EJERCICIOS DE ISOMETRIA

7/17/2019 EJERCICIOS DE ISOMETRIA

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Transformaciones Isomtricas yMMaatteerriiaall NNMM11 GGeeoommeettrraa -- PrProoff.. MiMigguueell AA.. RRuuzz RReeyyeess..

In troduc ci n

Tr a nsf orm a c ion e s Isom t ric a s A cti!id ad " En los siguientes pares de transformaciones, reconoce aquellas en las quela forma y el tamao.

Unat

ransformacin

deunafigur

ageomt


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ricaind

icaque,dea

lgunamanera,ellaes

alterad

aosometida

aalgncambio.

En una transformacingeomtrica es necesariotener presentes treselementos:

La figura original La operacin que describe el cambio La figura que se obtiene despus del cambio

Laf

iguraquese

obtienedespu

sdelc


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ambioes

laimagende

lafiguraoriginala

travs

delaoperaci

ndescrita.

La operacin que describe elcambio es unatransformacin geomtrica.

En esta guadescribiremos

trestipos

de transformaciones geomtricas, llamadatransfo

rmacionesiso

mtricas.

# ef in ic in "

L

astran


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sformacionesisomtricassoncam$ios de

%osicin!orientacin" deunafiguradeterminada &ueN'alter

an laforma nieltama(o desta.

Entrela

stransformac

ionesisomtr

icases

t#nlas

traslaciones)

lasrotacion

es!og


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iros"y

lasrefle*ion

es!osimetr

as",qu

eser#n

vistasacont

inuacinyqu

esues

tudiose

r#pie$afund

amentalpara

lapost


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eriorco

mprensinde

contenidostalescom

olaste

selacioneso

em$aldosados.

E s qu e m a o % ap a& o n cept u al d e la Un i d a d


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1. T ra s la cione s

Las traslaciones) son aquellas isometras que permite despla$ar en lnea recta todoslos puntos del plano. Este despla$amiento se reali$a siguiendo una determinada direccin) sentido ydistancia, por lo que toda traslacin queda definida por lo que se llama su +!ector de traslacin,.

#ireccin" 'ori$ontal, vertical u oblicua.entido" (erec)a, i$quierda, arriba, aba*o.

#istancia o Magnitud de des%lazamiento" Es la distancia que e+iste entre el punto inicial ylaposicin final de cualquier punto de la figura que se despla$a.

/em%lo" El punto A se )a trasladado )asta coincidir con el punto 0.

Esta traslacin se reali$ en d i r e c ci n vertical, el s e nt i d o fue )acia aba*o yla d i s t a n c i a o m ag n it u d A0 fue de cms.

' $ ser !a cion e s

1 Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares.2 Una figura *am#s rota- es decir, el #ngulo que forma con la )ori$ontal no vara.3 o importa el nmero de traslaciones que se realicen, siempre es posibleresumirlas en una nica./0 En el plano cuyo centro es el punto con coordenadas 1!2,2", toda traslacinqueda definida por el vector de traslacin T4*)y5, 3er e*e coordenado.

/em%los

4. 5&u#l!es" de los siguientes casos representa!n" una 6raslacin7

8" 9lo ;" 9lo &" 9lo (" 9lo y E" 9lo y

, ? /";" 6!>, /"&" 6!/, ?42"(" 6!42, /"E" 6!42, ? /"

/. Luego de aplicar una determinada 6raslacin en el plano cartesiano, el @ 8;& de v- ; !?4, 4" y & !4,A" se transforma en el @ 8B;B&B. 9i sabemos que la abscisa dordenada de ;C es D =, 5&u#les son las coordenadas de &B7

8" !


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2. R ot a cion e s

Las rotaciones) son aquellas isometras que permiten girar todos los puntos del plano.&ada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un #ngulo bien determinados, por loque toda rotacin queda definida por su centro de rotacin y por su 6ngulo de giro. 9i la rotacinse efecta en sentido contrario a como giran las manecillas del relo*, se dice que la rotacin es%ositi!a o anti7oraria8 en caso contrario, se dice que la rotacin es negati!a u 7oraria.

' $ s er !a cion e s

1 Una rotacin con centro y #ngulo de giro F , se representa por G !, F ". 9i la rotacines negativa, se representa por G !, ?F".2 9i rotamos el punto !+, y" con respecto al origen 2 !2, 2" en un #ngulo de giro de H20, 4>20,


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!?20 de centro1.2 Los tra$os de la figura original son paralelos con los tra$os )omlogos de la figuratransformada.3 El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas delrelo*.4 6odo punto del plano cartesiano 8!+, y" tiene su simtrico 8K!?+, ?y" con respecto al origen 1!2,2".

/em%los

4. 8 la figura se le aplic una simetra obtenindose la figura sombreada con respecto al

punto: 8" L;" %&"

(" NE" 1


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3.2 im e tra A * ia l

(ada una recta fi*a L del plano , se llama simetra a*ial con res%ecto a @ o refle*in conres%ecto a @) a aquella isometra tal que, si y C son puntos )omlogos con respecto a ella,C L y, adem#s, el punto medio de C est# en L. La figura, muestra dos tri#ngulos simtricosrespecto de L.


1 En una simetra a+ial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas delrelo*.2 o es posible superponer, mediante traslaciones yOo rotaciones, los tri#ngulos congruentes JGyCJCGC.3 Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante estarefle+in. 6odo punto del plano cartesiano 8 !+, y" tiene un simtrico 8C!+, ?y" con respecto al e*e delasabscisas y un simtrico 8CC!?+ , y" con respecto al e*e de lasordenadas.

/em%los

4. 5En cu#l de los siguientes casos se verifica una simetra a*ial con respecto aL7


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/e # e im e tra

Es aquella recta que atraviesa una figura dividindola en dos partes simtricas con respecto ala recta.

'$s er!aci on es

1 E+isten figuras que no tienen e*e de simetra.2 E+isten figuras que tienen slo un e*e de simetra.3 E+isten figuras que tienen m#s de un e*e de simetra. La circunferencia tiene infinitos e*es de simetra.

@ 8;& equil#tero = e*es de 9imetra Esta figura no presenta e*es de simetra

8lgunos e*emplos de e*es de simetras en la naturale$a:

8l observar la mariposa y el escaraba*o, diremos que cada uno es simtrico, pues altra$ar una lnea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara la imagen presentada poresta lnea, la parte que est# a la derec)a de la lnea sera e+actamente igual !congruente" a la parteque est# a la i$quierda de sta, de tal manera que esas dos partes coincidan.

/em%los

4. 5&u#ntos e*es de simetra tiene un

cuadrado7 8" Uno;" (os&" &uatro

(" 1c)oE" nfinitos


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T e s e la cin # e l Pla n o

Es la entera divisin del plano mediante la repeticin de una o m#s figuras que enca*anperfectamente unas con otras, sin superponerse ni de*ando espacios vacos entre ellas. Estaparticin del plano suele llamarse tambin mosaico o em$aldosado.

En resumen, embaldosar o teselar, significa recubrirel plano con figuras que se repiten de modo que:

8l unir las figuras se recubre completamenteel plano

La interseccin de dos figuras sea vaca !sin)uecos"

1. Tes elaci nRegular

Los nmeros que se encuentran en cada una de las figuras indican cu#ntos polgonoqu tipo son necesarios en cada caso, por e*emplo: !=,=,=,=," significa que una teselacin semi?regular tomando como patrn base cuatro tri#ngulos y un )e+#gon

La 6eselacin regular es el cubrimiento delplano con polgonos regulares y congruentes.9on slo tres los polgonos regulares quecubren !o embaldosan" el plano Euclideano: el

tri6ngulo e&uil6tero) el cuadrado y el7e*6gono regular.

8l observar estas partes del planoembaldosadas por cada uno de lospolgonos regulares, distinguimossituaciones que conviene destacar.

8l embaldosarcon cuadrados,estos se alineanperfectamente unosobre otro, encambio los

tri#ngulos y los)e+#gonos seensamblan noalineados. 6ambinse observa que un)e+#gono regular loforman seistri#ngulosequil#terossimult#neamente.

8l cubrir el planoocurre que en cadavrtice del polgonoregular, su #ngulointerior debe serdi!isor e*acto de3>:, lo que ocurresolamente en eltri#ngulo equil#tero,

en el cuadrado y en el)e+#gono.

2.Teselacinemi-Regular

Una 6eselacin semi-reguque est# formada por polgonomanera que la unin de ellos cada vrtice Las siguientes oclas nicas combinacionesregulares que permiten completamente el plano:


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E+isten otras combinaciones de polgonosregulares que aparentemente pueden cubrirel plano, pero sin embargo slo logran cubrir elentorno del punto, es decir, no es posiblee+tenderlas indefinidamente.


40 6odos los tri#ngulos y todos loscuadril#teros teselan por si mismo el plano.


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/em%los

/. 5&on &u#les de los siguientes polgonos se puede cubrir completamente !teselar" elplano7 " " "

4

.

E

s

i

m

p

o

s

i

b

l

e

t

e

s

e

l

a

r

e

l

p

l

a

n

o

u

t

i

l

i

$

a


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n

d

o

s

o

l

a

m

e

n

t

e

u

n

:

8

"

(

e

l

t

o

i

d

e;"Gom

boide&"6rape

$oide("

ent#gonoregularE"'

e+#gonoregul

ar


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ocono

con("9l

oconocon

E"

&on,co

nocon

=.Lassigui

entesf

iguras est#n construidas a partir de uncuadrado. 9i los sacados y agregados soncongruentes en cada figura, 5con larepeticin de cual!es" de ellas es posibleteselar el plano7

'e+#gono Gegular

&uadril#tero &ncavo

1ct#gono Gegular

8"9locon;"9locon

&"9l


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ocon("9locon

yE"9lo

con

y

A.El

problemadecubrircompletamente!teselar" el

planoconpolgonosregularesdenlados

tienesolucinsloparan

8" =, / y A;" =, / y &" =, / y >(" =, A y >E" /, y >

. 5&u#l de las siguientes afirmaciones esverdadera respecto de la condicin que debe

cumplir un polgono regular para que puedateselar una superficie7

8" La medidade cada uno desus #ngulosinteriores esdivisor de

4>2T. ;" Lamedida decada uno desus #ngulosinteriores esdivisor de=2T. &" 9lolos cuadradosy los tri#ngulos

equil#terospuedenteselar.(" &ualquier polgono regular puE" (epende de las caractersticpolgono.

olu cion e s a los e/e m %los

6raslacin:

Gotacin:

24. E

24. (

2


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BR?I?I' ?' MP@MNTARI' I som e tr a s y T e s e lad os

4. 8l segmento AB , cuyas coordenadas son 8!


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>. 5Ju transformacin se efectu a la figura 8 para obtener la Qigura ;7

8" 6raslacin;" 9imetra a+ial&" 9imetra central(" GotacinE" inguna de las anteriores

H. 5En cual de las siguientes opciones la recta punteada no es un e*e de simetra7

42. 8 la figura 8 se le )a efectuado una rotacin en sentido positivo de H2T en torno al punto .5&u#l de las siguientes opciones representa la imagen obtenida7

44. 8l trasladar el punto G!?A,=" se obtiene el punto 9!2,2". 5&u#l es el vector de

traslacin7 8" !A,=";" !A,?="&" !42,="(" !?42,="E" !?42,?="

4


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4A. 9i al punto de coordenadas !>,?


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!?. Una circunferencia tiene como centro el punto !=,A". 9i el vector de traslacin de este puntoes!A, 4", 5&u#l es el centro de la circunferencia trasladada7

8" !?,"&" !?,/"

=H. (ado un tri#ngulo de vrtices 8 !?A,?="- ; !";" !>,,="(" !>,I"E" !I,>"

/


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/. 9i se rota en


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A4. 9i el tra$o 8;, ubicado en un plano cartesiano, de e+tremos 8!20, luego se gira H20 m#s y finalmente se gira otros H20, lose+tremos del tra$o resultante son:

8" !A,


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AA. Un tablero de a*edre$ est# formado por cuadrados ordenados en > columnas identificadas conlas letras 8, ;, &, (, E, Q, R, ' !de i$quierda a derec)a" y > filas, identificadas con los nmeros =, /,A, ,I, >. !de aba*o )acia arriba", luego: 5Ju vector de traslacin se debe aplicar a un caballo queparte en la posicin ;4 para que llegue a la casilla &=7

8" !2, =";" !4, ="&" !4,


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AH. En el sistema cartesiano se le aplic una traslacin al segmento 8; obtenindose el segmento8K ;K. 9e puede determinar el !ector de traslacin si:

!4" 9e conocen las coordenadas de 8 y ;K.!


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4. El cuadrado 8;&( de la figura )a sido transformado, mediante un vector traslacin) enel cuadrado ac)urado. 5&u#l!es" de las afirmaciones siguientes es!son" verdadera!s" 7

" El vector traslacin fue 6 !


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"pors

sola.;"!2T con centro en ;" Una rotacin de H2T respecto de &" Una simetra respecto del punto (" Una traslacin igual a la altura de la figura

E" Una simetra respecto del e*e L

I>. (e los siguientes cuerpos geomtricos, 5cu#l es producto del giro en 4>2T del trapecioissceles8;&( con e*e de giro en el e*e de simetra L7

IH. En la figura, la imagen refle+iva del punto &, con respecto al e*e de simetra ypunto:

8" !20 con e*e en una de sus alturas.

Es !son" correcta!s":

8" 9olo ;" 9lo y &" 9lo y (" 6odasE" inguna

>


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>=. 8l punto de coordenadas !/. En la figura, la imagen del punto respecto del e*e de simetra P, es el punto de

coordenadas: 8" !?/,/";" !?/,?/"&" !/,/"(" !2,/"E" !/,?/"

>A. En la figura, el tri#ngulo tiene vrtices 8!?4,?;" Un cilindro de radio &" Un cilindro de altura >(" Un paraleleppedoE" Un cono de radio =

>I. El vector de despla$amiento que se aplic a la figura Q para transformarse QK es:

8" !/,4";" !?4,?/"&" !4,?/"(" !?/,?4"E" !?/,4"

>>. 6eniendo como base una figura geomtrica, se requiere cubrir completam!teselar" sin que se produ$can vacos ni superposiciones. 5&on cu#l!es" de las siguienes %osi$le 7acerlo en las condiciones descritas7

" ent#gono regular " Gect#ngulo " 6ri#ngulo esca

8" 9lo ;" 9lo &" 9lo (" 9lo y E" 9lo y

>H. La ilustracin de la figura muestra un detalle de una de las obras de Esc)er. Estpuede considerarse:

8" 6eselacin de dos figuras base con rotaciones de 2T;" 6eselacin de una sola figura base que )a sido transformada por traslaciones.

&" 6eselacin de una sola figura con rotaciones y traslaciones.(" 6eselacin de dos figuras base que )an sido transformadas porsimetras. E" 6eselacin de dos figuras base con isometras de traslacin


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H2. 5&u#l de los sgtes. puntos es simtrico al punto de coordenadas !?A,=" con respecto al e*e + ?=7

8" !A,=";" !?A,?H"&" !?2T de " 9 se obtiene por rotacin de G de 4>2T en el plano

Es o son correctas:

8" 9lo ;" 9lo &" 9lo y (" 9lo y E" inguna

HA. En la figura siguiente, respecto del cuadrado !4", el cuadrado !


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HI. (e los siguientes cuerpos geomtricos:" Esfera " &ubo " &ono

5&u#l!es" de ellos se puede!n" obtener por rotacin de una figura

plana7 8" 9lo ;" 9lo y &"9lo y ("9lo y E", y

H>. La figura est# formada por un cuadrado y cuatro semicircunferencias congruentes, cuyosradios equivalen a la mitad del lado del cuadrado.

&on respecto a esta figura se afirma que tiene:

: 9imetra a+ial.. 9imetra central.. (os e*es de simetra.

Es !son" correcta!s":

8" 9lo .;" 9lo y .&" 9lo y .(" 9lo .E" , y .

HH. 9i a la imagen de la figura se le reali$an, sucesivamente, las transformacionesisomtricas siguientes:

4T Una simetra respecto del e*e vertical.2T.

9e obtiene:

422. El punto !a Db,


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E" !< D + , 4 Dy"

42I 5&u#l!es" de las siguientes transformaciones permite!n" transformar el rec


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42=. 6odos los cuadrados de la figura son congruentes. 5&u#ntos e*es de simetra tiene la figura7

8" ;" /&" =("

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