Análisis Matricial de Las Estructuras Por El Método de La Rigidez
Análisis Matricial De Estructuras
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Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Civil
PRINCIPIOS COMPUTACIONALES EN INGENIERIA Profesor: Ing. Víctor Rojas
ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
1. GENERALIDADES
→ Representar mediante un modelo matemático un sistema físico real.
→ El propósito del análisis es determinar la respuesta del modelo matemático que está sometido a un
conjunto de cargas dadas o fuerzas externas.
→ Respuesta:
ü esfuerzos, deformaciones
ü propiedades de vibración
ü condiciones de estabilidad
→ Cargas:
ü cargas estáticas (independientes del tiempo)
ü cargas dinámicas (interviene el tiempo)
ü generadas por cambios de temperatura (representada como carga)
→ Para el problema estático:
2. TIPOS DE IDEALIZACION
A) ESTRUCTURAS RETICULARES
→ Formada por elementos unidimensionales unidos en ciertos puntos llamados nudos.
→ Se clasifican según la disposición (geometría) de elementos y tipos de unión:
⊗ Por geometría y aplicación de carga: PLANAS y ESPACIALES.
⊗ Por el tipo de conexión: ARMADURAS y PORTICOS RIGIDOS.
armadura viga continua
GEOMETRIA
PROP. FISICAS
x
y
MODELO
MATEMATICO
ACCIONES
EXTERNAS
ESTATICAS
ANALISIS
ESTRUCTURAL
FUERZAS
(ESFUERZOS)
DESPLAZAMIENTOS
(DEFORMACIONES)
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retícula espacial parrilla
en las estructuras reticulares se cumple:
B) ESTRUCTURAS CONTINUAS
Ejemplo: cascarones, placas, sólidos de revolución, etc.
→ El análisis se realiza mediante el Método de los Elementos Finitos.
→ Los elementos a considerar no son lineales, tienen otras características.
triangular cuadrangular cuadrangular
3 nudos 4 nudos 8 nudos
L >> B, H
LH
B
y
z
x
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3. PRINCIPIOS DEL ANALISIS
A) COMPATIBILIDAD
Los desplazamientos nodales deben ser consistentes.
B) RELACION FUERZA-DEFORMACION
Ley constitutiva del material.
P = k ∆
PAE
L=
∆
C) EQUILIBRIO
Toda las estructuras o cualquier parte de ella debe estar en equilibrio bajo la acción de cargas
externas y fuerzas internas.
Equilibrio de una porción de la estructura
Equilibrio de todo el sistema
Equilibrio del elemento Equilibrio del nudo
Hooke (Ley constitutiva para
materiales elásticos)
CARGAS
EXTERNAS
REACCIONES
θθ
j'i
j
i'
L
∆P
A, E, k
P2
P1
P2
P1
W
P2
P1
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D) CONDICIONES DE BORDE
Caso particular de los principios de compatibilidad y equilibrio.
→ Por compatibilidad:
Condiciones de borde geométricas o cinéticas.
→ Por equilibrio:
Condiciones de borde naturales o físicas.
4. SISTEMAS DE COORDENADAS
A) SISTEMA LOCAL DE REFERENCIA
El sistema local de referencia es propio para cada elemento e independiente uno del otro.
Elemento en
el espacio
1
2
3
X3
3
2
1
X2
X1
Y2
Y3
Y1
ZL
XL
YL
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B) SISTEMA GLOBAL DE REFERENCIA
5. GRADOS DE LIBERTAD
Armadura espacial Pórtico plano
Parrilla Pórtico espacial
ZG
YG
XG
Ux
2 G.L. / nudoArmadura
plana
Uy
3 G.L. / nudo
θz Ux
Uy
x
y
z
Ux
Uy
Uz
3 G.L. / nudo
6 G.L. / nudo
θy
θxδz
x
zy
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6. CONVENCION DE SIGNOS
7. COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS
A) DEL PUNTO DE VISTA DEL MATERIAL
⊗ ELASTICO E INELASTICO
(+)
(+)
X
Y
My, θy
Mx, θx
Mz, θz
Fz, Uz
Fx, Ux
Fy,
Z
X
Y
E
L
A
S
T
I
C
O
I
N
E
L
A
S
T
I
C
O
P
Ur
Uf
Carga
Uf
Descarga
(elástica)
Inelástica
U
Ur
P
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⊗ COMPORTAMIENTO LINEAL Y PIEZO-LINEAL
⊗ PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
Para una estructura elástica-lineal
U
UfUo
P
K
K2
K1
P
P
U
P2P1
Pf
+
U2U1
=
Uf
P2P1
f
2
1
P
P
P
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B) DEL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRIA
⊗ LINEAL: Deformaciones pequeñas
⊗ NO-LINEAL:
Deformaciones apreciables, se alteran los esfuerzos inducidos en la estructura.
8. INDETERMINACION ESTATICA Y CINEMATICA
A) INDETERMINACION ESTATICA
(grados de indeterminación o número de redundantes)
Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externos y/o internos que deben
liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada.
B) INDETERMINACION CINEMATICA
(grados de libertad)
Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son
necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema.
Grado de Grado de
Indeterminación Indeterminación
Estática Cinemática
6 - 3 = 3º 3º
Estructura con
geometría inicial
(sin cargas)
Estructura deformada
(con cargas aplicadas)
Posición de equilibrio
α ≠ β(geometría no lineal)
U
θ2θ1
α
∆
H
H - ∆
P
β
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Pórtico con
deformación
axial
G.I.E. = 8 - 3 = 5
G.I.C. = 5 x 3 + 1 = 16
9. METODOS DE ANALISIS
A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES
(grado de indeterminación estática)
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática
determinada y estable.
Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y
debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se
aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.
B) METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS
(grado de indeterminación cinemática)
En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de
todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias
para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a
resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de
compatibilidad y luego el de equilibrio.
Pórtico sin
deformación
axial
G.I.C = 8 (θ1 a θ6, U1, U2)
U1 U1 U1
U2 U2
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A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES
⊗ Equilibrio: Resolver cada sistema simple.
⊗ Compatibilidad.
θA = θAo
+ θA(1) × MA + θA
(2) × RB
δB = δBo
+ δB(1) × MA + δB
(2) × RB
0
0
=
=
+
×
θδ
θδ
θ θδ δ
A
B
A
B
A A
B B
MA
RB
o
o
(1) (2)
(1) (2)
θ θδ δ
θδ
A A
B B
MA
RB
A
B
(1) (2)
(1) (2)
o
o
×
= −
B × R = U
R = Vector de fuerzas redundantes
B = Matriz de flexibilidad
U = Vector de desplazamientos
G.I.E. = 5 - 3 = 2
Estructura real
Estructura primaria
(estática y estable)
soluciones
complementarias
P1 P2
MA
A B C
RB
θAo δB
o
A B C
P1 P2
× MA
1.0
(1)
θA(1) δB(1)
(2)
θA(2) δB(2)
1.0
× RB
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B) METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O RIGIDECES
⊗ Compatibilidad: Determinación de cada sistema.
⊗ Equilibrio.
0 = SBo
+ SB(1) × θ1 + SB
(2) × θ2
0 = SCo
+ SC(1) × θ1 + SC
(2) × θ2
0
0
=
+
×
SB
SC
SB SB
SC SC
o
o
(1) (2)
(1) (2)
1
2
θθ
SB SB
SC SC
SB
SC
(1) (2)
(1) (2)
o
o
1
2
×
= −
θθ
K × U = P
P = Vector de cargas nodales
K = Matriz de rigidez
U = Vector de desplazamientos nodales
G.I.C. = 2
Estructura real
Estructura primaria
(se bloquean los
desplazamientos)
Soluciones
complementarias
P2 θ2θ1P1
CB
A
SBo SC
o
P2P1
× θ1
× θ2
1.0
(1)
(2)
SB(1)
SB(2)
SC(1)
SC(2) 1.0
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10. EJEMPLO: METODO DE RIGIDECES EN RESORTES COLOCADOS EN SERIE
A) Relación de compatibilidad deformación-desplazamiento:
ε1 = U2 - U1
ε2 = U3 - U2
ε3 = U4 - U3
B) Relación de constitutivas:
F1 = K1 ε1
F2 = K2 ε2
F3 = K3 ε3
C) Relación de equilibrio:
P1 = - F1
P2 = F1 - F2
P3 = F2 - F3
P4 = F3
Introduciendo las relaciones de compatibilidad en las ecuaciones constitutivas:
F1 = K1 (U2 - U1)
F2 = K2 (U3 - U2)
F3 = K3 (U4 - U3)
1
3
2
1
2
3
44
U1
U2
U3
U4
F1
F1
F1
P1
F2 F1
F2 P2
K1, ε1
F3
F3
F2F3 P3
F2
F3
P4
K2, ε2
K3, ε3
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Ingresando estas últimas expresiones en las relaciones de equilibrio:
P1 = - K1 (U2 - U1)
P2 = K1 (U2 - U1) - K2 (U3 - U2)
P3 = K2 (U3 - U2) - K3 (U4 - U3)
P4 = K3 (U4 - U3)
ordenando matricialmente:
P
P
P
P
K K
K K K K
K K K K
K K
U
U
U
U
1
2
3
4
1 1
1 1 2 2
2 2 3 3
3 3
1
2
3
4
=
−
− + −
− + −
−
×
0 0
0
0
0 0
D) Introduciendo las condiciones de borde:
P
P
P
P
K K
K K K K
K K K K
K K
U
U
U
U
1
2
3
4
1 1
1 1 2 2
2 2 3 3
3 3
1
2
3
4
=
−
− + −
− + −
−
×
0 0
0
0
0 0
R
P
K K
K K
Uo
U
=
×
I, I I, II
II,I II, II
donde:
Uo
= desplazamientos conocidos o prescritos
U = desplazamientos incógnitas
R = reacciones de apoyos
P = cargas externas
Por lo tanto, la representación del sistema de ecuaciones se puede realizar como sigue:
R = K I,I × Uo
+ K I,II × U
P = K II,I × Uo
+ K II,II × U
En este caso, como Uo
= 0, (U1 = 0)
R = K I,II × U
P = K II,II × U ← a resolver
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Finalmente,
P
P
P
K + K - K 0
- K K + K -K
0 - K K
U
U
U
2
3
4
1 2 3
2 2 3 3
3 3
2
3
4
=
×
Se resuelve el sistema de ecuaciones, obteniendo U2, U3 y U4 como resultados.
Para determinar las fuerzas en los elementos, se utilizan las relaciones constitutivas:
F1 = K1 (U2)
F2 = K2 (U3 - U2)
F3 = K3 (U4 - U3)
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO RESORTE
En el caso de análisis lineal se cumple FiUi
=∂∂U
donde:
U = ½ F ε = ½ F (U2 – U1)
de la relación constitutiva se tiene:
F = K (U2 – U1)
entonces:
U = ½ K (U2 – U1)2 = ½ K (U22 – 2 U2 U1 + U1
2)
si se considera:
2211 UKiUKiFiUi
×+×==∂∂U
ε
F U = ½ F ε(energía de deformación)
U1
U2
K
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se tiene:
K)-U(U
121
×=∂∂
+ UU
K)UU(U
122
×=∂∂
−U
determinando la derivada parcial Uj∂∂
de la expresión anterior se tiene:
∂∂
∂∂
=UiUj
kijU
entonces, se determinan los valores de kij:
KUjUi
kk2
2112 −=∂∂
∂= =
U
KU
k2
1
2
11 =∂
∂=U
y KU
k2
2
2
22 =∂
∂=U
−
−=
=
KK
KK
KK
KK
2221
1211K
Para el ejemplo, se tienen tres resortes:
−
−=
11
111
KK
KKK ,
−
−=
22
222
KK
KKK y
−
−=
33
333
KK
KKK
Se ensambla la matriz de rigidez del conjunto, como sigue:
KT =
33
3322
2211
11
KK-00
K-K+KK-0
0K-K+KK-
00K-K
Luego, se introducen las condiciones de borde (apoyos). Se tiene que U1 = 0, así, se elimina la primera fila
y columna de la matriz de rigidez KT, obteniéndose finalmente:
KT =
33
3322
221
KK-0
K-K+KK-
0K-K+K
.
1 2 3
1
2
3
4
4
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11. EJEMPLO: METODO DE RIGIDECES PARA ARMADURAS PLANAS
A) MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO
Posición inicial Posición deformada
De la geometría inicial de la barra se pueden obtener las siguientes expresiones:
∆X = Xj - Xi
∆Y = Yj - Yi
L X2 Y2= +∆ ∆
CxX
L=
∆, Cy
L
Y=
∆
De la posición deformada de la barra, se conoce que la deformación ε de la barra esta dada por la
expresión:
ε =NL
EA
la geometría de la barra en esta posición expresa los desplazamientos como sigue:
U' i = U1 Cos θ + U2 Sen θ = Cx U1 + Cy U2
U' j = U3 Cos θ + U4 Sen θ = Cx U3 + Cy U4
La deformación se puede expresar como:
ε = −(U' U' ) =NL
EAj i
3
2
1
X
4
Y
j
i
X'
θ θ
Uj'
Ui'
U3
U4
U2
U1
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por lo tanto, despejando N se tiene:
N =EA
L(U' U' )j i−
N =EA
L[ ( Cx U3 + Cy U4 ) - ( Cx U1 + Cy U2 ) ]
N =EA
L[ Cx ( U3 - U1 ) + Cy ( U4 - U2 ) ]
Por otro lado, la energía de deformación U está dada por la siguiente expresión:
U =
1
2V
( x x y y + z z + xy xy + xz xz + yz yz ) dV∫ +σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ
para la barra recta sometida a carga axial, se cumple:
σxN
A= σ σy y = 0= τ τ τxy xz = yz = 0=
reemplazando los términos de la integral, se tiene:
U =
1
2V
N
A
N
AEdV∫
U =
1
2L
N
A
N
AE( dA
A
) dx∫ ∫ =
N2
2AEdx
L∫
como la variación de U con respecto a los desplazamientos está dada, en este caso, por la expresión:
∂∂U
Ui= ki1 × U1 + ki2 × U2 + ki3 × U3 + ki4 × U4 .
La matriz de rigidez del elemento esta dada por la expresión:
K =
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
donde, kij = ∂
∂ ∂
2 U
Ui Uj
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entonces:
kij = ∂
∂∂
∂Uj Ui
N2
2EAL
dx∫
= ∂
∂∂∂Uj
2NN
Ui
1
2EAL
dx∫
kij = ∂∂
∂∂
N
Ui
N
UjL
dx
EA∫
operando, se tiene:
∂∂
N
U
EA
LCx
1= −
∂∂
N
U
EA
LCx
3=
∂∂
N
U
EA
LCy
2= −
∂∂
N
U
EA
LCy
4=
A manera de ejemplo, se determinan los términos K11 y K12 como sigue:
k11 = ∂∂
∂∂
N
U
N
UL
dx
EA1 1∫ = −
∫
EA
LCx
2dx
EAL
= EA
LCx2
k12 = ∂∂
∂∂
N
U
N
UL
dx
EA1 12∫ = −
−
∫
EA
LCx
EA
LCy
dx
EAL
= EA
LCx Cy
por lo tanto:
K =
− −
− −
− −
− −
EA
L
Cx2 CxCy Cx 2 CxCy
CxCy Cy 2 CxCy Cy2
Cx2 CxCy Cx2 CxCy
CxCy Cy2 CxCy Cy2
KS S
S S=
−
−
EA
L
siendo:
S =
Cx2
CxCy
CxCy Cy2
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B) SISTEMA DE ECUACIONES DEL EQUILIBRIO EN EL ELEMENTO
F
F
F
F
EA
L
Cx2 CxCy Cx2 CxCy
CxCy Cy 2 CxCy Cy 2
Cx2 CxCy Cx 2 CxCy
CxCy Cy2 CxCy Cy2
U
U
U
U
1
2
3
4
1
2
3
4
=
− −
− −
− −
− −
×
C) EJEMPLO DE APLICACION
Determinar los desplazamientos,
fuerzas en los elementos y reaccio-
nes en los apoyos de la estructura
mostrada, si se sabe que:
E = 2.1×106 kgf/cm2
A = 10 cm2
F3
F1
F4
F2
i
j
300 cm
2000 kgf
X
Y
300 cm
(1)
(5)
(6)
(2)
(3) (4)
X
Y
U7
U8
U5
U6
U1
U2U4
U3
1
4
3
2 (1)
(5)
(6)
(2)
(3) (4)
U4
V4
U3
V3
U1
V1V2
U2
1
4
3
2
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⊗ MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS
Elemento (1) :
∆x = 300 - 0 = 300
∆y = 0 - 0 = 0
L = 300
Cx = 300
3001=
Cy = 0
3000=
70000300
10102.1
L
EA 6
=××
=
Elemento (2) :
∆x = 300 - 0 = 300
∆y = 300 - 300 = 0
L = 300
Cx = 300
3001=
Cy = 0
3000=
70000300
10102.1
L
EA 6
=××
=
K(1) 70000
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
=
−
−
K (2)
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
=−
−
70000
X'
U2
V2
U1
V1
1 2
X'
U4
V4
U3
V3
3 4
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Elemento (3) :
∆x = 0 - 0 = 0
∆y = 300 - 0 = 300
L = 300
Cx = 0
3000=
Cy = 300
3001=
70000300
10102.1
L
EA 6
=××
=
Elemento (4) :
∆x = 300 - 300 = 0
∆y = 300 - 0 = 300
L = 300
Cx = 0
3000=
Cy = 300
3001=
70000300
10102.1
L
EA 6
=××
=
K (3) 70000
0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
=−
−
K (4) 70000
0 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 0 0
0 -1 0 1
=
X'
U11
3
V1
V3
U3
X'
U22
4
V2
V4
U4
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Elemento (5) :
∆x = 300 - 0 = 300
∆y = 300 - 0 = 300
L = 300 2
Cx = 2
2
2300
300=
Cy = 2
2
2300
300=
2
270000
2300
10102.1
L
EA 6
=××
=
Elemento (6) :
∆x = 0 - 300 = -300
∆y = 300 - 0 = 300
L = 300 2
Cx = 2
2
2300
300−=
−
Cy = 2
2
2300
300=
2
270000
2300
10102.1
L
EA 6
=××
=
U3
V3
V2
U2
3
2
X'
U4
V4
U1
V1
1
4
X'
−−−−
−−−−
=
1111
1111
1111
1111
24749(5)K
−−−−−−
−−
=
1111
1111
1111
1111
24749(6)K
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PRINCIPIOS COMPUTACIONALES EN INGENIERIA Profesor: Ing. Víctor Rojas
⊗ ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
La matriz de rigidez del elemento (e) esta dada como sigue:
=
−
−=
2221
1211
L
EA(e)
KK
KK
SS
SSK
Luego, las matrices de los elementos se ensamblan en la matriz de la estructura así:
=
2221
1211
T
KK
KK
K
+−−−
+−−−
+−−−
−−+−
−−+−
−−+−
−−−+
−−−+
=
247497000024749007000002474924749
247492474970000
070000002474924749
002474970000
247492474924749700000
070000247492474970000
247492474900
70000024749247492474970000
2474900
002474924749247492474970000
070000
2474924749700000002474970000
24749
247492474900070000247492474970000
TK
Uj
Ui
Vj
Vi
i
j
(e)
i
j
i j
U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4
U1
V1
U2
V2
U3
V3
U4
V4
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⊗ SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA ESTRUCTURA
Se introducen las condiciones de apoyo, U1 = V1 = V2 = 0. Considerando que sólo existe carga aplicada
en el nudo 3; se tiene:
×
−−
−−−−
=
4
4
3
3
2
V
U
V
U
U
9474024749000
24749947490700000
00947492474924749
070000247499474924749
00247492474994749
0
0
0
2000
0
P = KT × U
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:
cm
0.014286
0.054692
0.014286
0.068978
0.014286
−
=U
⊗ FUERZAS EN LOS ELEMENTOS
Elemento (1) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 1212 Y
2−+−= ∆∆
[ ]0.014286300(300)
(10))10(2.1N
2
6
×××
= = 1000 kgf
Elemento (2) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 3434 Y
2−+−= ∆∆
[ ]0.068978)-0.054692(300(300)
(10))10(2.1N
2
6
×××
= = -1000 kgf
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Elemento (3) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 1313 Y
2−+−= ∆∆
[ ])14286.0(300(300)
(10))10(2.1N
2
6
×××
= = 1000 kgf
Elemento (4) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 2424 Y
2−+−= ∆∆
[ ]0.0)-0.014286(300(300)
(10))10(2.1N
2
6
−×××
= = -1000 kgf
Elemento (5) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 1434 Y
2−+−= ∆∆
[ ]0.0)-0.014286(3000.0)-0.054692(300)2(300
(10))10(2.1N
2
6
−×+×××
= = 1414 kgf
Elemento (6) :
[ ])V(V)U(UXL
AEN 2323 Y
2−+−= ∆∆
[ ]0.0)-0.014286(3000.014286)-0.068978(300)2(300
(10))10(2.1N
2
6
×+×××
=
N = -1414 kgf
RESULTADOS:
fuerzas y
reacciones (kgf)
2000 kgf
1000 (C)
1414 (C)
1414 (T)
1000 (C)
1000 (T)
1000 (T)
2000 kgf2000 kgf
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12. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS CON BRAZOS
Compatibilidad de Desplazamientos en el Elemento
(sin considerar las deformaciones axiales en el elemento)
VA = Vi + θi × a
θA = θi
VB = Vj - θj × b
θB = θj
a ba b
i j
a b
Ui
I = ∞
L
I = ∞
Vi
θi
Uj
Vj
θj
i j
Ai jB
VA
ba L
θi θA
VB
θB
Vi
θj
Vj
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V
V
1 a 0 0
0 1 0 0
0 0 1 b
0 0 0 1
Vi
i
Vj
j
A
A
B
B
θ
θ
θ
θ
=−
×
U H U= ×
Equilibrio en el Elemento
Vi = VA
Mi = VA × a + MA
Vj = VB
Mj = -VB × b + MB
Vi
Mi
Vj
Mj
1 0 0 0
a 1 0 0
0 0 1
0 0 -b 1
V
M
V
M
A
A
B
B
=
×
0
f H f= ×T
Mi
ViVA VB
A
VAMA
MA
MB
MB
VBMj
a b
jBi
MBMi
ViVA
MA
VB Vj
Mj
L ba
A jBi
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Se tiene la matriz de rigidez del segmento AB de longitud L: K U f× = , donde:
K =
12EI
L6
EI
L-12
EI
L6
EI
L
6EI
L4
EI
L-6
EI
L2
EI
L
-12EI
L-6
EI
L12
EI
L-6
EI
L
6EI
L2
EI
L-6
EI
L4
EI
L
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
pero, U H U= × , entonces:
K (H U f× × =)
premultiplicando por H T se tiene:
H K H U H fT T× × × = ×
(H K H) U fT × × × =
K H K He = × ×T
Ke
12EI
L6
EI
L12
EI
La -12
EI
L6
EI
L12
EI
Lb
4EI
L12
EI
La 12
EI
La -6
EI
L12
EI
La 12
EI
L12
EI
L12
EI
L
12EI
L-6
EI
L12
EI
Lb
sim 4EI
L12
EI
Lb 12
EI
Lb
3 2 3 3 2 3
2 3
2
2 3 3 3 3
3 2 3
2 3
2
=
+ +
+ + − + +
−
− − + +
a b
E, II = ∞
L
I = ∞
Vi
θi
Vj
θj
i j
E, I
L
Vi
θi
Vj
θj
i j
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Fuerzas de empotramiento de elementos Viga con Brazos Rígidos
Equilibrio en el Elemento
donde:2
WLVA =
12
WLMM
2
BA =−=
ViWL
2W a= +
VjWL
2W b= +
MiWL
12
WL
2a
Wa
2
2 2
= + +
MjWL
12
WL
2b
Wb
2
2 2
= − + +( )
i
W
jBA
bLa
i
VA
Mi
Vi
ba
j
W
W W
MA
VA
MA
VB
MBVB
MB
Mj
Vj
A B