TEORÍA DE CONJUNTOS 2013

Resuelve los ejercicios

1) Expresar B por extensión:

a) B={1; 3; 5; 7; 9; 11; 13……}b) B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8…….}c) B={0; 2; 4; 6; 8; 10; 12}d) B={0; 2; 4; 6; 8; 10……}e) B={0; 3; 6; 9; 12……} ResoluciónComo n |N = { 0;1;2;3;4; …} se reemplaza valores en x = 2nx = 2(0) = 0 x = 2(1) = 2 x = 2(3) = 6 x = 2(4) = 8 x = 2(5) = 10x = 2(6) = 12x = 2(7) = 14 NO se considera porque x< 13 Conjunto denotado por extensión B = { 0;2;4;6;8;10;12 } Respuesta (c)

2) En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino solamente.Determinar:I. El número de personas que es aficionada al vino solamente.II. El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.

a) 11 ; 19b) 10 ; 19c) 11 ; 10d) 11 ; 29e) 39 ; 48

ResoluciónSean J: Conjunto de personas que son aficionadas al juego. V: Conjunto de personas que son aficionadas al vino.F: Conjunto de personas que son aficionadas a las fiestas.

De acuerdo a los datos, habrá una triple intersección de conjuntos, si usamosun diagram de Venn-Euler, se forman ocho zonas ó áreas (conjuntos), para este gráfico indicadas con números romanos.

Gráfico N°1 – Triple Intersección Autor: Angelo Nervi Solis

Ubicando los datos en las zonas correspondientes (los números que aparecen son la cantidad de elementos de cada conjunto)10 personas que son aficionadas al vino, juego: zona V9 personas aficionadas al juego y vino solamente: zona II11 personas aficionadas al juego solamente: zona I9 personas aficionadas al vino y fiestas solamente: zona VI

Donde n(J): número de elementos del conjunto J, etcCompletando 11+9+10+n(zona IV) = n(J)= 40 → n(zona IV) = 109 +10+9+ n(zona III) = n(V)= 39 → n(zona III) = 1110+10+9+n(zona VII) = n(F)= 48 → n(zona VII) = 19

Número de personas que es aficionada al vino solamente: 11Número de personas que es aficionada a las fiestas solamente: 19Respuesta (a)

3) Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto a sus gustos por distintos tipos de mujeres:

800 preferían las rubias; 950 preferían las morenas; 750 preferían las colorinas; 150 preferían las rubias y morenas; 300 preferían las morenas y colorinas 250 preferían las rubias y colorinas 200 sólo morenas y colorinas

Determine el número de hombres que:I. Preferían los tres tipos de mujeres encuestados.II. No preferían estos tipos de mujeres.a) 150 ; 100b) 250 ; 100c) 100 ; 100d) 1900 ; 100e) 100 ; 50

ResoluciónSean los conjuntosR: Conjunto de hombres que prefieren mujeres rubiasM: Conjunto de hombres que prefieren mujeres morenasC: Conjunto de hombres que prefieren mujeres colorinas

De acuerdo al Gráfico N° 1 200 sólo morenas y colorinas: n(Zona VI) = 200 150 prefieren rubias y morenas: n(II) + n(V) = 150 300 prefieren morenas y colorinas: n(V) + n(VI) = 300 250 prefieren rubias y morenas: n(IV) + n(V) = 250 Como n(VI) = 200, reemplazo en n(V) + n(VI) = 300 n(V) + 200 = 300 → n(V) = 100, reemplazo en n(II) + n(V) = 150

n(II) + 100 = 150 → n(II) = 50 También con n(V) = 100 en n(IV) + n(V) = 250 n(IV) + 100 = 250 → n(IV) = 150

Completando los conjuntos 150+100+50+n(zona I) = n(R)= 800 → n( zona I ) = 500 50+100+200+ n(zona III)= n(M)= 950 → n(zona III) = 600

150+100+200+ n(zona VII)= n(C)= 750 → n(zona VII) = 300

La zona VIII (Conjunto) es el complemento de la unión de los tres conjuntos

n(Zona VIII) = n(U) – n(R∪M∪C) n(Zona VIII) = 200 – (500+50+600+150+100+200+300) = 100 100 hombres prefieren los tres tipos de mujeres 100 hombres no prefieren esos tipos de mujeres Respuesta (c)

4) Sean A = {x / x  ÎN 1 ≤  x < 4}, B = {x / x ÎR  1 ≤  x ≤  3}. Representar A x B en el plano cartesiano. 

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

A

B

2

2

1

3

1 3

B

A

2

2

ResoluciónExpresando el conjunto A por extensiónA = {1;2;3 } esos puntos se ubican en la horizontalPara el conjunto B, lo forman un intervalo cerrado en |R, que se ubicaEn el eje vertical, luego al graficar el producto cartesiano, se obtienen Tres segmentos de rectas, en posición vertical.

5) Sea R : N → N una relación definida por:

R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N}

I. Exprese R como un conjunto de pares ordenadosII. Hallar Dom R y Ran R

a) R={(3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}D(R) = {3;6;9;12}

R(R) = {0;1;2;3;4}

b) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}D(R) = {0;3;6;9;12}R(R) = {0;1;2;3;4}

c) R={(0;4) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0)}D(R) = {0;6;9;12}R(R) = {0;1;2;3;4}

d) R={(0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) }D(R) = {0;3;6;9}R(R) = {0;1;2;3;4}

ResoluciónEl dominio de la relación lo formarán todos los valores queTome la variable “n” y el rango serán los valores que tomaráLa variable “m”.En la expresión n + 3m = 12 despejo “n” , queda n = 12- 3m“m” pertenece a los números naturales |N, reemplazandoPara m=0 → n = 12 – 3(0) = 12m=1 → n = 12 – 3(1) = 9m=2 → n = 12 – 3(2) = 6m=3 → n = 12 – 3(3) = 3m=4 → n = 12 – 3(4) = 0m=5 → n = 12 – 3(5) = -3 NO se toma porque m |N

R = { (0;4) ; (3;3) ; (6;2) ; (9;1) ; (12;0) }Dominio R Dom (R) = { 0;3;6;9;12}Rango de RRan (R) = {0;1;2;3;4}

Respuesta (b)

1) Coloca el símbolo >; < ó =, según corresponda:

………

……….

………..

………..

……….

a) >;>;>;<;=b) >;<;<;<;=c) >;>;<;<;=d) =;>;>;<;=e) <;<;>;>;=

Resolución

2 - √2 ………. √2 - 12 – 1,4142 …. 1,4142 – 1

0,5858 > 0,4142

√3 – 1 …… …. 2 - √3 1,7320 – 1 …… 2 – 1,7320

0,7320 > 0,268

3¼ …………. 3(1/4)13/4 …………. ¾

3,25 > 0,75√(2+√2) ………….. 2√2√(2+1,4142) …… 2(1,4142)√(3,4142) ……… 1,4142

1,8477 < 2,8284

Para la primera expresión se racionaliza(√2 + 1)-1 = 1/(√2 + 1) . (√2 - 1)/(√2 - 1) = (√2 - 1)/[(√2)² - 1²)]= (√2 - 1)/(2 – 1) = (√2 – 1)/1 = √2 – 1Luego

= √2 – 1

Respuesta (a)

2) Si x2 [4; 9] ; ¿A qué intervalo pertenece x?

a) x [2; 6]b) x [4; 9]

c) x [2; 3]d) x [-2; -3]e) x [0; -3]

Resolución

Expresando en inecuación4 ≤ x² ≤ 9Extrayendo raíz cuadrada a cada término√4 ≤ √x² ≤ √9 2 ≤ x ≤ 3

x [2; 3] Respuesta (c)

3) Si: A= [-3; 4> ; B=<-2; 5] y C=[-2; 3] Hallar:(A U B) (C – B)

a) [-∞; -2[b) {-2}c) [-2; 2]d) [-2; +∞[e) ]-2; 2[