ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Ejemplo:

Sea la ecuación diferencial ordinaria

𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

Escribiremos la ecuación en la forma estándar de Bernoulli

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒒(𝒙)𝒚𝒏

de ser posible

Al leer la ecuación vemos que el termino característico 𝑦𝑛 esta presente , además las funciones dependen solo de la variables 𝑥, lo que nos sugiere que puede tratarse de una ecuación de Bernoulli

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥=2𝑥2𝑦4 − 2𝑥𝑦4 + 4𝑥𝑦

𝑥2 − 1

Operamos la expresión para expresarla en forma estándar

Sea la ecuación diferencial :

−2𝑥2𝑦4 + 2𝑥𝑦4 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟐𝒙

𝒙 − 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏𝒚𝟒 +

𝟒𝒙𝒚

𝒙𝟐 − 𝟏

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

4𝑥

𝑥2 − 1𝑦 =

2𝑥

𝑥 + 1𝑦𝟒

La EDO del ejemplo ahora esta expresada en la forma estándar de la ecuación diferencial de Bernoulli

Para resolver la EDO de Bernoulli , realizamos la sustitución :

𝑧 = 𝑦1−𝟒 = 𝑦−3 con 𝑑𝑧

𝑑𝑥= −3𝑦−4

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Porque 𝒏 = 𝟒

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

4𝑥

𝑥2 − 1𝑦 =

2𝑥

𝑥 + 1𝑦4 𝑦−4

Para facilitar la sustitución, es conveniente multiplicar la EDO por 𝑦−4

−𝟏

𝟑

𝒅𝒛

𝒅𝒙−

4𝑥

𝑥2 − 1𝒛 =

2𝑥

𝑥 + 1

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑦−4 −

4𝑥

𝑥2 − 1𝒚−𝟑 =

2𝑥

𝑥 + 1

Como 𝒛 = 𝒚−𝟑 , 𝒅𝒛

𝒅𝒙= −𝟑𝒚−𝟒

𝒅𝒚

𝒅𝒙la ecuación nos queda

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Multiplicamos por -3 y obtenemos una EDO lineal

𝒅𝒛

𝒅𝒙+ 𝟑

𝟒𝒙

𝒙𝟐 − 𝟏𝒛 = −𝟑

𝟐𝒙

𝒙 + 𝟏

Para resolver está EDO recordemos que se debe calcular el factor de integración

𝑓𝑖 = 𝑒 12𝑥𝑥2−1

𝑑𝑥

𝑓𝑖 = 𝑒6𝑙𝑛 𝑥2−1

𝑓𝑖 = 𝑥2 − 1 6

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Multiplicamos la EDO por el factor integración y la expresamos como

𝑑 𝑧 𝑥2 − 1 6

𝑑𝑥= 𝑥2 − 1 6

−6𝑥

𝑥 + 1

Separamos las variables

𝑑 𝑧 𝑥2 − 1 6 = 𝑥2 − 1 6 −6𝑥

𝑥+1𝑑𝑥

Integramos

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

𝑧 𝑥2 − 1 6 =1+𝑥 13

13+ 11

1+𝑥 12

12+20

1+𝑥 11

11+120

1+𝑥 10

10+160

1+𝑥 9

9+112

1+𝑥 8

8+32

1+𝑥 7

7

Tenemos el siguiente resultado :

Sustituimos 𝑧 = 𝑦−4 en la expresión y obtenemos la solución de la EDO

𝒚−𝟑 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔=

𝟏+𝒙 𝟏𝟑

𝟏𝟑+ 𝟏𝟏

𝟏+𝒙 𝟏𝟐

𝟏𝟐+20

𝟏+𝒙 𝟏𝟏

𝟏𝟏+120

𝟏+𝒙 𝟏𝟎

𝟏𝟎+160

𝟏+𝒙 𝟗

𝟗+112

𝟏+𝒙 𝟖

𝟖+𝟑𝟐

𝟏+𝒙 𝟕

𝟕

𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥2𝑦4 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦4 𝑑𝑥 − 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0

Igual a:

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE