ESTÁTICA

EJEMPLOS RESUELTOS

Suma vectorial.

El manejo de vectores es esencial para la Física dado que la fuerza, la velocidad y la aceleración en sentido

estricto son vectores.

Suma de vectores

Para sumar cantidades escalares basta con que las cantidades tengan las mismas unidades, en caso de sumar

vectores se requieren técnicas especiales, entre ellas podemos citar:

Métodos

gráficos

Polígono (punta cola) Estrictamente a escala

Se pueden sumar n vectores

Paralelogramo Estrictamente a escala

Solo se pueden sumar de 2 en 2 vectores

Métodos

analíticos

Triángulo

Se pueden usar esquemas no necesariamente a escala

Resultados repetibles y exactos

Solo se pueden sumar de 2 en 2 vectores

Se basa en la ley de senos y ley de cosenos

Componentes

rectangulares

Se pueden usar esquemas no necesariamente a escala

Resultados repetibles y exactos

Se pueden sumar n vectores

El método más sencillo, útil y usado comúnmente

Se basa en el triángulo rectángulo, teorema de Pitágoras,

relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Descripción de los métodos para suma de vectores.

El método grafico del polígono o también llamado punta cola, consisten en dibujar un vector tras de otro, la

punta de uno con la cola de otro vector, cada vector que se dibuja debe estar a escala, una vez terminado de

dibujar los “n” vectores a sumar, se une el principio con el fin y se mide para este nuevo vector tanto su

magnitud como el ángulo que describe con el eje horizontal, dada la escala basta con interpretar las medidas

obtenidas.

El método del paralelogramos es similar al método anterior solo que se realiza únicamente parados vectores,

una vez dibujados los dos vectores uno tras de otro se trazan paralelas a ambos vectores formando un

paralelogramo, la diagonal del paralelogramo es la suma que resulta de los dos vectores, en caso de haber más

vectores por sumar se repite el procedimiento hasta quedar con un solo vector.

Triángulo

Se basa en la ley de senos y cosenos, se realiza un esquema de los vectores a sumar, no necesariamente a escala,

dibujando uno vector tras de otro, cerrando la figura formando un triángulo, mediante la ley de senos y cosenos

se determina la longitud del lado desconocido, mediante geometría se determina la medida de los ángulos

desconocidos.

Ejemplo 1

Dos fuerzas de 500 N a 30º y de 600 N a 60º actúan sobre el mismo cuerpo. Determine la suma de las fuerzas.

Esquema (no está a escala)

V1: 500 a 30º

V2: 600 N a 60º

Escribimos como notación para el vector resultante

1 2RV V V= +

Se observa que se ha formado un triángulo obtusángulo

Por geometría observamos que el ángulo obtuso mide 150º

La magnitud del lado VR se determina mediante la ley de cosenos

60º 30º

VR

V2

V1

Θ 150º

30º

VR

600 N

500 N

( )

2 21 2 1 2

2 2

2 cos150

500 600 2*500*600*cos150

1062.83

oR

oR

R

V V V VV

V

V N

= + −

= + −

=

Para determinar el ángulo que describe VR con la horizontal se pude usar la ley de senos

0

sin sin

sin sin150

600 1062.83

16.40

30 46.40

o

o

A B

a bA

A

A

=

=

=Θ = + =

La fuerza resultante es 1,062.83 N con una dirección de 46.40º sobre la horizontal.

Componentes rectangulares.

El método de componentes rectangulares se basa en el triángulo rectángulo, teorema de Pitágoras, y

Relaciones trigonométricas. El método funciona considerando a cada vector como una “hipotenusa” con ello

hay catetos asociados (opuesto y adyacente), que se llaman componentes del vector, su nombre se debe que lo

componen.

2 2 2

cos

tan

c a b

asen

cb

ca

b

= +

Θ =

Θ =

Θ =

a

b

c

Θ

Ejemplo 1

Un explorador que se encuentra en la jungla africana, sale de su choza y camina 40 metros a 45º medidos del

Este al Norte, luego camina 80 metros a 60º medidos del Oeste al Norte, por último camina 50 metros al Sur.

Determine la distancia total que ha caminado y donde se encuentra.

Datos

V1: 40 m; 45º del Este al Norte

V2: 80 m; 60º del Oeste al Norte

V3: 50 m; al Sur

Respondamos a la primera pregunta para ello solo sumamos las distancias (enfoque escalar)

Distancia = 40+80+50 = 170 metros.

Es un escalar pues solo es necesario indicar el tamaño y la unidad.

Esquema

Para el esquema se usa un sistema de referencia (ejes coordenados). Se hace hincapié en que no se requiere ser a

escala.

Se plantea la suma de vectores (no es fórmula solo indica que los vectores se suman o juntan para formar uno

solo)

O

60º 45º

S

N V2

V1

V3

E

321 VVVVR ++=∑ Se le llama VR pues resulta de sumar los otros vectores

Se realiza la sumatoria de componentes para el eje “x”, para el eje “y”.

( )( )∑

∑=−+=

−=+−=

57.47)90sin50()60sin80(45sin40

72.11)90cos50()60cos80(45cos40ooo

y

ooox

V

mV

Teniendo ya las componentes Vx y Vy se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud o tamaño del

vector resultante.

( ) ( )( ) ( ) mV

VVV

R

yxR

99.4857.4772.11 22

22

=+−=

+= ∑∑

Una vez que se ha calculado la magnitud de VR, se calcula el ángulo de dirección. Recuerde que un vector sin

indicar su dirección no es un vector.

Para calcular la dirección de un vector se usa la función tangente y la función arco tangente.

o

x

y

V

V

16.76)0589.4arctan(

72.11

57.47tan

tan

−=−=−

=

=∑∑

α

α

α

Dibujemos el vector resultante en el sistema de referencia, observe que Vx es negativo en signo y Vy es positivo,

eso lo ubica en el segundo cuadrante.

La conclusión del ejercicio es:

El explorador camino en total 170 metros pero se localiza a 48.99 metros a 76.16º medidos del Oeste hacia el

Norte tomando la choza como origen.

N

S O

76.16º

E

Ejemplo 2

Sobre una caja actúan las fuerzas que se muestran en el esquema, determine la fuerza resultante que actúa sobre

la caja

Dado que no se proporciona información sobre las dimensiones de la caja, se permite tratarla como una

partícula. Haremos un esquema de ejes cartesianos donde dibujaremos las fuerzas desde un mismo origen (el

punto representa la caja). Al ser un esquema para el método de componentes rectangulares no necesita ser a

estricta escala.

Se plantea la suma de vectores (se recuerda que no es fórmula)

1 2 3RF F F F= + +∑ Se le llama FR pues resulta de sumar las fuerzas

Dado que las fuerzas tienen componentes en los dos ejes, se realiza la sumatoria de fuerzas en sus componentes

para el eje “x”, componentes para el eje “y”.

( )( )400 cos 0 (200 cos 30 ) (200 cos 50 ) (400 *1) (200 * 0.8660) (200 * 0.6427) 400 173.20 128.55 444.65

400 sin 0 (200 sin 30 ) (200 sin 50 ) (400 * 0) (200.5) (200 * 0.7660) 0 100 153.20 253.2

o o oF Nx

o o oF N

y

∑ = + − = + − = + − =

∑ = + + = + − = + + =

Teniendo ya las componentes Fx y Fy se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud o tamaño del

vector resultante.

50º 30º

200N 200N

400N x

y

50º

30º 200N

400N

200N

( ) ( )( ) ( )

22

2 2444.64 253.20 197711.45 64114.74 261826.19 511.69

R x y

R

F F F

F

= +

= + = + = =

∑ ∑

Determinar el ángulo que describe la dirección, mediante la función arco tangente

Dibujemos el vector resultante en el sistema de referencia, observe que tanto Fx como Fy es positivo, eso ubica a

la fuerza resultante en el primer cuadrante cuadrante.

El resultado anterior lo interpretaremos como que las tres fuerzas que actúan sobre la caja, se pueden sustituir

por una sola fuerza, la fuerza resultante (la fuerza que resulta de todas ellas).

=

Nota recuerde que se ha tratado a la caja como una partícula

29.66º 511.69N

29.66º

x

y

511.69 N

tan

253.2tan 0.5694

444.64

arctan(0.5694) 29.66

y

x

o

F

Fα

α

α

=

= =

= =

∑∑

50º

30º 200N

400N

200N

Ejemplo 3

Un empleado postal conduce su camión 2.6 Km. al norte, luego 4.0 Km. al este y por último 3.1 Km. a 45º hacia

el Norte medido de Este. Determine su desplazamiento resultante.

Para el desplazamiento resultante se tiene

2.6cos90 4cos0 3.1cos 45 6.19Vx km= + + =∑

2.6sin90 4sin 0 3.1sin 45 4.792Vx km= + + =∑

El valor de la magnitud del vector desplazamiento resultante es

8.40V km=

La dirección del vector es

4.79arctan 53.6

6.19oθ = ≈

Como conclusión el empleado se encuentra a 8.40 km a 53.6º del punto de partida

Equilibrio para partícula en dos dimensiones (en el plano)

Para que una partícula se encuentre en equilibrio se necesita que la suma de las fuerzas que actúan sobre ella sea

cero (1era Ley de Newton). Matemáticamente se escribe:

0RF =

Dado que las fuerzas actúan en el eje “x” y en el eje “y” el modelo anterior se re escribe como:

0 0x yF F= =∑ ∑

Lo anterior se resume en que para que un cuerpo este equilibrado la suma de las fuerzas tanto en el eje “x”

como en el eje “y” deber ser cero.

Ejemplo 1

Tres amigos tiran de un mismo objeto mediante cuerdas, Juan ejerce una fuerza de 120 N con un ángulo de 60º

sobre el eje +x, Pedro 80 N a 75º sobre el eje –x. Determine la fuerza que ejerce Manuel si se sabe que el

sistema se encuentra en equilibrio.

Para empezar dibujemos un esquema que presente las fuerzas (imagine que ve desde arriba y cada flecha es una

cuerda). La cuerda F y el ángulo, representa la fuerza desconocida que se va a determinar. La fuerza se dibuja en

el cuadrante 1 dada la conveniencia, una vez obtenido el resultado se ubica en el lugar correcto

El siguiente paso es escribir la condición de equilibrio

0 0 0RF F Fx y= = =

Se desarrolla la sumatoria de fuerzas para el eje “x” y el eje “y”, debe incluirse la fuerza desconocida (fuerza

ejercida por Manuel).

(120*cos60 ) (80*cos75 ) ( *cos ) 0

(120*sin 60 ) (80*sin 75 ) ( *sin ) 0

o oF Fx

o oF Fy

= − + Θ =∑

= + + Θ =∑

Realicemos las operaciones necesarias

Rescribimos

Se despeja F*cosΘ y F*sinΘ

Ya que se ha despejado, se obtiene el valor de FR

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

*cos *sin

39.3 181.19 1544.49 32829.82 34374.31 185.40

R

R

F F F

F

= Θ + Θ

= − + − = + = =

Determinar el ángulo que describe la dirección, mediante la función arco tangente

y

x

80 N 75º

120 N 60º

F Θ

(120*0.5) (80*0.2588) ( *cos ) 60 20.70 *cos 0

(120*0.8660) (80*.9659) ( *sin ) 103.92 77.27 *sin 0

F F Fx

F F Fy

= − + Θ = − + Θ =∑

= + + Θ = + + Θ =∑

39.3 *cos 0

181.19 *sin 0

F

F

+ Θ =+ Θ =

*cos 39.3

*sin 181.19

F

F

Θ = −Θ = −

Dibujemos el vector obtenido en el sistema de referencia, observe que tanto Fx como Fy es negativo, eso ubica a

la fuerza resultante en el tercer cuadrante cuadrante

La conclusión es que Manuel ejerce una fuerza de 185.4 N a un ángulo de 77.76º en el tercer cuadrante para

lograr el equilibrio con la fuerza que ejerce Juan de 120 N 60º sobre el eje +x, y Pedro 80 N a 75º sobre el eje –

x.

y

x

80 N 75º

120 N 60º

185.4 77.76º

*sintan

*cos181.19

tan 4.610439.3

arctan(4.614) 77.76o

F

Fα

α

α

Θ=Θ

−= =−

= =

Ejemplo 2

Determine la tensión en las 3 cuerdas para el sistema en equilibrio. La caja pesa 500 N. Los ángulos son

para T2 30º y T3 45º.

Lo primero es realizar un esquema de las fuerzas (tensión es fuerza) para ello observe que la cuerda 3 actúa

sobre a caja y que las tres cuerdas actúan en el nudo, por lo que se hacen dos esquemas

Primer esquema cuerda 3 y caja

El siguiente paso es escribir la condición de equilibrio

00

0

RFFxFy

===

Se desarrolla la sumatoria de fuerzas para el eje “x” y el eje “y”

3

0

500 0

Fx

F Ty

=∑

= − =∑

Observe que no hay fuerzas en el eje “x” que sumar para esta parte del ejercicio.

De la suma de fuerzas en el eje “y” la T3 = 500 N

Ahora hagamos un segundo esquema para el nudo (donde actúan las tres cuerdas)

T3

y

x

T2 45º

T1 30º

T3

500N

x

30º

y

T2

45º

T3

T1

500 N

El siguiente paso es escribir la condición de equilibrio para esta situación

00

0

RFFxFy

===

Se desarrolla la sumatoria de fuerzas para el eje “x” y el eje “y”

1 2

1 2

* 30 cos 45 0

*sin 30 *sin 45 500 0

o o

o o

F T cos Tx

F T Ty

= − =∑

= + − =∑

Hagamos las operaciones

1 2

1 2

*0.8660 *0.7071 0

*0.5 *0.7071 500 0

T T

T T

− =+ − =

Rescribimos

1 2

1 2

0.8660 0.7071 0

0.5 0.7071 500

T T

T T

− =+ =

Se resuelve el sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución

1 2

1 2

(1) 0.8660 0.7071 0

(2) 0.5 0.7071 500

T T

T T

− =+ =

De la ecuación 1 se despeja T1

1 2

1 2

21

0.8660 0.7071 0

0.8660 0.7071

0.7071

0.8660

T T

T T

TT

− ==

=

Este valor de T1 se sustituye en la ecuación 2

1 2

21

22

22

2 2

2

2

0.5 0.7071 500

0.7071

0.86600.7071

(0.5) 0.7071 5000.8660

0.353550.7071 500

0.86600.4083 0.7071 500

1.1154 500

500448.27

1.1154

T T

Tpero T

TT

TT

T T

T

T N

+ =

=

+ =

+ =

+ ==

= =

Con el valor de T2 se sustituye en el despeje

21

1

0.7071

0.8660(0.7071)(448.27) 316.97

366.020.8660 0.8660

TT

T N

=

= = =

La conclusión del ejercicio es:

La tensión en la cuerda 1 es 366.02N, la tensión en la cuerda 2 es 448.27 N, y la cuerda 3 tiene una tensión de

500 N.

Ejemplo 3

Determine la tensión en las 5 cuerdas, el sistema está en equilibrio. El objeto pesa 500 N.

Para resolver el ejercicio se inicia con el análisis del peso suspendido que da como resultado la tención de la

cuerda 5

Se establece la suma de fuerzas

5

5

0

0

de donde se obtiene 500

Fx

Fy T W

T W N

=

= − =

= = ↑

∑∑

Ahora se analiza el nudo donde coinciden las cuerdas T3, T5 y T2

3 2

2 5

2

3

cos30 0

sin 30 0

al resolver el sistema de ecuaciones se tiene

1000

866

Fx T T

Fy T T

T N

T N

= − =

= − =

== →

∑∑

տ

Ahora se analiza el nudo donde coinciden las cuerdas T1, T2 y T4

2 1

4 2

4

1

cos30 0

sin 30 0

al resolver el sistema de ecuaciones se tiene

500

866

Fx T T

Fy T T

T N

T N

= − =

= − =

= ↑= ←

∑∑

Por la construcción del sistema de cuerdas se podía concluir a simple vista que las cuerdas T4, T5 eran igual al

peso del cuerpo. Que las cuerdas T1 y T3 son de la misma magnitud pero sentido opuesto.

30º

T4

T3

T5

T2

T1

W

T5

30º T3

T5

T2

30º

T1 T4

T2

Condición de equilibrio para partícula en tres dimensiones (en el espacio)

Para que una partícula se encuentre en equilibrio se necesita que la suma de las fuerzas que actúan sobre ella sea

cero (1era Ley de Newton). Matemáticamente se escribe:

0RF =

Dado que las fuerzas actúan en el eje “x”, en el eje “y” y en el eje “z” el modelo anterior se rescribe como:

0 0 0x y zF F F= = =∑ ∑ ∑

Ejemplo 1

(Beer, F. Ingeniería Mecánica. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Novena Edición, ejercicio 2.101,

página 60)

Tres cables son usados para sostener un globo como se muestra. Determine la fuerza vertical P ejercida por el

globo en el punto A, sabiendo que la tensión en el cable AD es de 481N. El sistema está en equilibrio.

Lo primero es establecer la condición de equilibrio la suma vectorial de las fuerzas.

0

0

0 0 0

R

AB AC AD

x y z

F

T T T P

F F F

=

+ + + =

= = =∑ ∑ ∑

��

�� �� �� ��

�� �� ��

Para determinar los vectores , y AB AC ADT T T�� �� ��

se recurre a las coordenadas y el concepto de vector unitario

( )( )( )( )

Coordenadas

0,5.60,0

4.20,0,0

2.40,0,4.2

0,0, 3.30

A

B

C

D

−

−

Determinar ABr�

y su magnitud

( ) ( ) ( )4.20 0 0 5.60 0 0

4.20 5.60

7

AB

AB

AB

r i j k

r i j

r

= − − + − + −

= − −

=

�

�

�

Determinar ACr�

y su magnitud

( ) ( ) ( )2.40 0 0 5.60 4.20 0

2.40 5.60 4.20

7.4

AC

AC

AC

r i j k

r i j

r

= − + − + −

= − +

=

�

�

�

Determinar ADr�

y su magnitud

( ) ( ) ( )0 0 0 5.60 3.30 0

5.60 3.30

6.5

AD

AD

AD

r i j k

r j k

r

= − + − + − −

= − −

=

�

�

�

Se puede ahora determinar el vector tensión en el cable AD

481

5.60 3.30481 414 244.2

6.5

ADAD

AD

AD

rT

r

j kT j k

=

− − = = − −

���

�

��

Se sustituye ahora en la suma vectorial, recordando el concepto de vector unitario

[ ]

0

0

4.20 5.60 2.40 5.60 4.20414 244.2 0

7 7.4

AB AC AD

AB AC AD

AB AC ADAB AC AD

AB AC

T T T P

r r rT T T P

r r r

i j i jT T j k P

+ + + =

+ + + =

− − − + + + − − + =

�� �� �� ��

� � ���

� � �

��

[ ]

0

2.40 5.60 4.204.20 5.60414 244.2 0

7 7.4

AB AC AD

AC AC ACAB AB

T T T P

T i T j T kT i T jj k Pj

+ + + =− +− − + + − − + =

�� �� �� ��

Reagrupamos para cada eje

2.40 5.60 4.204.20 5.60414 244.2 0

7 7.4 7 7.4 7.4AC AC ACAB ABT T TT T j

i P j k−− − + + − − + + − =

Establecer el sistema de ecuaciones a resolver

2.404.200

7 7.45.605.60

4147 7.4

4.20244.2

7.4

ACAB

ACAB

AC

TT

TTP

T

− + =

− − + =

=

Al resolver el sistema de ecuaciones se determina

232.57

430.25

925.66

AB

AC

T N

T N

P N

==

= ↑

La fuerza P es 926 N dirigido hacia arriba.

Ejemplo 2

El objeto de 800 N se encuentra en equilibrio determine la tensión en las tres cuerdas.

Se analiza el nudo A donde coinciden las cuerdas.

Por simple inspección se puede determinar que la cuerda que soporta la lámpara, la tensión es igual al peso del

cuerpo.

Se establece la suma de fuerzas para el punto A.

0

0

0 0 0

R

AB AC AD

x y z

F

T T T P

F F F

=

+ + + =

= = =∑ ∑ ∑

��

�� �� �� ��

�� �� ��

Para determinar el vector TAD se recurre a las coordenadas de cada punto y el concepto de vector unitario.

2 4 4

6AD

AD AD AD

AD

rT T T

r

− − + = =

i j k�

�� �� ���

Para los vectores TAC y TAB observe que son paralelos a los ejes “x” y “y” respectivamente, de tal manera que se

puede escribir. Mientas el peso del cuerpo es paralelo al eje “z” hacia lo negativo

y

C

A

D

x

z

4m

B

2m

4m

C

A (2,4,0)

D (0,0,4)

B

P

800

AB AB

AC AC

T T

T T

P P

=

=

= − = −

j

i

k k

�� ��

�� ��

�� ��

Sustituyendo en la suma de fuerzas

Se sustituye ahora en la suma vectorial, recordando el concepto de vector unitario

0

2 4 4800 0

6

AB AC AD

AB AC AD

T T T P

T T T

+ + + =− − + + + − =

i j kj i k

�� �� �� ��

�� �� ��

Reagrupamos y rescribiendo para cada eje

20

6

40

6

4800 0

6

AC AD

AB AD

AD

T T

T T

T

− =

− =

− =

�� ��

�� ��

��

Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene

4800 0

6

1200

AD

AD

T

T N

− =

=

��

��

Con este valor se determina

2

6

400

4

6

800

AC AD

AC

AB AD

AB

T T

T N

T T

T N

=

=

=

=

�� ��

��

�� ��

��

Se concluye que la tensión en la cuerda AD es 1200 N, en la cuerda AC 400 N, la cuerda AB soporta una

tensión de 800 N.

Calculo de la torca de una fuerza

Ejemplo 1

Una viga de 10 metros de longitud y peso despreciable está sometida a las fuerzas mostradas. Determine la

torca de cada fuerza respecto al punto O, la torca total respecto al mismo punto.

Hagamos un diagrama que llamaremos diagrama de cuerpo libre donde se muestran las fuerzas que actúan sobre

el cuerpo, el cuerpo solo se muestra como un esquema, no es necesario dibujarlo a estricta escala.

Observe que en este ejercicio no se da información acerca de las otras dimensiones de la viga (solo su largo) por

lo que dibujaremos la viga como una línea además las fuerzas de 100 N tiene un ángulo de 90º con la viga,

mientras la fuerza de 200 n tiene un ángulo de 0º con la viga.

Para la fuerza de 100 N

0

0

sin

(3 )(100 )(sin 90 ) (3 )(100 )(1) 300o

rF

m N m N Nm

ττ

= Θ

= − = − = −

El signo negativo indica que la viga girara en sentido de las manecillas del reloj.

Para la fuerza de 400 N

0

0

sin

(8 )(400 )(sin 30 ) (8 )(400 )(0.5) 1600o

rF

m N m N Nm

ττ

= Θ

= = =

El signo positivo indica que la viga girara en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Para la fuerza de 200 N

0

0

sin

(8 )(200 )(sin 0 ) (3 )(100 )(0) 0o

rF

m N m N

ττ

= Θ

= = =

30º

400N

O

3 m 5 m 2 m

100N

200N

30º

400N

O

3 m 5 m 2 m

100N

200N

En este caso no hay torca, es decir la fuerza no provoca giro.

Tome nota cuando una fuerza pasa por el punto o coincide con una línea que pase por el punto no provoca

momento. En este caso la fuerza de 200 N coincide con la línea que representa la viga la cual pasa por el punto

de apoyo O.

Para calcular el momento total se suman los momentos parciales obtenidos

300 1600 0 1300R Nm Nm Nm Nmτ = − + + =

Equilibrio de cuerpo rígido en 2 dimensiones.

Para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio se necesita que la suma de las fuerzas que actúan sobre él

sea cero (1era Ley de Newton). Matemáticamente se escribe:

0RF =

Dado que las fuerzas actúan en el eje “x” y en el eje “y” el modelo anterior se reescribe como:

0 0x yF F= =∑ ∑

Además se establece una nueva condición

0RRM τ= =

Otros conceptos de utilidad

Teorema de Varignon: El momento de la resultante de fuerzas concurrentes respecto a un punto es igual a la

suma de los momentos de las componentes (de la fuerza) con respecto al mismo punto.

Miembro de dos fuerzas: Cuando un cuerpo rígido está sometido a la acción de solo dos fuerzas y está en

equilibrio, dichas fuerzas deben ser iguales en magnitud, opuestas en sentido y colineales.

Miembro de tres fuerzas: Cuando tres fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido equilibrado, las fuerzas deben ser

concurrentes o paralelas.

Determinación estática: Cuando se pueden conocer todas las reacciones al resolver las ecuaciones de equilibrio

de un cuerpo. El cuerpo esta adecuadamente restringido por los soportes o conexiones.

Indeterminación estática: Hay más reacciones de las que se pueden calcular, tiene mas soportes o apoyos de los

necesarios para mantener el equilibrio.

Cuerpo parcialmente restringido: También se le llama estáticamente inestable y se refiere a que hay menos

reacciones de las que se pueden determinar.

Ejemplo 1

Determine las reacciones en el perno A y la tensión en la cuerda BC. Considere que el valor de la fuerza es 40

kN. Desprecie el espesor de la viga.

El cuerpo está en equilibrio

0

para este caso

0

0

R

x

y

F

F

F

=

=

=∑∑

��

Para el eje “x” se tiene

( ) ( )( )( )

54 26 05 13

4 105

x BC

BC

F Ax T

Ax T

= + − =

+ =

∑

Para ele je “y” se tiene

( ) ( )( )( )

3 1226 40 05 13

3 645

y BC

BC

F Ay T

Ay T

= + − − =

+ =

∑

Torca o momento respecto al punto A

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

3 1240 6 6 2 26 05 13

3 1240 6 6 2 26 05 1380

54 54

16

A BC

BC

BC

x

y

M T

T

T kN

A kN kN

A kN

= − + − =

− + − =

== − = ←

= ↑

∑

El perno localizado en el punto A ofrece una reacción vertical de 16 kN dirigidos hacia arriba, la reacción

horizontal es de 54 kN halando de la estructura. La cuerda BC ejerce una fuerza de 80 kN.

Nota: La bisagra ofrece dos reacciones perpendiculares entre sí, en este caso sobre el eje “x” y el eje “y”. La

cuerda ejerce una fuerza a lo largo de su línea de acción

12

5

3

4

26 kN C

B A

2 m 4 m

Ejemplo 2

La viga uniforme que se muestra en la figura pesa 750 N y sostiene una carga de 1,000 N. Calcule la tensión de

la cuerda y las fuerzas de reacción en la bisagra sobre la viga.

Se establece la condición de equilibrio.

0

0R

R

F

M

==

Para las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

cos55 0

cos55

55 750 1000 0

55 1750

xx

x

y y

y

F A T

A T

F A Tsen

A Tsen

= − =

=

= + − − =

+ =

∑

∑

( ) ( ) ( )750*0.5 0.4 sin55 1000 0AM L L T L= − + − =∑

4,196

1,687.5

2,406y

x

T N

A N

A N

== ↓

= ←

La tensión en la cuerda es de 4196 N, la bisagra ofrece una reacción vertical de 1687.5N hacia abajo y la

reacción horizontal es 2 406 N en dirección a la parte negativa del eje.

Ejemplo 3

Una viga de peso despreciable se encuentra articulada mediante una bisagra en el punto A, en el punto B se

apoyada en un rodamiento. Determine las fuerzas de reacción en los soportes si la viga esta equilibrada. El

diagrama no está a escala.

0.40L 0.60L

55º

La viga está en equilibrio, se escribe la condición de equilibrio

0

0

0

0

0

R

x

y

R

A

F

F

F

M

M

==

=

=

=

∑∑

∑

��

Observe que no hay fuerzas en el eje “x”

0 No aplica

7 9 12 7 0

11

x

y y y

y y

F

F A B

A B kN

=

= − + − + + − =

+ =

∑∑

Se establece la suma de momento (torca) respecto al punto A

(7*2) (9*4) (12*10) (7*15) 15

0.467

10

0

7

. 3

1

5

5

3

A y

y

y

M B

B kN

A

kN

kN

= − + − + =

= =

=

↑

↑

∑

La reacción horizontal en el rodamiento 0.467kN N hacia arriba, la bisagra ofrece una reacción vertical

de 10633kN

Ejemplo 4

El tablón uniforme tiene un peso de 120 N, está suspendido por dos cuerdas como se muestra en la

figura. A un cuarto de su longitud medido desde el extremo izquierdo se suspende un objeto de 400 N.

Determine la tensión en las cuerdas y el ángulo desconocido. Sugerencia trabaje con los ángulos

complementarios.

4m 6m 5m 3m 2m

B A

7 KN 9 KN 12 KN 7 KN

El tablón se encuentra en equilibrio.

0

0R

R

F

M

==

Por simplicidad se trabajara con el ángulo complementario al ángulo dado.

La suma de fuerzas en los dos ejes es:

1 2

1 2

1 2

1 2

cos60 cos 0

cos60 cos 0

sin 60 sin 120 400 0

sin 60 cos 520

90

x

y

F T T

T T

F T T

T T

αα

αα

α

= − =

− =

= + − − =

+ =+ Θ =

∑

∑

Se escribe la segunda condición de equilibrio

1

1

1

0

(0.25 *400) (0.5 *120) sin 60* 0

100 60 0.8660 0

160

0.86184 7

6. 5

0

A

A

M

M L L T L

L L T L

LT

LN

=

= − − + =

− − + =

= =

∑∑

Se sustituye el valor en la suma de fuerzas en el eje “x”

( )( )1 2

2

2

cos60 cos 0

184.75 cos60 cos 0

cos 92.38

T T

T

T N

αα

α

− =− =

=

Se sustituye en la suma de fuerzas en el eje “y”

Θ 30º

0.25L 0.75L

400 N

( )( )1 2

2

2

sin 60 sin 520

184.75 sin 60 sin 520

sin 360.65

T T

T

T N

αα

α

+ =+ =

=

Con ambos valores se determina la tensión 2

( ) ( )

2

2

2 2

2

cos 92.38

sin 360.65

92.38 372360.6 .295

T N

T N

T N

αα

==

= + =

Determinar el valor del ángulo

360.65arctan arctan 75.63

92.38

90 14. 76 .3 375

o

o oo

α = ≈

Θ = − =

La fuerza desconocida es de 372.29 N y describe un ángulo de 14.37º con la vetical.

Equilibrio de cuerpo rígido en 3 dimensiones

Para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio se necesita que la suma de las fuerzas que actúan sobre él

sea cero y que la suma de los momentos sea igual a cero.

0RF =

0RRM τ= =

Lo que se traduce como

0 0 0x y zF F F= = =∑ ∑ ∑

0 0 0x y zM M M= = =∑ ∑ ∑

Momento de una fuerza en 3 dimensiones respecto a un punto O

y z x yx zO x y z

y z x yx zx y z

r r r rr rM r F r r r

F F F FF FF F F

= × = = − +i j k

i j k� ��

Ejemplo 1

La varilla AB está sujeta a una fuerza de 200 N. Determine las reacciones en la articulación esférica A y la

tensión en los cables BD y BE

Se establece la condición de equilibrio

0

0

R

R

F

M

=

=

��

���

Diagrama de cuerpo libre

Desarrollando la condición de equilibrio

200 N

B

E

D

y

x

z

A

2 m

2 m

1.5 m

1.5 m

1.5 m

1.5 m

200 N

B

E

D

y

x

z

A

2 m

2 m

RAx

RAz

RAy

0

200 0

200 0

R BE BD A

ABE BD

BE BD Ax Ay Az

F T T R F

T i T j R k

T i T j R i R j R k k

= + + + =

+ + − =+ + + + − =

�� �� �� �� ��

��

Nota: Se observa que el vector fuerza BE es paralelo al eje “x” por lo que su única componente es a

lo largo de ese eje, al igual la única componente de la fuerza de la cuerda BD es sobre el eje “y”.

Se establece el sistema de ecuaciones

( ) ( ) ( )( )( )( )

200 0

0

0

200 0

BE Ax BD Ay Az

BE Ax

BD Ay

Az

T R i T R j R k

T R

T R

R

+ + + + − =

+ =

+ =

− =

Tomando el punto A, y estableciendo la suma de momento se tiene

0

200 0

A

A AB BE AB BD AC

M

M r T r T r k

=

= × + × + × − =

���

��� � �� � �� �

( ) ( ) ( )2 0 2 0 0 1

2 2

AB

AB

r i j k

r i j k

= − + − + −

= + −

�

�

Para determinar el vector posición que va del punto A al punto C basta ver que es el punto medio de

la varilla

( ) ( ) ( )1 0 1 0 0 0.5

0.5

AC

AC

r i j k

r i j k

= − + − + −

= + −

�

�

Se escribe la suma de momentos respecto al punto A.

( )( ) ( )

200 0

200 0

2 2 0.5 200 0

escribiendo como determinante

2 2 1 1 1 0.5

0 0 0 2

A AB BE AB BD AC

A AB BE BD AC

A BE BD

BE BD

M r T r T r k

M r T T r k

M i j k T i T j i j k k

i j k i j k

T T

= × + × + × − =

= × + + × − =

= + − × + + + − × − =

− + −−

��� � �� � �� �

��� � �� �� �

���

0

00

=

Desarrollando

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

2 2 200 200 0

200 200 2 2 0

BD BE BD BE

BD BE BD BE

T i T j T T k i j

T i T j T T k

− − − + − + − + − =

− − + − − + − =

Se establece el sistema de ecuaciones

[ ] [ ] [ ]200 200 2 2 0

200 0

200 0

2 2 0

BD BE BD BE

BD

BE

BD BE

T i T j T T k

T

T

T T

− − + − − + − =− − =− − =

− =

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene

200

200BD

BE

T N

T N

==

( )( )( )

0

0

200 0

BE Ax

BD Ay

Az

T R

T R

R

+ =

+ =

− =

Las componentes de reacción en la rótula son

200

200

200

Ax

Ay

Az

R N

R N

R N

= −= −

=

Ejemplo 2

La placa uniforme de concreto tiene un peso de 5 500 libras. Determine la tensión en cada uno de

los tres cables paralelos que la soportan cuando se mantiene en el plano horizontal como se muestra.

Se establece la condición de equilibrio

0

0

R

R

F

M

=

=

��

���

Desarrollando la condición de equilibrio

0

0

5,500 0

R

R A B C

A B C

F

F T T T W

T k T k T k k

=

= + + + =+ + − =

��

�� �� �� �� ���

Se necesita establecer un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio, para ellos se propone la

suma de la torca o momento de fuerza respecto a los dos puntos A y B

Suma de momentos respeto al punto A

0A B CB C wM r T r T r W= × + × + × =��� � �� � �� � ���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 9 6 3 6 5500 0A B CM i j T k j T k i j k = + × + × + + × − = ���

6 9 0 0 6 0 3 6 0 0

0 0 0 0 0 0 5,500

A

B C

i j k i j k i j k

M

T T

= + + =−

���

z

x

C

B

A

TC

T

TA

6 pies 3 pies 3 pies

6 pies

y

[ ] [ ] [ ]9 6 6 33000 16500 0TBi TBj TCi i j− + + − + =

Suma de momentos respeto al punto B

0B A A CC wM r T r T r W= × + × + × =��� � �� � �� � ���

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 9 6 3 3 3 5500 0B A CM i j T k i j T k i j k = − − × + − − × + − − × − = ���

6 9 0 6 3 0 3 3 0 0

0 0 0 0 0 0 5,500

B

A C

i j k i j k i j k

M

T T

= − − + − − + − − =−

���

Desarrollando se tiene

[ ] [ ] [ ]9 6 3 6 16500 16500 0TAi TAj TCi TCj i j− + + − + + − =

Asociando y estableciendo el sistema de ecuaciones

5,500

9 3 16500

6 6 16500

9 6 33000

6 16500

A B CT T T

TA TC

TA TC

TB TC

TB

+ + =− − = −

+ =+ =

− = −

Al resolver el sistema se obtiene

2750

1375

1375

TB klb

TC klb

TA klb

===

Las tres cuerdas sostienen la plancha halan de ella y lo hacen de la siguiente manera, la cuerda B

con 2750 lb, la cuerda C con 1375 lb y la cuerda A con 1375 lb.

Ejemplo 3

Una viga de acero esta empotrada en la pared en el punto A. Determine las reacciones para fuerza y

momento en el apoyo. En el otro extremo la viga esta libre

El cuerpo a analizar es la viga

Se establece la condición de equilibrio

0

0

R

R

F

M

=

=

��

���

Al revisar la disposición de las fuerzas, las cuales están dispuestas en dos planos, se hace el

siguiente planteamiento

0Fx RAx= =∑ No existe fuerza alguna a lo largo del eje “x”

Para el eje “y”

x

RAx

RAz

z

RAy

1.5m 1.5m 1.5m 1.5m 1.5m

8 KN 12 kN

15 kN 10 kN

My

Mz

Mx

y

A

1.5m 1.5m 1.5m 1.5m 1.5m

x

z

8 KN 12 kN

15 kN 10 kN

8 12 0

20

Fy RAy

RAy kN

= − − =

=∑

Para el eje “z”

15 10 0

5

Fz RAz

RAz kN

= + − =

= −∑

Para el plano xy (la pared)

( ) ( )0

8*1.5 12*4.5 0

66kNm

A

A

M

M Mz

Mz

=

= − − + =

=

∑∑

Para el plano xz (el piso)

( ) ( )0

15*3 10*6 0

15kNm

A

A

M

M Mz

My

=

= − + + =

= −

∑∑

Se concluye que el soporte fijo (anclaje) en el punto A ofrece una reacción vertical dirigida hacia

arriba de 20kN, la reacción en el eje “z” es 5kN en la dirección negativa del eje, no hay reacción en

el eje “x” dado que no hay fuerzas actuando en ese eje. El apoyo fijo ofrece una reacción para

momento causado por las fuerzas de 66kNm en sentido antihorario alrededor del eje “z”, alrededor

del eje “y” la reacción es 15kNm en sentido horario.

Ejemplo 4

Un brazo de 2.4 metros de longitud se sostiene mediante un apoyo de rótula en C y por

medio de dos cables AD y AE. Determine la tensión en cada cable y la reacción en C.

El cuerpo a estudiar es el brazo

Se establece la condición de equilibrio

0

0

R

R

F

M

=

=

��

���

1 2

1 2

0

desarrollando la condición de equilibrio

0

3.6 0

R

R A

R x y z

F

F T T F W

F T T A i A j A k j

=

= + + + =

= + + + + − =

��

�� �� �� �� ���

�� �� ��

Para determinar T1

3.6kN

C

A

B

y

x

z

0.8m 0.8m

1.2m

0.6m

1.2m

1.2m

E D

1 1

1 1

0.8 0.6 2.4

2.6

AD

AD

rT T

r

i j kT T

=

− + − =

���

�

��

Para determinar T2

2 2

2 2

0.8 1.2 2.4

2.8

AE

AE

rT T

r

i j kT T

=

+ − =

���

�

��

Sustituir en la condición de equilibrio

1 2

0

0.8 0.6 2.4 0.8 1.2 2.43.6 0

2.6 2.8

R

R x y z

F

i j k i j kF T T A i A j A k j

=− + − + − = + + + + − =

��

��

Asociando de acuerdo al eje

1 2

1 2 1 2 1 2

0.8 0.6 2.4 0.8 1.2 2.43.6 0

2.6 2.8

0.8 0.8 0.6 1.2 2.4 2.43.6 0

2.6 2.8 2.6 2.8 2.6 2.8

x y z

x y z

i j k i j kT T A i A j A k j

T T T T T TA i A j A k

− + − + − + + + + − =

− − + + + + + − + − + =

Sistema de ecuaciones

1 2

1 2

1 2

0.8 0.80

2.6 2.80.6 1.2

3.62.6 2.82.4 2.4

02.6 2.8

x

y

z

T TA

T TA

T TA

− + + =

+ + =

− − + =

La segunda condición de equilibrio es

( )1 2

1 2

0

3.6 0

3.6 0

C

C CA AC AB

C CA AB

M

M r T r T r j

M r T T r j

=

= × + × + × − =

= × + + × − =

���

��� � �� � �� �

��� � �� �� �

Rescribiendo condición de equilibrio

[ ][ ]

[ ]1 2

1 2 1 2 1 2

2.4

1.2

0.8 0.6 2.4 0.8 1.2 2.42.4 1.2 3.6 0

2.6 2.8

0.8 0.8 0.6 1.2 2.4 2.42.4

2.6 2.8 2.6 2.8 2.6 2.8

CA

CB

C

C

r k m

r k m

i j k i j kM k T T k j

T T T T T TM k i j k

=

=

− + − + − = × + + × − =

− − = × + + + + −

�

�

���

���[ ]1.2 3.6 0k j

+ × − =

Desarrollando en forma de determinante

1 2 1 2 1 2

0 0 2.4 0 0 1.2 0

0 3.6 00.8 0.8 0.6 1.2 2.4 2.4

2.6 2.8 2.6 2.8 2.6 2.8

i j k i j k

T T T T T T

+ =−− − + + −

[ ]1 2 1 20.6 1.2 0.8 0.82.4* 2.4* 4.32 0

2.6 2.8 2.6 2.8

T T T Ti j i

− − + − − + + =

Reordenando y estableciendo el sistema de ecuaciones

[ ] [ ][ ] [ ]

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

0.55 1.028 0.73 0.68 4.32 0

0.55 1.028 4.32 0.73 0.68 0

0.55 1.028 4.32

0.73 0.68 0

T T i T T j i

T T i T T j

T T

T T

− − − − + =

− − + − − =− − = −− + =

Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0.8 0.80

2.6 2.80.6 1.2

3.62.6 2.82.4 2.4

02.6 2.80.55 1.028 4.32

0.73 0.68 0

x

y

z

T TA

T TA

T TA

T T

T T

− + + =

+ + =

− − + =

− − = −− + =

1

2

0

1.8

4.81

2.61

2.81

x

y

z

A

A kN

A kN

T kN

T kN

==

===

La rotula ofrece una reacción en el eje vertical “y” de 1 800 N dirigido hacia arriba, en el eje “z” la

reacción de la rotula es 4 810 N dirigido a la parte positivo del eje. La tensión en la cuerda AD es de

2 610 N y la cuerda AE ejerce una fuerza de 2 810 N, las fuerzas AE y AD halan del brazo.