compatible indeterminado. Matricialmente:

recta. Para que el 3er

plano contenga a dicha recta, ha de ser ran(A) = ran(A') = 2.

=−+=−+

524522

zayxzyx

=++=++=++

114103322

zymxzyxzyx

'

1141032

1311

21

A

A

m

una de largo lo a cortan se planos primeros dos los nteefectivame ,021311

Como ≠−=

18

Para estudiar el rango de A' hallamos el determinante siguiente:

Con todo esto podemos afirmar que ran(A) = ran(A'). Para que este rango sea 2, bastará con que |A | = 0:

Conclusión: Para m = 7, el sistema es compatible determinado.

Ejercicio nº 22.-

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta:

y al punto P(2, −3, 1). Explica el procedimiento. Solución:

1º. Hallamos un punto, R ∈ r. Por ejemplo, haciendo x = 0 obtenemos:

R(0, −1, 1)

011410313211

=

7014281032012410132111

=→=+−=−−−++== mmmmm

A

=+−+=−+−

043022

zyxzyx

r :

2 . Hallamos d , vector dirección de :r r

º

( ) ( ) ( )7,3,21,3,11,1,2d −=−×−=r

3 . El vector será normal al plano buscado :rRP d×

º

( )0,2,2 −RP

( ) ( ) ( )2,14,147,3,20,2,2d −−=−×−=× rRP

( ).177n tomar Podemos −,,

19

4º. El plano pasa por P(2, −3, 1) y es perpendicular a (7, 7, −1). Su ecuación será:

7(x − 2) + 7(y + 3) − 1(z − 1) = 0 → 7x − 14 + 7y + 21 − z + 1 = 0

→ 7x + 7y − z + 8 = 0

Ejercicio nº 23.-

Nos dan las rectas r, determinada por los puntos A(2, −1, 1), B(0, 1, −1), y s determinada por C(2, 0, −1) y D(2, 1, −1). a) Escribe la ecuación general (o implícita) del plano paralelo a r y s que pasa por el

origen de coordenadas. b) Escribe la ecuación general del plano que pasa por B y es perpendicular a r. Solución:

Ecuación del plano:

−1x + 0y + 1z = 0 → −x + z = 0

Ecuación del plano buscado: 1(x − 0) − 1(y − 1) + 1(z + 1) = 0 → x − y + z + 2 = 0

Ejercicio nº 24.-

Se consideran las rectas:

y el plano π, que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1). a) Da la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala. c) Comprueba que la otra recta es paralela a π. Solución: a) Obtención del vector normal al plano π:

( ) buscado. plano al larperpendicu vector un es n1,0,1dda)

=−=× sr

( ).1,1,1d normal vector por tiene a larperpendicu plano Unb) −=rr

=−−=−−

=−+=−

0202

01201

zyzx

szyx

r :,:

20

Ecuación del plano:

−1(x − 1) + 1(y − 0) + 0(z − 2) = 0 → π: x − y + 1 = 0

b) Hallamos los vectores de dirección de las rectas:

Por tanto, r corta a π.

Por tanto, s es paralela a π o, acaso, está contenida en π. Hallamos un punto de s: z = 0 → x = 2, y = 2 → S(2, 2, 0) S no pertenece a π, por tanto, s es paralela a π.

Ejercicio nº 25.-

Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s, siendo:

Solución:

El vector de dirección de r se obtiene a partir de los vectores normales a los planos que definen la recta r.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )0,1,1n1,0,02,0,11,0,1

0,1,12,0,12,1,2 −=×=

−=−==−= ACAB

ACAB

( ) ( ) ( )2,1,01,2,00,0,1d −=×=r

( ) ( ) ( )1,1,11,1,01,0,1d =−×−=s

:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿

rr π

( ) ( ) 010,1,12,1,0nd ≠−=−−= ··

r

:n a paralelo no o es d si Veamos? a corta ¿c)

ss π

( ) ( ) 00,1,11,1,1d =−= ·· ns

1120

110

8342 zyxs

zxzy

r =−−

=−

−=−=

::

( ) ( )3,0,1n,2,1,0n 21 −=−=

( ) ( ) ( )1,2,33,0,12,1,0d =−×−=r

:tanto Por .d y d a larperpendicu es buscado plano al ,n normal, vector El sr

π

21

Puesto que π contiene a r, localicemos un punto de π a partir de r: En r, si z = 0, se obtiene y = −4, x = −8. Por tanto, (−8, −4, 0) ∈ π. Ecuación de π:

3(x + 8) − 2(y + 4) − 5 (z − 0) = 0 → 3x − 2y − 5z + 16 = 0

( ) ( ) ( )5,2,31,1,11,2,3n −−=−×=