Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaProfesora: Marıa Jose GonzalezAyudante: Alonso Molina

MAT041 - Probabilidad y EstadısticaTeorema de Bayes y Ley de Probabilidades Totales

1. (Arbol + Teorema de Bayes) Dos alumnos del MAT041, al estudiar probabilidades, deciden hacerel clasico experimento de las bolitas en la urna. Uno de ellos trae una cierta cantidad de bolitasblancas, mientras que el otro trae una cierta (no necesariamente igual) cantidad de bolitas rojas.Se extrae una bolita al azar, y la devuelven a la urna, junto con n bolitas del mismo color.

a) Dado que salio una bolita blanca, determine la probabilidad que al segundo intento la bolitaseleccionada nuevamente sea blanca.

b) ¿Cual es la probabilidad de haber sacado una bola blanca en la primera extraccion, sabiendoque en la segunda extraccion se saco una bola blanca?

c) Usando a) y b), concluya que la probabilidad de extraer una bola roja en la primera ex-traccion es igual a la probabilidad de extraer una bola roja en la segunda extraccion.

Solucion:

Dado que no conocemos la cantidad de bolitas en el inicio, definamos:b cantidad de bolitas blancas en el primer intento.r cantidad de bolitas blancas en el primer intento.Sea Xi el evento Color de la bolita en el i-esimo intento.

a) Lo pedido esP (X2 = B|X1 = B)

Podemos utilizar la tecnica del arbol para desarrollar la idea:

B

R

B

R

B

R

bb+r

rb+r

b+cb+c+r

rb+c+r

bb+c+r

r+cb+c+r

Donde es evidente que P (X2 = B|X1 = B) = b+cb+c+r .

b) En este caso, buscamos el evento en orden temporal contrario, es decir,

P (X1 = B|X2 = B)

Para esto, vamos a usar el Teorema de Bayes:

P (X1 = B|X2 = B) =P (X2 = B|X1 = B) · P (X1 = B)

P (X2 = B)

=b+c

b+c+r ·b

b+r

P (X2 = B|X1 = B) · P (X1 = B) + P (X2 = B|X1 = R) · P (X1 = R)

=b+c

b+c+r ·b

b+rb+c

b+c+r ·b

b+r + bb+c+r ·

rb+r

=b(b + c)

b(b + c + r)

=b + c

b + c + r

c) Notemos que en ambas parten obtenemos las mismas probabilidades (OJO!!!, esto no ocurreen todos los casos). Luego,

P (X1 = B|X2 = B) = P (X2 = B|X1 = B)

P (X1 = B,X2 = B

P (X2 = B=

P (X1 = B,X2 = B)

P (X1 = B)

P (X1 = B) = P (X2 = B)

1− P (X1 = B) = 1− P (X2 = B)

P (X1 = R) = P (X2 = R)

2. (Ley de Probabilidades Totales) Tres diferentes empresas producen componentes electronicos sim-ilares. Del total del mercado, las tres empresas producen el 20%, 30% y 50% de los productos.Se conoce que las probabilidades de que las empresas produzcan componentes defectuosos son0.01, 0.02 y 0.03 respectivamente. Si una componente es seleccionada al azar, y esa componentefue defectuosa; encuentre la probabilidad de que fuese producida por cada empresa.

Solucion:

Definimos los siguienes eventos:

M1: componente que proviene de empresa 1.M2: componente que proviene de empresa 2.M3: componente que proviene de empresa 3.D: componente defectuoso.

DondeP (M1) = 0.2, P (M2) = 0.3, P (M3) = 0.5

P (D|M1) = 0.01, P (D|M2) = 0.02, P (D|M3) = 0.03

a) Para la primera empresa, lo pedido es

P (M1|D) =P (M1 ∩D)

P (D)

=P (D|M1)P (M1)

P (D)

Donde

P (D) =P (D|M1)P (M1) + P (D|M2)P (M2) + P (D|M3)P (M3)

= 0.01 · 0.2 + 0.02 · 0.3 + 0.03 · 0.5= 0.023

Luego,

P (M1|D) =0.01 · 0.2

0.023= 0.08

b) 0.27

c) 0.65