Ejercicios 7 (Equilibrio de cuerpo rígido en 2 D).pdf

5/17/2018 Ejercicios 7 (Equilibrio de cuerpo rgido en 2 D).pdf

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Apoyo 0 conexion Heaccion Numero deincognitns~L (alanem Superfioie Fuerza con lmeasin friecion de aceion conocidaodillos.o patines

Cable corte Eslabon corto Fuerza con lineade acclon conoeida

1

ro ll ar in s ab re unabarra sin Iriccion Perno sin [riccionen una r u n uralis a

I

90" /~

iIIiFuerza CUll lineade accion conocida

1

lernosin friccion,articulacion a liisagra. Superftcie rugosa Fuerza dedirecciondesconocida .Apoyo jO Fuerza y pa r

3

Figura 4.1 Reacciones en apoyos y conexiones.

CHanda elsentido de una fuerza 0 un par desconoeido no es evi-dente, no se debe intentar determinarlo. En lugar de ella, se supondraarbitrariamente el sentido de la fuerza oel par; e1signo de lasuposi-cion obtenida mdicara si la respuesta fue correcta o no.

4.3. Reacciolles ell los puntos de apoyo y 161conexlones de una estructura bidimensional ..


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PROBLEMA RESUELTO 4.1Una gniafija tiene una masa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de2.400 kg. La grua se mantiene en su lugar por media de un perno en A y unbalancm en B. EI centro de gravedad de hi gnla esta ubieado en C. Detet-mine las componentes de las reaccioneserr A y B.

SOLUCIONDiagrmna de cuelpo libre. Sedibuja un diagram a de cuerpo librede la grua. Si multipliea las masas de la gruay de la caja porg = = 9.81 m/s'\se.ohtienen sus respectivos pesos, estoes, 9 810 N 0 9.81 kN Y23500 )J 0

23,5 kN. La reacei6n en el perno A es una fuerza con direeci6n desconoci-da, esta se. representa porsus componentes A x yAy. La reaccion en el ba-lancfn B es perpendicular asu superflcie, por tanto,clichareacci6n es hori-zontal. Se supone que A x , Ay y B actuan en.las direcciones mostradas en lafigura.

Determinacion de B. Se expresa que la suma'de los mementos detodas las Iuerzas externas con respectoal punta A es igual a cero, L > \ ecua-cion que senbtiene no contiene a A".ni a L\ puesto que los mementos deA x yAy eonrespecto a A son iguales a cero. Si se multiplica la magnihld decada fuerza por sudistancia perpendicular a partir de A, se escribe+~2:1\{'\= 0: B(1.5 m) - (9.81 kN)(2 m) - (23.5 kN)(6 m) "'"0

B = +107.1kN . B = 107,1 k : : - . J _ . . . .Como el resultado es positive, la reaccion esta dirigida en la forma que se su-pnso,

Determinacion de A.,. La magnitud de A x sedetermina con la sumade lascomponentes horizon tales de todas las fuerzas 'extemas, la cual es igmilacero.

A.i+B=OAx + 107.1 kN =0A x = -107.1 kN

Como el resultado es negative, el sentldo de A x es opuesto al quese habiasupuesto originalmente.

Determinacion de .4 .y La .surrrade Iascomponentes verticales tam-bien debe ser igual a ceroAy - 9.81 kN - 23.5 kN= 0Ay = +33.3 kN A ,f = 33.3 k l ' - < i < I I I

Sumando veetorialrnente las componentes A " yAy se encuentra que lareaceion en A es 112,2 kN ~17.3.Comprobacion. Los valores obtenidos para las reacoiones sepuedencomprobar reeordando que Ia suma.de los mementos de todas la s fuerzas ex-ternas con respecto a cualquier punt6 debe ser iguala cera. Por ejemplo,eonsiderando a l punto B, se escribe. .

+~~MB = -(9B1 kN)(2 m) - (23.5 kN)(6 m ) + (107.1 kN)(1.5 rn) = 0


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PROBLEMA RESUEL TO 4.2Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en 1a figura. La viga .seapoya en un rodilloen A yen un perno en B. Sin tomar en cuenta el pesode la viga, determine las reaeciones en A y B cuando P = Ifikips.

SOLUCION1 1 kips Diagrama de CUCl'pO Iibre. Se dibuja un diagram a de cuerpo librede la viga. La reaction en A es vertical y se representa Call A. La reacci6nen B se representa con las componentes B, y By . Se supone que cada com-ponente aetna en la direcci6n mostrada en la figura.

Ecuaciones de equilibrio. Se escriben las tres ecuaeionesde equili-brio siguietites y se resuelven para las reacciones sefialadas:B; =0

+~~j\1.4=0:- (15 kipsl(3 ft) + By(9 ft) - (6 kips)(ll ft) - (6 kips)(13 ft) =0B y = +2LO kips fly =21,0 kips r < I I I

+~~MB = 0:-,4(9 ft) + (15 kips)(6 ft) - (6 kips)(2 It) - (6 kips)(4 ft) = 0

A = +6.00 kips A = 6.00 bps i ..

Comprobac ion. Se compruaban los resultados sumando las cornpo-nentes verticales de todas las fuerzas externas.+i~Fy =+6.00 kips - 1.5kips + 21.0 kips - 6 kips - 6 kips =0

Ob8crvaci6n. En este problema las reacciones en A y B son vertica-les, sin embargo, las razones de 1 0 anterior son diversas. En Ala viga 5e apo-ya en un rodillo; por tanto, la reacci6n no puede tener una componente ho-rizontal. En B, la componente horizontal de la reaccion es igual a cero debidoa que se debe cumplir la ecuacion de equilibrio ~F x = by a que ninguna delas otras fuerzas que actuan sobre la loigatiene una cornponente horizontal.A primera vista s c i hubiera podido observar que la reacoion en B era ver-tical y se pudo haber ornitido la componente horizontal Bx. Sin embargo; es-ta practica no es conveniente. Al seguirla,se corre.el ri.esgo de olvidar a lacomponente.B, cuando las condiciones de carga requieran su presencia (es-to es, cuando se incluye una carga horizontal). Adernas, se encontr6 que lacomponents B,-es igual a cero utilizando y .resolviendo una ecuaci6n de equi-librio, ~F~ =O.Al dar por hecho que B, es igual acero, es posible no per-catarse de que en realidad se ha hecho usa de esta ecuaci6n y , por tanto, sepodria perder la relacion del mimero de ecuaciones dispontbles para resol-ver el problema.


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PROBLEMA RESUELTO 4.3Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un carril que forma un an-gulo de 25 con respecto a la vertical. El peso total del carro y su carga esde 5 500 lb y este acnia en un punto que seencuentra a 30 in. del carril yque es equidistante a los dos ejes. EI carro se sostiene por medio de un ca-ble que esta unido a este en un punto que se encuentra a 24 in. del carril.Determine Ia tension en el cable y la reaccion en cada par de ruedas,

SOLUCIONDiagrama de {~uerpo libre. Se dibuja el diagrama de cuerpo libredel carro, La reaccion en cada rueda es perpendicular al carril y la fuerza detension T es paralela a este, Por conveniencia se selecciona al eje x paraleJoal carril y al eje y perpendicular al rnismo, Entonces, el peso de 5 500 lb sedescompone en sus componentes x y y .

w, = +(5500 Ih) cos 25 =+4980 Ibw , = -(5500 Ib) sen 25 = -2320 lb

Ecuaciones de equilibrio. Se toman mementos con respecto a A pa-m eliminar a T y a Rl de Ius calculos, '

+~k}'(4 = 0: -(2.320 1b)(2.,)in.) - (4 9S0 Ib)(6 in.) + R2(50 in.) = U112= + 1 7 .': 18 lb R2 = iSS Ih J" ...

Ahara, tomando momentos can respeeto a B para elirninar a T y a R2 de loscalculus, seescrihe+\2M!l = 0: (2.320 Ib)(25 in.) - (4980 Ib)(6 in.) - R1(5 0 in.) =0

R. = +.5621b HI = Sf\2 Ih? ...

4980lb

El valor de T se obtiene a partir de"-+kFx= 0: 4 980 Ib - T = = 0

T = +4980 Ib T =4 980 Ib "'" ...Los valores encontrados para las reacciones se muestran ell el croquis ad-junto.

Comprobaci6n. Para corroborar los calculos se escribeJ"+kFy = +S621b + 1 7 .58 Ib - 2320 lb =0

Tambien pudo haberse verificado la soluci6n calculando los mementos conx respecto a cualquier punta distinto de A 0 de B.


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PROBLEMA RESUELTO 4.4EJ marco mostrado es la figura sostiene. una parte del techo de un pequeiioedificio, Se sabe que la tension en e1cable es de 150 kN, determine la reac-cion en el extrema fijo K

SOLUCI6NDiagrama de cuerpo librc. Se dibuja el diagram a de cuerpo libredel marco junto con el cable BDF. La reacci6n en el extreme fijo E esta re-

presentada can las componentes.de fuerza E,}, Eyy por el par ME. Las otrasfuerzas que actrian sobre el diagram a de cuerpo hbre son las cuatro cargasde 20 kN }' la fuerza de 15{)kN ejercida en e1extremo F del cable.Ecuaeiones de equilibrio. Observe qll DF = V (4.5'm? + (60'1)2 =7.5 In, se escribe

E. + 4.5(150 kN) =0, 7 .5 "Ex = -'90.0 kN E, =90.0 kN - " I l l

E 'I - 4(20 kN) - 7~)(150 kN) =0E y = +200 kN E !J = 200 kNI " I l l

+~LME = 0; (20 kN)(7.2 m) + (20 kN)(5.4 m) + (20 kN)(3.6 m)+ (20kN)(1.8 m) - 7~5(1S0 kN)(4.S m) + ME =0

ME = +180.0 kN m

PROBLEMA RESUELTO 4.5Un peso de 400 lb se une a la palanca rnostrada en la figura en el punto A.La constante del resorte Be es k = 250 lb/in. y este no se encuentra defor-mado cuando 0 = O . Determine la posicion de equihbrio.

SOLUCI6N

Posicion sindefonuar

r{

Diagraroa del cuerpo libre. Se dlhuja el diagrama de cuerpo librede la palanca junto al cilindro. Represente con s fa elongaci6n del resorte apartir de la posicion en que este no se encuentra deformado }' observe ques = rO , se tiene que F = ks "" kriJ.Ecuaci6n de equilibrio. Silmando los momentos de W y de F COil

respecto a 0, se escribeF~'ks +~~Mo = 0; wI sen 8 - r(kr6) =0 k ? -Se n 0= -0WI

Sustituyendo los datos numericos que fueron proporcionados se obtienesen 8 = (2. '50 IbJin.)(3 in.)2 0

(400 Ib)(8 in.) sen 0 = 0.7030Al resolver numericarnente, se encuentra f) =() 0 =80.3 < I I I


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RESOLUCION DE PROBLEMASEN FORMA INDEPENDIENTE

Se vio que las fuerzas externas que acnian sobre un cUeJpo rigido que se encuen-tra en equilibria forman un sistema equivalente a cero. Para resolver un problemade equilibrio Ia primera tarea consiste en dibujar un diagrama de euer-po ltbre quesea claro y de tamafio razonable en el cual se muestren todas las fnerzasexternas.Sc deben'incluir tanto las fuerzas conocidas como las desconocidas.

Para un cuerpo rigido bidimensional, las reaeeiones en los apoyos pueden invo-luorar una, dos 0 tres incognitas dependiendo del tipo de apoyo de que se tratc(figura 4.1). Un diagrama de cuerpo libre es esencial para resolver de manera co-rrecta un problema. Nunea se de be continuar con la solucion de un problema mien-tras no se este seguro de que en el diagrama de euerpo libre estan presentes todaslas cargas, todas las reacciones y el peso del cuerpo (cuando esto ltltimo sea apro-piado].Cuando se construya el diagram a de ClJeIPO libre sera necesario asignar direccio-nes a las reacciones desconocidas. Se sugiere suponer siempre que estas fuerzas ae-tuan en una direccicn positiva, de forma que las respuestas positivas siempre im-pliquen fuerzas actuando en una direcci6n positiva, mientras que los resultadosnegativos impliquen siernpre fuerzas que acttian en una direccion negativa. De for-ma Similar, se recomienda suponer siernpre que la Iuerza desconocida en una ba-rra 0 cable es de tension, de rnanera que una respuesta positiva siempre signifiqueuna reacci6n de tension. Par otra pa..rte, mientras que una reaccion negativa 0 com-

. presiva es posible para una barra, es imposibJe para un cable y, por tanto, una res-puesta negativa en este ultimo Cf1.~Oimplicara un error ell la solucion al problema.

1. Se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio y resnlverlas para ires in-cognitas. Las tres ecuaeiones pueden ser

2 : F = 0'f 2: .1\[0 =0Sin embargo, existen variosconjuntos de ecuaoiones que se pueden escribir, talescomo

" 2 . M B =0donde el punta B se selecciona de manera que la linea AB no sea parale 1a al e.le y , 0

2:Mc = 0donde los puntas A o Bye no se encuentran sabre una linea recta.

2. Para simplificm 1" soludon resulta conveniente utilizar alguna de lastecni-cas de soluci6n que se presentan a continuaoion, siernpre y cuanda sean aplicablesa t caso en consideraci6n.


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a)Sumar momentos con respecto al punto deintersecci6n de las ltneasde accion de dos fuerzas desconocidas, se.obtiene una ecuaci6n que involucra a unasola incognita.

b) Sumar componentes en direcclon perpendicular ados fuerzas para-lelas que son desconocidas,_S8 obtiene una ecuacion que involucra a una sola in-c6gnita.Enalgunos de los siguientes problemas S8 pedira detenninar el r an go p ermisib le d ecalores de la carga aplicada para un conjunto de restricciones dadas, como la reac-cion maxima en un apoyo 0 la fuerza maxima en uno 0 mas cables 0 barras. Para pro-blemas de este tipo, prirnero se supone una situacion de carga maxima (por ejem-plo, la fuerza maxima permitida en una barra), y despues se aplican las ecuacionesde equilibria para determinar las reacciones desoonocidas correspondientes yla car-ga aplicada. Si las reaccionessatisfacen las restricciones, entonces la carga aplicadaes el valor maximo 0 minimo delrango permisihle. Sin embargo, si la solucion violaalguna restriccidn (por ejemplo, la fuerza en un cable es compresiva), la suposioioninicialesta equivocada y 5e debe suponer otracondicion de carga (para 8 0 1 ejernploprevia, seasumirfa quela fuerza en el cable es cera, esto es, la.reaccion minima per-mitida). Entonces, el proceso de solucion se repite con otra po s ible carganuixirnapara completar la determinacion del rango permisible de valores de Ia carga apli-cada,Como end capitulo 2, se recomienda escribir siempre las ecuaeiones de equilibriodeja misma forma en quese usaron en los ultimos problemas resueltos. Esto es! t an-to las cantidades conocidas como las deseonocidas se coIocan en ellado Izquierdo dela ecuaeiony su suma se establece como igual a cera.


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1.44 It 1-8ft-- 3,6 F t --+..,__'---f-o..-- 3rt

c

Figura P4.1

Problemas

4.1 Dos flUios estrin parades sobre un trampolin (lue pes a 146 lb. Silos pesos de los nifios ubicados en C y D son, respeetivamente, de 63 y 90lb, determine a) la reaccion enA, b) la reaccion en B,4.2 EI mastil montado en un carnien de 9 500 lb se usa para descar-gar de la plataforma Ia pilade tejas de 3500 Ib que se rnuestra en la figura,Determine la reaccion en las llantas a) traseras, B, b) delanteras, C.

1.3 F tI I 20 I I . 5 Figura P4.2ll1--~-. m__' --0" rnFigura P4.3 y P4.4

Figura P4.5

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4.3 Una gr6a movil levanta una carga de madera que pesa \V =25k . EI.peso del rruistil ABC), el peso cornhinadn de la camioneta y el con-ductor son los indicados en Ia figura, Determine la reaccion en las llantasa ) delanteras, H, h) traseras, K.

4.4 Una gnia movil levanta una carga de madera que pesa H l = 2.5kN, Si la tension es de 25 kN en todos los tramos del cable, AEF y el pesodel mastil ABC es de .' 3 kN, determine, a ) la tension en la varilla CU, h) lareaccion en la artieulacion B ,

4.5 Para mover dos barriles con peso de 80 Ib cada uno se uti liza unacarretilla. Sill tamar ell cuenta la masa de la carretilla, determine a ) la Iuer-za vertical P que debe apltcarse en el manubrio para mantener el equilibriocuando a =35, h) la reaccion correspondiente en cada una de las dos me-das.

4.6 Resuelva el problema 4.5 si a =40".


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4.7 Cuando los automoviles C y D se detienen sabre un puente de doscarriles, las fuerzas que ejeroen sus llantas sobre el puente son las indicadasen la figura. Determine las reacciones totales en A y B cuando a .) a = 2.9 m,b) a =8.1 m.

1-------12 m -------1

Figura P4.7 Y P4.8

4.8 Cnando los automoviles C y D 5e detienen sobre lill puente de doscarriles, las fuerzas que ejercen sus llantas sobre el puente son las indicadasen la figura. Si ambos autom6viles estan sobre el puente, determine a) el va-lor de a para el cual Ia reaceion total en A es mdxima, b) las reacclones to-talescorrespondientes en A y B.

4.9 Una manivela tiene una barra de control conectada en A v doscuerdas unidas a los puntos Bye, como indica la figura. Para Ia fuer~a da-da en Ia ban-a, determine el rango de valores para la tension de la cuerda enCcmllldo las cuerdas deben permanecer tensas y la tension maxima permi-tida en una cuerda es de 36 lb.

Figura P4.9

4.10 Se aplican tres cargas, como indica la figura, sobre una viga lige-ra sostenida mediante cables unidos en B y D. Sise ignora 1 3 1 peso de la vi-ga, determine el rango de valores de Q para los cuales ninguno de los cablespierde tension cuando P = o .

Problemas 173

7 . .3 L '\ J

A4.11 58 aplican tres cargas, como indica la Hgura, sobre una vtga Iige-ra sostenida mediante cables unidos en B yD . Si la maxima tension penni-sible en cada cable es de 12 kN y se ignora el peso de la viga, determine elrango de valores de Q para los cuales la carga esta segura cuando P = 5 kN. Figura P4.10 y P4.11

O.75m

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