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MATEMATICA 2013 MATEMATICA 2013 MODALIDAD INTENSIVO MODALIDAD INTENSIVO Material N°2 Material N°2

RESPUESTAS EJEMPLOS1 52 63 74

RESPUESTAS EJERCICIOS

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA N°2“Conjuntos Numéricos I”

PREUNIVERSITARIO NEGRETE PREUNIVERSITARIO NEGRETE MATERIAL N°2 MATERIAL N°2

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NUMEROS NATURALES

La idea de numero aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos, animales, etc. De ahí que los primeros números que el hombre utilizó son los números naturales. El conjunto de los números naturales se designa por N y se define como:

N= {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,…}

Además existe otro conjunto llamado “Conjunto de los Números Cardinales”, se designa por N0 y se define como:

N0= {0 }U N={0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,… }

OPERACIONES EN N :

Adición Sustracción Multiplicación División

11.- Se puede determinar que el número entero p es par si:

(1) El cuádruple de p es par.(2) El quíntuple de p es par.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

12.- Se puede asegurar que q es un número divisible por 8 si:

(1) Sus últimas cuatro cifras son ceros.(2) Su última cifra es número par.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


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9.- En un jardín infantil se necesita armar cajitas con chocolates, paquetes de galletas y caramelos. Si cuentan con 100 caramelos, 75 chocolates y 50 paquetes de galletas, ¿cuántas cajitas se pueden armar de manera que contengan la misma cantidad de caramelos, chocolates y paquetes de galletas?

A) 300B) 75C) 25D) 20E) 15

10.- Si las alarmas de dos relojes están programadas para sonar cada 15 y 20 minutos respectivamente, ¿a qué hora volverán a sonar si coincidieron sus alarmas a las 8:35 horas?

A) 8:40 horas.B) 8:52 horas.C) 9:35 horas.D) 13:00 horas.E) 13:25 horas.

CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

- Factores o divisores y múltiplos de un número:

Si a, b y c son números naturales que cumplen la relación c=a ∙b, entonces decimos que c es múltiplo de a y de b, o bien, a y b son divisores de c. Ej:

5 y 7 son divisores de 35, pues 5 ∙7=35; 35 es múltiplo de 5 y 7. 3 y 3 son divisores de 9, pues 3 ∙3=9; 9 es múltiplo de 3.

Para determinar en forma rápida si un número es divisible o no por otro, existen las llamadas “reglas de divisibilidad”, que a continuación se presentan:

Divisibilidad por:

Regla

2 Si termina en 0 o en cifra par.3 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.4 Si el número formado por sus dos últimas

cifras es 00 o es múltiplo de 4.5 Si termina en 0 o en 5.6 Si es divisible por 2 y 3 a la vez.8 Si el número formado por sus tres últimas

cifras es 000 o es múltiplo de 8.9 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.

10 Si termina en 0.

OBSERVACIÓN:


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Quizás a usted le llame la atención que no se incluya la regla de divisibilidad por 7. Esto se debe a que, por su complejidad esta regla es poco práctica y resulta ser más fácil hacer directamente la división para saber si el número es o no múltiplo de 7.

- Números Primos:

Son aquellos naturales que tienen solo dos divisores distintos. (El 1 y el mismo número). El conjunto de los números primos es:

P= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }

- Números Compuestos:

Son todos los naturales mayores que uno, que no son primos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores.

- Máximo Común Divisor (m.c.d):

El máximo común divisor de un conjunto de números naturales es el mayor número natural que divide a cada uno de los números dados.

Ej: Determinar el m.c.d entre 12 y 18

Solución: 1° Se descompone cada número en producto de factores primos.

12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1

12 = 22 3 18 = 2 32

7.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Los números 13, 17, 19, 23 son números primos; pero el 1 no lo es.II) El MCM entre 29, 13 y 11 es el producto entre 29, 13 y 11.III) El mcd entre 2, 7 y 11 es 1.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

8.- Tres ciclistas demoran en dar una vuelta completa al velódromo 10, 12 y 15 segundos respectivamente, ¿al cabo de cuántos minutos se encontrarán por primera vez los tres en el punto de partida?

A) 60 minutosB) 3 minutosC) 2 minutosD) 1 minutoE) Nunca se encuentran.


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4.- Si a=1−15 ∙3−5 y b=15 ∙3−1+5, entonces la diferencia entre a y b es:

A) 2B) 0C) -2D) -96E) -98

5.- Si a = 3 y b = -1, entonces – {a – (-b – a)} =

A) -5B) -1C) 0D) 1E) 5

6.- En la secuencia: 4, 9, 25, 49, 121, …, el 6° término es:

A) 139B) 144C) 166D) 169E) 250

2° El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.

m.c.d(12,18) = 2 3 = 6

- Mínimo Común Múltiplo (M.C.M):

El mínimo común múltiplo (M.C.M) de un conjunto de números naturales es el menor número natural que es múltiplo de cada uno de los números dados.

Ej: Determinar el M.C.M de 25, 45 y 75

Solución: con el método más fácil.

25 45 75 3 25 15 25 3 25 5 25 5 5 1 5 5 1 1

M.C.M(25,45,75) = 3 3 5 5 = 225


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EJEMPLOS:

1.- El triple de 146 es divisible por:

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

2.- Si M(4) corresponde al conjunto de los múltiplos positivos de 4, M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}. La cuarta parte de la suma de los primeros cuatro múltiplos de cuatro es:

A) 6B) 10C) 14D) 18E) 20

EJERCICIOS

1.- 8−8 :8+(−9) =

A) -15B) -8C) -1D) 0E) 8

2.- 6−3 ∙8−24 :3 =

A) -26B) -14C) 0D) 3E) 26

3.- Si p = -1 y q = 2, entonces, ¿cuál es el valor de la expresión p(q – p)(p - q)?

A) 9B) 0C) 0D) -3E) -9


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OPERATORIA BASICA EN Z

- Adición:

Para sumar dos o más números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos y en el resultado se mantiene el signo.

Para sumar dos o más números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos y en el resultado se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.

- Sustracción:

Para restar dos números enteros hay que sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.

- Multiplicación:

Para multiplicar dos o más números enteros de igual signo, se multiplican los valores absolutos y el resultado queda positivo.

Para multiplicar dos o más números enteros de distinto signo, se multiplican los valores absolutos y el resultado queda negativo.

3.- ¿Para qué valor de m la expresión m2

3−m es divisible por 6?

I) 3II) 9III) 12

A) Solo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

4.- ¿Cuál es el menor valor que puede tomar Z, para que el numero 38Z6 sea divisible por 3?

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4


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5.- Si 4 ∙3 ∙ ( x+3 )=72, entonces x es divisor de:

I) 1II) 2III) 3

A) Solo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Solo II y IIIE) Ninguna de las anteriores

6.- ¿Cuál de los siguientes pares de números debe colocarse en los cuadrados vacios para que el número de 6 cifras 7201 sea divisible por 9?

A) 2 y 0B) 3 y 9C) 3 y 3D) 4 y 5E) 5 y 3

7.- Al descomponer 540 en factores primos resulta:

A) 2 ∙33

B) 22 ∙3 ∙5C) 22 ∙32 ∙5D) 22 ∙32 ∙52

E) 22 ∙33 ∙5

NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Este conjunto se designa por Z y se define como:

Z=Z−¿U {0 }U Z+¿={…,−234 ,… ,−56 ,…−1,0 ,1,2 ,… 43,… }¿ ¿

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

Observemos que todo número entero se caracteriza por dos elementos: valor absoluto o numérico y signo. Ej:

En el entero -9, el valor absoluto es 9 y el signo es negativo (-). En el entero 13, el valor absoluto es 13 y el signo es positivo (+).

El valor absoluto de un número x se representa por |x|, y es un número entero no negativo tal que:

El valor absoluto representa la distancia entre dicho entero y el cero, en la recta numérica. Ej:

|7|=7 porque 7≥0 |−9|=9 porque −9<0


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