EjerciciosCálculomatricialdeestructuras 

Ejemplo 4: 

La estructura metálica de la figura, donde todos los nudos son rígidos excepto la cumbrera, 

está formada por barras HEA 340 de acero S275. Determinar, empleando cálculo matricial y el 

método de la rigidez: 

a) Matriz  de  rigidez  de  la  barra  4  en  coordenadas  locales.  A  partir  de  ella,  ¿cómo  se obtiene la matriz en coordenadas globales? (Explicar el proceso e indicar el valor de la 

matriz ). b) Indicar  cómo  se  realizaría  el  proceso  de  ensamblaje  de  la  matriz  global  de  la 

estructura. c) Construir los vectores de esfuerzos y desplazamientos. d) Una  vez  resuelto  el  problema mediante  una  hoja  de  cálculo,  se  han  obtenido  los 

valores tanto de la matriz de rigidez como del vector desplazamientos (se indican en la resolución del apartado). A partir de ellos, determinar las reacciones en los apoyos. 

 

  Debe  respetarse  la nomenclatura de nudos                   y barras                , y emplear  como 

unidades kN y cm.  

 

 

AHEA340 = 133,5 cm2  

Iy HEA340 = 27690 cm4  

Eacero = 21000 kN/cm2  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5E

1

2 

4 

510 m  8 m

8 m  8 m 

30 m∙kN

80 kN

A

B

C 

D 

E 

60 kN

3100 kN

 

 

a) Lo  primero  es  siempre  establecer  los  grados  de  libertad  de  la  estructura,  que  se 

representan en el siguiente esquema: 

 

 

 

 

 

 

 

  La barra 4 es una barra articulada en C y empotrada en D que relaciona los grados de 

libertad 7, 8, 9, 10 y 11. La matriz de rigidez en coordenadas  locales será por tanto de orden 

5x5, y se determina a partir de los coeficientes B, C, D y F: 

  B  0  ‐B  0  0    B = A∙E / L = 3399,74 

  0  C  0  ‐C  D    C = 3∙E∙I / L3 = 3,11 

[K]Le4 =  ‐B 0  B  0  0                 siendo:    D = 3∙E∙I / L2 =2565,4 

   0  ‐C  0  C  ‐D   F = 3∙E∙I / L = 2115480,6 

  0  D  0  ‐D  F     

 

  3399,74  0  ‐3399,74 0  0 

    3,11  0  ‐3,11 2565,40

[K]Le4 =      3399,74 0  0 

         3,11 ‐2565,40

  SIM        2115480,61

 

  Para obtener  la matriz en coordenadas globales, debe determinarse  la matriz  [] de cambio de coordenadas,  la cual depende exclusivamente del ángulo de  la barra, que en este 

caso es: 

cos

28

14,04º 

  De manera que [] resulta: 

  cos α  sen α  0  0 0 0,970 ‐0,243 0  0  0

  ‐ sen α  cos α  0  0 0 0,243 0,970 0  0  0

[λ] =  0  0  cos α  sen α 0 = 0 0 0,970  ‐0,243  0

   0  0  ‐ sen α  cos α 0 0 0 0,243  0,970  0

  0  0  0  0 1 0 0 0  0  1

 

   

   

1 

2

4

5

A

B

C 

D

E 12 

13

14 

9

10

11

78

3

1 

2

3

4 

5 

6

 

 

Así,  la matriz de  rigidez elemental de  la barra 4 en coordenadas globales  se obtiene 

mediante el siguiente producto, empleando el valor de λ indicado anteriormente: 

 

 

b) En el proceso de ensamblaje se parte de  las matrices de rigidez elementales de cada 

barra,  una  vez  realizado  el  cambio  a  coordenadas  globales.  Si  dividimos  dichas 

matrices  elementales  en  sub‐matrices  que  agrupen  los  grados  de  libertad  de  cada 

nudo, estas matrices podrían escribirse de la siguiente forma: 

 

Ke1 = KAA

e1  KABe1 

KBAe1  KBB

e1  

Ke2 =KBB

e2  KBDe2 

KDBe2  KDD

e2  

Ke3 =KBB

e3 KBCe3

KCBe3 KCC

e3Ke4 =

KCCe4 KCD

e4 

KDCe4 KDD

e4 Ke5 = 

KDDe5 KDE

e5

KEDe5 KEE

e5

 

 

  Estas sub‐matrices tendrán dimensión 6x6 cuando ambos nudos sean empotramientos 

(barras 1, 2 y 5), y 5x5 cuando alguno de  los nudos sea articulado (barras 3 y 4). Empleando 

esta notación,  la matriz de  rigidez global de  la estructura  se ensambla  colocando  cada  sub‐

matriz en el lugar correspondiente a los nudos que relaciona: 

 

              

   KAAe1     KAB

e1    0    0     0   

                                     

                                  

   KBAe1     KBB

e1 + KBBe2 + KBB

e3  KBC

e3    KBDe2     0   

                                     

[K]=   

0   

KCBe3 

 KCC

e3 + KCCe4  

KCDe4 

  0 

 

              

                                  

   0     KDBe2    KDC

e4    KDDe2 + KDD

e4 + KDDe5     KDE

e5   

                                     

                                  

   0     0    0    KEDe5     KEE

e5   

              

 

   

 

 

c) El vector de esfuerzos  recoge  las  fuerzas aplicadas  sobre  los nudos de  la estructura, 

algunas  de  estas  fuerzas  son  incógnitas  (reacciones  en  los  apoyos)  y  otras  son 

conocidas (cargas). Las cargas sobre  las barras deben trasladarse a  los nudos. En este 

caso, hay una carga de 80 kN actuando en el centro de  la barra 2, por  tanto deben 

obtenerse en primer lugar los valores de los esfuerzos a considerar por ella: 

     0             0 

PBe2    P / 2    Siendo    PB

e2 ‐40

  = 

P∙L / 8 ;  

   

  =

‐16000

   0  P = ‐ 80 kN     0 

PDe2    P / 2    L = 1600 cm    PD

e2 ‐40

     ‐ P∙L / 8           16000 

  Puede ya construirse el vector de esfuerzos,  introduciendo  los valores anteriores,  las 

cargas puntuales sobre  los nudos (carga horizontal en B, vertical en C y momento exterior en 

D) y las reacciones en los apoyos: 

FAx  RAx FAy  RAy MAz  MAz FBx  100 FBy  ‐40 MBz  ‐16000 FCx  =  0 FCy  ‐60 FDx  0 FDy  ‐40 MDz  13000 FEx  REx FEy  REy MEz  MEz 

 

  El vector de desplazamientos  incluye  los desplazamientos (y giros) de  los nudos de  la 

estructura,  que  serán  desconocidos  si  se  trata  de  un  nudo  libre  (sin  ninguna  restricción)  o 

serán igual a cero si se trata de un apoyo o desplazamiento restringido: 

UAx  0 UAy  0 ΘAz  0 UBx  UBx UBy  =  UBy ΘBz  ΘBz UCx  UCx UCy  UCy UDx  UDx UDy  UDy ΘDz  ΘDz UEx  0 UEy  0 ΘEz  0 

(Este vector está en coordenadas locales y por 

tanto habría que pasarlo a globales para 

ensamblarlo en el del problema, pero en este 

caso el sistema de referencia local coincide con 

el global y no hay que hacer cambio alguno). 

 

 

d) A partir de la matriz de rigidez global y el vector de desplazamientos completos, las reacciones se obtienen mediante un simple producto matricial 

limitado a  los elementos que  interesan (filas de cada reacción) de  la ecuación matricial que se muestra a continuación, donde se han marcado en 

naranja los elementos que intervienen en el cálculo de las reacciones: 

RAx  13,63 0  ‐5451,47  ‐13,63 0 ‐5451,47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

RAy  0 3504,38  0,00  0 ‐3504,38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

MAz  ‐5451,47 0  2907450,00  5451,47 0 1453725,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

100  ‐13,63 0  5451,47  4965,76 799,21 4829,27 ‐3199,94 ‐799,21 ‐1752,19 0 0 0 0 0 5,36 

‐40  0 ‐3504,38  0  799,21 3708,99 3851,67 ‐799,21 ‐202,91 0 ‐1,70 1363 0 0 0 ‐0,0134 

‐16000  ‐5451,47 0  1453725,00  4829,27 3851,67 6476655,61 622,20 ‐2488,80 0 ‐1362,87 726862,50 0 0 0 ‐0,0069 

0  =  0 0  0  ‐3199,94 ‐799,21 622,20 6399,88 0 ‐3199,94 799,21 622,20 0 0 0 * 5,39 

‐60  0 0  0  ‐799,21 ‐202,91 ‐2488,80 0 405,83 799,21 ‐202,91 2488,80 0 0 0 ‐0,290 

0  0 0  0  ‐1752,19 0 0 ‐3199,94 799,21 4965,76 ‐799,21 4829,27 ‐13,63 0 5451,47 5,41 

‐40  0 0  0  0 ‐1,70 ‐1362,87 799,21 ‐202,91 ‐799,21 3708,99 ‐3851,67 0 ‐3504,38 0 ‐0,0265 

13000  0 0  0  0 1363 726862,50 622,20 2488,80 4829,27 ‐3851,67 6476655,61 ‐5451,47 0 1453725,00 ‐0,00167 

REx  0 0  0  0 0 0 0 0 ‐13,63 0 ‐5451,47 13,63 0 ‐5451,47 0 

REy  0 0  0  0 0 0 0 0 0 ‐3504,38 0 0 3504,38 0 0 

MEz  0 0  0  0 0 0 0 0 5451,47 0 1453725,00 ‐5451,47 0 2907450,00 0  

  Es decir, de la ecuación matricial se extrae: 

    13,63 5,36 5451,47 0,0069 35,34  

    3504,38 0,0134 46,96  

    … 

  Hasta obtener todas las reacciones que se listan a la derecha: 

RAx  ‐35,4 kN 

RAy  47,0 kN 

MAz  =  19184,6 cmkN 

REx  ‐64,6 kN 

REy  93,0 kN 

MEz  27048,3 cmkN